正切函数图像和性质

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

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1

6.2 正切函数的图像与性质

正切函数图像

（余切函数的图像）

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ 222上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍

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2

例1．求函数tan(2)3yx的定义域、周期和单调区间。

例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与 ；

（2） 与．

例3. 求函数4tanxy的定义域．

例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）167tan与173tan；

（2）411tan与513tan．

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3

例5．若tanα＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

例6．化简：tan3tantan3tan2tan

【当堂训练】

一、选择题

1、下列不等式中，正确的是 ( )

正切函数和余切函数第1页共3页 正切函数和余切函数的图像和性质

知识点：

1.正切函数和余切函数的概念；

2.正切函数与余切函数的图像和性质；

3.正切函数与余切函数性质的应用；

教学过程：

1.正切函数和余切函数的概念：

（1）正切函数---形如tanyx的函数称为正切函数；

余切函数--形如cotyx的函数称为余切函数；

2.函数的图像和性质：

（1）正切函数的图像：

见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：

（3）与切函数的图像：

23223222正切函数和余切函数第2页共3页 归纳填表格：

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ

例1.求下列函数的周期：

（1）tan(3)3yx；

（2）221tgxytgx；

（3）cottanyxx；

（4）22tan21tan2xyx；

（5）sin1tantan2xyxx

例2.求下列函数的单调区间：

（1）tan(2)24yx；

（2）tan()123xy；

（3）123logcot3yx

例3.求下列函数的定义域： 正切函数和余切函数第3页共3页 （1）tan4yx；

（2）12logtanyx；

（3）3cotsincos3yxxx；

例4.（1）求函数22lg[3(31)tantan]9yxxx的定义域；

1.4.3正切函数的性质和图像

【学习目标】：

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2.从正切函数的定义出发得到正切函数的性质；

3.用正切函数图象解决函数有关的性质.

【学习过程】：

一、复习引入

tan



二、合作探究正切函数xytan的性质

1.定义域： .

请同学们类比正弦函数性质的探究过程，完成周期性和奇偶性的探究

2.周期性

由诱导公式 可知，正切函数是周期函数，周期为 .

3.奇偶性

由诱导公式 可知，正切函数是 .

4.单调性

由正切线的变化规律可以得出，正切函数在2,2内是 . 又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都

是 .

5.值域

ATx时，正切线且无限接近大于①当22

ATx时，正切线且无限接近小于②当22

③思考:xtan在2,2有没有最大值和最小值? 答:

正切函数的值域为 .

的终边yxP,OMxy三、正切函数的图像

1.回顾利用正弦线绘制正弦函数图像的方法步骤

2.类比正弦函数，绘制正切函数的图像

3.三点两线法作正切函数的图像时，“三点两线”指的是点 以及线 .作图如下：

四、观察图像、归纳性质