凸多边形的最优三角剖分

凸多边形的三角划分卡特林数凸多边形的三角划分问题是指如何将一个凸多边形划分成一些不重叠的三角形。

这个问题在计算几何中具有重要的应用，如有限元分析、多边形网格生成等。

卡特林数是解决凸多边形的三角划分问题的一种计数方法。

卡特林数是一个组合数列，其中第n个卡特林数表示将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。

首先，我们来介绍一下卡特林数的递归关系。

设C(n)表示将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。

我们可以考虑凸n+2边形的一个顶点，将其与其他n+1个顶点分别连接，得到n+1个划分情况。

如果选择的顶点与其他顶点构成一条对角线，那么我们将得到两个凸多边形，分别是一个边长为k+2的凸多边形和一个边长为n-k+1的凸多边形。

其中k的取值范围是0到n，表示选择的对角线一侧顶点的个数。

因此有递推关系式：C(n) = C(0) * C(n) + C(1) * C(n-1) + C(2) * C(n-2) + ...+ C(n) * C(0)其中，C(0) = C(1) = 1，表示一个凸2边形和一个凸3边形的划分数目均为1。

我们可以使用动态规划的方法求解卡特林数。

设一个数组C，其中C[i]表示C(i-2)。

我们从小到大计算C[i]，通过递推关系式可以得到C[n]的值。

最终，C[n]就表示了将一个凸n+2边形划分成三角形的不同划分数目。

利用卡特林数，我们可以解决一些与凸多边形的三角划分相关的问题。

例如，我们可以计算一个凸n+2边形的所有不同划分数目。

对于划分数目较大的情况，我们可以使用大数计算来解决。

另外，卡特林数也可以求解一些特定的凸多边形划分问题。

例如，给定一个凸n+2边形，我们希望找到一条对角线，使得将凸多边形划分成的两个子多边形中，其中一个子多边形有恰好k条边。

我们可以利用卡特林数的递归关系式，在计算中判断划分的结果是否满足要求。

在实际应用中，我们可以将凸多边形的三角划分问题转化为求解卡特林数的问题，并通过动态规划的方法来求解。

凸多边形最优三⾓剖析_动态规划⼀、问题描述多边形的三⾓剖分：将多边形分割成互不相交的三⾓形的弦的集合T。

最优剖析：给定凸多边形的三⾓剖分，使得该三⾓剖分中诸三⾓形上权之和最⼩(是所有的三⾓形的权值之和，不是只计算边和弦的权值之和)。

⼆、解题思路及所选算法策略的可⾏性分析基本思路：动态规划。

最优⼦结构：若凸(n+1)边形p={V0,V1,…,VN}的最优三⾓剖分T包含三⾓形V0VkVn, 1<=k<n。

则T的权为3个部分权的和：三⾓形V0VkVn的权，⼦多边形{V0,V1,…,Vk}和{Vk,Vk+1,…,Vn}的权之和。

可断⾔，有T确定的这2个⼦多⼥性的三⾓剖析也是最优。

因为若有更⼩的三⾓剖析将导致T不是最优的三⾓剖析的⽭盾递归结构：定义t[i][j],1<=i<j<=n为凸⼦多边形{Vi-1，Vi,…,Vj}的最优三⾓剖分所对应的权函数值，即其最优值。

最优剖分包含三⾓形Vi-1VkVj的权，⼦多⼥性{Vi-1,Vi,…,Vk}和{Vk,Vk+1,…,Vj}的权之和。

凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

T[1][n]=min{t[1][k]+t[k+1][n]+w(V0VkVn)|1<=k<n}设退化的多边形{Vi-1,Vi}具有的权值为0，因为此刻够不成多边形。

三、伪代码描述及复杂度分析伪代码：Public class triangle{初始化各点两两相连权重；初始化所有⼆顶点多边形权值为0；//循环求解t[i][j]For(⼦多边形的始末顶点间隔步长){For(起始点位置){该层循环起始点对应末点的位置；求解t[i][j];记录第三点位置；找到最⼩权值位置；}}}复杂度分析：对于n规模的问题，算法需要申请n*n空间的⼆位数组，所以空间复杂度为O(n^2)。

求解问题⽤到三层for循环，所以时间复杂度为O(n^3)。

四、代码实现package 动态规划;public class triangle {private int n;// n多边形private int[][] weight;// 边的权值数组public triangle(int n) {this.n = n;this.weight = new int[n][n];}public static void main(String[] args) {triangle triangulation = new triangle(6);initTriangulation(triangulation);int n = triangulation.getN();// 凸多边形的边数int[][] t = new int[n][n];// t[i][j]表⽰顶点{Vi-1,Vi...Vj}组成的多边形的最优三⾓形剖分的权值 int[][] s = new int[n][n];// s[i][j]表⽰与Vi-1和Vj⼀起构成三⾓形的第三个顶点的位置triangulation.minWeightTriangulation2(triangulation.getN() - 1, t, s);System.out.println(t[1][5]);}// 初始化weight数组的信息public static void initTriangulation(triangle triangulation) {int[][] weight = { { 0, 2, 2, 3, 1, 4 }, { 2, 0, 1, 5, 2, 3 }, { 2, 1, 0, 2, 1, 4 },{ 3, 5, 2, 0, 6, 2 }, { 1, 2, 1, 6, 0, 1 }, { 4, 3, 4, 2, 1, 0 } };triangulation.setWeight(weight);}// 得到最优的三⾓形剖分，n是总边数-1public void minWeightTriangulation(int n, int[][] t, int[][] s) {// 初始化所有的⼆顶点多边形权值为0for (int i = 1; i <= n; i++) {t[i][i] = 0;}// 循环求解t[i][j]for (int r = 2; r <= n; r++) {// (j-i)的范围[2,n]// 当r=2时，循环实际上是在给t赋边的值，即相邻的两个顶点的权值，例如t[1][2],t[2][3]... for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {// i的范围[1,n+1-r]，这⾥i要保证i+r<=nint j = i + r - 1;t[i][j] = t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j);// 这⾥实际上就是k=i// t[i][j] = t[i][i] + t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j)s[i][j] = i;// i-1,i,j// 循环k，范围是[i+1,j-1]，求出最⼩的t[i][j]for (int k = i + 1; k < j; k++) {// k是i和j之间的中间顶点int u = t[i][k] + t[k + 1][j] + getWeight(i - 1, k, j);// 以k作为划分得到的权值if (u < t[i][j]) {// 如果权值更⼩，那么同时更新t[i][j]和s[i][j]t[i][j] = u;s[i][j] = k;}}}}}// 我的写法，在第⼆个循环这⾥不同，没有什么差别，只是我易于我理解public void minWeightTriangulation2(int n, int[][] t, int[][] s) {// 初始化所有的⼆顶点多边形权值为0for (int i = 1; i <= n; i++) {t[i][i] = 0;}// 循环求解t[i][j]for (int r = 1; r <= n; r++) {// r=(j-i)的范围[1,n]// 当r=1时，循环实际上是在给t赋边的值，即相邻的两个顶点的权值，例如t[1][2],t[2][3],t[3][4]... for (int i = 1; i <= n - r; i++) {// i的范围[1,n-r]，这⾥i要保证 j=i+r<=nint j = i + r;t[i][j] = t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j);// 这⾥实际上就是k=i// t[i][j] = t[i][i] + t[i + 1][j] + getWeight(i - 1, i, j)s[i][j] = i;// i-1,i,j// 循环k，范围是[i+1,j-1]，求出最⼩的t[i][j]for (int k = i + 1; k < j; k++) {// k是i和j之间的中间顶点int u = t[i][k] + t[k + 1][j] + getWeight(i - 1, k, j);// 以k作为划分得到的权值if (u < t[i][j]) {// 如果权值更⼩，那么同时更新t[i][j]和s[i][j]t[i][j] = u;s[i][j] = k;}}}}}// 计算⼀个三⾓形的权值之和public int getWeight(int i, int j, int k) {return weight[i][j] + weight[j][k] + weight[i][k];}public int getN() {return n;}public void setN(int n) {this.n = n;}public int[][] getWeight() {return weight;}public void setWeight(int[][] weight) {this.weight = weight;}}五、代码运⾏结果截图。

《算法分析与设计》期末复习题一、选择题1.算法必须具备输入、输出和（ D ）等4个特性。

A．可行性和安全性 B．确定性和易读性C．有穷性和安全性 D．有穷性和确定性2.算法分析中，记号O表示（ B ），记号Ω表示（ A ）A.渐进下界B.渐进上界C.非紧上界D.紧渐进界3.假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。

在某台计算机上实现并完成概算法的时间为t秒。

现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题（ B ）解题方法：3*2^n*64=3*2^xA．n+8 B．n+6C．n+7 D．n+54.设问题规模为N时，某递归算法的时间复杂度记为T(N)，已知T(1)=1，T(N)=2T(N/2)+N/2，用O表示的时间复杂度为（ C ）。

A．O(logN) B．O(N)C．O(NlogN) D．O(N²logN)5.直接或间接调用自身的算法称为（ B ）。

A．贪心算法 B．递归算法C．迭代算法 D．回溯法6.Fibonacci数列中，第4个和第11个数分别是（ D ）。

A．5，89 B．3，89C．5，144 D．3，1447.在有8个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰有（ B ）。

A．6条弦和7个三角形 B．5条弦和6个三角形C．6条弦和6个三角形 D．5条弦和5个三角形8.一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。

A．重叠子问题 B．最优子结构性质C．贪心选择性质 D．定义最优解9.下列哪个问题不用贪心法求解（ C ）。

A．哈夫曼编码问题 B．单源最短路径问题C．最大团问题 D．最小生成树问题10.下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。

A．备忘录法 B．动态规划法C．贪心法 D．回溯法11.下列算法中不能解决0/1背包问题的是（ A ）。

A．贪心法 B．动态规划C．回溯法 D．分支限界法12.下列哪个问题可以用贪心算法求解（ D ）。

2022年职业考证-软考-软件设计师考试全真模拟专项剖析AB卷（带答案）一.综合题(共15题)1.单选题Python 语言的特点不包括（）。

问题1选项A.跨平台、开源B.编译型C.支持面向对象程序设计D.动态编程【答案】B【解析】本题考查python相关问题。

python语义的特点：跨平台、开源、简单易学、面向对象、可移植性、解释性、开源、高级语言、可扩展性、丰富的库、动态编程等等综上所述B选项错误，python不是编译型语言，而是解释型语言。

2.案例题阅读下列说明和代码，回答问题1和问题2，将解答写在答题纸的对应栏内。

【说明】凸多边形是指多边形的任意两点的连线均落在多边形的边界或内部。

相邻的点连线落在多边形边界上，称为边；不相邻的点连线落在多边形内部，称为弦。

假设任意两点连线上均有权重，凸多边形最优三角剖分问题定义为：求将凸多边形划分为不相交的三角形集合，且各三角形权重之和最小的剖分方案。

每个三角形的权重为三条边权重之和。

假设N个点的凸多边形点编号为V1,V2,……,VN,若在VK处将原凸多边形划分为一个三角形V1VkVN，两个子多边形V1,V2,…,Vk和Vk,Vk+1,…VN，得到一个最优的剖分方案，则该最优剖分方案应该包含这两个子凸边形的最优剖分方案。

用m[i][j]表示带你Vi-1,Vi,…Vj构成的凸多边形的最优剖分方案的权重，S[i][j]记录剖分该凸多边形的k值。

则其中：W(Vi-1VkVj)=Wi-1,k＋Wk,j＋Wj,i-1为三角形Vi-1VkVj的权重，Wi-1,k,Wk,j，Wj,i-1分别为该三角形三条边的权重。

求解凸多边形的最优剖分方案，即求解最小剖分的权重及对应的三角形集。

[C代码]＃include＜stdio.h＞＃define N 6 //凸多边形规模int m[N＋1] [N＋1]; //m[i][j]表示多边形Vi-1到Vj最优三角剖分的权值int S[N＋1] [N＋1]； //S[i][j]记录多边形Vi-1到Vj最优三角剖分的k值int W[N＋1] [N＋1]； //凸多边形的权重矩阵，在main函数中输入/*三角形的权重a，b，c，三角形的顶点下标*/int get_ triangle_weight（int a，int b，int c）{return W[a][b]＋W[b][c]＋W[c][a];}/*求解最优值*/void triangle_partition(){int i,r,k,j;int temp;/*初始化*/for(i=1;i{ /*r为子问题规模*/for(i=1;k {（2）;m[i][j]= m[i][j]+m[i+1][j]+get_triangle_weight(i-1,i,j); /*k=j*/S[i][j]=i;for(k=j+1;k { /*计算 [i][j]的最小代价*/temp=m[i][k]+m[k+1][j]+ge_triangle_ weight(i-1,k,j);if((3)){ /*判断是否最小值*/m[i][j]=temp;S[i][j]=k;}}}}}/*输出剖分的三角形i，j：凸多边形的起始点下标*/void print_triangle(int i,int j){if(i==j) return;print_triangle(i,S[i][j]);print_ triangle((4));print(“V%d- -V%d- -V%d\n“,i-1,S[i][j],j);}【问题1】（8分）根据题干说明，填充C代码中的空（1）~（4）。

三角剖分准则三角剖分是计算机图形学中常用的一种技术，用于将一个复杂的几何图形划分为一系列简单的三角形。

三角剖分的准则是指在进行三角剖分时需要遵循的一些原则和规则，以保证生成的三角形具有一定的质量和准确性。

一、凸多边形剖分准则对于一个凸多边形，可以通过在顶点之间连接边来剖分为一系列三角形。

剖分准则要求剖分后的三角形不能相交，每个三角形的内角和应该等于180度。

二、非凸多边形剖分准则对于一个非凸多边形，剖分时需要注意以下几点：1. 任意两个顶点之间的连线不应该穿过多边形的内部，即不应该与多边形的边相交。

2. 任意两个相邻的三角形之间的边不应该相交。

3. 三角形的内角和仍然应该等于180度。

三、Delaunay三角剖分准则Delaunay三角剖分是一种常用的三角剖分方法，它具有一定的优势和特点。

Delaunay三角剖分的准则如下：1. 任意两个相邻的三角形之间的外接圆不应该包含任何其他顶点。

2. 任意一个顶点的相邻三角形的外接圆不应该包含该顶点的任何其他相邻顶点。

3. 三角形的内角和仍然应该等于180度。

Delaunay三角剖分的几何特性使得它在计算机图形学中得到广泛应用，例如在三维建模、地理信息系统和计算机辅助设计等领域。

Delaunay三角剖分的准则保证了生成的三角形具有最大的最小角度，从而提高了三角网格的质量和精度。

四、约束三角剖分准则约束三角剖分是指在进行三角剖分时需要考虑一些额外的约束条件，如边界约束、角度约束等。

约束三角剖分的准则如下：1. 边界约束：剖分的三角形要与给定的边界一致，即边界上的点应该在同一个三角形内。

2. 角度约束：剖分的三角形的最小角度和最大角度应该在一定的范围内。

约束三角剖分可以根据实际需求进行定制，以满足具体的应用场景和要求。

例如在有限元分析中，可以通过约束三角剖分来控制网格的形状和大小，从而提高分析的准确性和效率。

三角剖分准则是进行三角剖分时需要遵循的一些原则和规则，以保证生成的三角形具有一定的质量和准确性。

凸多边形最优三角剖分的最小弦长大家好，今天我们来聊聊一个有趣的话题：凸多边形最优三角剖分的最小弦长。

这个问题听起来有点高深，但其实它就是让我们去找出一种方法，把一个凸多边形分成若干个三角形，使得这些三角形的总周长最小。

这个问题在数学上叫做“平面三角剖分”，是一个非常经典的问题。

那么，这个问题有什么实际应用呢？其实它在很多领域都有用处，比如建筑设计、地理信息系统等等。

下面我们就来详细讲解一下这个问题。

我们要明确一点：凸多边形是什么样的图形呢？凸多边形就是指在一个平面上，由若干个点组成的封闭图形，其中任意两点之间的距离都小于它们之间的线段长度。

换句话说，凸多边形就是一个顶点都在内部的封闭图形。

这样的图形有很多特点，比如它的边界是光滑的，没有凹陷的地方；它的内部是空心的，没有实心的部分；它的面积和周长都是有限的等等。

接下来，我们就要想办法把这个凸多边形分成若干个三角形。

这个问题的关键在于如何找到一个合适的划分方法。

我们知道，一个三角形有三条边，而一个凸多边形有无数条边。

如果我们随便把这个多边形分成若干个小三角形，那么这些小三角形的总周长可能会很大。

所以我们需要找到一种方法，让这些小三角形尽可能地接近彼此，从而使得整个划分方案的总周长最小。

为了解决这个问题，我们可以先从一个简单的问题开始思考：如何把一个三角形分成两个更小的三角形？答案很简单，只要在三角形的一条边的中点处画一条线段即可。

这样一来，原来的大三角形就被分成了两个小三角形，而且这两个小三角形的总周长之和等于原来大三角形的周长减去这条中线段的长度。

这个结论对于任意形状的三角形都是成立的。

那么，对于一个凸多边形来说，我们能不能也用同样的方法来把它分成若干个更小的三角形呢？答案是肯定的。

我们只需要沿着凸多边形的边界一直画线段，直到把它分成若干个小多边形为止。

然后再对每个小多边形重复上面的步骤，把它分成更小的多边形。

这样一来，我们就可以得到一个无穷级数的结果：凸多边形被分成了若干个越来越小的三角形。