湖南省2019-2020年上学期高三期末统测数学(理)试题(图片版)

2019-2020年高三上学期期末考试数学理试题含答案(I)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．函数1()1f x x =+- A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[0,1)(1,)+∞ D ．[0,1)2．如果点()02,P y 在以点F 为焦点的抛物线24y x =上，则PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．在△ABC 中，︒=∠30A，AB =1BC =， 则△ABC 的面积等于A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或435．执行如图所示的程序框图，输出结果是4． 若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为A ．1,2,3B ．1C ．2D ．1,26．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点,D E 分别在线段,OC AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是 A ．(1)(01)y x x x =-≤≤ B ．(1)(01)x y y y =-≤≤ C ．2(01)y x x =≤≤ D ．21(01)y x x =-≤≤7．已知平面向量a ，b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为 A ．BCD ． 18．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是 ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ． 11．直线y kx =与圆22(2)4x y -+=相交于O ,A两点，若OA k 的值是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．俯视图侧视图正视图13．实数,x y 满足3,20,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是 ．14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos 2α的值．16．（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB内一点，且满足13OG OA OB =+（），求证：DG ∥面PBC ；（Ⅲ）若==2AB AC ，=4PA ， 求二面角A PB C --的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1)2P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直BPDOACG角三角形，试求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =． （Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2014.1一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A A C二、填空题 题号 910 11 121314答案542182238128234(12222)(131)++++⋅+三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 随机变量X8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分 17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB =A ，所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥， 所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ． 又因为13OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33a bG ． 于是(,,)33a bDG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ， 所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分解法2：CPDOA取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．B因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =． 当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21(,)e x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去.由①②知，35m =时，5k =±． （2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +， 因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+，则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>．故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >．所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大．解法2：依题意lg lg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >．于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >，所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则lg 1m t m ≤<+，所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1） 当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<． 又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<． 所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =． （3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．t ．………………13分综上所述4,10,11,12,...20,21。

2019-2020学年高三第一学期理科数学期末考试试卷一、选择题1．已知集合{|5}A x x =„，{|39}x B x =<，则(A B =U ) A ．(-∞，2]B ．(-∞，5]C ．(2，5]D ．(-∞，2)(2⋃，5)2．已知复数112z i =-，121z z =g ，则复数2z 的虚部为( ) A ．25B．25-C ．15D ．15-3．已知函数2()(1)x f x x x e =++，则()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=4．设x ，y 满足约束条件262220x y x y y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．2B ．6C ．10D ．145．已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，则函数()f x 的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π6．若输入的值为7，则输出结果为( )A ．74B ．34C ．78D ．327．如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点，则四棱锥1P EFBB -的体积为( )A 3B 3C 23D 438．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32,26,4b c C π===，则ABC∆的面积为( ) A ．2B ．22C ．3D ．329．51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数为( )A ．112-B ．112C ．513-D ．51310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(F O OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．3y =±C ．2y x =±D ．2y x =11．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2,43ABC PA π∠==，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为( ) A 7 B 6C 27D ．2712．已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有(1)(1)f x f x -=+，当[0x ∈，1)时，21()21x x f x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时，k 的取值范围是( )A ．12[,)415--B ．22(,]915--C ．21(,)96--D ．221(,]9153⎧⎫---⎨⎬⎩⎭U二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知在平行四边形ABCD 中，1,3BE BC AE xBD yBC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y -= ．14．已知α是第四象限的角，且满足29cos sin 217αα+=，则tan α= ．15．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球．规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是 ．16．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过点(1,0)-作斜率为正值的直线l 交C 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点A ，B ，M 分别作x 轴的平行线，与l 分别交于D ，E ，Q ，则当||||MQ DE 取最小值时，||AB = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1111,(22)2n n n a S a ++==-．（1）求2a 及数列{}n a 的通项公式； （2）若112211log (),n n n n nb a a ac a b =⋯=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件．根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件． （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案．(6年的净利润6=年销售利润一设备一次性投资费用）19．如图1所示，在直角梯形DCEF 中，//DF CE ，FD DC ⊥，//AB CD ，224BE AB AF AD ====，将四边形ABEF 沿AB 边折成图2．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）若23EC =，求平面DEF 与平面EAC 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，点(4,1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:3l y kx =-与C 交于A ，B 两点，是否存在l ，使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21．已知1()mf x x mlnx x-=+-，m R ∈． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <„时，证明2()1x e x xf x m >-+-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--． （1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合{|5}A x x =„，{|39}x B x =<，则(A B =U ) A ．(-∞，2]B ．(-∞，5]C ．(2，5]D ．(-∞，2)(2⋃，5)解：{|5}A x x =Q „，{|2}B x x =<， (A B ∴=-∞U ，5]．故选：B ．2．已知复数112z i =-，121z z =g ，则复数2z 的虚部为( ) A ．25B ．25-C ．15D ．15-解：由112z i =-，121z z =g ， 得2111121212(12)(12)55i z i z i i i +====+--+， ∴复数2z 的虚部为25． 故选：A ．3．已知函数2()(1)x f x x x e =++，则()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=解：由2()(1)x f x x x e =++，得22()(21)(1)(32)x x x f x x e x x e x x e '=++++=++， 则(0)2f '=，又(0)1f =，()f x ∴在(0，(0))f 处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=．故选：D ．4．设x ，y 满足约束条件262220x y x y y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．2B ．6C ．10D ．14解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2z x y =-过点B 点时，目标函数2z x y =-截距最小，Z 取最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(6,2)B 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值：26210⨯-=． 故选：C ．5．已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，则函数()f x 的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π解：函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=-+，132sin (cos cos )2x x x x =++，332sin (cos )2x x x =+，23sin cos 3x x x =+，31cos 2sin 2322xx -=+， 333sin 222x x =-+， 33)6x π=- 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故选：B ．6．若输入的值为7，则输出结果为( )A ．74B ．34C ．78D ．32解：模拟程序的运行过程，如下；输入7x =，则7y =，6x =，0x …； 72x =，72y =，52x =，0x …； 74x =，74y =，34x =，0x …； 78x =，78y =，18x =-，0x <； 713884z =-=； 所以输出结果为34． 故选：B ．7．如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点，则四棱锥1P EFBB -的体积为( )A 3B 3C 23D 43解：Q 在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）111ABC A B C -中，P ，E ，F 分别是1AA ，11A C ，AC 的中点，AF BF ∴⊥，AF EF ⊥，EF BF F =Q I ，AF ∴⊥平面1BB EF ，22213BF =-=，∴四棱锥1P EFBB -的体积为：12311321333BB EF V S AF =⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形． 故选：C ．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32,26,4b c C π===，则ABC ∆的面积为( ) A ．2B ．22C ．3D ．32解：Q 32,26,4b c C π===， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2226222(a a =+-，即22240a a +-=， ∴解得4a =，（负值舍去）， 113sin 42sin 2224ABC S ab C π∆∴==⨯=． 故选：A ．9．51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数为( )A ．112-B ．112C ．513-D ．513解：51()(3)x x x+-展开式中含x 的项的系数：52351(3)(3)513C ⨯-+-=-，故选：C ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(F O OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．3y x =± C．2y x =± D ．2y x =±解：由题意双曲线的图形如图，设1PF m =，2PF n =，点P 是C 的右支上一点， 连接1PF 与y 轴交于点M ，若1||2||(F O OM O =为坐标原点），12PF PF ⊥， 可得：112OM n OF m ==，所以2m n =，2n a =，所以4m a =， 可得22222164444a a c a b +==+， 解得3ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±． 故选：B ．11．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2,43ABC PA π∠==，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为( ) A 7 B 6C 27D ．27解：PA ⊥Q 平面ABC ，2,43ABC PA π∠==， 外接球球心为O ，ABC ∆外接圆的圆心为M ，连接OA ，OM ，AM ， 则有222OA OM AM =+ 由题可知，122OM PA ==； 且AM 为ABC ∆外接圆的半径，设为r ， OA 为球的半径，设为R ，则有2222R r =+Q 三棱锥P ABC -外接球的表面积为223248R R ππ=⇒=；2r ∴=；Q2244sin 23sin 3AC r AC ABC π==⇒==∠；22228PC PA AC ∴=+=； 27PC ∴=；因为直线PC 与平面ABC 所成角为PCA ∠；427sin 727PA PCA PC ∴∠===； 即直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为277． 故选：C ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有(1)(1)f x f x -=+，当[0x ∈，1)时，21()21x x f x -=+，则当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时，k 的取值范围是( )A ．12[,)415--B ．22(,]915--C ．21(,)96--D ．221(,]9153⎧⎫---⎨⎬⎩⎭U解：(1)(1)f x f x -=+Q ，()f x ∴的周期为2， 又()f x Q 为奇函数，()()f x f x =--，令1x =，得f （1）(1)f =--，又(1)f f -=（1），f ∴（1）(1)0f =-=，且(1,1)x ∈-时，212()12121x xx f x -==-++， 由221x y =+单调递减得函数()f x 在(1,1)-上单调递增，(1)()f f x f ∴-<<（1），得11()33f x -<<，作出函数图象如图，由图象可知当13y kx =+经过1(3,)3-时，29k =-当13y kx =+经过1(5,)3-时，215k =-，当13y kx =+经过(1,0)时，13k =-，∴当函数1()()3g x f x kx =--在[0，7]上有三个零点时，22915k -<-…或13k =-， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知在平行四边形ABCD 中，1,3BE BC AE xBD yBC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y -= 3 ．解：Q 13AE AB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，AB DC BC BD ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴1433AE BC BD BC BD BC =-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由AE xBD yBC =+u u u r u u u r u u u r 得41,3x y =-=，∴73x y -=-． 故答案为：73-．14．已知α是第四象限的角，且满足29cos sin 217αα+=，则tan α= 9． 解：Q 29cos sin 217αα+=， ∴22222sin cos 12tan 9117cos sin cos tan ααααααα++==++，即29tan 34tan 80αα--=， ∴解得2tan 9α=-，或4，αQ 是第四象限的角，tan 0α<，2tan 9α∴=-． 故答案为：29-．15．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球．规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是128． 解：设甲、乙两人摸到的球为红球分别为事件A ，事件B ， 前四次摸球中甲恰好摸到两次绿球为事件C ， 则P （A ）P =（B ）34=则P （C ）()P AAAB AAAB AABA ABAA =+++ 11331131133133114444444444444444=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 15128=． 则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率为15128． 故答案为：15128． 16．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过点(1,0)-作斜率为正值的直线l 交C 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点A ，B ，M 分别作x 轴的平行线，与l 分别交于D ，E ，Q ，则当||||MQ DE 取最小值时，||AB = 5 ． 解：由题意如图所示：设直线l 的斜率为(0)k k >，(,)A x y ，(,)B x y ''， 设x x '>，由题意设直线l 的方程为：(1)y k x =+，将直线与抛物线联立整理得：2222(24)0k x k x k +-+=，△224(24)40k k =-->， 解得21k <，又斜率k 为正值，故01k <<，2224k x x k -'+=-，1xx '=，所以AB 的中点M 的横坐标2222M x x k x k'+-==-，所以22222 ||1kMQk k-=-=，2222422441||2()22224A Bk k kDE y y x x x x xxk k k---'''=-=-=+-=-==所以24222||111||112122()24MQDE k k k kk===--+--+，所以当212k=时，||||MQDE取最小值，这时122||22512AB x x-'=++=-+=，故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}na的前n项和为nS，1111,(22)2nn na S a++==-．（1）求2a及数列{}na的通项公式；（2）若112211log(),n n nn nb a a a ca b=⋯=+，求数列{}nc的前n项和nT．解：（1）1111,(22)2nn na S a++==-Q，∴2112(22)S a a==-，即214a=，当2n…时，1(22)nn nS a-=-，两式相减得：11(22)(22)n nn n na a a++=---，整理得：12(2)n na a n+=…，由112a =，214a =，可得122a a =， 12n n a a +∴= (*)n N ∈，由10a ≠，得0(*)n a n N ≠∈， ∴11(*)2n n a n N a +=∈， 则数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， ∴1111()()222n n n a -=⨯=； （2）由（1）知，1()2n n a =，∴121121221(1)()()1222n n n n n b log a a a log n ++⋯++=⋯==++⋯+=． ∴11211222()(1)1n n n n n c a b n n n n =+=+=+-++． 12311111(2222)2[(1)()()]2231n n T n n ∴=+++⋯++-+-+⋯+-+12(12)122(1)21211n n n n +-=+-=--++．18．某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资700万元，年生产能力为20万件．根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件． （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案．(6年的净利润6=年销售利润一设备一次性投资费用）解：（1）年销量的平均数为0.05120.35160.3200.2240.12819.8x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万件）．（2）①该产品的销售利润为15元/件，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，∴年销售利润不低于270万的概率为10.050.350.6P=--=．②设甲方案的净利润为：19.81561000782⨯⨯-=（万元），乙方案的年销售量期望为19.8EX=，6年的净利润期望值为：19.81567001082⨯⨯-=（万元）．乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，∴企业应该选择乙方案．19．如图1所示，在直角梯形DCEF中，//DF CE，FD DC⊥，//AB CD，224BE AB AF AD====，将四边形ABEF沿AB边折成图2．（1）求证：//AC平面DEF；（2）若23EC=，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：连接BD交AC于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG，则//OG BE，12OG BE=，又Q1//,2AF BE AF BE=，∴//AF OG=，∴四边形AOGF为平行四边形，//AC FG∴，又FG 在平面DEF 内，AC 不在平面DEF 内， //AC ∴平面DEF ；（2）Q 4,2EC BE BC ===， 222BE EC BC ∴=+， EC BC ∴⊥，Q EC AC AE ===， 222AE EC AC ∴=+， EC AC ∴⊥，又AC BC C =I ，且都在平面ABCD 内， EC ∴⊥平面ABCD ，CB ∴，CD ，CE 两两互相垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,4,0),(2,4,0),(2,0,0)C D E A B ， 由12AF BE =u u u r u u u r，得F ，设平面DEF 的一个法向量为(,,)m x y z =r，又(0,DE DF =-=u u u r u u u r ，∴40m DE y m DF x ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，可取(m =-r ， 设平面EAC 的一个法向量为(,,)n a b c =r，又(2,4,0)CE CA ==u u u r u u u r ，∴0240n CE n CA a b ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，可取(2,1,0)n =-r ， ∴，∴平面DEF 与平面EAC．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，点(4,1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:3l y kx =-与C 交于A ，B 两点，是否存在l ，使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知：3c a =，221611a b+=，222b a c =-，解得：220a =，25b =， 所以椭圆的标准方程为：221205x y +=； （2）假设存在直线l 满足条件，设(,)A x y ，(,)B x y ''，联立直线与椭圆的方程整理得：22(14)24160k x kx +-+=，22414k x x k '+=+，21614xx k '=+，26()614y y k x x k-''+=+-=+， 所以AB 的中点D 的坐标212(14kk +，23)14k -+，4222221234111()(1)1414k k k DM k k ++=++=++弦长2242222222246454121()41(14)14k k k AB r kx x xx kk k +-''==++-=+-=++，所以42541k k r +-=要使得点(0,1)M 在以AB 为直径的圆外，则DM r >， 所以整理为：4247k k <，解得77(k ∈，所以k的权责范围：(． 21．已知1()mf x x mlnx x-=+-，m R ∈．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <„时，证明2()1x e x xf x m >-+-．解：（1）22221(1)(1)[(1)]()1m m x mx m x x m f x x x x x --+----'=+-==．(0)x >．2m >时，11m ->．则函数()f x 在(0,1)，(1,)m -+∞上单调递增，在(1,1)m -上单调递减．2m =时，22(1)()0x f x x -'=…，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 12m <<时，011m <-<，则函数()f x 在(0,1)m -，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)m -上单调递减．1m „时，2(1)(1)()0x x m f x x -+-'=…，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）证明：22()10.02xxe e x xf x m e mxlnx m >-+-⇔-><„．令()x g x e mxlnx =-．0x +→，()0g x →．((0,))x ∈+∞．()(1)x g x e m lnx '=-+．()x mg x e x''=-在(0,)+∞上单调递增． 存在0x 使得00x me x =，00lnx x lnm ∴+=．可得x x =时，()g x '取得极小值20000001()(1)()()2(2)202x m e g x e m lnx m lnm x m x mlnm m mlnm m ln mln x x '=-+=--=+---=>厖．∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．()(0)0g x g ∴>=．0xe mxlnx ∴->成立，即当202e m <„时，不等式2()1x e x xf x m >-+-成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值． 解：（1）曲线C 的参数方程为35cos (45sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(3)(4)25x y -++=，转换为极坐标方程为28sin 6cos 0ρρθρθ+-=，化简为6cos 8sin ρθθ=-． （2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l，整理得参数方程为2(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：280t +-=，所以12t t +=-128t t =-，所以1212||11||||||t t PM PN t t -+====． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--． （1）当2a =时，解不等式()3f x x …．（2）当12x …时，不等式2()4f x x -…成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）当2a =时，不等式()3f x x …．即|4||22|3x x x +--…．1x …时，不等式化为：4(22)3x x x +--…，解得：32x „．312x ∴剟． 41x -<<时，不等式化为：4(22)3x x x ++-…，化为：40…，41x ∴-<<． 4x -„时，不等式化为：(4)(22)3x x x -++-…，解得：3x -„．4x ∴-„．综上可得：32x „，即不等式的解集为3(,]2-∞； （2）依题意，当12x …时，不等式2|4||2|4x ax x +---…成立，即2|2|x x ax +-…，∴2211x a xx x-+-++剟，当12x…时，由基本不等式可得211xx++…，当且仅当“x=”时取等号，因为函数21y xx=-+-在1[,)2+∞上单调递减，所以当12x=时，21y xx=-+-取得最大值为52，∴实数a的取值范围为5[1]2+．。

2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．637．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.88．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣19．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为（用数字回答）．16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84121．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）2＝4i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1＝（x3）5﹣k＝2k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x7的系数＝＝40．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6＝，解得a1＝192，∴第三天走了a3＝a1×＝192×＝48，故选：B．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．【解答】解：由题意可得，sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得，b2＝ac，又c＝2a，则可得b＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．63【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Sn循环前/0 1第一圈是1 2第二圈是3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故S＝15时，满足条件S＜pS＝31时，不满足条件S＜p故S的最小值31故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，＝2.5，代入线性回归方程为＝1.3x﹣1，可得＝2.25，∴0.1+1.8+m+4＝4×2.25，∴m＝3.1．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围【解答】解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．16【分析】结合已知得到＝﹣3+4代入数量积的计算即可【解答】解：∵在△ABC中，，∴＝（+）•＝（+4）•＝[+4（﹣）]•＝（﹣3+4）•＝﹣3+42＝0+4×22＝16；故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．【解答】解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1﹣[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹【解答】解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a＝b则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，即．构造函数，结合导数可判断单调性，进而可求．【解答】解：易知函数f（x）只有一个零点2，故P＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g（x）在（1，3）内存在零点，由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，所以．记，则．所以当x∈（1，2）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（2，3）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；所以，而，所以实数a的值范围为．故选：B．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．【分析】将：∫03|x﹣1|dx转化成∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．【解答】解：∫03|x﹣1|dx＝∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx＝（x﹣x2）|01+（x2﹣x）|13＝．故答案为：【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．【解答】解：函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，所以cosφ），所以：φ＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为70（用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为．故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．【分析】根据基本不等式可知，同理可得sinβ+sinγ≤，sinγ+sinα≤，进一步求出的最小值．【解答】解：由题意，知sin2α+sin2β+sin2γ＝1，由基本不等式可知，同理，，上述式子相加可得，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB 的距离与点B1到平面APB的距离相等．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．由于AB＝πr＝π，AD＝π，所以这实际上是一个正方形．所以曲线Γ的长度为BD＝π．（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．连接AP、BP，OP．由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．在Rt△OB1P中，，所以．于是：．所以，点C1到平面APB的距离为．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．于是∠PQB1即为二面角P﹣AB﹣B1的平面角．在Rt△PB1Q中，．若，则需B1P＝B1Q，即sinθ＝θ．令f（x）＝sin x﹣x（0＜x＜π），则f′（x）＝cos x﹣1＜0，故f（x）在（0，π）单调递减．所以f（x）＜f（0）＝0，即sin x＜x在（0，π）上恒成立．故不存在θ∈（0，π），使sinθ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D﹣AB﹣B1为．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，，∴，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1＝2S n+λ．（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n＝，若使{a n}是等比数列则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k P A和k PB，根据倾斜角互补可知k P A＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值；（2）表示出面积，利用导数方法求△ABP面积S△ABP的最大值．【解答】解：（1）∵点P（1，2）在抛物线上，∴22＝2p，解得p＝2．设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB．则k P A＝（x1≠1），k PB＝（x2≠1），∵P A与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A＝﹣k PB．由A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，得y12＝4x1，①y22＝4x2②∴y1+2＝﹣（y2+2），∴y1+y2＝﹣4．（2）由①﹣②得直线AB的斜率为k AB＝﹣1．因此设直线AB的方程为y＝﹣x+b，由直线与抛物线方程联立，消去y得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，由△＞0，得b＞﹣1，这时x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，|AB|＝4，又点P到直线AB的距离为d＝，所以S△ABP＝，令f（x）＝（x+1）（3﹣x）2（x∈[﹣1，3]），则由f′（x）＝（3x﹣1）（x﹣3）＝0，得x＝或x＝3，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，当x∈（，3）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递减，故f（x）的最大值为，故△ABP面积S△ABP的最大值为．【点评】本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K2的观测值，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关．（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男女总计喜欢阅读古典文学6436100不喜欢阅读古典文学5644100总计12080200所以K2的观测值，因为K2的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，，，P（ξ＝3）＝P（m＝1，n＝1）+P（m＝2，n＝1）+P（m＝3，n＝0）＝+＝，；，所以ξ的分布列是：ξ12345p所以．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由为数列的前n项和，为数列的前n项和．因此只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx ﹣x+1≥0，即．令，即得＝．可得＝．现证明，即＝＝．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明．【解答】解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．则．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵为数列的前n项和，为数列的前n项和．∴只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即．令，即得＝．∴＝．现证明，即＝＝．（*）现证明．构造函数（x≥1），则＝．∴函数G（x）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G（x）≥G（1）＝0．∴当x＞1时，有G（x）＞0，即成立．令，则（*）式成立．综上，得．对数列，，分别求前n项和，得．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【分析】（1）先求出直线l和曲线C的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）将直线l的方程改写为，然后代入曲线C中，再根据|P A|•|PB|＝|t1t2|求出|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，曲线C的普通方程为，故曲线C的右顶点（1，0）到直线l的距离．（2）将直线l的参数方程改为，并代入，得，设其两根为t1，t2，则，，∴|P A|•|PB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出的最小值，即可证明；（2）柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，再结合方程组即可得到a，b，c之间的关系，进一步求出的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，＝≥，当且仅当，即a＝b且c＝0时取等号，∴．（2）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，∵，结合上述不等式取等号，可设（k＞0），即a＝kx，b＝ky，c＝kz，∴a2+b2+c2＝k2（x2+y2+z2），∴4＝9k2，∴，∴．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

湖南省娄底市上学期期末教学质量检测试题高三数学(理)第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则12z z 的模为 A.14C. 12D. 1 2.下列说法正确的是A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件 C.“若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n = A. 4 B. 5 C. 2 D. 34.下列四个图中，函数ln 11x y x +=+的图象可能是5.设实数,x y 满足22202y x x y x ≤-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则13y x -+的取值范围是A. 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B. 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,53⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A. 17π+B. 20π+C.22πD. 17π+7.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 33- D.8.在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为 A.6π B. 3π C.512π D.2π9.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()1f x +为奇函数，()00f =,当(]0,1x ∈时，()2log f x x =，则在区间()8,9内满足方程()122f x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实数x 为A.172 B. 658 C. 334D.678 11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 12.已知函数()()ln ln ,1xf x x f x x=-+在0x x =处取得最大值，以下各式中：①()00f x x <②()00f x x =③()00f x x >④()012f x <⑤()012f x > 正确的序号是A. ②④B. ②⑤C. ①④D. ③⑤第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()2,12,1x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则满足()110xf x -≥的x 取值范围为 .14.多项式()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为 .（用数字作答）15.有一个电动玩具，它有一个96⨯的长方形（单位：cm ）和一个半径为1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A 出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知函数()()21, 1.f x x g x a x =-=-（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n 为正整数.（1）令2nn n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n 的值.21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，160.A AC ∠=（1）求侧棱1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BD BA BC =+，在直线1AA 上是否存在点P,使DP//平面1AB C ？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式12x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA二、填空题： 13.14. -6480 15.16.2016三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f （x ）|=g （x ），即|x 2﹣1|=a |x ﹣1|，变形得|x ﹣1|（|x +1|﹣a ）=0，显然，x =1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x +1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a ＜0．…………5分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分18.（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a=b等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分19.解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I）得，所以由①-②得……12分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户。

2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．（5分）已知3()n a x x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( )A ．34B C ．1 D 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．637．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( )A ．21- B ．21-C ．31- D ．31- 9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰ ．14．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是 ．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）．16．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i【解答】解：由2(1)4z i i +=，得2442(1)2i iz i i===+， ∴2z =．故选：A ．2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝【解答】解：2223(1)20x x x -+=-+>Q ，∴命题:p x R ∀∈，2230x x -+…为真命题；由22a b <，不一定有a b <，如1a =，2b =-，则命题q ：若22a b <，则a b <为假命题． p q ∴∨为真命题；()p q ∨⌝为真命题；p q ⌝∨为假命题；()p q ⌝∨⌝为真命题．故选：C ．3．（5分）已知3()n ax x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．50【解答】解：由题意可得：232n =，(1)243n a +=， 解得5n =，2a =．∴展开式中通项公式351541552()()2k kk k k k k T x x x--+==痧，令1547k -=，解得2k =．7x ∴的系数225240==ð． 故选：C ．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{}n a ，且公比为12， 6Q 天后共走了378里，1661(1)2378112a S -∴==-， 解得1192a =，∴第三天走了23111()1924824a a =⨯=⨯=， 故选：B ．5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( ) A ．34BC ．1 D【解答】解：由题意可得，2sin sin sin B A C =， 由正弦定理可得，2b ac =， 又2c a =，则可得b =，由余弦定理可得2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===，所以sin B ==． 故选：B ．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故15S =时，满足条件S p < 31S =时，不满足条件S p <故S 的最小值31 故选：C ．7．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【解答】解：由题意， 2.5x =，代入线性回归方程为ˆ 1.31y x =-，可得 2.25y =， 0.1 1.844 2.25m ∴+++=⨯， 3.1m ∴=．故选：B ．8．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( ) A ．212- B ．21- C ．31- D ．31-【解答】解：由222213x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得223x a b =±+，分别代入2233ab y a b=±+，22(3A a b∴+，223)3ab a b+，22(3B a b-+，223)3ab a b-+，∴22(3AF c a b=++u u u r，223)3ab a b+，22(3BF c a b=-+u u u r，223)3ab a b-+，∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b =--=++u u u r u u u r g ，2222243a b c a b ∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-， 两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得2423e =- 31e ∴=-，故选：D ．9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．16【解答】解：Q 在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r，∴()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g(4)AB BD AD =+u u u r u u u r u u u r g [4()]AB AD AB AD =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g (34)AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g 234AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g204216=+⨯=； 故选：D ．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.9772【解答】解：1(3100)(3000250)1[1(22)]0.97722P X P X P X μσμσ=+⨯=---<+=剟?，故选：D ．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④【解答】解：设电线杆的下端分别为B ，D 且高度分别为a ，b 以B 为原点，BD 所在直线为y 轴建系，由仰角的正切相等知||||a PD b PB =，设(0D ，)(t P x ，)y ⇒= 则当a b =时，点P 的轨迹为BD 的垂直平分线， 当a b ≠时，点P 的轨迹为圆，故选：A ．12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 【解答】解：易知函数()f x 只有一个零点2，故{2}P =，由题意知|2|1β-<，即13β<<．由题意知，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()0xg x x ae =-=，得2xx ae =，所以2x x a e=．记2()((1,3))x x h x x e =∈，则222(2)(),(1,3)()x x x xxe e x x x h x x e e --'==∈．所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 所以24()(2)h x h e =„，而3219114(1),(3),()(2)h h h x h e e e e e==><=„， 所以实数a 的值范围为214(,]e e ．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰52． 【解答】解：3132100011|1|(1)(1)()|(2x dx x dx x dx x x -=-+-=-+⎰⎰⎰23115)|22x x -=． 故答案为：5214．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是3π．【解答】解：函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，所以cossin(2)66ππϕ==⨯+，所以：(0)32ππϕφ=<<．故答案为：3π． 15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）． 【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为4870C =． 故答案为：7016．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最【解答】解：由题意，知222sin sin sin 1αβγ++=，由基本不等式可知sin sin αβγ+„，同理sin sin βγα+„，sin sin γαβ+„，上述式子相加可得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++所以cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ．由于AB r ππ==，AD π=，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为2BD π． （2）当2πθ=时，点1B 恰好为AB 的中点，所以P 为11B C 中点，故点1C 到平面APB 的距离与点1B 到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由1AB B P ⊥且11AB A B ⊥知：AB ⊥平面APB ，从而平面11A B P ⊥平面APB ． 作1B H OP ⊥于H ，则1B H ⊥平面APB ，所以1B H 即为点1B 到平面APB 的距离． 在Rt △1OB P 中，·1111,2OB B P BB π===， 所以22241()2OP ππ+=+=于是：111221244OB B PB H OPπππ⨯⨯===++．所以，点1C 到平面APB 24π+．（3）由于二面角1D AB B --为直二面角，故只要考查二面角1P AB B --是否为4π即可． 过1B 作1B Q AB ⊥于Q ，连接PQ ．由于1B Q AB ⊥，1B P AB ⊥，所以AB ⊥平面1B PQ ，所以AB PQ ⊥． 于是1PQB ∠即为二面角1P AB B --的平面角． 在Rt △1PB Q 中，·111sin ,B Q B P BB θθ===． 若14PQB π∠=，则需11B P B Q =，即sin θθ=．令()sin (0)f x x x x π=-<<，则()cos 10f x x '=-<， 故()f x 在(0,)π单调递减．所以()(0)0f x f <=，即sin x x <在(0,)π上恒成立． 故不存在(0,)θπ∈，使sin θθ=．也就是说，不存在(0,)θπ∈，使二面角1D AB B --为4π．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：11n n n a S S ++=-Q ，2211nn n S a S λ++=-， ∴2211()nn n n S S S S λ++=--， 11(2)0n n n S S S λ++∴--=， 0n a ∴>，10n S +∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+（2）解：12n n S S λ+=+Q ，12(2)n n S S n λ-=+…， 相减得：12(2)n n a a n +=…，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，21,1(1)2,2n n n a n λ-=⎧∴=⎨+⎩…， 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，22(1)(1)λλ∴+=+，1λ∴=经检验得符合题意．19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．【解答】解：（1）Q 点(1,2)P 在抛物线上，222p ∴=，解得2p =． 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ． 则1112(1)1PA y k x x -=≠-，2222(1)1PB y k x x -=≠-， PA Q 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，PA PB k k ∴=-．由1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均在抛物线上，得2114y x =，①2224y x =②122(2)y y ∴+=-+，124y y ∴+=-．（2）由①-②得直线AB 的斜率为1AB k =-．因此设直线AB 的方程为y x b =-+，由直线与抛物线方程联立，消去y 得22(24)0x b x b -++=，由△0>，得1b >-，这时1224x x b +=+，212x x b =， ||421AB b =+P 到直线AB 的距离为2d ，所以22(1)(3)ABP S b b ∆=+- 令2()(1)(3)([1,3])f x x x x =+-∈-， 则由()(31)(3)0f x x x '=--=，得13x =或3x =， 当1(1,)3x ∈-时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当1(3x ∈，3)时，()0f x '>，所以()f x 单调递减，故()f x 的最大值为25627，故ABP ∆面积ABP S ∆32320．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：所以2K 的观测值()()()()120801001003k a b c d a c b d ===++++⨯⨯⨯， 因为2K 的观测值41.3233k =>， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则m n ξ=+， 根据已知条件可得1ξ=，2，3，4，5，12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ======g ，12121123223222323254543(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=g g ， (3)(1P P m ξ===，1)(2n P m =+=，1)(3n P m =+=，0)n =1221022323223233325554715C C C C C C C C C C C =++=g ， 21032113223222323254541(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ=====+===+=g g ； 03223232541(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ======g ， 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 【解答】解：（1）由()0f x …，得10(0)xlnx ax x ++>…． 整理，得1a lnx x -+„恒成立，即1()min a lnx x-+„． 令1()F x lnx x =+．则22111()x F x x x x-'=-=． ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴函数1()F x lnx x=+的最小值为F （1）1=． 1a ∴-„，即1a -…．a ∴的取值范围是[1-，)+∞．（2）Q24nn +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．∴只需证明2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++即可．由（1），当1a =-时，有10xlnx x -+…，即1lnx x x-…． 令11n x n +=>，即得11111n n ln n n n +>-=++． ∴2211111()1(1)(2)12n lnn n n n n n +>>=-+++++． 现证明211(1)n ln n n n +<+，即2==(*) 现证明12(1)lnx x x x<->．构造函数1()2(1)G x x lnx x x=--…， 则2221221()10x x G x x x x-+'=+-=…． ∴函数()G x 在[1-，)+∞上是增函数，即()G x G …（1）0=． ∴当1x >时，有()0G x >，即12lnx x x<-成立．令x =(*)式成立． 综上，得2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++．对数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭，21n ln n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭分别求前n 项和， 得2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． 【解答】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为2214y x -=，故曲线C 的右顶点(0,1)到直线l的距离d =． （2）将直线l的参数方程改为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 并代入2214y x -=，得2320t --=，设其两根为1t ，2t，则12t t +=，1223t t =-， 122||||||3PA PB t t ∴==g ． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，1b a c b a b ca b c b a b c b+++=++-++12=…，当且仅当b a b ca b c b +==+时取等号， ∴2b a c a b c b +++…．． （2）由柯西不等式可得2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++…， Q 222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，结合上述不等式取等号， 可设(0)a b ck k x y z===>，即a kx =，b ky =，c kz =， 2222222()a b c k x y z ∴++=++，249k ∴=，∴23k =， ∴23a b c k x y z ++==++．。

2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln28．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．59．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．810．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣211．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．156012．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝．14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅【分析】根据交集补集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|x≥3}，∴∁R A＝{x|x＜3}，∵B＝{x|1＜x≤9}，∴（∁R A）∩B＝{x|1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．【解答】解：∵，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：因为，，，所以b＜c＜a，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论．【解答】解：因为，所以它的最小正周期为＝π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．【分析】骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，由此能求出所求事件的概率．【解答】解：骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，故所求事件的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．【解答】解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误．对于选项B选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α．故错误．对于选项C，由于m⊥α，n⊥β，则，直线m和n可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m⊥n，故正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行之间的转换，主要考查学生的转换能力及思维能力和空间想象能力，属于基础题型．7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln2【分析】模拟运行程序框图中的程序，即可得出S的算式，计算即可．【解答】解：运行程序框图中的程序，可得S＝ln+ln+ln+…+ln＝ln×××…×＝ln8＝3ln2．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．5【分析】根据题意得到f（x）关于x＝4对称，求出a，再代入x＝6，求出即可【解答】解：因为f（5+x）＝f（3﹣x），所以f（x）的图象关于x＝4对称，所以x＝4时，3|4﹣a|＝1，a＝4，f（6）＝3|6﹣4|+2＝9+2＝11，故选：B．【点评】考查函数对称性，求函数的解析式，函数求值，中档题．9．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．8【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．【解答】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°．因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣2【分析】依题意，可求得x＜0时的解析式为f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，求导，可得曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线的斜率，继而可得答案．【解答】解：因为函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣xln（﹣x）+1，所以f（﹣1）＝1，又f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，所以f'（﹣1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝﹣x．故选：A．【点评】本题考查利用导数求曲线某点的切线方程，利用导数求得切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．1560【分析】设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n项自然数的平方和公式，计算可得所求．【解答】解：设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．易c n＝n，，进而得，所以，则，所以a n+1＝1+B n，所以a19＝1024．故选：C．【点评】本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC⊥平面OBD，所以AC⊥BD，故①正确；因为MN∥BD，所以MN∥平面ABD，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A﹣CMN最大，最大值为V三棱锥A﹣CMN＝V三棱锥N﹣ACM＝××＝，故③错误；若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，因为OB＝OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝±6．【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，进而可求【解答】解：设{a n}的公比为q，由a1＝1，a3＝36，得q2＝36，所以q＝±6，故a2＝±6．故答案为：±6【点评】本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．【解答】解：∵向量，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴sinθ＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是112．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．【分析】根据椭圆和双曲线的定义结合条件，建立关于双曲线的离心率的方程，然后求出双曲线的离心率．【解答】解：设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，|F1F2|＝2c，由正弦定理，得．∵sin∠F1PF2＝2sin∠PF1F2，∴|F1F2|＝2|PF2|，∴|PF2|＝c．∵|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝2a1﹣c＝2a2+c，∴a1＝a2+c．又∵，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆、双曲线的定义，双曲线离心率的求法和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）先对已知等式边化角，在利用两角和的正弦公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为（3a+c）cos B+b cos C＝0，所以3sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，所以3sin A cos B＝﹣（sin B cos C+sin C cos B）＝﹣sin A．因为sin A＞0，所以，所以；（2）由余弦定理得，因为，所以，即3c2+2c﹣21＝（c+3）（3c﹣7）＝0，所以．所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．【分析】（1）先证明DC⊥平面BPC，得到BP⊥DC，再证明线面垂直即可；（2）以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BDP和平面EDP的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，且ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC，因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC，因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP；（2）解：根据题意，当点P位于BC的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D﹣BPC的体积也最大，不妨设BC＝2，记AD中点为G，以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，2），P（0，1，0），，设平面BDP的法向量为，则令x＝1，得，设平面DEP的法向量为，，令a＝2，得，所以cos＜＞＝，由图可知，二面角B﹣PD﹣E为锐角，故二面角B﹣PD﹣E的余弦值为．【点评】考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角的余弦值，中档题．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．【分析】（1）由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K2的计算公式可判断结论；（2）按照分层抽样的方法，计算可得X的可能取值为1，2，3，4．再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．【解答】解：（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105．2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200K2＝＝＞3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝．X的分布列为X1234PEX＝1×+2×+3×+4×＝．【点评】本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意求出A，F2点的坐标，设M，N的坐标，求出直线MF2，AN的方程，两条直线联立求出交点B，代入椭圆方程恰好成立，证得B在椭圆上；（2）分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n的方程，与直线m联立求出Q点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P的坐标，假设存在定点T，设T的坐标，由恒成立，则＝0，可得T的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T使得恒成立．【解答】解：（1）证明：由题意知F2（1，0），A（4，0），设M（s，t），N（s，﹣t），则＝1，t2＝3（1﹣）．直线MF2的方程为y＝（x﹣1），直线AN的方程为y＝（x﹣4），联立可得x B＝，y B＝，即B的坐标为（，）．因为+＝＝＝＝1，所以B点恒在椭圆C上．（2）解：．当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx+b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝恒成立，则T一定在x轴上，故设T（x0，0），由可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝48（4k2﹣b2+3）＝0，可得b2＝3+4k2，所以x P＝﹣，y P＝kx P+b＝．又因为Q（4，4k+b），∠PTQ＝，所以＝（﹣﹣x0，）•（4﹣x0，4k+b）＝0，即（x0+）（x0﹣4）+＝0，所以x02﹣4x0+3+（4x0﹣4）＝0，对于任意的满足4k2﹣b2+3＝0 的k，b恒成立，所以解得x0＝1．故在平面内存在定点T（1，0），使得∠PTQ＝恒成立．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（2）结合（1）可先表示f（x）极小值+f（x）极大值，然后构造函数后结合导数即可求解；（3）结合二次方程根的存在条件及导数，及函数的性质进行推理论证可求．【解答】解：（1）f′（x）＝＝，x＞0，因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2．所以x2﹣x+a＝0有两个不同的正根，故．（2）因为x1x2＝a，x1+x2＝1，不妨设x1＜x2，所以f（x）极小值＝f（x1），f（x）极大值＝f（x2），所以以f（x）极小值+f（x）极大值＝f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+2（1﹣2a）+﹣（x1+x2）＝lna+2﹣4a．令t（a）＝lna﹣4a+2，则t′（a）＝＞0，所以t（a）在（0，）上单调递增，所以t（a）＜t（）＝1﹣2ln2，即f（x）的极大值与极小值之和的取值范围是（﹣∞，1﹣2ln2）．（3）由（2）知x1x2＝a，x1+x2＝1．因为m，n，，所以f（x）min＝f（x1），f（x）max＝f（x2），所以[f（m）﹣f（n）]min＝f（x1）﹣f（x2）＝ln+x2﹣x1+a×因为x1＝1﹣x2，所以[f（m）﹣f（n）]min＝ln+2（x2﹣1）＝ln（1﹣x2）﹣lnx2+4x2﹣2，（），令h（x）＝ln（1﹣x）﹣lnx+4x﹣2，（），则h′（x）＝+4＝，所以h（x）在（）上单调递减，h（x）无最小值，故f（m）﹣f（n）没有最小值．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值成立的条件的应用，还考查了考生的逻辑推理论证的能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．【分析】（1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程是（α是参数），消去α得曲线C的普通方程为．所以C的极坐标方程为，即．（2）不妨设M（ρ1，θ），N（），θ∈[0，2π]，则|OM|•|ON|＝＝．当时，取得最大值，最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．【分析】（1）根据f（x）≤3x﹣2，分x＞3，﹣2≤x≤3和x＜﹣2三种情况分别解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值M，然后利用基本不等求出的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|，f（x）≤3x﹣2，∴当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≤3x﹣2，即，无解；当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≤3x﹣2，即，得；当x＞3时，x+2+x﹣3≤3x﹣2，即x≥1，得x＞3．故所求不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，∴2a+3b＝5（a＞0，b＞0），则2a+1+3（b+1）＝9，∴＝＝≥．当且仅当，即时取等号．故的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•C . 6共线（该直线不过原点 O ），则S 200 （ ）五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡1.（5分）已知集合 {x|(x 1)(x 2)-0} , B {x|1 x 3}，则 A |2. A . ( 1,3)B . (2,3)C . (1,2) [2 , 3)（5分）已知复数 z 满足（1 i ）z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ C . !i2 1.i23. （5分）将（3 x ）n 的展开式按照x 的升幕排列，若倒数第三项的系数是90,则n 的值是（4.uuu uun （5分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OB a ?OA uura 19g OC ，且A 、 B 、C 三点A . 100B . 101C . 200D . 2015. （ 5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同上有三x 只，兔yx ,只，则输出x , y 的分别是（ ）7. （ 5分）如图是2018年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 （）C . 13, 22D . 22, 13A . 12, 23B . 23, 126.(D .26A . 2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第 5的是浙江省B .与2017年同期相比，各省 2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C . 2017年同期河南省的 GDP 总量不超过4000亿元D . 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有8 . (5分)已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x 2)mgn ，贝U f (x)的图象的□总重十与去年同期相比増长率f(x) log 2( 3x 1)，则 f ( 2019)(log 2 59. ( 5 分)已知命题 p : x R ，使sinx 命题q: x R ,2都有xx 1 0，给出下列结论: ①命题 ”是真命题; ②命题 q) ”是假命题;③命题 p) 是真命题;④命题 p) 是假命题.其中正确的是( A .②④ B .②③C .③④D .①②③f(x)，且 x (10 . ( 5分)若向量一条对称轴方程是11 . (5分)对于函数f(x) ax3bx2cx d(a 0)，定义：设f (x)是f (x)的导数，f (x)第3页(共21页)26是函数f （x ）的导数，若方程f （x ）有实数解X o ，则称点（X o , f （X o ））为函数y f （x ）的“拐点” •经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且2x y 2・・0x 2y，则目标函数z 3x 2y 的最大值为x 1, 014 . ( 5 分)函数 y log a (x 3) 1(a1 , a 0）的图象恒过定点A ,若点A 在直线1 mx ny 10 上，其中 m 0 , n 0,则一m15. （5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB 平面BCD ，且AB BD CD 1，则此鳖儒的外接球的表面积为 ________________________________________________________________16. （5分）已知f （x ） x xlnx ，若k Z ，且k （x 2） f （x ）对任意x 2恒成立，则k 的最 大值是 ____ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）1 3 17. （10分）已知等比数列｛a .｝是递减数列，af 4 — , a2 a3 3 .32 8（1）求数列｛a n ｝的通项公式；1（2） 若b n（n 2）log 2 a n ，求数列 一的前n 项和T n .b n18 （ 12分）已知 ABC 中，内角A , B , C 所对边分别为 a ,b ,c ，若（2a c ）cos B bcosC 0 . 第4页（共21页）g(x) 1x3 2x2 3x 15，则g( 1 2 一)g(——)2020 2020 gC 2019）的值为（ ） 2020 A . 20172018 C . 2019 D . 2020 2 2 12（5分）已知椭圆詁y 1(a b 0）上一点A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点, 若 AF BF ，设 ABF ，且 ［巨6］，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） ［刍） A • ［3 T 2 二、填空题（每题 5分，满分20分,C .［昇 将答案填在答题纸上）D .［躬］ “拐点”就是对称中心•设函数 13 （ 5分）设变量x , y 满足约束条件 -的最小值为 n(1)求角B的大小；(2 )若b 2，求a c的取值范围.19. ( 12分)如图四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA AB 2，E 为PD 中点.(1)求证：PB//平面EAC ;(2)求二面角 A BE C的正弦值.20. (12分)近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2 2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是丄,2,且各次获取骑行券的结果相互独立. 若某用户一天使用了两2 5次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：下边的临界值表仅供参考:(参考公式：K2 (a b)咒膚c)(b d)，其中°a b °d)2 2X y21. (12分)已知椭圆C：p 牙1(a b 0)的右焦点为F ,上顶点为M，直线FM的斜a b率为2，且原点到直线FM的距离为一6•2 3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不经过点F的直线l:y kx m(k 0,m 0)与椭圆C交于A , B两点，且与圆x2 y2 1相切•试探究ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.Xe22. (12 分)设函数f (x) a(x lnx)(a 为常数).x(1 )当a 1时，求曲线y f(x)在x 1处的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,1)内存在唯一极值点x x。

2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-…，{|13}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(1,3)-B ．(2,3)C ．(1,2)D ．[2，3)2．（5分）已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．12i -D ．12i3．（5分）将(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是() A ．4B ．5C ．6D ．74．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点)O ，则200(S = ) A ．100B ．101C ．200D ．2015．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出x ，y 的分别是( )A ．12，23B ．23，12C ．13，22D ．22，136．（5分）函数2cos()()x f x x π=的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．7．（5分）如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是( )A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个8．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2019)(f -= )A ．4B ．2C ．2-D ．2log 59．（5分）已知命题:p x R ∃∈，使5sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题； ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③10．（5分）若向量(sin 3)2x m =r ，2(cos ,)22x x n cos =r，函数()f x m n =r r g ，则()f x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．3x π=B ．6x π=C ．3x π=-D ．2x π=11．（5分）对于函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x '是()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122019()()()202020202020g g g ++⋯+的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．6[31,]- B ．2[,1)2C ．23[,]2 D ．36[,] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，则目标函数32z x y =+的最大值为 ． 14．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 ． 15．（5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为 ．16．（5分）已知()f x x xlnx =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n n b n a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos 0a c B b C --=．（1）求角B的大小；（2）若2b=，求a c+的取值范围．19．（12分）如图四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且2PA AB==，E为PD中点．（1）求证：//PB平面EAC；（2）求二面角A BE C--的正弦值．20．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：下边的临界值表仅供参考：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为2，且原点到直线FM（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．（12分）设函数()()(xe f x a x lnx a x =--为常数）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,1)内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在(0,1)内的极大值点还是极小值点．2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-…，{|13}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(1,3)-B ．(2,3)C ．(1,2)D ．[2，3)【解答】解：{|1A x x =-„或2}x …，{|13}B x x =<<， [2A B ∴=I ，3)．故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足(1)(i z i i -=为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．12i -D ．12i【解答】解：由(1)i z i -=，得(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+， z ∴的虚部为12． 故选：B ．3．（5分）将(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是() A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：(3)n x +的展开式按照x 的升幂排列，倒数第三项为2223n n nC x --， 依题意，22390n n C -=，即2(1)102n n n C -==， 解得：5n =， 故选：B ．4．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点)O ，则200(S = ) A ．100B ．101C ．200D ．201【解答】解：由题意，A 、B 、C 三点共线，故21991a a +=．12002002199200()100()1002a a S a a +∴==+=g g ．故选：A ．5．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出x ，y 的分别是( )A ．12，23B ．23，12C ．13，22D ．22，13【解答】解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后是解方程组359424y x x y =-⎧⎨=+⎩，解得2312x y =⎧⎨=⎩；所以鸡23只，兔12只． 故选：B ．6．（5分）函数2cos()()x f x x π=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，2cos()()x f x x π=，22cos()cos()()()()x x f x f x x x ππ--===-， ()()f x f x ∴-=，()f x 为偶函数，． ∴其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ；又当0x →时，cos()1x π→，20x →，()f x ∴→+∞．故可排除B ； 而A 均满足以上分析． 故选：A ．7．（5分）如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是( )A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 【解答】解：由2017年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中，2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省，故A 正确．在B 中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，故B 正确； 在C 中，去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元，故C 正确；在D 中，2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故D 错误； 故选：D ．8．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2019)(f -= )A ．4B ．2C ．2-D ．2log 5【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=， 3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，2(2019)(2019)(1)log 42f f f ∴-=-=--=-=-．故选：C ．9．（5分）已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“()p q ∧⌝”是假命题； ③命题“()p q ⌝∨”是真命题； ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③【解答】解：|sin |1x Q …，:x R ∴∃∈，使sin x 错误，即命题p 是假命题， Q 判别式△1430=-=-<，x R ∴∀∈，都有210x x ++>恒成立，即命题q 是真命题，则①命题“p q ∧”是假命题；故①错误， ②命题“()p q ∧⌝”是假命题；故②正确， ③命题“()p q ⌝∨”是真命题；故③正确， ④命题“()()p q ⌝∨⌝”是真命题．故④错误， 故选：B ．10．（5分）若向量(sin 2x m =r ，2(cos ,)22x x n cos =r，函数()f x m n =r r g ，则()f x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．3x π=B ．6x π=C ．3x π=- D ．2x π=【解答】解：（Ⅰ）Q21()sin cos sin sin()22223x x x f x m n x x x π====+-r rg ；令326x k x k πππππ+=+⇒=+，k Z ∈，当0k =时6x π⇒=；()f x ∴的图象的一条对称轴方程是6x π=．故选：B ．11．（5分）对于函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x '是()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122019()()()202020202020g g g ++⋯+的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【解答】解：与题意可得，2()3g x x x '=-+，()21g x x ''=-， 令()210g x x ''=-=可得，而1()12g =，故函数()g x 关于1(,1)2对称，即(1)()2g x g x -+=，则1220192019()()()220192020202020202g g g ++⋯+=⨯=． 故选：C ．12．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF '． 则四边形AFBF '为矩形． 因此|||2AB FF c ='=．||||2AF BF a +=．||2sin AF c α=，||2cos BF c α=． 2sin 2cos 2c c a αα∴+=．∴11sin cos )4e πααα==++，Q [,]126ππα∈，∴5()[,]4312πππα+∈，∴sin()[424πα+∈，∴)4πα+∈．e ∴∈．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，则目标函数32z x y =+的最大值为 8 ． 【解答】解：由32z x y =+得322zy x =-+，作出变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩……„，对应的平面区域如图（阴影部分）：由1240x x y =⎧⎨-+=⎩解得5(1,)2A ， 平移直线322z y x =-+由图象可知当直线322z y x =-+经过点A 时，直线322zy x =-+的截距最大，此时z 也最大，将5(1,)2A 代入目标函数32z x y =+，得8z =． 故答案为：8．14．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 8 ． 【解答】解：2x =-Q 时，log 111a y =-=-，∴函数log (3)1(0a y x a =+->，1)a ≠的图象恒过定点(2,1)--即(2,1)A --，Q 点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=， 0m >Q ，0n >，∴121244()(2)22428n m n m m n m n m n m n m n+=++=++++=g g …， 当且仅当14m =，12n =时取等号．故答案为：815．（5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为 3π ．【解答】解：由题意知，BD CD ⊥，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高都是1，既是棱长为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为R ，则23R =所以外接球的表面积243S R ππ==， 故答案为：3π16．（5分）已知()f x x xlnx =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值是 4 ． 【解答】解：2x >Q ，(2)()k x f x ∴-<可化为()22f x x xlnxk x x +<=--； 令()2x xlnxF x x +=-， 则221(1)(2)()24()(2)(2)lnx x x x xlnx x lnx x F x x x ++--+--'==--g ；令()24g x x lnx =--，则2()10g x x'=->， 故()g x 在(2,)+∞上是增函数，且g （8）82842(28)0ln ln =--=-<，g （9）92945290ln ln =--=->； 故存在0(8,9)x ∈，使0()0g x =，即0024lnx x =-； 故()2x xlnxF x x +=-在0(2,)x 上是减函数，在0(x ，)+∞上是增函数； 故00000042()()22min x x x x F x F x x -+===-； 故02x k <； 故k 的最大值是4； 故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n n b n a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）Q 数列{}n a 是等比数列且14132a a =， ∴23132a a =，又2338a a +=，且数列{}n a 是递减数列，解得：214a =，318a =， 12q ∴=，112a =． ∴1()2n n a =；（2）221(2)log (2)()(2)2n n n b n a n log n n =-+=-+=+．∴11111()(2)22n b n n n n ==-++， 则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++． 18．（12分）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos 0a c B b C --=． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的取值范围．【解答】解：（1）(2)cos cos 0a c B b C --=Q ，(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ∴--=， 2sin cos sin()0A B B C ∴-+=， A B C π++=Q ，sin()sin()sin B C A A π∴+=-=， 2sin cos sin 0A B A ∴-=， sin 0A >Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由3B π=，2b =，可得：2222()3b a c ac a c ac =+-=+-， 又222231()3()()()44a c ac a c a c a c +-+-+=+…，22()416a c b ∴+=„，即4a c +„，又2a c b +>=，ABC ∴∆的周长的范围为(2，4]．19．（12分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，E 为PD 中点．（1）求证：//PB 平面EAC ； （2）求二面角A BE C --的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接BD 交AC 于O ， Q 底面ABCD 为正方形，O ∴为BD 的中点，E Q 为PD 的中点，//OE PB ∴，EO Q 在平面EAC 内，PB 不在平面EAC 内， //PB ∴平面EAC ；（2）Q 底面ABCD 为正方形， BC AB ∴⊥，又BC PB ⊥，AB PB B =I ， BC ∴⊥平面PAB ， BC PA ∴⊥，同理CD PD ⊥，BC CD C =I ，PA ∴⊥平面ABCD ，故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为2， 则(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0E ，1，1)，(2B ，0，0)，设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =r，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ， 则020m AE y z m AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，可取(0,1,1)m =-r ， 同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,0,2)n =r， ∴10cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，∴二面角A BE C --的正弦值为15．20．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意6040100（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：下边的临界值表仅供参考：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++【解答】解：（1）222()300(150406050)7.142910.828()()()()21090200100n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，∴不在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系．（2）公司通过APP 向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券， 用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立．某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ， 则X 的可能取值为0，1，2，3，4， 用户骑行一次获得0元券的概率12112510p =--=， 211(0)()10100P X ===， 11111(1)10221010P X ==⨯+⨯=， 12211133(2)10551022100P X ==⨯+⨯+⨯=， 12212(3)25525P X ==⨯+⨯=，224(4)5525P X ==⨯=， ∴随机变量X 的分布列为：数学期望113324()01234 2.610010100525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为2，且原点到直线FM（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）可设(,0)F c ，(0,)M b ，可得2b c -=，直线FM 的方程为bx cy bc +=，=，解得1b =，c =a = 则椭圆方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 1(0x >，20)x >，连接OA ，OQ ，在OAQ ∆中，222222111112||11133x AQ x y x x =+-=+--=，即1||AQ =，同理可得2||BQ =，12||||||)AB AQ BQ x x ∴=++，1212||||||)AB AF BF x x x ∴++++=，ABF ∴∆的周长是定值第21页（共21页）22．（12分）设函数()()(xe f x a x lnx a x =--为常数）． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,1)内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在(0,1)内的极大值点还是极小值点．【解答】解：（1）当1a =时，()xe f x x lnx x=-+， 2(1)1()1x e x f x x x-'=-+Q ， f ∴'（1）0=，f （1）1e =-，故()y f x =在1x =处的切线方程1y e =-，（2）2(1)11()()x xe x x ef x a a a x x x x--'=-+⨯=-Q ， 又(0,1)x ∈Q ， ∴10x x-<， 由题意可得，0xe a x-=在(0,1)上有一个零点，设为0x ， 令()x e g x a x =-，(0,1)x ∈，则2(1)()x e x g x x -'=， 可得，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，且0x →时，()g x →+∞， 若存在0x ，使得0()0g x =，则根据零点判定定理可知g （1）0e a =-<， 即a e >，此时当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '<，()f x 单调递减，当0(x x ∈，1)时，()0g x <，()0f x '>，()f x 单调递增，故0x x =为函数的极小值．。

2019-2020学年高三第一学期期末数学（理科）试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2] C．（0，3] D．（1，2]2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．的展开式中的常数项为（）A．14 B．﹣14 C．16 D．﹣167．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．9．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数（α∈R）为偶函数，则α＝．14．已知S n，是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a4＝6，则a8＝．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21．已知函数f（x）＝αe x﹣e﹣x﹣（a+1）x（α∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数α的取值范围；（Ⅱ）当0＜α＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2] C．（0，3] D．（1，2]【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵2x﹣1＞1，∴A＝{x|x＞1}，又x2﹣2x≤0，则B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】复数分母实数化，再化简即可．解：＝故选：D．3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．解：＝+＝+＝﹣，故选：C．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点是x ＝2，故选：A．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．∴所求概率P＝．故选：C．6．的展开式中的常数项为（）A．14 B．﹣14 C．16 D．﹣16【分析】把按照二项式定里展开，可得的展开式中的常数项．解：∵＝（3x+1）（﹣+﹣+﹣1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14，故选：A．7．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．解：整理得：，转换为，即，则：．当α＝40°时，两边相等．故选：B．8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】当P，E，F1共线时，此时△PEF2的周长的最小，即可得到2a＝3b，再根据离心率公式计算即可．解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝3b，∴4a2＝9（a2﹣c2），5a2＝9c2∴e＝＝，故选：D．9．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O'，则外接圆的半径r＝，而AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝2，所以r＝，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O 为外接球的球心，由题意得：R2＝r2+（）2＝2+＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝26π，故选：C．10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．【分析】利用两式作差，代入求出b n＝n+1，再利用裂项相消法求出和即可．解：，，两式作差得，，故2＝2a n+2﹣a n+1＝2n+1，b n＝n+1，所以，所以＝，故选：C．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出函数f（x）的图象，由题意得出2+a＝2b＝k，则2＜k≤4；可求得a、b的表达式，计算k＝4时ab＝；再求ab﹣≥0恒成立即可．解：画出函数f（x）＝的图象，如图①所示；由f（a）＝f（b），且a＜b，设2+a＝2b＝k，则2＜k≤4；所以a＝，b＝log2k；当k＝4时，ab＝•log24＝•2＝；考虑ab﹣＝•log2k﹣＝•（log2k﹣2k﹣3），在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝2x﹣3的图象，其中x∈（2，4]，如图②所示；则函数y＝log2x的图象总在y＝2x﹣3的图象上方，所以ab﹣≥0，即ab的最小值为．故选：B．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．【分析】设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得|BF|，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），渐近线OB的方程为y＝x，渐近线OA的方程为y＝﹣x，可得|BF|＝＝b，|OB|＝＝a，|AB|＝＝，可得tan∠AOB＝＝＝，解得b＝2a或b＝﹣a（舍去），可得|AF|＝+2a＝，由|OB|2＝|CB|•|BF|，可得|CB|＝＝a，则|CF|＝b+a＝，则＝．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数（α∈R）为偶函数，则α＝．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a（﹣x）﹣log2（2﹣x+1）+cos（﹣x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x，据此变形分析可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则有a（﹣x）﹣log2（2﹣x+1）+cos（﹣x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x，变形可得：2ax＝log2（2x+1）﹣log2（2﹣x+1）＝x，必有a＝；故答案为：．14．已知S n，是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a4＝6，则a8＝．【分析】设等比数列的公比为q，讨论q＝1不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．解：S n是等比数列{a n}的前n项和，设公比为q，S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，若q＝1，则18a1＝3a1+6a1，即a1＝0不成立；由q≠1，可得2•＝+，即有2q9＝q3+q6，即2q6﹣q3﹣1＝0，则q3＝﹣（1舍去），a2+a4＝6，即为a1q+a1q3＝6，可得a1q＝，则a8＝a1q7＝×（﹣）2＝，故答案为：．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是（﹣，2] ．【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．解：f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，所以φ＝（k∈Z），解得φ＝，当k＝0时，φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+）．由于，所以，所以﹣＜f（x0）≤2，即a的范围为（﹣，2]．故答案为：（﹣，2]．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8．【分析】推导出PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE ⊥PC，DE⊥BC，推导出AE⊥DE，从而AE⊥平面PBC，进而四面体P﹣ABC的体积为V P﹣ABC ＝P A﹣PBC＝，由此能求出结果．解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD＝＝3，DE＝4，AE＝＝，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC＝＝＝＝8．故答案为：8．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（I）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C，进而可求C，（II）由已知，结合三角形的面积公式可求，a，b然后结合C的值及余弦定理可求c，进而可求周长．解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C＝，∵0＜C＜π，∴C＝，（II）由题意可得，＝，∴ab＝4，∵2a+b＝6，联立可得，或，若a＝1，b＝4，则由余弦定理可得，c2＝1＝15，此时a+b+c＝5+，若a＝2，b＝2，则此时△ABC为等边三角形，此时周长6．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）利用B1C⊥平面ABC1可证得B1C⊥AO，利用三线合一可证得AO⊥BC1，进而得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB＝AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1＝O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO＝45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，，在直角△ABO中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面A1B1C1的一个法向量为，则，令，则，易知平面B1C1B的一个法向量为，∴，又二面角A1﹣B1C1﹣B为钝角，故其余弦值为．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程抛物线方程；（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），求得直线EN的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），即y＝•x﹣，代入韦达定理可得y＝•（x+1），则直线EN过定点（﹣1，0）．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X ～B （5，），由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P （ξ＝0）＝，P （ξ＝1）＝，P （ξ＝2）＝，…，P （ξ＝n ﹣1）＝，P （ξ＝n ）＝，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1． ∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B （5，），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P （X ＝2）＝＝．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P （ξ＝0）＝，P （ξ＝1）＝，P （ξ＝2）＝，…，P （ξ＝n ﹣1）＝，P （ξ＝n ）＝，∴ξ的分布列为：E （ξ）＝+，① E （ξ）＝，②①﹣②，得：E （ξ）＝∴E （ξ）＝＝＝3﹣3•．21．已知函数f（x）＝αe x﹣e﹣x﹣（a+1）x（α∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数α的取值范围；（Ⅱ）当0＜α＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），根据函数的单调性确定k的范围即可．解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴a＞0且a≠1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，①0＜a＜1时，﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，②a＞1时，﹣lna＜0，∴当x＞0或x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣lna＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极小值，当x2＝﹣lna时，函数取得极大值，故a的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞﹣kf（x2），令﹣k＝m，∵a﹣1＞m[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故m＞0，故（a+1）lna＜（1）（a﹣1），即lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），g′（x）＝，令+1＝0（*），△＝，①m≥1时，△≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1），符合题意，②0＜m＜1时，△＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x∈（x3，x4）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1），矛盾，不合题意，综上，m≥1，即﹣k≥1，∴k≤﹣1．（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为解：①．直线l2的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为②．所以①×②得到（y≠0）．（Ⅱ）直线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．设曲线C1的上的点Q（）到直线x+y﹣8＝0的距离d＝＝，当时，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3﹣2|x|，可得或或，然后解不等式组即可得到解集；（Ⅱ）先利用绝对值三角不等式求出g（x）的最小值，再利用基本不等式求出的最小值即可．解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣1|，∴由f（x）≥3﹣2|x|，得|x﹣1|+2|x|≥3．∵|x﹣1|+2|x|＝，∴由|x﹣1|+2|x|≥3，有或或，∴x≥或x≤﹣，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．（Ⅱ）证明：g（x）＝f（x）+|x﹣5|＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，∴g（x）min＝m＝4，∴a+b＝m＝4，∴＝≥2a+2b﹣4＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴．。