强度、刚度、稳定性演示教学

的弯矩较小，而剪力很大。 (2) 焊接或铆接的工字梁，如果腹板较薄而截面高度很大，
以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进 行剪应力强度校核。
(3) 经焊接、铆接或胶合而成的组合梁，一般需对焊缝、铆 钉或胶合面进行剪应力强度校核。
按强度条件设计梁时，强度条件
maxMWmax
可解决三方面问题：
弯曲时横截面上的正应力105
MZ: 横截面上的弯矩 y: 所求应力点到中性轴的距离 IZ: 截面对中性轴的惯性矩
M
M 中性轴
mn
z
y
o
o
dA
z
mn y dx
P105横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
Mmaxymax Iz
为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况， 将梁设计成变截面的。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩 较小处，采用较小的截面。
这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。例如：阶梯轴、 鱼腹梁等。
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Wz
Iz y max
D4(14)/64 D3 (14)
D/2
32
弯曲切应力
1. 矩形截面梁的弯曲切应力109
y h， 2
即横截面上、下边缘各点处：
0
y =0，即中性轴上各点处：
max
3 2
FQ bh
3 2
FQ A
2. 工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力
提高弯曲强度的措施
一、 合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从 而提高梁的强度
1、使集中力分散
2、减小跨度
二、 合理选择截面
当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越 小，梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。
τ 沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。
最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为
max
2*
FQ A
梁的强度条件115
1、梁的正应力强度条件：
2、梁的切应力强度条件：
max
满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强 度条件。因而可不对切应力进行强度校核
必须进行剪应力的强度校核的情况： (1) 梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷；以致梁
直接导出弯曲正应力
变形的几何关系 物理关系 静力关系
弯曲梁的横截面上 正应力
横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
（1）强度校核； （2）设计截面尺寸； （3）计算许可载荷。
提高弯曲强度的措施119
按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件
maxMWmax
由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从 两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩 Mmax 的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数W 的数值。充分利用材料的性能。
b 为腹板厚度
Iz 可查表 Szmax
max
FQ Iz b
Sz max
可近似写 max为 b FQh
3. 圆形截面梁的弯曲剪应力110
在y =0处，即中性轴上各点处：
maxymax34FRQ2
4 3
FQ A
max
4. 薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力110 因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径 R ，故可以认为剪应力
弯曲应力与强度计算
梁的弯曲应力与强度计算
1 梁弯曲时横截面上的正应力 2 弯曲切应力 3 梁的强度计算 4 提高弯曲强度的措施
梁弯曲时横截面上的正应力
横弯曲和纯弯曲102
平面弯曲时梁的横截面上有两 个内力分量：弯矩和剪力。
例如：AC和DB段。梁在垂直 梁轴线的横向力作用下，横截 面将同时产生弯矩和剪力。这 种弯曲称为横力弯曲简称横弯 曲。 例如：CD段。梁在垂直梁轴 线的横向力作用下，横截面上 只有弯矩没有剪力。称为纯弯 曲。
中性轴的概念103 设想梁由平行于轴线的众多纵 向纤维组成，弯曲时一侧纵向 纤维伸长，一侧纵向纤维缩短， 总有一层既不伸长也不缩短， 称为中性层：
中性轴：中性层与梁的横截面的交线。 垂直于梁的纵向对称面。
梁弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲的基本假设：103
实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧
对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强 于抗拉能力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。
对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的 许用拉应力和许用压应力。
三、合理设计梁的外形（等强度梁） 在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在按最大
弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面 的材料强度均未能得到充分利用。
Wz
Iz y max
max
Mmax Wz
Wz 称为抗弯截面系数。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
抗弯截面系数106
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz y max
bh 3 / 12
h/2
bh 2 6
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz y maxBiblioteka D 4 / 64D/2
D 3 32
因此，合理的横截面形状应该是截面面积 A 较小，而弯曲截 面系数 W 较大。我们可以用比值 W 来衡量截面形状的合理性。
A
所以，在截面面积一定时，环形截面比圆形截面合理，矩形截面 比圆形截面合理，矩形截面竖放比平放合理，工字形截面比矩形 截面合理。
另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。 对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其 对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。
缩短，凸侧伸长。
纯弯曲的基本假设：
横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后
的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
弯曲正应力公式的推导103-105 梁横截面上的弯矩