2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题09 排列组合、二项式定理(理)(教学案)

高考数学二轮复习教案——排列组合二项式定理一、知识结构：二、基础知识回顾 １．排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 １排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A mn （m ≤n ）A n n =n! =n （n ―１）（n ―２） ·…·２·１． ２组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C mn （m ≤n ）.排列组合 二项式定理 两个计数原理排列组合排列概念排列数公式组合概念组合数公式 组合数性质应用通项公式二项式定理二项式系数性质应用３组合数性质：１m n n m n C C -=（m ≤n ）. ２nn n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ ３1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C２二项式定理 ⑴ 二项式定理（a +b ）n =C 0n a n +C 1n a n —１b+…+C r n a n —r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+１项，第r+１项是T r+１ =C r n an —r b r . ⑵ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+１项T r+１=C r n an —r b r （r=0,１,…n）叫做二项展开式的通项公式。

⑶ 二项式系数的性质１在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即C r n = C rn n - （r=0,１,２,…,n ）.２若n 是偶数，则中间项（第12+n 项）的二项公式系数最大，其值为C 2nn；若n 是奇数，则中间两项（第21+n 项和第23+n 项）的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21-n n = C 21+n n .３所有二项式系数和等于２n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =２n .４奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n +…=２n ―１. （４） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p n （k ） = C k n p k （１―p ）n ―k . 实际上，它就是二项式[（１―p ）+p]n 的展开式的第k+１项.（５）独立重复试验与二项分布１．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（１）相同条件；（２）多次重复；（３）各次之间相互独立；２．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)k kn k nP X k C p p k n -==-=，，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．三、方法总结１．排列组合应用题的处理方法和策略⑴ 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵ 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶ 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验. ⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：１特殊元素优先安排的策略；２合理分类与准确分步的策略；３排列、组合混合问题先选后排的策略；４正难则反、等价转化的策略；５相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.２．二项定理问题的处理方法和技巧⑴运用二项式定理一定要牢记通项T r+１=C ra n—rb r，注意（a +b）n与（b+a）n虽然相n同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指C r，而后者是字母外n的部分.⑵对于二项式系数问题，应注意以下几点：１求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为１；２关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；３证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r+１，有时还需先求n，再求r，才能求出T r+１.⑷有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.四、２009高考预测高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合都将是重点考查内容，排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。

2014高三数学知识点精析精练24：排列、组合与二项式定理【复习要点】排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. 【例题】【例1】 四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种.依乘法原理，共有N =C 2433A =36(种).解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N =21A 34·3=36(种). 答案：36【例2】 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C 35·23·A 33(个)，其中0在百位的有C 24·22·A 22 (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22=432(个).【例3】 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C nm n m n m mn nm m n n m m n n m +++++++++解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法：从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个.由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.解法二：从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.答案：C【例4】 函数为实数并且是常数a x xax f ()()(9+=)（1）已知)(x f 的展开式中3x 的系数为49，求常数.a （2）是否存在a 的值，使x 在定义域中取任意值时，27)(≥x f 恒成立？如存在，求出a 的值，如不存在，说明理由.解（1）T r+1=C 9239999)()(---=rrr r r r xa C x xa 由3923=-r解得8=r498989=-a C 41=∴a（2）),0()()(9+∞∈∴+=x x xax f 要使（27)9≥+x xa只需313≥+x xa10当0>a 时，设x xa x g +=)(32212)2(021)(a x x axx g ==+-='--∴20当0=a 时，不成立 30当1-<a 时，不成立 故当27)(94≥≥x f a 时 另解法 34322)(a x x x a x x a x g ≥++=+= 只需94,343313≥≥⋅a a即 【例5】 五人站成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，有多少种站法？ 解：设原来站在第i 个位置的人是i a （i=1，2，3，4，5）。

2014高考数学查缺补漏集中营：排列组合二项式定理和概率一、知识整合 二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. Ⅰ、随机事件的概率例1某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成. (1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101.例2一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)=123)(,n m nm C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n m nm C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求： （1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率. 解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

专题排列组合、二项式定理【2014年高考试题】1.[2014·福建卷] 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是() A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)1.A[解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋C15c＋C25c2＋C35c3＋C45c4＋C55c5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.2．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．2．36[解析] A33A22A13＝6×2×3＝36.3.[2014·广东卷] 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为() A．60 B．90 C．120 D．1303．D[解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C25×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C35×22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C45×2种方法．故总共有C25×23＋C35×22＋C45×2＝130种方法，即满足题意的元素个数为130.4.[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中A．144 B．120 C．72 D．245．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24. 6．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．7．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种7．B [解析] 当甲在最左端时，有A 55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A 11A 14A 44＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B. 8．[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)8．60 [解析] 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C 23A 24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A 34＝24种．故共有60种获奖情况． 9．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．1689．B [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A 33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A 33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C 12A 22A 22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A 33(2A 33＋C 12A 22A 22)＝120(种)．10．[2014·安徽卷] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图1-3所示，则a ＝________.11．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )12．[2014·湖南卷] ⎝⎛⎭⎫12x －2y 的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－514．[2014·新课标全国卷Ⅰ] (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)14．－20 [解析] (x ＋y )8的展开式中xy 7的系数为C 78＝8，x 2y 6的系数为C 68＝28，故(x －y )(x＋y )8的展开式中x 2y 8的系数为8－28＝－20. 15． [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________．(用数⎭⎫2＋b32217．[2014·四川卷] 在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．1017．C [解析] x (1＋x )6的展开式中x 3项的系数与(1＋x )6的展开式中x 2项的系数相同，故其系数为C 26＝15. 18.．[2014·浙江卷] 在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．21018．C [解析] 含x m y n 项的系数为f (m ，n )＝C m 6C n 4，故原式＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120，故选C.19．[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对19．C[解析] 方法一(直接法)：在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的对角线也有8对，同理下底面也有16对，共有32对．左右侧面与前后侧面中共有16对面对角线所成的角为60°，故所有符合条件的共有48对．方法二(间接法)：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或所成的角为60°，所以所成角为60°的面对角线共有C212－6－12＝48.【2013年高考试题】1.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.201.答案C2.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.2792.答案B3.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.103.答案B4.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).9.答案5905.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.10.答案966.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).11.答案4801.(2013课标全国Ⅰ,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.81.答案B2.(2013江西,5,5分)展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-402.答案C3.(2013辽宁,7,5分)使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.73.答案B4.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-14.答案D5.(2013安徽,11,5分)若的展开式中x4的系数为7,则实数a=.9.答案6.(2013四川,11,5分)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是.(用数字作答) 10.答案107.(2013浙江,11,4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A= .11.答案 -108.(2013天津,10,5分)的二项展开式中的常数项为 .12.答案 15【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理4】821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635 B.835 C.435D.1052.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【答案】A【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有624=C ，所以共有12种安排方案，选A.4.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==gg ，所以2x 的系数为21，选D. 5.【2012高考真题四川理11】方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A 、60条 B 、62条 C 、71条 D 、80条6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 【答案】C【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种，若2色相同，则有14414241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种，如同色则有72242314=C C C ，所以共有4727219214464=+++，故选C 。

2014高考数学查缺补漏集中营：排列、组合、二项式定理与概率一、选择题(每小题5分，共25分)1．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( )．A ．6B ．12C ．18D ．242．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )．A ．64B ．72 C.84 D ．964．如图，已知函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，若随机向圆O ：x 2＋y 2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M 内的概率是( )．A.4π2B.4π3C.2π2 D.2π3 5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( )． A.18125 B.36125 C.44125D.81125二、填空题(每小题5分，共15分)6．学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为________(用数字作答)．7．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为________． 8．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和．10．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．11．(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．参考答案1．B [C 24A 22＝6×2＝12.]2．D [因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x10－3r，当r ＝3时，含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.]3．C [将四种颜色编号为①②③④，A 有4种涂法，设涂①，B 有3种涂法，设涂②.下面分三类：若C 涂①，则D 可涂②③④，共3种涂法； 若C 涂③，则D 可涂②④，共2种涂法； 若C 涂④，则D 可涂②③，共2种涂法． 于是不同的涂法种数为4×3×(3＋2＋2)＝84.]4．C [S M ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝2，S O ＝π·π2＝π3，所以该米粒落在区域M 内的概率是S M S O ＝2π3＝2π2.]5．B [从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种，有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种．所以概率为36125.]6．解析 本题考查排列组合知识，由题意知：A 13·A 22＋1＝7.答案 77．解析 令x ＝0得，a 0＝1.令x ＝1，则(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，∴m ＋1＝±2， ∴m ＝1或－3. 答案 1或－38．解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12C 233＝23.答案 239．解 根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！rn －r ＝53×n ！r ＋1n －r －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187. 所有项的二项式系数和为27＝128.10．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． 又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．解 (1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝C 14C 16C 210＝815.(3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2. B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2. B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人． A i 与B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0. 故P(B)＝P(A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0)＝P(A 0)·P(B 2)＋P(A 1)·P(B 1)＋P(A 2)·P(B 0)＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 14C 210＋C 26C 210·C 26C 210＝3175.。

九、排列、组合、二项式、概率：一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n=； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。

高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。

【考点】排列组合问题。

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。

因此总共有12 + 6 = 18 种情况。

故选B。

例2. （2012年某某省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。

【考点】排列组合。

【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。

不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。

故选D。

例3. （2012年某某省理5分）现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X，从中任取3X，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。