复函复习提要
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《公文写作》复习提纲:[1]重点概念:(必弄清楚)1、公文分类2、行文方式3、事务性语体4、法定作者5、公文格式、6、文头、文面7.行文规则8、发文机关9、发文字号10、成文日期11、主题词12、主送13、抄送14、红色反线15、法人16、自然人[2]重点问题:——(重点复习)1、公文的概念、性质、作用?公文写作的特点?2、公文的三大特征?法定十三种行政公文名称、用途3、根据什么选用公文文种? 根据什么确定行文关系?4、公文标题结构以及用词的要求是什么?5、“通知”的定义、种类、名称?通知和通告运用和写法的区别?6 “请示”和”报告”运用.写法以及区别和注意事项7、“函”的特性,请批函与请示的区别?申请与请示的区别8、会议记录与会议纪要的区别?会议写作常用的三种方法及适应范围?10、“计划”有哪些种类和名称?计划的成熟度、方案的写作的四要11、“总结”的主体部分一般写哪四方面内容?什么是标项撮要法?计划与总结的关系?12、合同写作的八大基本款项?意向书、协议书、合同的异同?13、简报的特点、分类、文面格式?编者按的种类与写法14、消息的定义、分类、结构要素及其写法15、规章制度类有哪些文种?掌握分章列条法、总序分条法、逐条贯通法[3]重点练笔:——(已讲授、拟写过的13个文种)1、通知(发布、中转、指挥)2、通告3、通报4、决定5、请示(请批类)6、报告(回复、情况)7、函(问函、复函)8、会议纪要(贯通式、条项式)9、简报稿(消息)10、编者按11、合同(协议书)12、计划:方案(会议方案、活动方案)13、总结(段旨撮要式写法)14、规章制度注意掌握:A、各文种的结构格式及要素B、各文种的写作要领C、各文种在表达上的语言特点(平实、准确、得当)特别提醒:认真、全面、有重点地复习:1、参阅本学期做过的《练习与思考》1-2(考试题型部分与其相似)2、参阅本学期写过的文稿,最好将习作文稿,根据老师的批改,对照正确的文本,再重写一次,加深印象。
《应用写作》复习指导(三)复函的写作1、标题:发文机关+事由+文种例如:财政部关于就医路费报销问题的复函国务院办公厅关于悬挂国徽等问题给湖北省人民政府办公厅的复函2、主送机关:来文的发文机关3、正文:(1)开头:引述来函标题、发文字号(2)主体:做出解答,提出处理意见(3)结尾:“特此函复”“此复。
”4、落款:来文的主送机关例如:关于批准录用×××等××名同志为国家公务员的函××省安全厅:你厅《关于拟录用1996届大中专毕业生的函》(国安政〔1996〕18号)收悉。
根据中共××省委组织部、××省人事厅《关于部分省级机关从1996年应届高校、中专毕业生中考试录用国家公务员和机关工作人员的通知》的规定,经考试、考核合格,批准录用×××等××名同志为国家公务员。
特此函复。
附:录用人员名单××省人事厅一九九六年三月二十九日练习1:按下列来函的内容写一份复函——写作要求:内容要明确,中心要突出;格式要正确,写法要规范(可只写标题、主送机关、正文、发文机关和发文时间几个项目,主送机关、发文机关和发文时间几项内容可虚拟);语言要准确、简明、得体,书写要清楚。
××省人民政府关于请求支持恢复驻京办事处的函××省府函〔1980〕35号北京市人民政府:文化大革命前,我省在北京设立办事处,它对于沟通情况,加强联系,减少接待工作上的麻烦,促进各项工作的发展,起到了较好的作用。
但是,由于林彪、“四人帮”的干扰破坏,在文化大革命初期被迫关团。
现在根据加速社会主义现代化建设的需要,急需恢复我省驻京办事处。
为此,特请给予支持,协助恢复该办事处,并希望将我省原驻北京办事处用房(前门外××街××号)拨给我们继续使用,或另行安排用房。
关于复函格式范文关于复函格式范文精选2篇(一)尊敬的[收信人的姓名],我写信是为了表达对您的关心和感激之情。
首先,我希望借此机会向您表示最诚挚的祝福和良好的健康。
在此之前,我想借此机会告诉您一些令人高兴和鼓舞人心的消息。
我最近得知您在我们社区组织的慈善活动中表现出色,您的善举和奉献精神真的让我们深感敬佩。
您不仅慷慨解囊并捐赠物品,还亲自参与活动,与志愿者一起付出时间和努力。
您的行动无疑对需要帮助的人们带来了温暖和希望。
这种善良和慷慨的精神在当今社会变得越来越珍贵和罕见。
您的行动不仅给人们带来了实质上的帮助,还为他们树立了一个榜样。
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与此同时,我还想借此机会感谢您对我们组织的支持。
您的慷慨捐助为我们的项目提供了宝贵的资源,并为我们的工作带来了长远的影响。
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我在此写信旨在表达我对您的敬意,并向您表示我们组织的感谢之情。
我们真心希望能够继续与您保持联系,并希望能够在未来的项目中再次得到您的支持和帮助。
最后,请接受我最诚挚的祝福和感谢。
祝您和您的家人幸福安康。
衷心的问候,[您的姓名]关于复函格式范文精选2篇(二)制定一个有效的复习计划对于提高学习效率和取得好成绩至关重要。
以下是一个关于复习计划的范文,供参考:复习计划为了准备即将到来的考试,我制定了一个详细的复习计划。
该计划分为三个主要阶段:准备阶段、复习阶段和冲刺阶段。
每个阶段都有特定的目标和安排,以确保我在考试中取得良好的成绩。
在准备阶段,我将收集和整理所有考试相关的资料和文档。
我会仔细研究每一门课程的教材和笔记,以确定重点和难点。
我还会查找过去的试题和模拟考试,以了解考试的形式和类型。
接下来是复习阶段,我将根据每门课程的内容制定具体的复习计划。
我会将每门课程分为更小的主题,并为每个主题设置复习时间。
例如,我会安排一天复习一个主题,并在复习过程中回顾相关的理论知识,并做一些练习题来加深对知识的理解。
复习3—复函的写作5篇范文第一篇:复习3—复函的写作《应用写作》复习指导(三)复函的写作1、标题:发文机关+事由+文种例如:财政部关于就医路费报销问题的复函国务院办公厅关于悬挂国徽等问题给湖北省人民政府办公厅的复函2、主送机关:来文的发文机关3、正文:(1)开头:引述来函标题、发文字号(2)主体:做出解答,提出处理意见(3)结尾:“特此函复”“此复。
”4、落款:来文的主送机关例如:关于批准录用×××等××名同志为国家公务员的函××省安全厅:你厅《关于拟录用1996届大中专毕业生的函》(国安政〔1996〕18号)收悉。
根据中共××省委组织部、××省人事厅《关于部分省级机关从1996年应届高校、中专毕业生中考试录用国家公务员和机关工作人员的通知》的规定,经考试、考核合格,批准录用×××等××名同志为国家公务员。
特此函复。
附:录用人员名单××省人事厅一九九六年三月二十九日练习1:按下列来函的内容写一份复函——写作要求:内容要明确,中心要突出;格式要正确,写法要规范(可只写标题、主送机关、正文、发文机关和发文时间几个项目,主送机关、发文机关和发文时间几项内容可虚拟);语言要准确、简明、得体,书写要清楚。
××省人民政府关于请求支持恢复驻京办事处的函××省府函〔1980〕35号北京市人民政府:文化大革命前,我省在北京设立办事处,它对于沟通情况,加强联系,减少接待工作上的麻烦,促进各项工作的发展,起到了较好的作用。
但是,由于林彪、“四人帮”的干扰破坏,在文化大革命初期被迫关团。
现在根据加速社会主义现代化建设的需要,急需恢复我省驻京办事处。
为此,特请给予支持,协助恢复该办事处,并希望将我省原驻北京办事处用房(前门外××街××号)拨给我们继续使用,或另行安排用房。
应用写作综合练习题一、填空1.主旨材料结构语言是一切文章的构成要素。
2.国务院2000年8月24日发布的《国家行政机关公文处理办法》列出的十三类公文为:(1);命令(2)决定;(3)意见;(4)公告;(5)通告;(6);(7)请示;(8)批复;(9)函,;(10)会议纪要;(11)通知;(12)通报;(13)议案。
3.中共中央办公厅1996年5月3日发布的《中国共产党机关公文处理条例》列出的十四类党的机关常用的公文为:(1);决议(2)决定;(3)指示;(4)意见;(5)通知;(6)通报;(7)报告;(8)请示;(9)-批复;(10)条例;(11)规定;(12函;(13)会议纪要;(14)公报。
4.公文主要具有以下特点:(1) 法定性(2)政策性(3)实用性(4)时效性(5)规范性5.公文的具体功用主要体现在以下几个方面:(1)颁布法规(2)传达指示(3) 反映情况(4)商洽公务(5)宣传教育(6) 依据凭证6.从不同的角度,依照不同的标准,可对公文进行不同的分类,比如,按照行文关系和行文方向的不同,可将公文分为(上行文)、(平行文)、(下行文)三种;按照紧急程度的不同,可将公文分为紧急公文和普通公文两类,紧急公文还分(特急)和(急件)两类;按照有无保密要求的不同,可将公文分为无保密要求的普通公文和有保密要求的文件两类,按照机密等级的不同,还可以将有保密要求的文件分为(绝密)文件、—(机密)文件和(秘密)文件三种;按其具体职能的不同,可将公文分为(法规性)公文、(指挥)性公文、(报请)性公文、(知照)性公文(联系)性公文。
(实录)性公文。
7.人们一般习惯把一份公文划分为三大块,即(眉首)部分、(主体)部分和(版记)部分。
眉首部分又称文头部分,通常公文是由公文份数序号、秘密等级和保密期限、紧急程度、发文机关标识、发文字号、签发人诸要素构成的;主体部分又称行文部分,通常是由标题、主送机关、正文、附件说明、成文日期、公文生效标识、附注等项目构成的;版记部分又称文尾部分,通常是由主题词、抄送机关名称、印发机关、印发时间诸要素构成。
一.填空题(将正确答案填在横线上)1.复参数方程3cos 2sin z t i t =+⋅(t 为参数)的直角坐标方程为 22194x y += . 1.复参数方程4cos 4sin z t i t =+⋅(t 为参数)的直角坐标方程为2216x y +=.2.方程z e i =-的全部解 1(2)2k i π-,(k 为整数).2.方程z e i =的全部解 1(2),(2k i k π+为整数).3.sin Re [,0]zs z= 0 . 3.ln(1)Re [,0]z s z+= 0 . 4.幂级数1(1)nn n i z ∞=+∑的收敛半径是.5. 212zz e dz z -==-⎰Ñ 22i e π. 5.21cos 2z zdz z +==+⎰Ñ2cos 2i π⋅. 二.选择题(将正确答案代号填在括号内.)1.下列等式中,对任意复数z 不成立的等式是( A ) (A )sin 1z ≤;(B )(sin )cos z z '=;(C )1cos ()2i ziz z e e -=+;(D )z z e e =. 1.下列等式中,对任意复数z 不成立的等式是( C ) (A )2Re z z z =+;(B )2z z z =g ;(C )2Ln i π=;(D )sin sin z z =.2.下列函数中,不解析...的函数是( B ) (A )364z z ω=+;(B ) z ω= ; (C )8cos z z ω=⋅ ; ( D )z e ω=.2.下列函数中,不解析...的函数是( C ) (A ) 461z z ω=-+;(B )z e ω=; (C )Re z ω=;( D )23sin z z ω=+. 3.下列结论错误的是( D )(A )0z =是函数41z e z-的三阶极点. (B )Re [,]0z s e ∞=.(C )0z =是函数ln(1)z z+的可去奇点. (D) z =∞是函数1ze 的本性奇点. 3.下列结论错误的是( D ) (A )0z =是函数sin zz的可去奇点; (B )z =∞是函数z e 的本性奇点; (C )0z =是函数2ln(1)z z+的一阶极点.(D) 1Re [,]1z s e ∞=. 4.下列说法错误的是( D )(A )解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数.(B )级数1(45)8nnn i ∞=+∑收敛. (C )若()f z 在00z z δ<-<内解析,则()f z 一定可以在00z z δ<-<内展开成洛朗级数. (D )123i i +<+. 4.下列结论错误的是( D ) (A )343i i +<-.(B) 若()f z 为解析函数,则()i f z 也为解析函数.(C) 在点0z 解析的函数一定可以在点0z 的邻域内展开成泰勒级数. (D) 对于任意的复数()z ≠∞均有|cos |1z ≤. 5.下列结论正确的是 ( A ) (A )11025z dz z ==+⎰Ñ. (B) 若()f z 在0z 不解析,则0()f z '不存在. (C) ()arg f z z =在点06z =-处连续. (D) z =∞为函数1cos z的孤立奇点. 5.下列结论正确的是 ( B )(A )1127z dz i z π==+⎰Ñ. (B)若()f z 在0z 解析,则0()f z '存在. (C) z =∞为函数1sin z的孤立奇点. (D)级数111[]3n n i n∞=+∑收敛. 三.解答下列各题(写出解答过程):1.设51()(1)5f z z z =--+,求方程 ()0f z '=的全部解. 解:由()0f z '=得41z =-.2212(cossin )33i ππ-=+Q ,∴ 4222(cos sin )33z i ππ=+ ∴方程的解为222233sin ),0,1,2,344k k z i k ππππ++=+=1.设61())6f z z i z =-,求方程 ()0f z '=的全部解. 解:由()0f z '= 得5z i =.解:2(cossin )66i i ππ--=+Q , ∴ 52(cos sin )66z i ππ--=+ ∴方程的解为2266sin),0,1,2,3,455k k z i k ππππ-+-+=+=2.判断函数 23()2f x x y i =+ 在复平面内何处可导,何处解析,并求(3)f i '-.解:设2u x =,32v y =,则22,0,0,6,u u v vx y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂.四个偏导数在复平面上都连续, 由C —R 方程得:23x y =. 故()f z 仅在曲线23x y =上可导,在复平面上处处不解析.且因为点3z i =-在曲线23x y =上,所以(3)6f i '-=.3.已知 23(,)3v x y x y y =-,求解析函数 ()f z u iv =+,使 ()3f i i =-.解:∵ 226,33x y v xy v x y ''==-,且 ()z f 解析, ∴ 222()3363y x f z v iv x y i xy z '''=+=-+⋅=23()()(3)f z f z dz z dz z C '===+⎰⎰, 再由()3f i i =-得 3C =故所求函数为 3()3f z z =+.3.已知32(,)3u x y x xy =-,求解析函数 ()f z u iv =+,使 (2)6f i i =-.解:∵ 2233,6x y u x y u xy ''=-=-,从而 ∴ 222()3363x y f z u i u x y xyi z '''=-=-+=23()()(3)f z f z dz z dz z C '===+⎰⎰ , 再由(2)6=-f i i 得 2C i =故所求函数为 3()2f z z i =+.四.计算下列积分:1.计算积分 cos CI zdz π=⎰,其中C 为:沿112z +=的下半部分从132z =-到212z =-的半圆周. 解:由于()cos f z z π= 处处解析,从而积分与路径无关,有12321122cos sin 32---===--⎰I zdz z ππππ.2.计算积分 Ñ23(1)zz e I dz z z ==-⎰. 解: 2()(1)ze f z z z =-在3z =内有两个不解析点, 0,1z z ==分别为简单极点、二级极点 ()()200Re ,0lim lim 1(1)z z z e s f z z f z z →→=⋅==⎡⎤⎣⎦-,()()()2211(1)Re ,1lim[1]lim 0z z z z e s f z z f z z →→-'=-==⎡⎤⎣⎦, 故由留数定理得:Ñ23(1)z z e I dz z z ==-⎰=2{Re [(),0]Re [(),1]}2i s f z s f z i ππ⋅+= 2.计算积分 Ñ23sin (2)z zI dz z z ==-⎰. 解: 2sin ()(2)zf z z z =-在3z =内有两个不解析点, 0,2z z ==分别为可去奇点、二级极点()Re ,00s f z =⎡⎤⎣⎦,()()()2222cos sin 2cos 2sin 2Re ,2lim[2]lim 4z z z z z s f z z f z z →→--'=-==⎡⎤⎣⎦ 故由留数定理得:Ñ23sin (2)z z I dz z z ==-⎰=2{Re [(),0]Re [(),2]}(2cos 2sin 2)2ii s f z s f z ππ⋅+=- 3.计算积分 Ñ671221z z dz z +=+⎰. 解:67()21z f z z =+在:12c z +=内有7个一阶极点127,z z z L由留数定理以及扩充复平面上的留数定理,则71()2Re [(),]k ck f z dz i s f z z π==∑⎰2Re [(),]i s f z π=-∞2112Re [(),0]i s f z z π=812Re [,0]2i s i z z ππ==+ 4.计算积分 222(9)x I dx x +∞-∞=+⎰.解:令222()(9)z f z z =+,则()f z 在上半平面有一个二级极点3z i =,且231Re [(),3]lim[(3)()]12z i s f z i z i f z i→'=-=.于是 12Re [(),3]2126I i s f z i i i πππ=⋅=⋅=.五.求下列函数的级数展式及收敛半径1.将函数 ()z if z i z-=+ 在 z i = 点展开成泰勒级数,并求收敛半径. 解:由于1()212z i z if z z i i z ii --==⋅-++, 而01(1)()212n nn z i z i i i∞=-=--+∑ 所以1111001()(1)()()22212n n n n n n n z iz i i f z z i z i ii i-∞∞+++==--=⋅=-=--+∑∑. 且收敛半径为()2R i i =--=.2.将函数 21()(2)f z z i z =- 在区域 22z i <-<+∞ 内展开成洛朗级数.解:21()(2)f z z i z =-,当22z i <-<+∞时,1111222212i z z i i z iz i==⋅-+-+-10012(2)()22(2)nn n n n i i z i z i z i ∞∞+==--==---∑∑, 因此2101111(2)()()[](2)22(2)n n n i f z z i z z i z z i z i ∞+=---''==⋅=⋅----∑31(2)()nn n n i z i ∞+=+=--∑. 六.证明题:设函数()f z u iv +=在区域 D 内解析,且 962009u v +=. 试证明:()f z 是常数.证 :将 962009u v +=两边分别求对,x y 的导数得,960960x x yy u v u v ''+=⎧⎪⎨''+=⎪⎩ 960690C R x xx x u v u v -''+=⎧⇒⎨''-=⎩代入方程. 解方程组得 ''==0x x u v 又因为函数()f z u iv +=在区域D 内解析,()0()x x f z u iv f z '''=+=⇒=常数.。
一、填空1、2⎝⎭的模长为 ,辐角为 。
2、方程1z e =的解为 。
3。
4、积分122sin c c c zI dz z =+=⎰= ,其中12:||1,:||2,C z C z ==都取正向。
5、幂级数∑∞=0n n nz 3n的收敛半径是_____。
6、2()z f z e =的泰勒展开式是 。
7、3)1z (1-在点z=1处的留数为_____。
8、δ函数的傅氏变换F )]([t δ为 。
9、函数 sin2t 的拉氏变换为 。
二、选择1、复数方程z=3t+it 表示的曲线是( )A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线 2、⎰+=i220zdz ( )A.iB.2iC.3iD.4i3、幂级数n 3n 1z n∞=∑在圆周12z =上是________A 、条件收敛B 、绝对收敛C 、发散D 、不确定4、0z =是函数23tan zz 的 级极点。
A .可去奇点B 本性奇点C .一级极点 D. 二级极点 5、设Q (z )在点z=1处解析,1)-z(z Q(z)f(z)=, 则Res[f(z),1]等于( )A 、(1)QB 、(1)Q -C 、'(1)QD 、'(1)Q -三、计算积分 1、计算积分2s i n ,12Cz dz z z i ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰ 其中:3C z =为正向2、设C 为正向圆周|z|=2,利用留数定理计算积分I=2.1zCze dz z -⎰3、计算cos iz zdz ⎰四、计算1、f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数,试确定m 、n 的值.2、将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数。
3、数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数。
4、求函数21cos ()sin zf z z z-=的孤立奇点,判别其类型,若为极点指出其级数。
11行管1-4班《公文写作》复习提纲:考试时间:18周考试地点:待定[1]重点概念:(必弄清楚)1、公文分类:公文是公务文书的简称。
狭义公文——专指党和国家法定的公文(党14种——国家13种)广义公文——泛指机关常用公务文书,包括:(1)法定公文(13)(2)非法定事务性公文《国家行政机关公文办法》规定了13种文种为法定公文文种:1、命令2、决定3、公告4、通告5、通知6、通报7、议案8、报告9、请示10、批复11、意见12、函13、会议纪要。
(1)按公文内容、性质、作用不同分为:1、规范性公文(条例、规定、办法),2、指导性公文(命令、决定、批复),3、报请性公文(报告、请示),4、商洽性公文(函),5、知照性公文(通报、通知、公告、通告)6记录性公文(会议记录、简报、会议纪要)(2)根据公文行文方向不同分为:1、上行文(报告、请示、意见);2、平行文(函、议案、);3、下行文(命令、决定、批复、通知)4、广行文(通告、公告)(3)根据公文发行、传递范围不同分::1、机密公文2、公布公文(对社会公开发文)3、内部公文(机关内部)(4)按公文作者性质分(方便管理):1、党务公文2、行政公文3、群团公文5)按公文文种性质分1、法定公文(行政公文13种)2、非法定公文(杂体通用公文)(6)按文件的接受对象不同分:1、主送件(主要受文对象)2、抄送件(相关受文对象)(7)按公文处理要求不同分:1、承办性公文(必具体办理。
——对应主送件)2、参阅性公文(不需办理,只参考——对应抄送件)(8)按公文处理时限要求分:文件分:特急,急件,平件。
(9)公文涉密程度分为:绝密(1级)时限(?年)机密(2级)时限(?年)国家密级标志:★秘密(3级)时限(?年)例:机密★5年2、行文方式:是根据工作需要和机关单位的组织关系确定的行文的方法和形式。
从确定收文机关或行文对象的范围分:1、逐级行文——直接向下或向上2、越级行文——越过直接下级或上级3、多级行文——又称呈、转一次性行文普发行文——直达基层组织和群众的行文通行行文——向隶属和非隶属机关以及社会群众一次性行文(媒体)按照公文传递途径不同分1、直接行文——没有隶属关系机关之间横向用平行文直接行文2、间接行文——通过其他机关批转或转发行文3、授权行文——通过委托授权,由其他机关或个人代表本纪观、本部门对外行文(新闻机构、律师、办公室)根据发文机关的数量划分:1、单独行文:一个机关署名制发文件2、联合行文:两个或两个以上机关联合制发文件3、事务性语体:叫公文语体,是国家机关、社会团体以及人民群众之间相互处理行政公务所用的一种语体。
公文写作复习提纲一、草拟公文前应注意什么?(1)正确领会决策意图。
(2)全面了解行文背景。
(3)调查研究,充分占有资料。
(4)熟悉有关的法律、法规、政策等。
(5)视情况确定行文方式。
(6)设计文稿的框架结构。
二、行文的基本规则有哪些?(1)根据机关隶属关系和职责范围行文的原则。
(2)行文由办公部门、秘书部门统一处理的原则。
(3)公文不直接报领导者个人的原则。
(4)非特殊情况不越级行文原则。
(5)同级机关可以联合行文的原则。
(6)部门会签未经协调一致不得各自单独行文的原则。
(7)请示性公文一事一文和不向下级抄送的原则。
(8)受双重领导的单位上报的请示公文,应写明主送单位和抄送单位,由主送单位答复请示的问题。
三、认真辨析词语的确切含义经反复核查证明,XXX、XXX确曾在1987年9月间收受过XX公司的巨额贿款(每人分别收受现金5万元),已构成受贿罪。
案发后,二人还与业务员XX订立攻守同盟,妄图掩盖过错。
辨析下列词语:A、以至B、以致情势的发展十分迅速,()使很多人感到惊奇。
A、熟悉B、熟习大家彼此()A、学历B、学力他早年以高中毕业的同等()考入清华大学。
A、骇人听闻B、耸人听闻山西某地发生一起()的假酒案。
四、注意数词的用法:数只能用于数目的增加,不能用于数目的减少。
分数既可用于数目增加,也可用于数目减少。
表达数目增减必须拿原来的数目做基数,不能拿增减后的数目做基数。
数量增减有一套习惯用语:第一、表示数量增加的:增加(了)、增长(了)、上升(了)、提高(了)一一不包括底数,指净增数。
增加到(为)、增长到(为)、上升到(为)一一包括底数,指增加后的总数。
第二、表示数量减少的:减少(了)、减低(了)、下降(了)一一指差额。
减少到(为)、降低到(为)、下降到(为)一一指减少后的余数。
例题(1)今年风调雨顺,管理工作也搞得好,我乡粮食产量超过了去年同期产量的15机(2)今年第一季度XX储蓄所存款额猛增,达到XX万元,和去年同期相比,增加到30%。
第一章 复数与复变函数【本章教学目的和要求】:(1)熟练掌握复数的各种表示方法及其运算,了解复数运算的几何意义;(2)理解区域,单连通区域,复连通区域和复球面等概念;(3)掌握一些曲线的复数表达式;(4)理解复变函数的概念,了解复变函数的极限和连续的概念。
【本章重点、难点】复数的运算,用复数方程表示曲线§1.1复数1、 复数域:1)概念:每个复数z 具有iy x +的形状,其中x 和R y ∈,1-=i 是虚数单位;x 和y 分别称为z 的实部和虚部,分别记作z x Re =,z y Im =。
2)复数相等:复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
3)共轭复数:4)复数的四则运算定义为:2、 复平面:C 也可以看成平面2R ,我们称为复平面。
作映射:),(:2y x iy x z R C +=→,则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴;3、模与幅角:1)向量的长度称为复数的模,定义为:22||y x z +=; 若00=⇔=z z2)幅角:向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角,定义为:i xy z π2arctan Arg +=(Z k ∈)。
3)复数的三角形式与指数形式表示:三角表示定义为:)sin (cos ||Argz i Argz z z +=指数表示:θi re z =4)开方公式:n k i n n e z z πθ2+= (1,2,1,0-=n k )4.三点共线问题:两点的参数方程§1.2复平面上的点集1 .概念:领域、内点,外点、边界点、开集与闭集2 .区域3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域§1.3复变函数1、单值函数与多值函数 2、极限与连续性: 3、 复变函数等价于两个实变量的实值函数:若iy x z +=,),(),()(Im )(Re y x iv y x u z f i z f w +=+=,则)(z f w =等价于两个二元实变函数),(y x u u =和),(y x v v =。
§1.4复球面与无穷远点1、 引入一个新的非正常复数无穷远点∞,称}{∞⋃C 为扩充复平面,记为∞C 。
2、 无穷远点∞的邻域:ε1>z 与去心邻域:+∞<<z ε1第二章 解析函数【本章教学目的和要求】(1) 了解复变函数的可导与微分的概念;(2)理解解析的概念;(3)熟悉复变函数解析的充分条件;(4 ) 了解初等解析函数主要性质。
【重点、难点】函数解析性的判断,解析函数的充要条件第一节、 解析函数概念与Cauchy-Riemann 条件1、 复变函数的导数与微分2、 解析函数及简单性质:1)定义:如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导,则称)(z f 在0z 处解析注1、解析性与可导性:在一个点的可导性是一个局部概念,而解析性是一个整体概念;注2、函数在一个点解析,是指在这个点的某个邻域内解析,因此在此点可导;反之,在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
2)解析函数的四则运算:3、Cauchy-Riemann 条件:定理2.1(点可微必要条件)、定理2.2(点可微充要条件)、定理2.3(点可微充分条件)定理2.4(区域解析的充要条件)定理2.5(区域解析的充分条件)注解2、解析函数的导数形式更简洁:注解3、利用此定理,可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析:如ixy y x z z f 2)()(222+-==以及y ie y e z f x x sin cos )(+=在整个复平面内解析,而iy x z z f -==)(在任何点都不可微。
第二节:初等函数1、 指数函数:定义复指数函数,为)sin (cos ex p y i y e z e w x z +=== 从定义得z z e e =; ,2,1,0,2±±=+=k k y Arge z π指数函数是周期i π2为其基本周期函数;指数函数z e w =在整个复平面内有定义并且解析, ()z z e e ='2、 三角函数与双曲函数:当0=x 时,上述复指数函数)sin (cos y i y e iy +=,)sin (cos y i y e iy -=-, 从而得到:2cos ,2sin iyiyiy iy e e y i e e y --+=-=。
我们规定2cos ,2sin iziz iz iz e e z i e e z --+=-=并分别称为z 的正弦函数和余弦函数。
z sin 是奇函数,z cos 是偶函数;在z 平面上是解析的,且.sin )(cos ,cos )(sin z z z z -='=';z sin 及z cos 是π2为周期的周期函数。
z sin 的零点为),1,0(, ±==n n z π,z cos 的零点为.21ππ+=n z事实上,0sin =z 可以写成.12=iz e 如令,ib a z +=即写成i n i e e e παβ2221==-故),1,0(22,12 ±===-n n e παβ,即:.,0παβn ==所以),1,0(, ±==n n z π是z sin 的零点。
在复数域内不能再断言.1cos ,1sin ≤≤z z第三节 初等多值函数1 根式函数(1)定义:我们规定根式函数n z w =为幂函数n w z =的反函数。
),1,0(2arg ±===+k e z z w n k z i n n π⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n k n n k T k ππϕππ22: )1,,1,0(-=n k都变成z 平面上除去原点及负实轴的区域。
这是函数(1)的单叶性区域的分法。
(2)分出n z w =的单值解析分支(3)n z w =的支点和支割线一般是具有这样性质的点,使得当变点z 绕这点旋转一周时,多值函数从一支变为另一支,也就是说哦,当变点回到原位置的时候,函数值与原来的函数值相异,这样的性质的点,就称为支点。
n z w =是以∞==z z ,0为支点的。
用来割破z 平面,借以分出n z w =的单值解析分支的割线,称为n z w =的支割线2 对数函数(1)定义:我们规定对数函数是指数函数w e z =的反函数。
即若()∞≠=,0z e z w (3)则复数w 为复数z 的对数,记为.Lnz w =令,,iv u w re z i +==θ则(3)就是z re e e i iv u w ===+θ因而() ,1,02,ln ±=+==k k v r u πθ故方程(3)的全部根是() ,1,0),2(ln ±=++==k k i r Lnz w πθ或)2(arg ln ln πk z i z iArgz z Lnz ++=+=z ln 称为Lnz 的主值,于是z i z z arg ln ln +=。
(2)分出.Lnz w =的单值解析分支()()()() ,1,0),2(ln ±=++==k k i z r Lnz w k k πθ.Lnz w =仍以∞==z z ,0为支点3、一般幂函数与一般指数函数)arg ,01(ln 2ln πππ≤<-===z e e z w i k a z a a()παααk i z zLn z e e w 2ln +===第三章 复变函数的积分【本章教学目的和要求】(1) 理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质;(2) 掌握复变函数积分的计算方法;(3) 掌握Cauchy 积分定理及其推论;(4) 熟练掌握用Cauchy 积分公式及高阶导数公式计算积分。
【重点、难点】柯西积分定理,柯西积分公式及高阶导数公式§1.复积分的概念及其简单性质1、复变函数的积分的定义:f (z )沿曲线C 的积分,记为.d )(⎰Cz z f 于是我们有:,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u zz f C C C ++-=⎰⎰⎰积分换元法:t t z t z f z z f TtC d )('))((d )(0⎰⎰=, 2.复变函数积分的基本性质:设f (z )及g (z )在简单曲线C 上连续,则有(1)是一个复常数;其中ααα,d )(d )(⎰⎰=CC z z f z z f (2);d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰+=+CC C z z g z z f z z g z f (3)⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21,其中曲线C 是有光滑的曲线nC C C ,...,,21连接而成;(4),d )(d )(⎰⎰-=-C C z z f z z f 。
(5)()()k nk k n k k k z f z f ∆≤∆∑∑==11ζζ定理3.2(积分估值)如果在C 上,|f (z )|<M ,而L 是曲线C 的长度,其中M 及L 都是有限的正数,那么有ML z z f C≤⎰|d )(|,例、设C 是圆ρα=-||z ,其中α是一个复数,ρ是一个正数,那么按反时针方向所取的积分()⎩⎨⎧≠==-⎰的整数)1(,0)1(,2d n n i z z C nπα §2.柯西积分定理1.柯西积分定理定理3.3 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数,C 是D 内的任一条周线,那么0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的定理3.4 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数,C 是D 内任一闭曲线(不必是简单的),那么0d )(=⎰C z z f . 推论3.5 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数,则f (z )在D 内与积分路线无关。
即对D 内任意两点10,z z ,积分 ()010=⎰dz z f z z 之值不依赖于D 内连接10,z z 的曲线。
2. 不定积分定理3.6 设f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则由上式定义的函数()z F 在D 内解析,且)()('00z f z F =。
定理3.7 (1)设f (z )在单连通区域D 内连续;(2)⎰Cd f ζζ)(区域D 内任意周线的积分值为零,则函数 ⎰=zz d f z F 0)()(ζζ(0z 为D 内定点) 在D 内解析,且)()('z f z F =.定理3.8 设f (z )是区域D 内的连续函数,并且在D 内有原函数F (z )。