第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案
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第 1 页（ 共 6 页） 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz，2:11Lxyz，3:11Lxyz的圆柱面的方程.
二、（20分）设nnC是nn复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa.
（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，若AFFA，证明：121112111nnnnAaFaFaFaE；
（2）求nnC的子空间()|nnCFXCFXXF的维数.
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换.如果fggff，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.
四、（10分）设()nfx是定义在,ab上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,ab上满足'()nfxM.（1）证明()nfx在,ab上一致收敛；（2）设()lim()nnfxfx，问()fx是否一定在,ab上处处可导,为什么？
五、（10分）设320sinsinnntatdtt， 证明11nna发散.
六、（15分） (,)fxy是22(,)|1xyxy上二次连续可微函数，满足222222ffxyxy，计算积分
2222221xyxfyfIdxdyxyxyxy.
七、（15分））假设函数 ()fx在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))Af，与点 (1,(1))Bf的直线与曲线 ()yfx相交于点 (,())Ccfc，其中 01c. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ，使
()0f。 第 2 页（ 共 6 页） 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、填空题（共8分，每空2分.）
(1) 设0，则2220xxdxeex=_____________.
(2) 若关于x的方程211(0)kxkx在区间(0,)内有惟一实数解，则常数k_____________.
(3) 设函数()fx在区间[,]ab上连续.由积分中值公式有()()()xaftdtxaf ()axb.若导数()fa存在且非零，则limxaaxa的值等于_____________.
(4) 设()6abc，则()()()abbcac=_____________.
二、（10分）设()fx在(1,1)内有定义，在0x处可导，且(0)0f. 证明: 21(0)lim2nnkkffn.
三、（12分） 设()fx在[0,)上一致连续，且对于固定的[0,)x。当自然数n时()0fxn。证明: 函数序列{()1,2,}fxnn：在[0,1]上一致收敛于0.
四、（12分） 设22{(,):1}Dxyxy，(,)fxy在D内连续，(,)gxy在D内连续有界，且满足条件： (1)
当221xy时，(,)fxy；
(2) 在D中f与g有二阶偏导数， 2222fffexy,2222gggexy。
证明： (,)(,)fxygxy 在D内处处成立.
五、（10分）设 {(,):01;01}Rxyxy， {(,):01;01}Rxyxy.
考虑积分1RdxdyIxy， 1RdxdyIxy，定义0limII。
（1） 证明211nIn；
（2）利用变量替换：1()21()2uxyvyx计算积分I 的值，并由此推出22116nn. 第 3 页（ 共 6 页） 六、（13分） 已知两直线的方程：:Lxyz，:11xyzbLa.（1）问：参数,ab满足什么条件时，L与L是异面直线？
（2）当L与L不重合时，求L绕L旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型.
七、(20分) 设,AB均为n阶半正定实对称矩阵，且满足1ranknAn . 证明: 存在实可逆矩阵C使得TTCACCBC和均为对角阵.
八、(15分) 设V是复数域上的n维线性空间，:jfV(1,2j) 是非零的线性函数。 且线性无关.
证明: 任意的V都可表为12。使得 112()()ff，221()()ff.
参考答案（精简版）
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz，2:11Lxyz，3:11Lxyz的圆柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴0L的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是(1,1,1)n， 且圆柱面经过点(0,0,0)O， 过点(0,0,0)O且垂直于(1,1,1)n的平面的方程为：
0xyz. ……………………………（3分)
与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)OPQ………… （5分)
圆柱面的轴0L是到这三点等距离的点的轨迹， 即
222222222222(1)(1)(1)(1)xyzxyzxyzxyz，
即 11xzyz，……………………………………………（9分)
将0L的方程改为标准方程
11xyz.
圆柱面的半径即为平行直线xyz和11xyz之间的距离. 0(1,1,0)P 第 4 页（ 共 6 页） 为0L上的点. ………………………………………………………………. （12分)
对圆柱面上任意一点(,,)Sxyz， 有00||||||||nPSnPOnn， 即
222(1)(1)(2)6yzxzxy，
所以，所求圆柱面的方程为：
222330xyzxyxzyzxy. ………………. （15分)
二、（20分）设nnC是nn复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa.
（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，若AFFA，证明：
121112111nnnnAaFaFaFaE；
（2）求nnC的子空间()|nnCFXCFXXF的维数.
（1）的证明:记12(,,,)nA，121112111nnnnMaFaFaFaE.要证明MA，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ie记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，()iiiMeAe. ……………………… （2分)
若记11(,,,)Tnnaaa，则23(,,,,)nFeee.注意到，
21212123111,,,()nnnnFeeFeFeeFeFFeFee （*） ….. （6分)
由
12111121111121111121111111112121111...............................................(10()nnnnnnnnnnnnMeaFaFaFaEeaFeaFeaFeaEeaeaeaeaeAe分）
知211112MeMFeFMeFAeAFeAe 第 5 页（ 共 6 页） 2222311113MeMFeFMeFAeAFeAe
11111111nnnnnnMeMFeFMeFAeAFeAe
所以，MA. ………………………….. （14分)
（2）解： 由（1），21(){,,,,}nCFspanEFFF，………… （16分)
设210121nnxExFxFxFO，等式两边同右乘1e，利用（*）得
21101211()nnOexExFxFxFe
21011121110112231.........................(18nnnnxEexFexFexFexexexexe分）
因123,,,,neeee线性无关，故，01210nxxxx…………（19分)
所以，21,,,,nEFFF线性无关.因此，21,,,,nEFFF是()CF的基，特别地，
dim()CFn. ……………………………（20分)
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换.如果fggff，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.
证明：假设0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即0|()WVf.于是，W在f下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，0=0.任取非零W，记m为使得2,(),(),,()mggg线性相关的最小的非负整数，于是，当01im时，2,(),(),,()iggg线性无关…..（2分)
01im时令21{,(),(),,()}iiWspanggg,其中，0{}W.因此，dimiWi（1im），并且，12mmmWWW. 显然，1()iigWW，特别地，mW在g下是不变的. ………………（4分)
下面证明，mW在f下也是不变的.事实上，由0()f，知
00()()()()fggffg…………（5分) 第 6 页（ 共 6 页） 200002000(6.............................()()()(())(())()2()fggfgfgggggg分）
根据
1111()()()()()()kkkkkfggfgfggfgfg
