海南大学数学系
— 1 — 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类)
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象
“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n上的推广.
3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.
2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nnen及其应用.
3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限sin10lim1,lim(1)xxxxxxe及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.
专业：
年级：
线
所在院校：
封
密
身份证号：
姓名：
第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
题 号 一 二 三 四 五 六 总分
满 分 25 15 15 15 15 15 100
得 分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.
2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
一、（本题共5小题，每小题各5分，共25分）计算下列
各题（要求写出重要步骤）.
(1) 设2(1)(1)(1)nn2xaaa=+⋅++"，其中，求. 1<|a|nnx∞→lim
(2) 求 limxxxex−→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211.
(3) 设，求0s>0sxnnIexdx+∞−=∫(1,2,n)=".
(4) 设函数f ( t )有二阶连续导数，22rxy=+，1(,)gxyfr⎛⎞⎟⎜=⎟⎜⎟⎜⎝⎠，求22
22g
g
xy∂∂+∂∂.
(5) 求直线 与直线10:0xylz−=⎧⎨=⎩221:42xyzl3
1−−−==−−的距离.
得 分
评阅人
第 1 页（ 共 6 页）
二、（本题共15分）设函数在)(xf)(+∞−∞,上具有二阶导数，
并且()0,lim()xfxfx0α→+∞′′′>=>lim()fx，0xβ→−∞′=<，且存在一
点，使得. 证明：方程0x0)(0
评阅人
第 2 页（ 共 6 页） 专业：
年级：
线
所在院校：
封
密
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三、（本题共15分）设函数由参数方程()yfx=
22
()xtt
ytψ⎧=+⎨=⎩(t>−1)所确定. 且2
2dy
dx=3
4(1)t+，其中()tψ具有
二阶导数，曲线)(tyψ=与2
1tuye−∫23
2due=+在1=t处相切. 求函数()tψ.
得 分
评阅人
第 3 页（ 共 6 页）
第 1 页 共 3 页 广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(经济管理类)
一、(本题30分, 每小题3分) 填空题
1. 已知0()ln1sin2lim351xxfxx, 则极限20()limxfxx .
2．设()fx对于(,)x满足方程31(1)()2(1)[()]1exxfxxfx.若()fx在1x取得极值，则它是 .（填极大值还是极小值）
3. 极限1240limd1nnxxnx ．
4. 设函数()fx满足0[()()]sind8,(0)3,fxfxxxf 则()f_________.
5．极限2222223(,)(0,0)sinlim()xyxyxyxy .
6. 由方程(,)0Fcxazcybz确定了函数(,)zzxy,
则zzabxy .
7.设,fxy可微，1,22,1,23,1,24xyfff，若,,2gxfxfxx，则'1g .
8.设函数()fx连续, (0)2f, 记22222()()dd (0)xytFtfxyxyt, 则(0)F .
9. 设123(), (), ()yxyxyx是微分方程()()()ypxyqxyfx的三个不同的解，且1223()()()()yxyxyxyx不恒等于常数，则微分方程的通解为 .
10．级数4121e1(1)4e1nxnnxn的收敛区间为 .
二、（本题10分）设函数()fx具有二阶连续导数，且(0)0f, 证明：函数 第 2 页 共 3 页 (),0()(0),0fxxgxxfx
实验小学2012年数学竞赛选拔赛试卷
一、填空。（每小题3分，共30分）
1、甲数和乙数的比是2 ：5，乙数和丙数的比是4 ：7，甲、乙、丙三个数的比是（ ）。
2、把一个长方体木块正好锯成两个相同的立方体木块，表面积增加了12平方厘米。原来的长方体木块的表面积是（ ）平方厘米。
3、把24个棱长为3厘米的正方体重叠在一起，
按下图的形式拼成一个立体图形，将它的表面
涂上油漆，这个立体图形的涂漆面积是（ ）平方米。
4、学校分别从2名教师、3名男生、4名女生中任意选一名选手组成一队去参加演讲，一共有( )种选法。
5、从1、3、5、7中任选三个数可以组成( )个无重复数字的三位数。
6、找规律填数：1、4、9、16、25、36、49„„，照这样排列，第385个数是( )。
7、甲、乙、丙三人共有人民币234元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙，第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙，第三次丙拿出与甲相同的钱数给甲，这时三人的钱数相等，原来甲比乙多（ ）元。
8、两个数相除，商是43，余数是4。如果把被除数、除数、商和余数加起来，它们的和是403。被除数是（ ）.
9、甲、乙两数的和是27.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，甲乙两数的积是（ ）。
10、4只羊、5头牛每天吃草115千克，5只羊、4头牛每天吃草101千克，一只羊每天吃草（ ）千克。
二、计算 ①12×4 ＋14×6 ＋16×8 ＋„„＋198×100
②1998×1999-11998+1997×1999
③712 ×38 +112 ×716 +112 ×312
三、图形计算
1、如图，AE=ED,DC=13 BD,S△ABC=21平方厘米。求阴影部分的面积。
2、如图，AB=BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
四、解决问题
1、有一串数1、4、9、16、25、36„„它们是按一定规律排列的，那么其中第3000个数与第3001个数相差多少？
