安徽省淮北市2015届高二第二次模拟考试数学理试卷word版 含答案

2015年度高二数学理科考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．已知复数满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x 、y 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．5，5 C ．5，7 D ．8，7 3．命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是（ ） A ．12sin ,≤∈∀x R x B ．12sin ,>∉∀x R x C ．12sin ,0≤∈∃x R x D ．12sin ,0>∉∃x R x4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．725．若变量,x y 满足约束条件 0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且 3z x y =+的最小值为8-，则k =（ ）A.3B.3-C.2D.2-6．已知曲线23ln 1x y x =-+的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．127．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.108．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 9．设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 10．5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-311．点(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆2224b x y +=相切于点Q ，且1=2PQ P F ，则双曲线的离心率等于（ ）A D ．212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.c a b <<13．已知y x ,取值如表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.8014．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 15．若随机变量X 服从两点分布，其中()310==X P ，则()23+X E 和()23+X D 的值分别是（ ）A ．4和4B ．4和2C ．2和4D ．2和2 16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )． A.18 B.14 C.25 D .12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）17．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有种.18．设212axdx=⎰，则61axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为．19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．20．已知双曲线12222=-byax（0a b>>）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线)(22>=ppyx的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c2，且cPA=，则双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题（题型注释）21．（本小题满分14分）如图所示,棱柱111ABC A B C-为正三棱柱,且1AC C C=,其中点,F D分别为11,AC B B的中点.CD1C（1）求证://DF平面ABC;（2）求证:DF⊥平面1ACC;（3）求平面1DC A与平面ABC所成的锐二面角的余弦值且侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 为侧棱PD 的中点（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒,求CDAD的值 23．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．．中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望()ξE .24．（本小题12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 0.0750.0400.060服务时间/小时O现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.25．已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>过点，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P-.（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．26．（本小题满分14分）设函数2()(2)lnf x x x=+，2()2,g x x ax a R=+∈（1）证明：()f x是(0,)+∞上的增函数；（2）设()()()F x f x g x=-，当[)1,x∈+∞时，()0F x≥恒成立，求a的取值范围．27．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD为正方形，⊥EA平面ABCD，CF ∥EA，且222===CFABEA（1）求证：⊥EC平面BDF；（2）求二面角E BD F--的余弦值.28．本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A BC D-中，12AA AD AB===，160A AD DAB∠=∠=︒,O是AD的中点．1A（1）证明：AD⊥面1AOB;（2）若1A B AB=，求直线1AC与平面11BB D D所成角的正弦值．参考答案1．D 【解析】试题分析：由2=+zi i 得，22121i z i i i+==+=-+，所以虚部为2-.选D. 考点：复数的基本运算.2．C 【解析】试题分析：从茎叶图可知，甲组成绩为9、15、10+x 、21、27，由于甲组数据的众数为15，故x=5.乙组的成绩为9、13、10+y 、18、27，由于乙组数据的中位数是17，故y=7.所以选C.考点：统计. 3．C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12s i n ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”【命题意图】本题考查全称命题的否定 4．D 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式得()()7242854818=+=+=a a a a S ，故答案为D.考点：等差数列的前n 项和公式. 5．C 【解析】试题分析：根据题意，画出约束条件所对应的可行域，可知，2k -<，结合目标函数的特点，可知函数在点(,)k k --处取得最小值，则有38k k --=-，解得2k =，故选C. 考点：线性规划. 6．A 【解析】 试题分析：设切点为),(00y x ，则切线的斜率132132)(00000-==⇒=-='=x x x x x f k 或，又00>x 则30=x ；考点：1．导数的几何意义； 7．D 【解析】试题分析：因为分层抽样的抽样比相等，所以所抽高一学生，高二学生，高三学生的比为210比270比300即7比9比10；从高一学生中抽取的人数7那么从高三学生中抽取的人数应为 10考点：分层抽样. 8．A 【解析】试题分析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除D ，C ；样本平均数3x =， 3.5y =代入A 符合，B 不符合 故选：A ．考点：线性回归方程 9．B 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1σN ，因此()()5.011=<=>ξξP P ，()=<<21ξP ()()12<-<ξξP P 3.05.08.0=-=，()()3.02110=<<=<<ξξP P ，故答案为B.考点：正态分布的应用. 10．B 【解析】试题分析：二项式5211）（-x 的第1+r 项为1025525)1()1()1(---⋅=-⋅⋅r r r r r rx C xC ，5)11)(2(22-+xx 的展开式的常数项为82510252)1()1(.--⋅-⋅=-⋅r r rr r r x C x C x ，10251025)1(2)1(.2--⋅-⋅⋅=-⋅r r r r r r x C x C ，即常数项为3)1(2)1(555445=-⋅⋅+-⋅C C ．考点：二项式的展开式． 11．C【解析】设左焦点1(,0)F c -，由1=2PQ PF ，所以Q 是线段PF 的中点,连接1PF ，OQ ，则OQ PF ⊥，且11//2OQ PF ，则1PF PF ⊥，在1PFF ∆中，1PF b =，2PF a b =+，12FF c =，由勾股定理得2224(2)c b a b =++,所以2224244ab c b a =++，2b a =，两边平方得2224c a a -=，解得25e =，e =【命题意图】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力． 12．C 【解析】试题分析：构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数()h x 单调递增． ∵111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又1ln 222<<，.a c b ∴<<．故选C ．考点：比较大小.13．B 【解析】 试题分析：通过图表可知25.563.94.71.66.58.13.1,46865410=+++++==+++++=y x ，将（4,5.25）代入，即,495.025.5a +⨯=解得.45.1=a 故选B. 考点：回归直线经过样本点的中心.14．B 【解析】试题分析：回归直线方程一定过样本点的中心),(y x ，由已知5.4,2==y x ，代入回归直线得6.2=a考点：统计、回归直线 15．B 【解析】试题分析：由于服从两点分布，()321==X P ，因此()32321310=⨯+⨯=X E ，()92323213132022=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X D ，()()42323=+=+X E X E ，()()2923=⋅=+X D X D .考点：随机变量的期望和方差.16．B 【解析】试题分析：从5个数中任取2个不同的数的所有情况为2510C =，取到2个数之各为偶数的有4种，那么()42105P A ==，取到的2个数均为偶数有1种，那么()110P B =，由条件概率公式()()()1110|245P AB P B A P B ===.故选B.考点：条件概率.17．100 【解析】试题分析：A 活动可从5人中任选1人参加，然后再从剩下的5人选两人参加B 、C 活动即可，故共有1002515=A C考点：排列组合 18．540- 【解析】 试题分析：⎰=-===21212314|2x xdx a ，()()r r rr rr r r x a C x ax C T 266666111---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴，令026=-r ，得3=r ，因此展开式中常数项为()540133336-=-C .考点：1、定积分的计算；2、二项式定理的应用. 19．43【解析】试题分析：由题意，两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域如下图中阴影部分，则其面积为12222313201011131111542[()(1)]2[|()|]2()4443434123x x dx x dx x x x -+-=⋅+-⋅=+=⎰⎰考点：定积分的应用． 20．y x =±【解析】由已知||,||OA a AF c ==，所以，||,,2p OF p b ==把2py b =-=代入双曲线方程22221x y a b-=得，222,x a =所以，直线2p y =-被双曲线截得的线段长为，从而2,c c ==，所以，2222,a b a a b +=∴=，所求渐近线方程为y x =±.考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..21．（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）证明:作AC 的中点O ,连结BO .在1ACC ∆中,//=FO 112C C ,又据题意知，//=BD 112C C ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形. 2分 ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ． 4分 （2）证明:棱柱111ABC A B C -为正三棱柱1C C ∴⊥平面ABC又BO ⊆平面ABC1BO C C ∴⊥ 5分ABC ∆是正三角形且AO OC = ∴BO AC ⊥ 6分综上1BO C C ⊥,BO AC ⊥且1AC CC C =,1,AC C C ⊆平面1ACC∴BO ⊥平面1ACC 7分又//FD BO∴DF ⊥平面1ACC 8分CD1C A（3）∵//FO 1C C ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF为,,z x y 轴，建系如图． 9分 则(1,0,0)A ，1(1,0,2)C -，D ．∴1(2,0,2)AC =-，(=-AD ． 10分 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则11100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面1ADC 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 12分 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ． 13分 ∴121212,⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 14分CC【命题意图】本题考查线线,线面关系和二面角的求解,考查学生空间思维能力和综合分析能力等． 22．（1）见解答过程 （2）见解得过程 （3）CDAD=【解析】 试题分析：（1）要证明PB //平面EAC ,可在平面EAC 内找一条直线与PB 平行,连接连结BD 交AC 于O,连结EO,则EO//PB,由此可证PB //平面EAC .（2）要证明AE ⊥平面PCD ,可先证,AE CD AE PD ⊥⊥,注意线线垂直、线面垂直的相互转化.（3）直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE ,再通过解三角形确定CDAD= 试题解析：（1）连结BD 交AC 于O,连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB,EO EAC PB EAC ⊂⊄平面平面,所以PB//平面EAC （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AE PAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥,又PD CD D =,所以,AE⊥平面PCD （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥, 又PDCPAD PD =面面,AE PAD ⊂面,所以,AE⊥平面PCD （10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD,直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，,又PAD AE AD ∆=正中，,AC ∴=,又矩形ABCD AC 中，,=解得CDCD AD=∴=， （14分） 考点：1空间中的线面位置关系；2直线与平面所成的角. 23．（1）52=P ；（2）()56=ξE 【解析】试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯=. 考点：1、频率分布直方图的应用；2、离散型随机变量的分布列和数学期望.24．（1）72人；（2）ξ的分布列为：期望2535251=⨯+⨯+⨯=ξE . 【解析】试题分析：（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，由已知条件求出x ，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用分层抽样的概念就能求出应在“无所谓”态度抽取的人数；（2）由条件知第一组在校学生人数1=ξ，2，3，分别求出)1(=ξP ，)2(=ξP ，)3(=ξP ，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，∴05.03600120=+x，解得60=x ，∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=----，∴应在“无所谓”态度抽取723600360720=⨯人； （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为46180120=⨯人，社会人士为2618060=⨯人，于是第一组在校学生人数1=ξ，2，3，51)1(362214===C C C P ξ， 51)1(362214===C C C P ξ，53)2(361224===C C C P ξ，51)3(360234===C C C P ξ，即ξ的分布列为：∴2535251=⨯+⨯+⨯=ξE .考点：1.分层抽样；2.离散型随机变量的期望与方差.25．（1）221124x y +=；（2）92.【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得,a b ，因此我们要寻找关于,,a b c 的两个等式，本题中有离心率c e a ==，是一个等式，另一个是椭圆过点)，即22331a b+=，再结合222a b c =+可解得2a b ==，得到标准方程；（2）要求△PAB 的面积，应该先确定,A B 位置，也即确定直线l ，我们可以设l 的方程为y x m =+，条件PAB ∆是以AB 为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取AB 的中点E ，则有PE AB ⊥，我们就用这个来求出参数m 的值，方法是设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，把直线方程代入椭圆方程，可得12x x +，从而求出1202x x x +=用m 表示，再由PE AB ⊥可很快求得m ，以后就可得到点A B 、的坐标，求出面积.试题解析：（1）由已知得22331,3c a b a +== . 1分解得a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=. 4分 （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=. ① 6分设A 、B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y x x <AB 中点为E 00(,)x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+=　. 8分 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率24134m k -==--+，解得m =2. 10分 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-=　， 所以121,2y y =-=　，所以|AB|=此时，点P （－3，2）到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， 所以△PAB 的面积S =19||22AB d =. 12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).26．（1）见解析；（2）2a ≤- 【解析】试题分析：第一步证明函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，只需证明）()0f x '≥成立，若x x x x x f ++='2ln 2)(0≥，我们只需0)12ln 2(2≥++xx x ，由于0>x ,令12ln 2)(2++=x x x g ，因为3234242)(xx x x x g -=-='，所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(,2ln 2)(>=++='x h x x xx x x f 则，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）第二步求a 的取值范围，可分离常数a ，，由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，只需求出xx x x x h 222ln )2()(-+=的最小值即可．试题解析：（1）若证明)(x f 是),0(+∞上的增函数，只需证明0)(≥'x f 在),0(+∞恒成立， 即：02ln 2)(≥++='x x x x x f 0)12ln 2(2≥++⇔x x x 012ln 22≥++⇔xx设),0(,12ln 2)(2+∞∈++=x x x x h ，3234242)(xx x x x h -=-=' 所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(2ln 2)(>=++='x xh x xx x x f ，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，设x x x x x G 222ln )2()(-+=,则22)1)(ln 2()(x x x x G --='，所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增,所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，只需2-≤a考点：1．导数与函数的单调性；2．研究一个函数的单调性与极值，3．极端原理的使用；27．（1）详见解析；（2）二面角E BD F -- 【解析】 试题分析：（1） 因为EA ∥CF ，所以ACFE 是一个平面图形，在这个平面图形中，AC ＝AE ＝2，所以ΔACE 是等腰直角三角形.连接AC 交BD 于点O ，连接FO.易得OC ＝FC ，所以ΔOCF 也是等腰直角三角形.由此可证得EC ⊥OF.又由三垂线定理可证得BD EC ⊥，从而可得⊥EC 平面BDF .法二，以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，利用向量也可证得EC ⊥面BDF .（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量，再用向量方法求出平面EBD 的法向量即可求出二面角E BD F --的余弦值. 试题解析：（1）（法一）连接AC 交BD 于点O ，连接FO.过点O 作OH ∥AE 交EC 于点H ，连接HF ，因为O 是AC 的中点，所以H 是EC 的中点，所以112OH EA ==，因为EA ∥CF ，且EA=2CF ，所以OH ∥CF 且OH=CF ，又因为112OC AC == 所以四边形OCFH 为菱形，而EA 垂直于平面ABCD ， 所以EA AC ⊥从而OH OC ⊥，从而四边形OCFH 为正方形进而OF CH OF CE ⊥⇒⊥又因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥; 又 EA BD ⊥且EA AC A =从而BD ⊥面EAC ， 则BD EC ⊥又,BD BDF OF BDF ⊂⊂且BD OF O =所以⊥EC 平面BDF . (6)分（法二）以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，则(0,0,0);((();E(0,0,2)A B D C F ，所以(2,2,0);(2,0,1);(2,2)BD BF EC =--=-=-- 从而有EC ·BD =0，EC ·BF =0 所以,EC BD EC BF ⊥⊥ 又因为,BDBF B =从而EC ⊥面BDF（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量 设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BD n ED⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020z⎧=⎪⎨-=⎪⎩；令1z =得x y ==故 cos ,210n EC n EC n EC⋅<>===⋅ 所以二面角E BD F --考点：1、空间线面间的位置关系；2、二面角. 28．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 试题分析：（1）本题证明线面垂直，根据纯平面垂直的判定定理，只要证明直线AD 与平面1AOB 内的两条相交直线垂直即可，而从已知条件可看出只要在1AAO ∆和ABO ∆中利用正弦定理及勾股定理就能证得1AO AO ⊥，AO BO ⊥；（2）本小题是求直线与平面所成的角，由（1）已经知道1AO AO ⊥，AO BO ⊥，再在1AOB ∆中应用勾股定理又可证明1AO BO ⊥，于是我们可以分别以1,,OA OB OA 为,,x y z 轴建立窨直角坐标系，用向量法求解线面角.试题解析：（1）证明:由AD 的中点O ， 由11160AA ADAO AD A AD =⎫⇒⊥⎬∠=︒⎭同理BO AD ⊥ AO ⇒⊥平面1A BO ．（2）1122AO A A AB ==,2BO AB =11A B ∴= 1A BO ∴∆为直角三角形，1AO BO ⊥ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立坐标系，不妨设12A B A A A D ===，则(1,0,0)A，B，1A ，(1,0,0)D -由11(DD AA D =⇒-(BC AD C =⇒-，1(AC ∴=- 设(,,)n x y z =为平面11BB D D 的法向量可求得(3,1,1)n =- 11sin cos 5AC n AC n θα⋅===⋅x1考点：1.线面垂直；2.直线与平面所成的角.。

安徽省淮北市师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x|x2﹣x＞0}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．[﹣2，2]2．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+13．（5分）在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．（5分）不等式2x﹣y＞0表示的平面区域（阴影部分）为（）A．B．C．D．5．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3C．27 D．1或277．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定9．（5分）{a n}为等差数列，公差为d，S n为其前n项和，S6＞S7＞S5，则下列结论中不正确的是（）A．d＜0 B．S11＞0 C．S12＜0 D．S13＜010．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a4=3，a6=11，则S9=．12．（5分）若2x+y=2，则9x+3y的最小值为．13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最小值是．14．（5分）已知点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是．15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=，则A=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=，若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小．17．（12分）在△ABC中角B为钝角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足2bsinA=a．（1）求角B的值．（2）若b=19，a+c=5，求a、c的值．．18．（12分）解关于x的不等式：（ax+2）（x﹣1）＞0，（a∈R）19．（13分）函数f（x）=sinx（x＞0）的零点按由小到大的顺序排成数列a n（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=3n a n，若数列b n的前n项和为T n，求T n．20．（13分）若关于x的方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）若点（a，b）∈S，求y=的取值范围．21．（13分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？安徽省淮北市师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x|x2﹣x＞0}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．[﹣2，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次不等式化简集合N，然后直接利用交集运算求解．解答：解：∵M={﹣2，0，1，2}，N={x|x2﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={﹣2，0，1，2}∩{x|x＜0或x＞1}={﹣2，2}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对四个选项，选出正确答案．解答：解：∵3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…∴a n=2n+1故选B点评：本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是研究项与序号的对应关系，由归纳推理得出结论．3．（5分）在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°或120°，故选，C．点评：本题考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，是一道基础题．4．（5分）不等式2x﹣y＞0表示的平面区域（阴影部分）为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据二元一次不等式表示平面区域的性质即可得到结论．解答：解：不等式对应的直线方程为y=2x，斜率为2，排除A，B，不等式2x﹣y＞0，表示的平面区域在直线2x﹣y=0的下方，故选：D点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据直线定边，点定域的性质是解决此类问题的基本方法．5．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．解答：解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C点评：想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3C．27 D．1或27考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；解答：解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；点评：此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=﹣1要舍去否则会有两个值；7．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：A．∀a，b∈R，a2+b2≥2ab；B．ab＜0时不成立；C．由（a+b）2≥4ab，可得；D．由a2+b2≥2ab，可得2（a2+b2）≥（a+b）2，．解答：解：A．∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，因此正确；B．ab＜0时不成立；C．（a﹣b）2≥0，可得（a+b）2≥4ab，∴，成立；D．∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴．故选：B．点评：本题考查了重要不等式与基本不等式的应用，考查了变形的能力，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：已知不等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理化简，求出cosC的范围，进而确定出C为钝角，即可做出判断．解答：解：将﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，利用正弦定理化简得：﹣ab＜a2+b2﹣c2＜﹣ab，由余弦定理得：cosC=，即a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：﹣ab＜2abcosC＜﹣ab，∵ab≠0，∴﹣＜2cosC＜﹣1，即﹣＜cosC＜﹣，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形，故选：A．点评：此题考查了余弦定理，余弦函数的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．（5分）{a n}为等差数列，公差为d，S n为其前n项和，S6＞S7＞S5，则下列结论中不正确的是（）A．d＜0 B．S11＞0 C．S12＜0 D．S13＜0考点：等差数列的性质．专题：常规题型．分析：由已知条件知A正确；由S11=11a6＞0知B正确；由S12==＞0，知C错误；由S13==13a7＜0，知D正确，解答：解：由已知条件即a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，因此d＜0，A正确；S11=11a6＞0，B正确；S12==＞0，故C错误；S13==13a7＜0，故D正确，故选C．点评：解答本题要灵活应用等差数列的通项公式、性质、前n项和公式求解．10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a4=3，a6=11，则S9=63．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，利用等差数列的性质可得a4+a6=a1+a9=14，从而可求得S9的值．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4=3，a6=11，∴a4+a6=a1+a9=14，∴S9==63，故答案为：63．点评：本题考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于中档题．12．（5分）若2x+y=2，则9x+3y的最小值为6．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意，9x＞0，3y＞0，可得9x+3y≥2=2，从而可得结论．解答：解：由题意，9x＞0，3y＞0，∴9x+3y≥2=2，∵2x+y=2，∴2≥6，当且仅当2x=y=1，即x=，y=1时，9x+3y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式、指数运算性质是关键．13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最小值是5．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，z=可看成阴影内的点到点A（﹣7，0）的距离，从而可得．解答：解：由题意作出其平面区域，z=可看成阴影内的点到点A（﹣7，0）的距离，则由解得，x=﹣3，y=3；故z==5，故答案为：5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．14．（5分）已知点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是﹣7＜m＜24．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：数学模型法．分析：点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，那么把这两个点代入3x﹣2y+m，它们的符号相反，乘积小于0，求出m的值．解答：解：因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，所以，（3×3﹣2×1+m）[3×（﹣4）﹣2×6+m]＜0，即：（m+7）（m﹣24）＜0，解得﹣7＜m＜24故答案为：﹣7＜m＜24．点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是基础题．15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=，则A=．考点：同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式、诱导公式求得cosA的值，可得A的值．解答：解：△ABC中，由1+=，可得1+=，化简可得sin（A+B）=2sinCcosA，求得cosA=，∴A=，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=，若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系探讨出函数的单调性，最后比较大小．解答：解：f′（x）==＜0，∴函数f（x）=在（1，+∞）递减，∵a＞b＞1，∴f（a）＜f（b）点评：本题主要考查函数的单调性，利用单调性比较两个函数值的大小，属于基础题．17．（12分）在△ABC中角B为钝角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足2bsinA=a．（1）求角B的值．（2）若b=19，a+c=5，求a、c的值．．考点：余弦定理；正弦定理．专题：集合．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，根据B为钝角，求出B的度数即可；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把各自的值代入求出a与c的值即可．解答：解：（1）已知等式2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=；（2）∵b=，a+c=5，B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即19=25﹣2ac+ac，即ac=6①，与a+c=5②，联立①②，解得：a=2，c=3；a=3，c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）解关于x的不等式：（ax+2）（x﹣1）＞0，（a∈R）考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：对a讨论，分a=0，a＞0，a＜0再分a=﹣2，a＞﹣2，a＜﹣2，判断两根的大小，再由二次不等式的解法，即可得到解集．解答：解：1）当a=0时，不等式变为x﹣1＞0，则x＞1；2）当a＞0时，方程（ax+2）（x﹣1）=0的两个根为﹣，1且﹣＜1，则x＞1或x＜﹣；3）当a＜0时，（x）（x﹣1）＜0，a=﹣2时，即有（x﹣1）2＜0，则x∈∅，a＜﹣2时，则﹣＜1，则﹣＜x＜1，﹣2＜a＜0，则﹣＞1，则1＜x＜﹣．综上，a=0时，解集为（1，+∞），a＞0时，解集为（1，+∞）∪（﹣）；a=﹣2时，解集为∅，a＜﹣2时，解集为（﹣，1），﹣2＜a＜0，时，解集为（1，﹣）．点评：本题考查二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．19．（13分）函数f（x）=sinx（x＞0）的零点按由小到大的顺序排成数列a n（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=3n a n，若数列b n的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和．专题：计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）求出函数的零点，得到数列{a n}是等差数列，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=3n a n，其中n∈N*的通项公式，利用错位相减法即可求数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）由y=sinx=0得，x=nπ，即x=nπ，n∈N•，它在（0，+∞）内的全部零点构成以π为首项，π为公差的等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=nπ．（2）∵b n=3n a n=nπ•3n，则数列{b n}的前n项和T n=π（1•3+2•32+3•33+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n）①则3T n=π（1•32+2•33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1）②①﹣②得，﹣2T n=π（3+32+33+…+3n﹣n•3n+1）=π（﹣n•3n+1），则T n=π（）．点评：本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据错位相减法是解决本题的关键．20．（13分）若关于x的方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）若点（a，b）∈S，求y=的取值范围．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令f（x）=x2+ax+b，根据题意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，进而求得b＞0，a+b+1＜0，3a+b+9＞0，画出可行域，进而分别求得z的最大和最小值，答案可得．（2）令x=2a﹣b∈（﹣11，﹣2），则y=x++2014，根据导数的符号求得函数y在（﹣11，﹣7）上是增函数，在（﹣7，﹣2）上是减函数，从而求得函数y的值域．解答：解：（1）设f（x）=x2+ax+b，则由题意可得f（x）的零点一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，3）内，故有，即，由线性规划的知识画出可行域：以a为横轴，b纵轴，再以z=2a﹣b为目标，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，0），（﹣1，0），（4分）（1）令z=2a﹣b，则直线b=2a﹣z经过点A时z取到下边界﹣11，经过点C时z取到上边界﹣2，又A，B，C三点的值没有取到，所以﹣11＜z＜﹣2．（2）若点（a，b）∈S，则2a﹣b∈（﹣11，﹣2），y===（2a﹣b）+2014+．令x=2a﹣b∈（﹣11，﹣2），则y=x++2014，令y′=1﹣=0，求得x=7（舍去），或x=﹣7，由于在（﹣11，﹣7）上，y′＞0，∴函数y在（﹣11，﹣7）上是增函数，在（﹣7，﹣2）上，y′＜0，∴函数y是减函数．∴当x=﹣7时，y max=2000；当x=﹣11时，y=2013﹣；当x=﹣2时，y=，故函数y的范围为（，2000]．点评：本题主要考查了一元二次方程根据的分布，以及线性规划的基本知识，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．21．（13分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．解答：解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f（n），则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n2﹣98，由f（n）＞0，得10﹣又∵n∈N*，∴3≤n≤17．即从第3年开始获利．（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．此时，总收益为12×7+26=110（万元）．②f（n）=﹣2（n﹣10）2+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）．此时，总收益为102+8=110（万元）．由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．根据函数图象或性质，对两个函数模型进行比较，分析最优解也是函数的主要应用．。

2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的． 1. 复数z =(2−i)2i（i 为虚数单位），则|z|＝（ ）A 25B √41C 5D √52. 设函数f(x)=sin(2x −π2)，则其导函数f′(x)是（ ）A 最小正周期为2π的奇函数B 最小正周期为2π的偶函数C 最小正周期为π的偶函数 D 最小正周期为π的奇函数3. 已知圆C ：(x −a)2+y 2＝1，直线l:x ＝1；则：“12≤a ≤32”是“C 上恰有不同四点到l 的距离为12”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4. 如果等差数列{a n }中，a 1＝−11，S 1010−S 88=2，则S 11＝（ ）A −11B 10C 11D −105. 若变量x ，y 满足约束条件{x ≥−1y ≥x 3x +2y ≤5 ，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A 4B 3C 2D 16. 执行如图的程序框图，则输出的λ是（ ）A −4B −2C 0D −2或07. 若x >0，y >0，x +2y +2xy ＝8，则x +2y 的最小值是（ ） A 112B 3C 92D 48. 函数 f(x)＝cos 3x +sin 2x −cosx 的最大值是（ ） A 827 B 1 C 3227 D 2 9. 已知M =C 201501+C 201512+C 201523+⋯+C 201520142015+C 201520152016，则M ＝（ ）A22016−12016B 220162016 C22015−12015D 22015201510. 已知平面向量满足：PA →⊥PB →,PA →+PB →=PM →,|QA →|=|QB →|=2，若|QM →|<1，则|PQ →|的取值范围是（ ）A (2,2√2]B (√7,3)C (√7,2√2]D [2√2,3)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11. 设随机变量X 服从正态分布N(3, 1)，且P(2≤X ≤4)＝0.68，则P(X >4)＝________． 12. 一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为________．13. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是________． 14. 已知曲线Γ：ρ=321−12cosθ，θ∈R 与曲线C:{x =12ty =√32t，t ∈R 相交于A ，B 两点，又原点O(0, 0)，则|OA|⋅|OB|＝________．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的所对边分别是a ，b ，c ，有如下下列命题： ①若A >B >C ，则sinA >sinB >sinC ； ②若cosA a=cosB b=cosC c，则△ABC 为等边三角形；③若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；④若(1+tanA)(1+tanB)＝2，则△ABC 为钝角三角形；⑤存在A ，B ，C ，使得tanAtanBtanC <tanA +tanB +tanC 成立． 其中正确的命题为________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知函数f(x)＝sin 2x +2sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ．求： (Ⅰ) 函数f(x)的单调增区间； (Ⅱ)若x ∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．17. 某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为12，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．(Ⅰ)第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；(Ⅱ)第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠CDA ＝90∘，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝2，CD ＝1，M ，N 分别是PD 、PB 的中点．（1）证明：直线NC // 平面PAD ；（2）求平面MNC 与地面ABCD 所成的锐二面角的余弦值． （3）求三菱锥P −MNC 的体积V ．19. 已知函数f(x)=(√x +√2)2，(x ≥0)，又数列{a n }中，a n >0，a 1＝2，该数列的前n 项和记为S n ，对所有大于1的自然数n 都有S n ＝f(S n−1)． (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)记b n =a n+12+a n 22a n+1a n，{b n }其前n 项和为T n ，证明：T n <n +1．20. 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且PF 1→⋅PF 2→的取值范围是[−43,43]．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)点A 是椭圆的右顶点，直线y ＝x 与椭圆交于B 、C 两点（C 在第一象限内），又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足(CP →|CP →|+CQ →|CQ →|)⋅F 1F 2→=0，求证：向量PQ →AB →共线．21. 设函数f(x)＝xlnx ． (Ⅰ) 求f(x)的极值；(Ⅱ)设g(x)＝f(x +1)，若对任意的x ≥0，都有g(x)≥mx 成立，求实数m 的取值范围； (Ⅲ)若0<a <b ，证明：0<f(a)+f(b)−2f(a+b 2)<(b −a)ln2．2015年安徽省淮北市、淮南市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. D3. B4. A5. B6. B7. D8. C9. A 10. C 11. 0.16 12. (8+2√5)cm13. 49 14. 12515. ①②④16. ( I)函数f(x)＝sin 2x +2sinxcosx −cos 2x =sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)，x ∈R令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ,(k ∈Z) 解得：−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，所以：f(x)的单调增区间为：[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)( II)由x ∈[0,π2]， 所以：π4≤2x +π4≤5π4从而有：−√22≤sin(2x −π4)≤1，故：−1≤√2sin(2x −π4)≤√2因此：函数f(x)的值域：[−1,√2]17. （1）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：C 53(12)3(1−12)2+C 54(12)4(1−12)+C 55(12)5=0.5（2）依题意有：Eξ=1×12+2×14+3×18+4×116+5×116=311618. 证明：如图，取PA 中点Q ，连接NQ ，DQ ，∵ N 、Q 分别为PB 、PA 的中点，∴ NQ // AB ，NQ =12AB ，又DC // AB ，DC =12AB ，∴ NQ // DC ，NQ ＝DC ，则四边形DCNQ 为平行四边形，∴ NC // DQ ，DQ ⊂面PAD ，NC ⊄面PAD ，∴ 直线NC // 平面PAD ； 连接BD ，∵ M 、N 分别为PD 、PB 中点， ∴ MN // BD ，过C 作l // BD ，则MN // l ，∴ 平面MNC ∩平面ABCD ＝l ，取AD 中点S ，连接CS ，∴ CS ⊥l ，连接MC ，则∠MCS 为平面MNC 与底面ABCD 所成的锐二面角，∵ PA ＝AD ＝AB ＝2，CD ＝1，∴ MS ＝1，SC =√2，则MC =√12+(√2)2=√3， ∴ cos∠MCS =√2√3=√63； 设SC ∩BD ＝R ，由题意可得：SR ＝CR ，∴ C 与S 到平面PMN 的距离相等，又S 为AD 的中点， ∴ S 到平面PMN 的距离等于A 到平面PMN 距离的一半， 设A 到平面PMN 距离为ℎ，由PA ⊥AB ⊥AD ，PA ＝AD ＝AB ＝2，则由等积法得：13×12×2×2×2=13×12×2√2×√6ℎ，解得ℎ=2√33， ∴ C 到平面PMN 的距离为√33，又三角形PMN 为边长是√2的正三角形，∴ S △PMN =√32， ∴ V P−MNC =13×√32×√33=16．19. （1）由f(x)=(√x +√2)2，S n ＝f(S n−1)知：S n =(√S n−1+√2)2， 又a n >0，a 1＝2，S n >0，∴ √S n −√S n−1=√2， 即：{√S n }是以√2为首项，√2为公差的等差数列， ∴ √S n =√2n ，S n =2n 2，∴ 当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝4n −2，当n ＝1时也成立， ∴ a n ＝4n −2． （2）证明：b n =a n+12+a n 22a n+1a n =(4n+2)2+(4n−2)22(4n+2)(4n−2)=8n 2+22(4n 2−1)=1+24n 2−1=1+12n−1−12n+1，T n =∑ n i=1(1+12i−1−12i+1)<n +1．20. （1）设P(x 0, y 0)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)， 其中c =√a 2−b 2,PF 1→=(−c,0)−(x 0,y 0)=(−x 0−c,−y 0)，PF 2→=(c,0)−(x 0,y 0)=(c −x 0,−y 0)．从而PF 1→⋅PF 2→=(−x 0−c,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=x 02−c 2+y 02=x 02+y 02−c 2．由于b 2≤x 02+y 02≤a 2,b 2−c 2≤PF 1→⋅PF 2→≤a 2−c 2，即2b 2−a 2≤PF 1→⋅PF 2→≤b 2． 又已知−43≤PF 1→⋅PF 2→≤43，所以{2b 2−a 2=−43b 2=43⇒{a 2=4b 2=43. 从而椭圆的方程是x 24+3y 24=1．（2）因为(CP →|CP →|+CQ →|CQ →|)⋅F 1F 2→=0,CP →|CP →|+CQ →|CQ →|∠PCQ 的平分线平行，所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴． 由{x 24+3y 24=1y =x解得{x =1y =1∴ C(1,1)．不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为−k ，因此PC 和QC 的方程分别为y ＝k(x −1)+1，y ＝−k(x −1)， 其中k ≠0,{y =k(x −1)+1x 24+3y 24=1.消去y 并整理得(1+3k 2)x 2−6k(k −1)x +3k 2−6k −1＝0(∗)．∵ C(1, 1)在椭圆上，∴ x ＝1是方程(∗)的一个根． 从而x P =3k 2−6k−11+3k 2，同理x Q =3k 2+6k−11+3k 2，从而直线PQ 的斜率为k PQ =y P −y Q x P −x Q=k(x P +x Q )−2kx P −x Q=k2(3k 2−1)1+3k 2−2k−12k 1+3k 2=13．又知A(2, 0)，B(−1, −1)， 所以k AB =−1−0−1−2=13∴ k PQ =k AB ，∴ 向量PQ →与AB →共线．21. （1）f ′(x)＝1+lnx ，(x >0)．令f ′(x)＝0，解得：x =1e，且当x ∈(0,1e)时，f ′(x)<0，x ∈(1e,+∞)时，f ′(x)>0，因此：f(x)的极小值为f(1e )=−1e ；（2）g(x)＝f(x +1)＝(x +1)ln(x +1)，令ℎ(x)＝(x +1)ln(x +1)−mx ，则ℎ′(x)＝ln(x +1)+1−m ，注意到：ℎ(0)＝0，若要ℎ(x)≥0，必须要求ℎ′(0)≥0，即1−m ≥0，亦即m ≤1； 另一方面：当m ≤1时，ℎ′(x)＝ln(x +1)+1−m ≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；(Ⅲ)构造函数F(x)=alna+xlnx−(a+x)ln a+x2，x>aF′(x)=1+lnx−ln a+x2−1=ln2xa+x，又∵ x>a，∴ 0<a+x<2x，F′(x)>0，F(x)在(a, +∞)上是单调递增的；故F(b)>F(a)＝0，即：f(a)+f(b)−2f(a+b2)>0．另一方面，构造函数G(x)=alna+xlnx−(a+x)ln a+x2−(x−a)ln2G′(x)=ln2xa+x−ln2=ln xa+x<0，G(x)在(a, +∞)上是单调递减的，故G(b)<G(a)＝0即：f(a)+f(b)−2f(a+b2)<(b−a)ln2，综上，0<f(a)+f(b)−2f(a+b2)<(b−a)ln2．。

1，等差数列}{n a 中，若58215a a a -=+，则5a =（ C ）3.A4.B5.C6.D2．设函数A ．()y f x =的最小正周期为 2π，且在 (0,)π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为 π，且在 (0,)π上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为 π,且在 D ．()y f x =的最小正周期为 π，且在【答案】D 【解析】ω=2考点：三角变换，三角函数图像与性质3．在ABC ∆中，若，则ABC ∆的形状是（ ）. A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形【答案】B 【解析】试题分析：化为B A 2sin 2sin =,π=+=B A B A 2222或,即所以三角形是等腰或直角三角形.考点：同角三角函数基本关系式、正弦定理.4.在等差数列}{n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ A ）24.A 22.B 20.C 8.-D5．己知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则n S =（ ）A.2n B.2n - C.22n n - D.22n n -【答案】C 【解析】试题分析：由直线1y a x =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，可得直线1y a x =与直线直线0x y d ++=是互相垂直的关系，且直线0x y d ++=过圆心(2,0)，从而有11a =、2d =-，进而有 C. 考点：直线与圆、等差数列求和. 6．已知数列{}n a 中的11a =，1,2,3,），则数列{}n a 中的10a =（）A.1B.【答案】C【解析】为首项，1为公差的等差数列，故选择C ，有些数列本身并不是等差或等比数列，但可通过取倒数，取对数，加常数，作差，作商等方式，使产生的新数列成等差或等比数列，通过新数列相应问题的解决，达到解决原数列相关问题的目的. 考点：数列中递推关系式的处理.7．已知,OA OB 是两个单位向量，且OA OB ⋅=0．若点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，则,(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则）. A．3【答案】C 【解析】试题分析：由于0=⋅OB OA ，OB OA ⊥∴，建立直角坐标系B O A --，由,(,)OC mOA n OB m n R=+∈，()n m C ,∴，由于考点：平面向量的应用.8．设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若【答案】【解析】考点：等差数列的性质和前n 项和公式.9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若11132S =，若324k a a +=，则正整数k 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】A 【解析】是（ ）.A ．6S 和7S 均为n S 的最大值B ．07=aC ．公差0d <D ．59S S > 【答案】D 【解析】试题分析：由题知0656>=-a S S ，0767==-a S S ，0878<=-a S S ，因此该等差数列是递减数列，前6项为正，第7项为0，从第8项开始为负值，()028*******<+=+++=-∴a a a a a a S S ，59S S <∴，选项D 错.考点：等差数列的性质.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由所以24a =，故32642d a a =-=-=.考点：等差数列前n 项和公式，等差数列基本性质，本题也可以用基本量法解决. 12．在等差数列{}n a 中，2526,15,n n a a b a ===，则数列{}n b 的前5项和5S =______. 【答案】90【解析】试题分析：∵25615a a =⎧⎨=⎩∴133a d =⎧⎨=⎩，∴3n a n =，∴26n n b a n ==，考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前n 项和公式. 14．已知数列{}n a 的前n 项和，则此数列的通项公式为【解析】试题分析：当2n ≥时，6512n考点：由前n项和公式求通项公式.则公差d 的取值范围是（ ）. 【答案】D【解析】试题分析：由已知得：100a >，即-10+9d>0,；90a ≤即-10+8d ≤0,得到. 16，已知数列中，17．对于正项数列}{n a ，定义H n，则数列}{n a 的通项公式为________． 【解析】 试题分析：n 1H a =+n 2H n =+，a 2a ∴+考点：数列递推式18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）2,2【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形内角和定理先将A A B C 2sin 2)sin(sin =-+化为s i n [()]s i n (A B B A Aπ-++-=，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为A A A B cos sin 2cos sin =，分两种情况，若cos 0A =，则求出A ，B ，C 三角，利用解直角三角形求出b a ,，从而求出面积，若cos 0A ≠，求出A ，B 关系，利用正弦定理求出b a ,关系，结合（Ⅰ）中结果求出b a ,，从而求出三角形面积.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a ，得4=ab 3分 联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a 5分（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++ 即A A A B cos sin 2cos sin =. 7分ABC ∆的面积分当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，联立方程⎩⎨⎧==-+ab ab b a 2422所以ABC ∆的面积，综上，ABC ∆的面积为分 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角变换，运算求解能力。

机密★启用前2015—2016学年度第二学期高二期中考试理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

出题人 刘定明 审题人 刘声立一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则U C A B （）为（ ）．（A ）{}421，， （B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i-+251（i 是虚数单位）的模等于（ ）． （A ）10 （B ）10 （C（D ）5 （3）下列命题中的假命题是（ ）．（A ）0lg ,=∈∃x R x （B ）0tan ,=∈∃x R x （C ）02,>∈∀x R x （D ）0,2>∈∀x R x（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n，则实数a ＝（ ）．（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2（5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝（ ）． （A ）O30 （B ）O45 （C ）O60 （D ）O90（6）已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f =（ ）.（A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）18（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角主视图侧视图形，则该几何体的体积是（ ）． （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）13（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）．（A ）2- （B ）2 （C ）1 （D ）1- （9）函数x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）． （A ）3π （B ）π34 （C ）π23 （D ）π67（10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．（A ）αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥ （B ）m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥（11）双曲线22132x y -=的焦距为（ ） （A） （B（C） （D） （12）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB ＝ （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ） 10 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

淮北一中2015高二下第一次质量检测数学试题（理科）命题：刘道福 审核：程刘刚 时间：120分钟 满分：150第I 卷(选择题)一、选择题（本大题共50分，单项选择）1. 已知复数Z 1 23sin 23cos i +=和复数Z 2 37sin 53sin i +=，则Z 1·Z 2= （ ）A ．i 2123+ B ．i 2321+ C ．i 2321- D ．i 2123- 2. 已知+∈R b a ,，则“0)1)(1(>--b a ”是“0log >b a ”的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知过曲线y =31x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--328,1D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛320,34. 设点G 是ABC ∆的重心，若,1,1200-=∙=∠AC AB A 的最小值是（ ）A.33 B. 32 C. 32 D. 435. 若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()tan f x x =D ． ()sin f x x =6. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,且1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，a b >，则B ∠=（ ）A 、6πB 、3π C 、23π D 、56π7. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝08. 设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若163),,(=⋅∈+=μλμλμλR OB OA OP ，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C 2D ．989. 设等差数列{}n a 满足：1)sin(sin sin cos cos cos sin 54722272222222=+-+-a a a a a a a a ，公差)0,21(-∈d若当且仅当11=n 时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. ),1110(ππ B. ),1110[ππ C. )1011,[ππ D. )1011,(ππ10. 已知R x e x f x ∈=,)(，b a <，记))()()((21),()(b f a f a b B a f b f A +-=-=则B A ,的大小关系是（ ）A.B A >B. B A ≥C. B A <D. B A ≤第II 卷 (非选择题 100分)二、填空题（25分，每小题5分）11. 已知向量)1,11(-=x a ，)1,1(y=)0,0(>>y x ，若⊥，则y x 4+的最小值为 12.已知点F 为抛物线22x y =的焦点，点A 为椭圆13422=+y x 的右顶点，则=AF13. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是 ．14. 定义：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在1212,(),x x a x x b <<<满足''12()()()()(),(),f b f a f b f a f x f x b a b a--==--则称函数()y f x =在区间[,]a b 上是一个双中值函数，已知函数321()3f x x x a =-+是区间[0,]a 上的双中值函数，则实数a 的取值范围是 .15. 设二次函数)(x g 的图象在点))(,(m g m 的切线方程为)(x h y =，若)()()(x h x g x f -= 则下面说法正确的有： ①存在相异的实数21,x x 使)()(21x f x f = 成立； ②)(x f 在m x =处取得极小值； ③)(x f 在m x =处取得极大值； ④不等式20151)(<x f 的解集非空;⑤直线 m x =一定为函数)(x f 图像的对称轴。

安徽省淮北市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2012·浙江理) 已知i是虚数单位，则 =（）A . 1﹣2iB . 2﹣iC . 2+iD . 1+2i2. （2分） (2017高二下·微山期中) 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）A . C4H9B . C4H10C . C4H11D . C6H123. （2分）用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c都大于1B . 假设a，b，c中至多有一个大于1C . 假设a，b，c都不大于1D . 假设a，b，c中至多有两个大于14. （2分）设函数，则（）A . 为的极大值点B . 为的极小值点C . 为的极大值点D . 为的极小值点5. （2分）(2016·青海) 已知，，记则A,B的大小关系是（）A . A>BB .C . A<BD .6. （2分）曲线上的点到直线的最短距离是（）．A . 0B .C .D .7. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＞f′（x）tanx成立，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分）“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A . 正方形都是对角线相等的四边形B . 矩形都是对角线相等的四边形C . 等腰梯形都是对角线相等的四边形D . 矩形都是对边平行且相等的四边形10. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1 ，下列判断中一定正确的是（）A . 在t1时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在t0时刻，两车的位置相同D . t0时刻后，乙车在甲车前面11. （2分）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）A . 30种B . 36种C . 42种D . 48种12. （2分） (2017高二下·吉林期末) 若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（）A .B .C . 0D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·赣州期中) （x2+ ）dx=________．14. （1分） (2018·江西模拟) 在的展开式中的系数为________．15. （1分）(2013·上海理) 对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f （x）﹣x=0有解x0 ，则x0=________．16. （1分）(2017·榆林模拟) 已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α且n∥α，则m∥n；②若m⊥β且m⊥n，则n∥β；③若m⊥α且m∥β，则α⊥β；④若n⊂α且m 不垂直于α，则m不垂直于n．其中正确命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2019高二下·宁夏月考)（1）当时，试用分析法证明：；（2）已知， .求证：中至少有一个不小于0.18. （15分）(2012·天津理) 已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．19. （10分）已知函数f（x）=2x ，x∈R．（1）当m取何值时方程|f（x）﹣2|=m有一个解？两个解？（2）若不等式f2（x）+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，求m的范围．20. （5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N* ，都有2Sn=（n+1）an ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn ，求证：≤Tn＜1．21. （15分） (2015高二下·淮安期中) 综合题。

安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理科数学一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集，集合，则=（）A.[2，3）B.（2，4）C.(3，4]D.(2，4]2.复数，则等于（）A. B. C. D.3.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A. B. C. D.4.已知数列{ a n}的前n项和为S n ，点( n，S n)在函数f( x)=的图象上，则数列{ a n} 的通项公式为（）A. B. C. D.5.过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为 ( ）A. B. C. D.6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A.24种B.28种C.32种D.16种7.下列四个结论：①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“”的否定是“③在中，“”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）A.10072B.10082C.10092D.201029.已知函数满足对恒成立，则函数（）A.一定为奇函数B.一定为偶函数C.一定为奇函数D.一定为偶函数10.已知函数若函数只有一个零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.12.如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)13.函数在区间上的最大值是.14.设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前n项和为，已知，，则．15.已知，抛物线的焦点为，直线经过点且与抛物线交于点，且，则线段的中点到直线的距离为.16.已知函数，存在，，则的最大值为( ).三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)17.(本小题满分12分)在中，边分别是内角所对的边，且满足，设的最大值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当为的中点时，求的长．18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC ＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.（Ⅰ）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB．（Ⅱ）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点，P是上任意一点，P在轴上的射影为，,动点的轨迹为C，直线与轨迹交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．优质文档21.（本小题满分12分）已知函数 .(Ⅰ)时，求的单调区间和极值；(Ⅱ)时，求的单调区间( III )当时，若存在，使不等式成立，求的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.已知在三角形ABC中， AB=AC. 以 AB 为直径的圆O 交 BC 于 D ，过D 点作 O 的切线交 AC 于 E .求证：(Ⅰ) DE垂直于AC(Ⅱ) BD2=CE ·CA23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(Ⅰ)设与相交于两点,求；(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线 ,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理科数学答案1. 【分析】本题主要考查了交集的运算，首先化简两个集合，再利用补集与交集的运算法则计算出结果.【解答】解：由题意得：A={y|2≤y≤4}，B={x|3≤x≤4}.则={x|2≤x＜3}.故选A.2. 【分析】本题主要考查了复数的运算，首先利用复数的运算法则把z化简为最简结果，再利用求模公式计算出结果.【解答】解：.故答案为B.3. 【分析】本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可.【解答】解：的最小值，即求2x+y的最小值，当取K点时为最小值，平移直线y=-2x到K（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即Z最小值=8.故选C.4. 【分析】本题主要考查了定积分的运算和数列的知识，首先由定积分的知识求出f（x）的函数关系式，再利用数列的前n项和与通项公式之间的关系求解.【解答】解：∵f( x)= =，∴当n=1时，.当n≥2时，.当n=1时不符合上式.则.故选D.5. 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用基本不等式求出当圆心到直线的距离为1时，三角形的面积最大，从而利用点到直线的距离求解.【解答】解：由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x-2）.则圆心到直线l的距离d=.S=.当且仅当，即时取等号.∴=1.解得：k=.故选C.6. 【分析】不同主要考查了组合的应用.把给出的问题分为两类：其中一位同学得到两本小说，其中一位同学得到1本小说和1本诗集，进而解答此题.【解答】解：因为没命同学至少1本书，则一定有两个同学得到两本书，这两本书可能是2本小说，也可能是1本小说和1本诗集，则不同的分法为.故选D.7. 【分析】本题主要考查了命题的真假的判定. ①用否命题的定义进行判定；②根据特称命题的否定是全称命题进行判定；③在由三角形的性质进行判定；④由幂函数的性质进行判定.【解答】解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f （x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，故①错误；②命题“”的否定是“对于任意x∈R，x2-x-1≥0”，故②正确；③在△ABC中，“sin A＞sin B”等价为a＞b，等价为“A＞B”，则，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件，故③正确．④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的.则正确命题的个数为3.故选C.8. 【分析】本题主要考查了程序框图与算法的循环结构，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3；第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5；第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7；…第n次执行循环体，S=n2，不满足退出循环的条件，i=2n+1；…第1008次执行循环体，S=10082，不满足退出循环的条件，i=2017；第1009次执行循环体，S=10092，满足退出循环的条件，故输出的S值为：10092故选C.9. 【分析】本题主要考查的是三角函数的图像与性质.利用已知的等式确定出的一条对称轴.从而利用“左加右减，上加下减”的平移规律，以及偶函数的定义进行解答.【解答】解：由条件可知，即的一条对称轴.又是由向左平移个单位得到的，所以关于对称，即为偶函数.应选D.10. 【分析】本题主要考查了函数的零点的知识，分析已知的条件，把方程的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，从而求出a的取值范围.【解答】解：∵只有一个零点，∴方程只有一个根，∴函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象只有一个交点，函数图象如下所示：由图象可知 .故选B.11. 【分析】本题主要考查了由三视图由体积的知识.由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案. 【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，故选C.12. 【分析】本题主要考查了向量以及数列的知识.由向量的运算法则得出，证明{a n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论.【解答】故选D.13本题主要考查了导数的应用.利用导数确定出函数的单调区间，进而求出最大值.【解答】解：∵，∴y′=1-2sinx.所以，故答案为.14【解答】故答案为10.15可得，从而求出线段AB的中点到直线的距离. 【解答】解：故答案为.16【解答】解：故答案为.17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，，即.由余弦定理知，，在上单调递减，的最大值.（2）根据题意：利用余弦定理又因为D是AC的中点，所以AD等于，所以18. 解：（Ⅰ）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和依题意得解得．所以区间内的频率为．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（Ⅰ）得，区间内的频率为，将频率视为概率得因为的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．19. 证明：（1）取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，.取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴.∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．∴DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB．（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．20. 解：（Ⅰ）设, ∴,∵.∴∵P在上，∴所以轨迹的方程为．（Ⅱ）因为点的坐标为因为直线与轨迹C于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. 解：（Ⅰ）时，令解得，当时，当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；所以的极小值是，无极大值；（ II ）① 当时，，令解得：，或. 令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；② 当时，，在上单调递减；③ 当时，，令解得：，或令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；( III )由（ II ）知，当时，在上单调递减. 所以，因为存在，使不等式成立，所以，即整理得，因为，所以所以，所以，的取值范围是.22. 证明：（1）连接OD、AD．∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又AB=AC，∴BD=DC．∴OD∥AC，DE⊥AC．(II)由（I）得D为BC中点，所以.所以.有得.23. 解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为, , 则.（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时, 取得最小值,且最小值为.24. 解：（Ⅰ）当时，等价于．①当时，不等式化为，无解；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（Ⅱ）因为不等式的解集为空集，所以因为，当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以令，所以．当且仅当，即时等号成立所以．所以的取值范围为．。

2015年安徽省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 复数11−i 的共轭复数为（ ）A 12+12i B 12−12i C −12+12i D −12−12i2. 若集合M ={y|y =3t , t ∈R}，N ={x|y =ln(x −2)}，则下列各式中正确的是（ ） A M ⊆N B M =N C N ⊆M D M ∩N =⌀3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，那么这个几何体的体积为（ ） A √33π B √22π C √24π D π44. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A −3B −12 C 13 D 25. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0，直线C 2的参数方程为{x =−1+12ty =k +√32t （t 为参数），若两曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ） A k ∈R B k >4 C k <−4 D −4≤k ≤46. 已知P 是半径为2的球面上一点，过P 点作两两垂直的三条线段PA ，PB ，PC ，A ，B ，C 三点均在球面上，满足PA =2PB ，则P 点到平面ABC 的最远距离是（ ） A4√69 B 43 C 87 D 657. 若函数f(x)=3|x−2|−m −2有唯一的零点，则直线mx +ky +3k −2=0恒过定点为（ ）A (27,−3) B (−2, −3) C (0, 27) D (−2, 0) 8. 已知椭圆C:x 29+y 28=1的右焦点为F 2，右准线为l ，左焦点为F 1，点A ∈l ，线段AF 2交椭圆C 于点B ，若F 2A →=4F 2B →，则|BF 1|=( )A 2B 4C 6D 89. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x ，那么在区间[−1, 3]上，关于x 的方程f(x)=kx +k −1（其中k 为不等于1的实数）有四个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ）A （ ）B (0, 12) C (0, 14) D (0, 13)10. 如图，某人从第1个格子开始，每次可向前跳1格或2格，那么此人跳到第10个格子的方法种数为（ ） 12345678910A 13种B 21种C 34种D 55种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11. 如图所示，阴影部分是由曲线y =x 2(x >0)与圆(x −1)2+y 2=1构成的区域，在圆中任取一点M ，则M 点落在阴影部分区域的概率为________．12. 已知正数a ，b ，c ，满足a +b =12ab ，a +b +c =abc ，则c 的取值范围是________． 13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11>0，S 12<0，则S 1a 1，S 2a 2，…S11a 11中最大的是________．14. 已知(x 2+2x +1)(1+x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7，则a 1+2a 2+3a 3+...+7a 7=________．15. ①函数y =cos(x −π4)cos(x +π4)的最大值为14； ②函数y =x+2x−1的图象关于点(1, 1)对称；③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sinx ≤1，则命题￢p ：存在x ∈R ，使得sinx >1． 其中所有真命题的序号是________．三、解题题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 已知在△ABC 中，cosA =−513，cosB =35． （1）求sinC 的值；（2）设△ABC 的面积S △ABC =325，求AB 的长．17. 如图，已知ABCD−A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1=60∘，AD1=4，点P是AD1上的动点．（1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论；（2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所称角的余弦值；（3）求直线PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．18. 甲乙两人进行围棋比赛，每一局2人获胜的概率相等，谁先赢得规定的局数就获胜．（1）若甲还需n局，乙还需3局才能获胜(n>3)，求甲获胜的概率；（2）若规定连胜两局者获胜，比赛完5局仍未出现连胜，则约定获胜局数多者获胜，记比赛总局数为X，求X的分布列与期望．19. 设数列{a n}满足a1=2，a m+n+a m−n−m+n=12(a2m+a2n)，其中m，n∈N，m≥n．（1）证明：对一切n∈N，都有a n+2=2a n+1−a n+2．（2）证明：1a1+1a2+...+1a2015<1．20. 已知椭圆C:3x2+4y2=12和点Q(4, 0)，直线l过点Q且与椭圆C交于A、B两点（可以重合）．（1）若∠AOB为钝角（O为原点），试确定直线l的斜率的取值范围；（2）设点A关于长轴的对称点为A1，F为椭圆的右焦点，试判断A1和F，B三点是否共线，并说明理由．21. 已知函数f(x)=2ln(x+1)+1x(x+1)−1；（1）求f(x)在区间[1, +∞)上的最小值；（2）证明：当n≥2时，对任意的正整数n，都有ln1+ln2+...+lnn>(n−1)22n．2015年安徽省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D10. D11. 14−13π12. (12, 815]13. S6a 614. 192 15. ②③④16. 解：（1）因为0<A <π，cosA =−513， 所以sinA =√1−cos 2A =1213，因为0<B <π，cosB =35，所以sinB =√1−cos 2B =45， 所以sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =1213×35+(−513)×45=1665；…（2）由S △ABC =325得，12AC ⋅BC ⋅sinC =325，所以AC ⋅BC =52，由正弦定理得，ABsinC=BC sinA =AC sinB ，所以AC =BC⋅sinB sinA=BC ⋅1315=52AC⋅1315，解得AC =√15，则AB =AC⋅sinC sinB=45˙=8√1515…． 17. 解：（1）不论点P 在AD 1上的任何位置，都有平面B 1PA 1垂直于平面AA 1D 1．证明：由题意得B 1A 1⊥A 1D 1，B 1A 1⊥A 1A ，又∵ AA 1∩A 1D 1=A 1，B 1A 1⊥A 1A ，又∵ AA 1∩A 1D 1=A 1，∴ B 1A 1⊥平面AA 1D 1， ∵ B 1A 1⊂平面B 1PA 1，∴ 不论点P 在AD 1上的任何位置，都有平面B 1PA 1垂直于平面AA 1D 1．． （2）过点P 作PE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连结B 1E ，如图，则PE // AA 1， ∴ ∠B 1PE 是异面直线AA 1与B 1P 所成的角，在Rt △AA 1D 1中，∵ ∠AD 1A 1=60∘，∴ ∠A 1AD 1=30∘， ∴ A 1B 1=A 1D 1=12AD 1=2，A 1E =12A 1D 1=1，∴ B 1E =√B 1A 12+A 1E 2=√5，又PE =12AA 1=√3，∴ 在Rt △B 1PE 中，B 1P =√5+3=2√2， cos∠B 1PE =PEB1P=√32√2=√64，∴ 异面直线AA 1与B 1P 所有角的余弦值为√64． （3）由（1）知，B 1A 1⊥平面AA 1D 1，∴ ∠B 1PA 2是PB 1与平面AA 1D 1所成的角，且tan∠B 1PA 1=B 1A 1A 1P=2A 1P，当A 1P 最小时，tan∠B 1PA 1最大，此时A 1P ⊥AD 1， 由射影定理得A 1P =AD 1˙=√3， ∴ tan∠B 1PA 1=2√33，即直线PB 1与平面AA 1D 1所成角的正切值的最大值为2√33． 18. 解：（1）若进行n 局比赛，则甲获胜的概率为(12)n ，若进行n +1局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n 局比赛中甲负一局，概率为C n 1(12)n+1， 若进行n +2局比赛，则最后一局比赛甲获胜，且前n 局比赛中甲负两局，概率为C n 2(12)n+2，∴ 甲获胜的概率P =(12)n +C n 1(12)n+1+C n 2(12)n+2．（2）用A 表示甲羸得比赛的事件，A k 表示第k 局甲获胜，B k 表示第k 局乙获胜， 比赛总局数X 的可能取值为2，3，4，5，P(X =2)=P(A 1A 2)+P(B 1B 2)=12×12+12×12=12，P(X =3)=P(A 1B 2B 3)+P(B 1A 2A 3)=12×12×12+12×12×12=14，P(X =4)=P(A 1B 2A 3A 4)+P(B 1A 2B 3B 4)=12×12×12×12+12×12×12×12=18，P(X =5)=P(A 1B 2A 3B 4A 2)+P(B 1A 2B 3A 4B 5)+P(B 1A 2B 3A 4A 5)+P(A 1B 2A 3B 4B 5) =12×12×12×12×12+12×12×12×12×12+12×12×12×12×12+12×12×12×12×12=18，E(X)=2×12+3×14+4×18+5×18=238．19. （1）证明：令m =n ，可得a 0=0；令n =0，可得a 2m =4a m −2m ， 令m =1，可得a 2=4a 1−2=6；令m =n +2，则a 2n+2+a 2−2=12(a 2n+4+a 2n )，∵ a 2m =4a m −2m ，∴ a 2n+1=4a n+1−2(n +1)，a 2n+4=4a n+2−2(n +2)，a 2n =4a n −2n ∴ a n+2=2a n+1−a n +2；（2）证明：由（1）知(a n+2−a n+1)−(a n+1−a n )=2 ∵ b n =a n+1−a n ， ∴ b n+1−b n =2∴ 数列{b n }为首项为a 2−a 1=4，公差为2的等差数列， b n =2n +2，则a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1) =2+4+6+...+2n =n(n +1)，1a n=1n(n+1)=1n−1n+1，即有1a 1+1a 2+...+1a2015=1−12+12−13+...+12015−12016=1−12016<1．20. 解：（1）设直线l 的方程为my =x −4，联立{my =x −43x 2+4y 2=12，化为(3m 2+4)y 2+24my +36=0，△=(24m)2−4(3m 2+4)×36≥0，解得m 2≥4． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则y 1+y 2=−24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4．∵ ∠AOB 为钝角（O 为原点），∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2<0，化为(m 2+1)y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16<0． ∴36(m 2+1)3m 2+4−96m 23m 2+4+16<0，化为3m 2>25， 解得−√35<1m<√35，且1m≠0，∴ 直线l 的斜率的取值范围是(−√35，0)∪(0,√35)． （2）由（1）可得A 1(x 1, −y 1)，F(1, 0)． FA 1→=(x 1−1, −y 1)，FB →=(x 2−1, y 2)．∴ (x 1−1)y 2+y 1(x 2−1)=(my 1+3)y 2+y 1(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=72m 3m 2+4−72m 3m 2+4=0，∴ FA 1→ // FB →，即A 1和F ，B 三点共线． 21. 解：（1）函数f(x)的导数为f′(x)=2x+1−2x+1x 2(x+1)2=(2x 3−1)+2x(x−1)x 2(x+1)2，当x ≥1时，f′(x)>0，即f(x)在[1, +∞)上为增函数， 则f(x)在区间[1, +∞)上的最小值为f(1)=2ln2−12；（2）由（1）知，对任意的实数x ≥1，2ln(x +1)+1x(x+1)−1≥2ln2−12>0恒成立， 对任意的正整数k ，2ln(k +1)+1k(k+1)−1>0，即2ln(k +1)>1−(1k −1k+1)，则有2ln2>1−(1−12)，2ln3>1−(12−13)，…，2lnn >1−( 1n−1−1n)．累加可得2ln2+2ln3+...+2lnn >n −1−(1−1n)=(n−1)2n，即有ln1+ln2+ln3+...+lnn >(n−1)22n(n ∈N ∗且n ≥2)．。

安徽省淮北市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A .B .C .D .2. （2分）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二上·海林期末) 命题“∀x∈R，都有log2x＞0成立”的否定为（）A . ∃x0∈R，使log2x0≤0成立B . ∃x0∈R，使log2x＞0成立C . ∀x∈R，都有log2x≥0成立D . ∀x∈R，都有log2x＞0成立4. （2分） (2015高二上·海林期末) 阅读程序框图，则该程序运行后输出的k的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分） (2015高二上·海林期末) 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，4D . 85，1.66. （2分） (2015高二上·海林期末) 国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A . 24B . 35.6C . 40D . 40.57. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·海林期末) 某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）A . 20B . 22.5C . 22.75D . 259. （2分） (2015高二上·海林期末) 从（m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到直线l1：3x﹣4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，则AC与平面BDC1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二上·海林期末) 若点O（0，0）和点分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [﹣1，+∞）B . （0，+∞）C . [﹣2，+∞）D . [0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·扬州模拟) 已知{an}是公差不为0 的等差数列，Sn是其前n项和，若a2a3=a4a5 ， S9=1，则a1的值是________．14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 设a= dx，则二项式（x+ ）（2x﹣）5的展开式中的常数项是________．15. （1分） (2015高二上·海林期末) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，2AB=2AC=AA1 ，则异面直线BA1与B1C所成的角的余弦值等于________．16. （1分） (2015高二上·海林期末) 如图，已知F1 ， F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共70分)17. （10分）已知集合A={x|kx2﹣3x+2=0}．（1）若A=∅，求实数k的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求k的值及集合A．18. （10分） (2019高一下·梅县期末) 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.(参考公式: ，其中， )（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程（2）假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?19. （10分）(2020·盐城模拟) 若有穷数列共有项，且，，当时恒成立.设 .（1）求，；（2）求 .20. （15分） (2015高二上·海林期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点M是PD的中点，作ME⊥PC，交PC于点E．（1）求证：PB∥平面MAC；（2）求证：PC⊥平面AEM；（3）求二面角A﹣PC﹣D的大小．21. （15分） (2015高二上·海林期末) 如图，已知直线l与抛物线y2=2x相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2=﹣4，（1）求：M点的坐标；（2）求证：OA⊥OB；（3）求△AOB的面积的最小值．22. （10分） (2015高二上·海林期末) 椭圆的左右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若在椭圆C上存在点Q满足：（O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。