角的概念的推广·典型例题分析

卜人入州八九几市潮王学校角的概念和推广例如解析一.本周教学内容角的概念和推广二.重点、难点本节重点是终边一样的角的概念、象限角的概念【典型例题】[例1]︒-<<︒-630990α，且α与︒120角的终边一样，求α？解：由角α与︒120角终边一样，那么︒+︒⋅=120360K α，Z K ∈令︒-<︒+︒⋅<︒-630120360990K 12121213-<<-K 又由Z K ∈，故3-=K 那么︒-=︒+︒⨯-=9601203603α即所求角α为︒-960[例2]角α是第三象限角，求2α是第几象限角？ 解：由α是第三象限角，那么︒+︒⋅<<︒+︒⋅270360180360K K α，Z K ∈ 当n K2=，Z n ∈时︒+︒⋅<<︒+︒⋅135360290360n n α 当12+=n K ，Z n ∈时︒+︒⋅+<<︒+︒⋅+135180)12(290180)12(n n α︒+︒⋅<<︒+︒⋅3153602270360n n α故2α为第二象限角或者第四象限角 [例3]角α的终边与120°的终边一样，求在︒-360到︒180范围内与3α角终边一样的角的集合。

解：由角α的终边与120°终边一样，那么α︒+︒⋅=120360K ，Z K ∈︒+︒⋅=401203K α令︒<︒+︒⋅≤︒-180********K又由Z K ∈，那么1,0,1,2,3---=K 代入︒+︒⋅=401203K α 得︒︒︒-︒-︒-=160,40,80,200,320α[例4]时针指到3点后，当分针在1小时内走55分钟时，时针到分针的夹角是多少度？解：时针每走1分钟相当于转过︒-=︒-660360的角，故分针一共走过的角度为 时针每走1小时相当于转过︒-=︒-3012360的角，故时针一共走过 因此时针到分针的夹角为︒-=︒--︒-5.212)5.117(330 [例5]在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角是多少度？解：自零时到分针与时针第一次重合，设时针转过︒x ，那么分针转过︒+)360(x ，由时针转过1°相当于经过30136012=小时，故时针转过1°相当于经过2分钟，又分针转过 1°相当于经过61分，故61)360(2⋅+=⋅x x 36011=x 11360=x 因此，当分针与时针第一次重合时，分针转过的角为[例6]{}锐角=A ，{}的角到︒︒=900B ，{}第一象限的角=C ，{}的角小于︒=90D ，求B A ，C A ，D C ，D C解：依题意，有{}︒<<︒=900ααA ，{}︒<≤︒=900ααB由︒≤︒+︒⋅9090360K 得0≤K故{}Z K K K K D C ∈≤︒+︒⋅<<︒⋅=且0,90360360αα [例7]集合{}Z K K K A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036030360αα，{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα，求集合B A 解：{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα利用图象，B A 即图中阴影局部的交 故{}Z K K K B A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036060360αα [例8]{}Z K K A ∈︒±︒⋅==,30120αα，{}Z K K B ∈︒+︒⋅==,9060ββ，那么集合A 和B 有何关系？解：设A ∈θ，那么︒+︒⋅=30120K θ或者︒-︒⋅=30120K θ，Z K ∈ 即︒+︒⋅-=9060)12(K θ或者︒+︒⋅-=9060)22(K θ，故B ∈θ，因此B A ⊆设B ∈θ那么Z K K ∈︒+︒⋅=,9060θ当Z n n K ∈=,2时，︒+︒⋅=90120n θ即θ)1(+=n ︒-︒⋅30120那么A ∈θ；当12-=n K ，Z n ∈时， 即︒+︒⋅=30120n θ，那么A ∈θ因此，A ∈θ，A B ⊆综上，B A =一.选择题1.〕 ①第一象限角是锐角②第二象限角比第一象限角大③三角形的内角是第一或者第二象限角④{}{}的正角小于锐角︒=90 A.0个B.1个C.2个D.3个2.以下表示中不正确的选项是〔〕A.终边在坐标轴上的角的集合是{}Z K K ∈︒⋅=,90ααB.与︒-50的终边一样的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,310360ααC.终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合是{}Z K K ∈︒-︒⋅=,45360αα D.终边在直线x y =上的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,45180αα 3.集合{}Z K K M∈︒⋅==,45αα，{}Z K K N ∈︒±︒⋅==,4590ββ，那么集合M 和N 的关系是〔〕A.≠⊂M N B.N M = C.≠⊃M N D.不确定 二.填空题1.假设α和β的终边满足以下位置关系时，α和β满足怎样的数量关系： 〔1〕重合时，=-βα；〔2〕关于x 轴对称时，=+βα； 〔3〕关于y 轴对称时，=+βα；〔4〕关于原点对称时，=-βα。

角概念的推广一、知识点归纳1．角概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

3．终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

4. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴{}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα Y 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴{}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴{}Z k k ∈︒⨯=,90|αα5、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z二、例题解析例1、自上午8点整上学到中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度？上午8点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度？例2、给出下列命题：①小于90的角是锐角；②第二象限的角是钝角；③相等的角必是终边相同的角；④若角α和β有相同的终边，则βα-的终边必在x 轴的正半轴上.其中正确的命题序号是______________ 例3、已知 1845-=θ，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最小的正角 （2）最大的负角 （3）在720~360-内的角例4、若α为第三象限角，则α-，α2的终边落在何处？练习4.1、已知α为第一象限角，求α21-180是第几象限角.例5、已知α为第三象限角，求32αα，所在的象限 例6、已知集合{}Zk k k A ∈+⋅<<+⋅=,9018030180 αα，集合{}Zk k k A ∈+⋅<<-⋅=,4536045360 αα。

高一数学角的概念的推广试题1.如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（）。

A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴分针拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=【考点】本题主要考查弧度制，集合的关系。

点评：分针转过的角是负角，但这里是将分针拨慢。

2.用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为。

【答案】【解析】终边落在X轴上的角集为{α|α=k•180°，K∈Z}；终边落在Y轴上的角集为{α|α=k•180°+90°，K∈Z}；即{α|α=2k•90°，K∈Z}，{α|α=（2k+1）·90°，K∈Z}，所以可化简为{α|α=n•90°，n∈Z}，即。

【考点】本题主要考查弧度制，轴线（象限界）角的概念及表示。

点评：注意讨论终边在坐标轴上的各种情况，并注意化简。

3.若，则是第象限角。

【答案】一、三．【解析】因为，所以k=2n时，，是第一象限角；当k=2n+1时，，是第三象限角，故答案为是第一、三象限角。

【考点】本题主要考查弧度制，象限角的概念及表示。

点评：注意讨论k的取值。

4.若，则的范围是。

【答案】【解析】因为，所以，，故。

【考点】本题主要考查弧度制，不等式的性质。

点评：易错题，注意本题限定了。

5.一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为。

【答案】【解析】利用弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。

计算弧长与半径之比得。

【考点】本题主要考查弧度制。

点评：扇形中弧长、半径、弦长等关系相互表示，联系密切，应熟练掌握。

弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。

6.把化成的形式是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】除以360，商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1，商为k，余数为，故选D。

【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。

“角的概念的推广”典型例题分析例1在～间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它是哪个象限的角。

（1）（2）（3）解：（1）∵∴的角与的角的终边相同，它是第一象限的角。

（2）∵∴的角与的角的终边相同，它是第四象限的角。

（3）∵，∴的角与的角终边相同，它是第二象限的角。

例2 写出与下列各角终边相同的角的集合T，并把T中在～间的角写出来：（1）；（2）－；（3）解：（1）T中在～间的角是：，（2）T在～间的角是：（3）T在～间的角是：，，例3写出终边落在直线上的角的集合。

分析指导从～间满足条件的角入手。

解:在～间，满足条件的角是和，所以，终边落在上的角的集合为说明本题易错解为这是思维不周密的具体表现。

例4如果角与角具有同一条终边，角与角具有同一条终边，那么与间的关系是（）A．B．C．D．分析指导利用终边相同角的表示，分别建立与，与的关系式，由此寻找与间的关系，对照选择。

解:依题意，（），（），那么∵、是整数，也是整数，用表示，∴故选D。

说明此题易错选B。

误认为，，故例5（1）设是第二象限角，那么是第几象限角？（2）设是第一象限角，那么是第几象限角？解：（1）∵是第二象限角，∴，∴当是偶数（例如）时，是第一象限角；当是奇数（例如，1，－1）时，是第三象限角。

见图1中的阴影部分。

（2）∵是第一象限角，∴，∴当时，，当时，，当时，。

上述三种情况见图2中的阴影部分，分别在第一、第二、第三象限。

不难得知，对于任何整数，也在上述三个象限中。

点拨：请同学们思考：图1与图2中，与所在象限有何特点？你是否可以找出某种规律来。

“弧度制”典型例题分析例1若是第四象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角分析指导从象限角的表示入手。

解:若是第四象限角，则，于是，从而有，所以，在第三象限，故选C。

说明考虑到选择题的特点，可赋特值检验，如取，则在第三象限。

例2若集合，，求分析指导从集合交集的定义出发，可得关于的不等式，由，确定的整数解，从而确定交集的元素即可．解:由交集定义，知，即，∴由，知当时，故说明要逐步习惯在弧度制下进行运算。