正切函数的图象和性质

典型例题

正切函数的图象和性质

例1 作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间．

分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻（即作出关于x轴对称图像），就可得到y=｜tanx｜的图像．

解：由于y=｜tanx｜= tanx,x∈Z［kπ,kπ+2］

-tanx,x∈（kπ-2,kπ）（k∈Z）

所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2)（k∈Z）;单调减区间为(kπ-2,kπ］（k∈Z）．

说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π．一般地，y=A｜tan（ωx+φ）｜的最小正周期与y=Atan（ωx+φ）的最小正周期相同，均为．

例2 求函数y=lg（tanx-3）+3cos2x的定义域．

解：欲使函数有意义，必须

tanx＞3,

2cosx+3≥0,

x≠kπ+2 （k∈Z）

由此不等式组作图 典型例题

∴函数的定义域为（kπ+3,kπ+2）．

评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法．图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合．三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．

例3 求函数y=tan（2x-3）的单调区间．

解：y=tanx,x∈（-2+kπ, 2+kπ）（k∈Z）是增函数．

∴-2+kπ＜2x-3＜2+kπ,k∈Z．

即-12+2k＜x＜125+2k ，k∈Z

函数y=tan（2x-3）的单调递增区间是（-12+2k,125+ 2k）．（k∈Z）

例4 求函数f（x）=tan（2x+3）的周期．

解：因为tan（2x+3 +π）=tan（2x+3）

即tan［2（x+2）+3］=tan（2x+3）

正切函数的图象和性质

1. 了解利用正切线画出正切函数图象的方法；了解正切曲线的特征；了解正切函数的性质．

2. 理解并掌握利用正切函数的图象和性质解题．

3. 掌握“类比”的学习方法；渗透数形结合，换元法等基本数学思想方法．

➢ 教学重点：

1．正切函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）．

2．充分利用图形讲清正切曲线的特性，通过一定的训练使学生正确了解图象性质（例如定义域必须去掉Zkkx,2各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等）．

➢ 教学难点：

利用正切线画出函数)2,2(,tanxxy的图象，并使直线2x确实称为此图象的两条渐进线．

➢ 教学方法：探究式教学．

➢ 教学过程：

一、复习与引入

1． 在单位圆中复习正切线（AT）的定义．

2． 回忆正弦函数图象的作法（几何法）．

3． 由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象．如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？

二、新课讲授

（一）正切函数的图象

1．由诱导公式，xxxxxxtancossin)cos()sin()tan(，这说明正切函数是周期函数，π是它的一个周期，我们还可以证明，π就是它的最小正周期．

2．说明等式成立的前提条件是)(2Zkkx．

3．利用正弦线在2,2内作出正切函数的图象．（事先作好辅助图象）

4．根据正切函数的周期性，把上述（在2,2内的）图象向左右扩展，即可得到正切函数Rxxy,tan且)(2Zkkx的图象，并把它叫做正切曲线．

（二）正切函数的性质

由正切曲线可以看出，它是被互相平行的直线)(2Zkkx所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线我们成为渐进线。也正是由此，我们得到了正切函数许多独特的性质．（由学生自行讨论，得出下述结论）

前面几节课我们已经学习了正弦函数、余弦函数的图象和性质。首先，我们知道实数集中的每一个元素都有唯一确定的正弦值与之对应，于是我们就有了定义在实数集上的函数：正弦函数。那我们是都可以在实数集上类似的定义一个正切函数y=tan𝑥呢？显然不能。我们回忆一下正切的定义，角的终边和单位圆的交点的纵坐标比上横坐标，但是，要求横坐标不为0，角的终边不在𝑥轴上，也就是角不等于𝑥≠𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍。这样我们写出了正切函数的定义域𝑥∈𝑅 ,𝑥≠𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍.

前面学习的正弦函数余弦函数的时候，我们先借助正弦线用几何作图法画出正弦函数的简图，然后再观察函数图像得到正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值。现在，我们不妨换个角度，先分析函数的性质，再利用性质作图象。我们对照着正弦函数余弦函数的来，首先是周期性：𝑓 𝑥 =𝑓(𝑥+𝑇)，我们回顾一下正切函数的诱导公式，正好有tan(𝑥+𝜋)=tan𝑥 ,可以看出，正切函数的周期是𝜋.

下面我们来看看奇偶性，𝑓 −𝑥 和𝑓(𝑥)之间的关系，我们知道tan −𝑥 =−tan𝑥，可以看出，正切函数时奇函数。这样函数图像就是关于（0,0）中心对称的。

再来看函数的单调性。我们不妨来看看正切函数的定义，角的终边和单位圆的交点的纵坐标比上横坐标，也可以用正切线来刻画。过点A（1,0）作单位圆的切线，它和角的终边或者终边延长线的交点为T，我们称有向线段AT是正切线。我们在四个象限内分别画出正切线，在第一象限和第四象限，直接是角的终边和这条切线的交点，在第二象限和第三象限，是角的终边的延长线和这条切线的交点。我们不妨先观察正切线这个有向线段在一个周期内的变化，随着角度的逐渐变大，正切在逐渐变大。可以看出正切函数在区间 −𝜋2，𝜋2 是单调递增的。这样根据周期性就可以得到，正切函数在（−𝜋2+𝑘𝜋，𝜋2+𝑘𝜋）,𝑘∈𝑍内都是增函数。但是，在整个定义域内都是单调递增的吗？显然不是，因为它是周期函数，总有𝑥+𝜋>𝑥是的𝑓 𝑥+𝜋 =𝑓 𝑥 ，而不是大于。

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《正切函数的性质和图象》的教学设计

作者：闫丽丽 潘殿魁

来源：《中学课程辅导·教师通讯》2014年第06期

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段 龙源期刊网

【教学过程】

八、教学反思