复变双曲函数

复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。

3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。

（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。

2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。

双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。

定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。

因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。

在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。

定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。

双曲函数双曲函数在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

也类似于三角函数的推导。

反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录定义介绍双曲函数实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开定义介绍实变双曲函数复变双曲函数1、定义2、性质反双曲函数三角函数恒等式加法公式减法公式二倍角公式半角公式三倍角公式导数不定积分级数表示实际应用1、阻尼落体2、导线电容3、粒子运动4、非线性方程悬链线数学证明参考文献展开编辑本段定义双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。

编辑本段介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。

基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。

一元三次方程的解法十三——双曲余弦函数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式的双曲余弦函数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。

一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。

3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。

二.复变函数法4.双曲余弦函数法4.1标准方程假设q ≠0,则x ≠0。

令x =ρ双曲余弦Cosh [θ],ρ,θ为复数,且ρ≠0。

代入标准方程可得ρ3Cosh 3[θ]+p ρ双曲余弦Cosh [θ]+q =0即Cosh 3[θ]+pρ2双曲余弦Cosh [θ]+q ρ3=0习知公式：双曲余弦Cosh [3θ]=-3双曲余弦Cosh [θ]+4Cosh 3[θ],即Cosh 3[θ]-34双曲余弦Cosh [θ]-14双曲余弦Cosh [3θ]=0两式比较,得p ρ2=-34,qρ3=-14双曲余弦Cosh [3θ]。

解得：ρ=±3双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 代入可得x =±3双曲余弦Cosh [θ]。

其中,θ满足双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 3/2解双曲余弦Cosh [3θ]==2p 得θ=132p +2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh2p +2n ⅈπ解双曲余弦Cosh [3θ]⩵-2p 3/2得θ=13-2p 3/2+2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh-2p +2n ⅈπ取ρ=3θ=反双曲余弦ArcCosh-2p ,则标准方程三根为：x 1=ρ双曲余弦Cosh θ3 ,x 2=ρ双曲余弦Cosh θ-2πI 3,x 3=ρ双曲余弦Cosh θ+2πI3 。

巧用复变函数知识解答双曲线题引言双曲线是数学中一种重要的曲线形式，它在很多领域中都有广泛的应用。

在解答双曲线题目时，我们可以巧妙地运用复变函数知识，来简化问题的求解过程。

本文将介绍一些使用复变函数知识解答双曲线题目的方法和技巧。

第一节：复变函数和双曲线的关系复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以通过实部和虚部来表示。

在双曲线的图形中，我们可以通过复变函数的实部和虚部来描述双曲线的性质和方程。

例如，双曲线的焦点和准线可以通过复变函数的零点和极点来描述。

另外，复变函数的解析性质也可以帮助我们简化双曲线的求解过程。

第二节：使用复变函数求解双曲线问题的例子以下是一个使用复变函数知识解答双曲线题目的例子：问题：已知一个双曲线的焦点为(-1,0)和(1,0)，离心率为2，求该双曲线的方程。

解答：首先，我们可以使用复变函数的方法将该双曲线的方程转化为标准形式。

令复变函数为f(z)，则双曲线的方程可以表示为Im(f(z))=0。

根据已知条件，我们可以得到复变函数的零点为-1和1，极点为±i。

因此，我们可以构造一个复变函数f(z)=(z+1)(z-1)/(z+i)(z-i)。

通过对复变函数进行分析，我们可以得到双曲线的方程为Im((z+1)(z-1)/(z+i)(z-i))=0。

第三节：总结通过以上的例子，我们可以看到复变函数知识在解答双曲线题目中的应用。

通过合理选择复变函数，并利用复变函数的解析性质，我们可以简化双曲线的求解过程，从而更容易得到问题的解答。

希望本文介绍的方法和技巧对您在解答双曲线题目时有所帮助。

参考文献- [参考文献1]- [参考文献2]。

复变函数与解析函数专业：工程力学 姓名：李小龙 学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。

一、 基本概念1、 复数 指数表示：cos sin ,i i e i z re r z Argzθθθθθ=+===宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。

若θ是z 的辐角，则2n θπ+也是其辐角，其中,n Z Z ∈是整数集合，若限制2θπ≤<，所得的单值分支称为主值分支，记作argz 。

做球面与复平面相切于原点O ，过O 点作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N ，即球的北极。

设z 是任意复数，连接Nz ，与复球面交于P ，z 与P 一一对应，故复数也可用球面上的点P 表示，该球面称为复球面。

当,z P N →∞→，作为N 的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作∞，包括∞的复平面称为扩充复平面。

2、 复变函数领域：由等式0z z ε-<所确定的点集，称为0z 的ε领域，记作0(,)N z ε，即以0z 为中心，ε为半径的开圆（不包括圆周）。

区域：非空点集D 若满足：一、D 是开集，二、D 是连通的，即D 中任意两点均可以用全属于D 的折线连接。

则我们称D 为区域。

单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D 称为单通区域，否则称为复通区域。

复变函数：以复数为自变量的函数。

记 ,z x iy w u iv =+=+ 则：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。

它给出了z 平面到w 平面的映射或变换。

复变函数的连续性： 如果00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续。

3、 解析函数复变函数的导数：复变函数()w f z =定义在区域D 上，0z D ∈，如果极限0000()()limlim z z f z z f z wz z ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称()w f z =在0z 处可导或可微（differentiable ），且该极限称为()w f z =在0z 处的导数或微商（derivative ），记作：00'00000()()()lim lim z z z zz z f z z f z dw df wf z dz dz z z==∆→∆→+∆-∆====∆∆ 解析函数：若函数f(z)在区域D 内可导，则称为区域D 内的解析函数，也称全纯函数。

《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。

已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。

先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。

（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。

（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。

（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。

1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。

2、使学生了解区域的概念。

3、使学生了解复球面与无穷远点。

4、使学生理解复变函数概念。

教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。