python 牛顿插值法

牛顿插值法python代码牛顿插值法是一种用于构造插值多项式的数值方法。

它的基本思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数，从而实现对数据的近似和预测。

牛顿插值法的原理相对简单，但应用广泛，尤其是在数值计算和数据分析领域。

牛顿插值法的核心思想是利用已知的数据点和对应的函数值，通过差商的概念构造一个多项式函数。

这个多项式函数称为牛顿插值多项式。

牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f(x0)、f[x0,x1]、f[x0,x1,x2]等表示差商，表示对应的数据点的函数值。

差商的计算可以通过递归的方式进行，具体的计算公式如下：f[xi] = f(xi)f[xi,xi+1,...,xi+m] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+m] - f[xi,xi+1,...,xi+m-1]) / (xi+m - xi)牛顿插值法的优点是计算简单，效率高。

它适用于任意的数据点，而不仅仅是等间隔的数据点。

另外，牛顿插值法还可以通过增加数据点来改进插值结果，具有很好的灵活性。

在实际应用中，牛顿插值法常用于数据的拟合和插值。

例如，可以利用已知的数据点构造出一个牛顿插值多项式，然后利用该多项式对未知的数据进行预测。

牛顿插值法还可以用于信号处理和图像处理等领域，例如通过已知的离散数据点构造出一个插值函数，从而实现对连续信号或图像的处理和分析。

下面通过一个具体的例子来说明牛顿插值法的应用。

假设我们有一组离散的数据点，表示某个函数在不同位置的取值。

我们希望通过这些数据点构造一个多项式函数，从而对未知位置的函数值进行预测。

我们需要确定要构造的多项式的次数。

次数越高，多项式的拟合效果越好，但也会增加计算的复杂度。

在确定了次数之后，我们可以利用差商的计算公式来计算各个差商的值。

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

⽜顿插值法——⽤Python进⾏数值计算 拉格朗⽇插值法的最⼤⽑病就是每次引⼊⼀个新的插值节点，基函数都要发⽣变化，这在⼀些实际⽣产环境中是不合适的，有时候会不断的有新的测量数据加⼊插值节点集，因此，通过寻找n个插值节点构造的的插值函数与n+1个插值节点构造的插值函数之间的关系，形成了⽜顿插值法。

推演⽜顿插值法的⽅式是归纳法，也就是计算Ln（x）- Ln+1（x），并且从n=1开始不断的迭代来计算n+1时的插值函数。

⽜顿插值法的公式是： 注意：在程序中我⽤W 代替 计算⽜顿插值函数关键是要计算差商，n阶差商的表⽰⽅式如下：　关于差商我在这⾥并不讨论 计算n阶差商的公式是这样： 很明显计算n阶差商需要利⽤到两个n-1阶差商，这样在编程的时候很容易想到利⽤递归来实现计算n阶差商，不过需要注意的是递归有栈溢出的潜在危险，在计算差商的时候更是如此，每⼀层递归都会包含两个递归，递归的总次数呈满⼆叉树分布： 这意味着递归次数会急剧增加:(。

所以在具体的应⽤中还需要根据应⽤来改变思路或者优化代码。

废话少说，放码过来。

⾸先写最关键的⼀步，也就是计算n阶差商："""@brief: 计算n阶差商 f[x0, x1, x2 ... xn]@param: xi 所有插值节点的横坐标集合 o@param: fi 所有插值节点的纵坐标集合 / \@return: 返回xi的i阶差商(i为xi长度减1) o o@notice: a. 必须确保xi与fi长度相等 / \ / \b. 由于⽤到了递归，所以留意不要爆栈了. o o o oc. 递归减递归(每层递归包含两个递归函数), 每层递归次数呈⼆次幂增长，总次数是⼀个满⼆叉树的所有节点数量(所以极易栈溢出) """def get_order_diff_quot(xi = [], fi = []):if len(xi) > 2 and len(fi) > 2:return (get_order_diff_quot(xi[:len(xi) - 1], fi[:len(fi) - 1]) - get_order_diff_quot(xi[1:len(xi)], fi[1:len(fi)])) / float(xi[0] - xi[-1])return (fi[0] - fi[1]) / float(xi[0] - xi[1]) 看上⾯的⽜顿插值函数公式，有了差商，还差 这个就⽐较好实现了："""@brief: 获得Wi(x)函数;Wi的含义举例 W1 = (x - x0); W2 = (x - x0)(x - x1); W3 = (x - x0)(x - x1)(x - x2)@param: i i阶(i次多项式)@param: xi 所有插值节点的横坐标集合@return: 返回Wi(x)函数"""def get_Wi(i = 0, xi = []):def Wi(x):result = 1.0for each in range(i):result *= (x - xi[each])return resultreturn Wi OK，⽜顿插值法最重要的两部分都有了，下⾯就是将这两部分组合成⽜顿插值函数，如果是c之类的语⾔就需要保存⼀些中间数据了，我利⽤了Python的闭包直接返回⼀个⽜顿插值函数，闭包可以利⽤到它所处的函数之中的上下⽂数据。

python 牛顿插值法摘要：一、牛顿插值法简介1.牛顿插值法的定义2.牛顿插值法的基本原理二、Python牛顿插值法1.Python牛顿插值法的实现2.Python牛顿插值法的应用三、Python牛顿插值法的优势1.高效计算2.广泛适用性正文：一、牛顿插值法简介牛顿插值法是一种代数插值方法，通过计算插值节点之间的差商来确定插值多项式的系数。

这种方法可以用于求解方程、计算函数值等问题。

牛顿插值法的定义如下：设已知函数$f(x)$ 在$x_1, x_2, ldots, x_n$ 处有值$y_1, y_2, ldots, y_n$，则插值多项式$P(x)$ 满足：$$P(x) = sum_{i=1}^{n} y_i cdot prod_{j=1, jeq i}^{n} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$x_i$ 称为插值节点，$y_i$ 称为插值节点处的函数值。

牛顿插值法的基本原理是通过插值节点之间的差商来确定插值多项式的系数。

具体来说，设$x_i$ 是插值节点，$y_i$ 是$x_i$ 处的函数值，$x$ 是待求解的点，则插值多项式在$x$ 处的值可以表示为：$$P(x) = y_i + frac{y_i - y_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}(x - x_i)$$其中，$i$ 表示第一个满足$x_i leq x < x_{i+1}$ 的整数。

二、Python牛顿插值法Python牛顿插值法是利用牛顿插值法来解决数学问题的一种编程方法。

可以通过编写Python程序来实现牛顿插值法，从而在计算中更加高效地找到插值节点，并且可以适用于各种数学问题，如求解方程、计算函数值等。

以下是使用Python实现牛顿插值法的示例代码：```pythondef newton_interpolation(x_list, y_list, x):n = len(x_list)p = [0] * (n + 1)p[0] = y_list[0]for i in range(1, n):p[i] = (y_list[i] - y_list[i - 1]) / (x_list[i] - x_list[i - 1]) * (x -x_list[i - 1]) + y_list[i]p[n] = (y_list[n] - y_list[n - 1]) / (x_list[n] - x_list[n - 1]) * (x -x_list[n - 1]) + y_list[n]return p[n]```该函数接受三个参数：插值节点的列表`x_list`，插值节点处的函数值的列表`y_list`，以及待求解的点`x`。

详解Python⽜顿插值法⽬录⼀、⽜顿多项式⼆、例题三、ACcode:⼀、⽜顿多项式拉格朗⽇多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。

但很多时候我们需要从若⼲个逼近多项式选择⼀个。

这个时候我们就需要⼀个具有递推关系的⽅法来构造——⽜顿多项式这⾥的的a0，a1…等可以通过逐⼀带⼊点的值来求得。

但是当项数多起来时，会发现式⼦变得很⼤，这个时候我们便要引⼊差商的概念（利⽤差分思想）具体见式⼦能更好理解这⾥在编程实现中我们可以推出相应的差商推导⽅程d(k,0)=y(k)d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))⼆、例题【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。

利⽤多个（最多为6个）节点构造⽜顿插值多项式。

【输⼊形式】在屏幕上依次输⼊在区间[0,3]内的⼀个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。

【输出形式】输出⽜顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使⽤科学计数法，保留⼩数点后6位有数字）。

【样例1输⼊】0.80 0.5 1【样例1输出】-0.429726-0.029972111 0 00.877583 -0.244835 00.540302 -0.674561 -0.4297260.7009984.291237e-03【样例1说明】输⼊：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。

输出：⽜顿插值多项式系数向量，表⽰P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；3⾏3列的差商矩阵；当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)【评分标准】根据输⼊得到的输出准确三、ACcode:C++(后⾯还有python代码）/** @Author: csc* @Date: 2021-04-30 08:52:45* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp*/#include <bits/stdc++.h>#define pr printf#define sc scanf#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)#define pb push_back#define eb emplace_back#define fi first#define se second#define int long long#define pii pair<int, int>#define vi vector<int>#define vii vector<vector<int>>#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define sq(x) ((x) * (x))#define sz(x) x.size()const int N = 2e5 + 100;const int mod = 1e9 + 7;namespace often{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}int fact(int n){int res = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)res = res * 1ll * i % mod;return res;}int C(int n, int k){return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) % mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) % mod; }int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = y;y = x - (a / b) * y;x = t;return res;}int invmod(int a, int mod){int x, y;exgcd(a, mod, x, y);x %= mod;if (x < 0)x += mod;return x;}}using namespace often;using namespace std;int n;signed main(){auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {v.emplace_back(0);vector<double> _ = v;int m = sz(v);for (int i = 1; i < m; i++)v[i] += er * _[i - 1];};auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {double res = 0.0;int m = sz(c);for (int ii = 0; ii < m; ii++)res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));return res;};int __ = 1;while (__--){double _x, temp;cin >> _x;vector<double> x, y;while (cin >> temp)x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));n = x.size();vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));int i, j;for0(i, n) a[i][0] = y[i];forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]); vector<double> v;v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);forba(i, 0, n - 2){polymul(v, -x[i]);int l = sz(v);v[l - 1] += a[i][i];}for0(i, n)pr("%g\n", v[i]);for0(i, n){for0(j, n)pr("%g ", a[i][j]);puts("");}double _y = polyval(v, _x);pr("%g\n", _y);pr("%.6e",fabs(_y-cos(_x)));}return 0;}python代码'''Author: cscDate: 2021-04-29 23:00:57LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07LastEditors: Please set LastEditorsDescription: In User Settings EditFilePath: \code_py\newton_.py'''import numpy as npdef difference_quotient(x, y):n = len(x)a = np.zeros([n, n], dtype=float)for i in range(n):a[i][0] = y[i]for j in range(1, n):for i in range(j, n):a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])return adef newton(x, y, _x):a = difference_quotient(x, y)n = len(x)s = a[n-1][n-1]j = n-2while j >= 0:s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d([x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))j -= 1for i in range(n):print('%g' % s[n-1-i])for i in range(n):for j in range(n):print('%g' % a[i][j], end=' ')_y = np.polyval(s, _x)print('%g' % _y)# re_errreal_y = np.cos(_x)err = abs(_y-real_y)print('%.6e' % err)def main():_x = float(input())x = list(map(float, input().split()))y = np.cos(x)newton(x, y, _x)if __name__ == '__main__':main()到此这篇关于详解Python⽜顿插值法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python⽜顿插值法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

python 插值法插值法是一种利用已知数据点构建函数模型，并推导出未知数据点的方法。

在数值分析和科学计算的领域中，插值法是十分常见的一种数值方法，常常于信号处理、图像处理、计算机辅助设计等领域中得到应用。

插值法的核心思想是通过已知数据点上的函数值，去推导未知数据点上的函数值。

此时，数据点可以看作是已知的坐标，函数值可以看作是已知的高度值。

插值法的具体操作方式就是在数据点上构建一个函数模型，该函数模型可以被愈加连续化，从而推导未知点上的函数值。

在插值法中，函数模型有很多种，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。

这些方法在不同的场合下有各自的优缺点。

下面，我们将介绍几种常见的插值方法。

1、拉格朗日插值法拉格朗日插值法利用一个 $n-1$ 次多项式连接已知数据点。

具体来讲，设有 $n$ 个不同的数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-1},y_{n-1})$。

根据拉格朗日插值法，可以得到如下的 $n-1$ 次多项式：$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_iL_i(x)$$其中，$L_i(x)$ 是基函数，定义如下：$$L_i(x)=\prod\limits_{j=0,j\neq i}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\qquadi=0,1,\dots,n-1$$举例来说，假设我们已知数据点 $(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)$。

那么相应的拉格朗日插值多项式为：$$f(x)=1\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}+3\cdot\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}+5\cdot\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}+7\cdot\frac{( x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}$$2、牛顿插值法其中 $k\geq1$，$i=0,1,\dots,n-k-1$。

python 牛顿插值法摘要：1.牛顿插值法概述2.牛顿插值法的基本原理3.牛顿插值法的应用实例4.Python 中实现牛顿插值法的方法5.总结正文：一、牛顿插值法概述牛顿插值法是一种常用的代数插值方法，它引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。

牛顿插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域，是求解函数值和导数值的一种有效手段。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法的基本原理是利用差商的性质来逼近函数值。

差商是指函数在某一点的导数值，可以用以下公式表示：f[x] = f[x0] + f[x1] * (x - x0) / (x1 - x0)其中，f[x0] 和f[x1] 分别是函数在x0 和x1 两点的值，x 是待求的点。

通过不断增加插值节点，可以逐渐提高插值精度。

三、牛顿插值法的应用实例牛顿插值法在实际应用中有很多实例，例如在计算机图形学中，可以用牛顿插值法求解光线与物体的交点，从而实现光线追踪；在数值计算中，可以用牛顿插值法求解微分方程的数值解等。

四、Python 中实现牛顿插值法的方法Python 中可以使用SciPy 库实现牛顿插值法。

以下是一个简单的示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import newton# 设置插值点x = np.array([1, 3, 2])y = np.array([1, 2, -1])# 使用牛顿插值法求解y 值的导数y_derivative = newton(x, y)print(y_derivative)```五、总结牛顿插值法是一种常用的插值方法，它具有较高的插值精度和较好的稳定性。

在Python 中，可以使用SciPy 库方便地实现牛顿插值法。

python中插值方法
Python中的插值方法有多种，以下是其中一些常见的方法：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：在已知两个点的情况下，通过线性关系估计其他点的值。

2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过已知的一系
列点，在每个点上构造一个基本插值多项式，再将这些多项式相加得到插值函数。

3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：通过已知的一系列点，
构造一个插值多项式，利用差分的概念来推导插值多项式的系数。

4. 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）：将插值区
间划分为多个子区间，每个子区间内使用线性插值。

5. 样条插值（Spline Interpolation）：通过一系列点和控制节点，构造一条光滑的曲线，利用多项式、分段线性函数或三次函数等方式进行插值。

6. 最近邻插值（Nearest Neighbor Interpolation）：在已知的一
系列点中，找到距离目标点最近的点，将目标点的值设为该点的值。

以上仅列举了一些常见的插值方法，实际上还有其他更复杂的插值方法，如样条样本插值、高斯插值等。

不同的插值方法适
用于不同的问题和数据类型，选择合适的插值方法可以获得更准确的结果。

牛顿差值函数程序代码
牛顿差值函数是数值分析中常用的一种方法，用于在给定一组数据点的情况下，拟合出一个多项式函数，从而实现数据的插值和近似，下面是牛顿差值函数的程序代码：
```python
def newton_interpolation(x,y):
n = len(x)
b = []
for i in range(n):
b.append([y[i]])
for j in range(1,n):
for i in range(n-j):
b[i].append((b[i+1][j-1]-b[i][j-1])/(x[i+j]-x[i]))
a = [b[0][i] for i in range(n)]
def f(t):
res = a[-1]
for i in range(n-2,-1,-1):
res = a[i] + (t-x[i])*res
return res
return f
```
其中，x和y分别表示数据点的横纵坐标，函数返回一个插值函
数f，可以将任意x值代入f中，得到对应的y值。

该代码实现了牛顿差值的主要逻辑，采用了递推的思路，先计算出差商表b，再根据b计算出多项式系数a，最后构造出插值函数f。

在实际使用中，只需要调用newton_interpolation函数，传入数据点的坐标，即可得到插值函数。