高考数学二轮复习(理数)专题圆锥曲线

专(Zhuan)题13 圆锥(Zhui)曲线1．已知双(Shuang)曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别(Bie)为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x216－y29＝1B.x23－y24＝1C.x29－y216＝1D.x24－y23＝1 【答案】C 【解析】2．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，∴可设P (3，b )， 把P (3，b )代入椭圆x212＋y23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF1||PF2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ． 4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|⇒cos 60°＝（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.4．设(She)F 1，F 2分别是(Shi)双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的左(Zuo)、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线(Xian)上，且PF 1⊥PF 2，则(Ze)双曲线C 的离心率等于( )A.22 B.2 C.3 D.62【答案】B5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x24＋y23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a2－b2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y2＝4x.解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263， ∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 【答案】B7．抛(Pao)物线y 2＝4x 的(De)焦点为F ，准(Zhun)线为l ，经(Jing)过F 且斜率(Lv)为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．33C ．43D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B9．设椭圆的方程(Cheng)为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右(You)焦点为F (c ，0)(c >0)，方(Fang)程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别(Bie)为x 1，x 2，则(Ze)P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c a ，x 21＋x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b2a2＋2ac a2>a2＋c2a2＝1＋e 2，因为0<e <1，即0<e 2<1.所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 2>1， 又b2a2＋2ac a2<b2＋a2＋c2a2＝2，所以1<x 21＋x 2<2， 即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.1211．过曲(Qu)线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的(De)左焦点F1作曲(Qu)线C2：x2＋y2＝a2的(De)切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p＞0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为()A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋1 2【答案】D【解析】12．已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是() A．(1，2) B．(2，3) C．(3，2) D．(2，＋∞)【解析(Xi)】如图所示，过(Guo)点F 2(c ，0)且与渐近(Jin)线y ＝b a x 平行的直线(Xian)为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－bax 联立得⎩⎨⎧y ＝b a （x －c ），y ＝－b a x ，解得⎩⎨⎧x ＝c2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc 2a . ∴|OM |＝⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝⎛⎭⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ，即c21＋⎝⎛⎭⎫b a 2>c ，得1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【答案】 2【解析】方法二：双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x0a －y0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x0a ＋y0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a2b2c2，则a2b2c2＝b22，∴a2c2＝12，e ＝2. 14．已(Yi)知F 1，F 2分别是(Shi)双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左(Zuo)、右焦点，P 是抛物(Wu)线y 2＝8ax 与双曲线的一(Yi)个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－2 【解析】15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】 23或38【解析】 依题意得椭圆的方程为x24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.16．在平(Ping)面直角坐标系xOy 中(Zhong)，已知点A 在(Zai)椭圆x225＋y29＝1上(Shang)，点P 满(Man)足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】 1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．【解析】：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42， 所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝22.18．如图(Tu)，已知椭圆C 的中(Zhong)心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又(You)椭圆C 上有一(Yi)点M (2，1)，直(Zhi)线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0，∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y1－1x1－2，k 2＝y2－1x2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ，∴k 1＋k 2＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝（y1－1）（x2－2）＋（y2－1）（x1－2）（x1－2）（x2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x1＋m －1（x2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x2＋m －1（x1－2）（x1－2）（x2－2）＝x1x2＋（m －2）（x1＋x2）－4（m －1）（x1－2）（x2－2）＝2m2－4－2m2＋4m －4m ＋4（x1－2）（x2－2）＝0，故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知(Zhi)椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的(De)两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且(Qie)椭圆C经过(Guo)点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭(Tuo)圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q 的轨迹方程． 因为M ，N在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 2.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝ (1＋k 2)x 2.由2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，得2（1＋k2）x2＝1（1＋k2）x21＋1（1＋k2）x22， 即2x2＝1x21＋1x22＝（x1＋x2）2－2x1x2x21x 2.① 将y ＝kx ＋2代入x22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.其(Qi)中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 20．如图，已(Yi)知M (x 0，y 0)是(Shi)椭圆C ：x26＋y23＝1上的(De)任一点，从原点O 向(Xiang)圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．＝6（1＋k21）1＋2k21＋6（1＋k22）1＋2k2＝6（1＋k21）1＋2k21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k121＋2⎝⎛⎭⎫－12k12＝9＋18k211＋2k21＝9.21．已(Yi)知动点P 到(Dao)定点F (1，0)和到直(Zhi)线x ＝2的距(Ju)离之比为22，设(She)动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．【解析】：(1)设点P (x ，y )，由题意可得，（x －1）2＋y2|x －2|＝22， 整理可得x22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x22＋y 2＝1.22．如图，已知(Zhi)抛物线C ：y 2＝4x ，过(Guo)点A (1，2)作抛(Pao)物线C 的(De)弦AP ，AQ .(1)若(Ruo)AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ 过点T (5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．【解析】：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，y2＝4x得y 2－4my －4n ＝0.由Δ>0，得m 2＋n >0， y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y214，x 2＝y224，∴(y 1－2)(y 2－2)(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0， ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5.∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，∴直线PQ 过定点(5，－2)．。

考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解 左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明 当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明 由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解 由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解 设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一 显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二 由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。

高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。

第2讲 圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程 重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】 由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】 记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】 直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】 因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】 由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】 双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】 方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】 由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】 由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】 因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。

核心考点2 圆锥曲线的几何性质核心知识· 精归纳1.椭圆、双曲线中a ，b ，c ，e 之间的关系(1)在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2. 2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，焦点坐标为F 1(－c,0)和F 2(c,0)．(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx ，焦点坐标为F 1(0，－c ，)和F 2(0，c )．3.抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2.(2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p2. 多维题组· 明技法角度1：离心率问题1. (2023·邵阳二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，半焦距为c .在椭圆上存在点P 使得asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆离心率的取值范围是( B )A ．[2－1,1)B ．(2－1,1)C ．(0，2－1)D ．(0，2－1]【解析】 ∵a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，∴在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，∵asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，∴|PF 2||PF 1|＝a c ＝1e，即|PF 1|＝e |PF 2|①.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将①代入得|PF 2|＝2a e ＋1∈(a －c ，a ＋c )，同除以a 得，1－e ＜2e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1.故选B.2. (2023·金东区校级三模)已知F 1，F 2分别为双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝14，则双曲线的离心率为( B )A.178B ．1715C ．158D ．85【解析】 PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝14，则|PF 1|＝4|PF 2|，△PF 1F 2是直角三角形，O 是F 1F 2的中点，又|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，且点P 在渐近线y ＝ab x 上，如图，点P 在第三象限，则点P 坐标为(－b ，－a )，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|2＝16|PF 2|2，∴b 2＋(－a －c )2＝16b 2＋16(－a ＋c )2，又b 2＝c 2－a 2，∴15c 2－17ac ＝0，则e ＝1715.故选B.角度2：双曲线渐近线问题3. (2023·河南三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，M ，N ，P 是双曲线C 上的点，其中线段MN 的中点恰为坐标原点O ，且点M 在第一象限，若NP →＝3NF →，∠OFM ＝∠OMF ，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．y ＝±43xB ．y ＝±223xC ．y ＝±324xD ．y ＝±34x【解析】 设双曲线C 的右焦点为F ′，连接PF ′，MF ′，NF ′，∵∠OFM ＝∠OMF ，∴|OM |＝|OF |＝|OF ′|，∴MF ′⊥MF ，又O 为MN 中点，∴四边形MFNF ′为矩形；设|NF |＝x ，则|PF |＝2x ，|PN |＝3x ，∴|NF ′|＝2a ＋x ，|PF ′|＝2a ＋2x ，∵|PN |2＋|NF ′|2＝|PF ′|2，∴9x 2＋(2a ＋x )2＝(2a ＋2x )2，解得：x ＝23a ，又|NF |2＋|NF ′|2＝|FF ′|2，∴49a 2＋649a 2＝4c 2，即689a 2＝4a 2＋4b 2，整理可得：b a ＝223，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±223x .故选B.4. (2023·安庆二模)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1，(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过x 轴上方的焦点F 1的直线与双曲线上支交于M ，N 两点，以NF 2为直径的圆经过点M ，若|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±63x . 【解析】 如图所示：由双曲线的定义|MF 2|＝2a ＋|MF 1|，|NF 2|＝2a ＋|NF 1|，所以|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＋|MF 1|＋|NF 1|＝4a ＋|MN |.因为|MF 2|，|MN |，|NF 2|成等差数列，所以|MF 2|＋|NF 2|＝2|MN |，即4a ＋|MN |＝2|MN |，|MN |＝4a .令|MF 1|＝x ，在△MNF 2中，MF 2⊥MF 1，所以|MF 2|2＋|MN |2＝|NF 2|2，即(2a ＋x )2＋(4a )2＝(6a －x )2，解得x ＝a ，即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a ，又在Rt △F 1MF 2中，a 2＋(3a )2＝(2c )2,2c 2＝5a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以2b 2＝3a 2，即ab ＝63，y ＝±a b x ＝±63x . 角度3：抛物线的焦点弦问题5. (2023·贵州模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若A (1,22)，则|AB |＝( A )A ．9B ．7C ．6D ．5【解析】 由题意直线l 的斜率必存在，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，设直线l ：y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4，又A (1，22)，则x 1＝1，x 2＝4，k 2＝8，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3×3＝9.故选A.6. (2023·茂南区校级三模)已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点(其中点B 在A ，C 之间)，若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |.则△OAB 的面积是 433.【解析】 过点B 作BM 垂直于准线，垂足为M ，过点A 作AN 垂直于准线，垂足为N ，设准线与x 轴相交于点P ，如图，则|BM |＝|BF |，|AN |＝|AF |＝4，在△MBC 中，|BC |＝2|BF |，所以|BC |＝2|BM |，所以∠MCB ＝30°，故在△ANC 中，|AC |＝2|AN |＝8，所以|AC |＝|AF |＋|CF |＝8，则|CF |＝8－|AF |＝4.又CN ⊥x 轴，∠MCB ＝30°，所以|PF |＝12|CF |＝2，又抛物线D ：y 2＝2px ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以|PF |＝p 2＋p2＝p ＝2，所以抛物线D ：y 2＝4x ，点F (1,0)．因为∠MCB ＝30°，所以直线AB 的斜率k ＝－3，则直线AB ：y ＝－3(x －1)，与抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝－3x －1，y 2＝4x ，消y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，易得Δ＞0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，则|AB |＝|BF |＋|AF |＝|BM |＋|AN |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163，又直线AB ：y ＝－3(x －1)，可化为3x ＋y －3＝0，则点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×163×32＝433.方法技巧· 精提炼1.圆锥曲线中有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．2.涉及双曲线渐近线的常用结论(1)求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±abx .(2)已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴、y 轴对称． 3.抛物线焦点弦的4个性质设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 性质1：x 1·x 2＝p 24.性质2：y 1·y 2＝－p 2.性质3：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α是直线AB 的倾斜角)．性质4：1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．加固训练· 促提高1. (2023·船营区校级模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－22，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－22 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1【解析】 如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2→与F 2B 1→的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则B 2A 2→＝(a ，－b )，F 2B 1→＝(－c ，－b )；∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2→·F 2B 1→<0，∴－ac ＋b 2＜0，又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－ac －c 2＜0；两边除以a 2得1－e －e 2＜0，即e 2＋e －1＞0；解得e ＜－1－52，或e ＞－1＋52；又∵0＜e ＜1，∴－1＋52＜e ＜1；∴椭圆离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1.故选D.2.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( D )A.334B ．938C ．6332D ．94【解析】 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2 α，得|AB |＝2p sin 2 α＝3sin 2 30°＝12.又原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.3. (2023·淮安模拟)已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若cos ∠MF 1N ＝513，则C的离心率为 5 .【解析】 易知MN 关于x 轴对称，令∠MF 1F 2＝α，cos 2α＝513，∴cos 2α＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋513＝913，sin 2α＝413，∴tan 2α＝49，∴tan α＝23，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bax ，y ＝－ba x －c⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c2，y ＝bc2a ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，tan α＝bc 2a 32c ＝23，∴b a ＝2.∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.。