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建筑⼒学常见问题解答4杆件的强度、刚度和稳定性计算建筑⼒学常见问题解答4 杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。
(1)⾜够的强度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。
(2)⾜够的刚度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。
(3)⾜够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。
应⼒的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。
设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为aa=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。
第1章结构稳定概述工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。
在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。
1.1 稳定问题的一般概念结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。
处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。
当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。
结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。
因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。
结构稳定问题可分为两类：第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。
结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。
第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。
结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。
无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。
结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。
因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的116强度外，还应进行其稳定性校核。
1.1.1 第一类稳定问题首先以轴心受压杆来说明第一类稳定问题。
第4章 结构构件的强度、刚度及稳定性起重机械钢结构作为主要承重结构，由许许多多构件连接而成，常见构件有轴心受力构件、受弯构件及偏心受压构件。
承载能力计算包括强度、刚度和稳定计算。
稳定问题包括整体稳定和局部稳定，在连续反复载荷作用下，尚需要计算疲劳强度。
本章介绍轴心受压构件、受弯构件及偏心受压构件的强度、刚度、整体稳定性及局部稳定性的计算。
4.1 轴心受力构件的强度、刚度及整体稳定 4.1.1 轴心受力构件的强度轴心受力构件的强度按下式计算：[]jNA σσ=≤ (4-1) 式中: j A —构件净截面面积, mm 2；N —轴心受力构件的载荷, N ；[]σ—材料的许用应力,N/mm 2。
4.1.2 轴心受力构件刚度构件过长而细，在自重作用下会产生较大的挠度，运输和安装中会因刚度较差而弯扭变形，在动力载荷作用下也易产生较大幅度的振动。
且对于轴心受压构件，刚性不足容易产生过大的初弯曲和自重等因素产生下垂挠度，对整体稳定性产生不利影响。
为此，必须控制构件的长细比不超过规定的许用长细比][λ，构件的刚度按下式计算：[]l rλλ=≤ (4-2) 式中：0l —构件的计算长度,mm ；[]λ—许用长细比，《起重机设计规范》GB/T 3811-2008规定结构构件容许长细比见表4-1；r —构件截面的最小回转半径,mm 。
r =（4-3）式中: A —构件毛截面面积，mm 2；I －构件截面惯性矩，mm ４；4.1.3 轴心受压构件整体稳定性 (1) 理想轴心受压构件轴心受压构件的截面形状和尺寸有种种变化，构件丧失整体稳定形式有三种可能：弯曲屈曲、弯扭屈曲和扭转屈曲。
对于双轴对称的截面(如工字形)，易产生弯曲屈曲；对于单轴对称的截面(如槽形)，易产生弯扭屈曲；对于十字形截面，易产生扭转屈曲。
理想轴心受压构件是指构件是等截面、截面型心纵轴是直线、压力的作用线与型心纵轴重合、材料完全均匀。
早在18世纪欧拉对理想轴心压杆整体稳定进行了研究，得到了著名的欧拉临界力公式。
图4-1所示为轴心受压构件的计算简图，据此可以建立构件在微曲状态下的平衡微分方程：0=⋅+''⋅y N y EI （4-4）解此方程，可得到临界载荷0N ，又称欧拉临界载荷E N ：220o E l EI N N π== （4-5）式中：0l —压杆计算长度，当两端铰支时为实际长度l ，mm ；E —材料的弹性模量，N/mm 2； I —压杆的毛截面惯性矩,mm 4。
由式(4-5)可得轴心受压构件的欧拉临界应力为：2220220)/(λππσσEAr l EAr A N E E ==== （4-6） NxNyN式中：λ—轴心受压构件的长细比；A —构件毛截面面积，mm 2。
当轴心压力N 小于E N 时，构件处于稳定的直线平衡状态，此时构件只产生均匀的压缩变形。
当构件受到某种因素的干扰，如横向干扰力、载荷偏心等，构件发生弹性弯曲变形。
干扰消除后，构件恢复到直线平衡状态。
当外力继续增大至某一数值E N 时，构件的平衡状态曲线呈分支现象，既可能在直线状态下平衡，也可能在微曲状态下平衡，此类具有平衡分支的稳定问题称为第一类问题。
当外力再稍微增加，构件的弯曲变形就急屈曲。
此时的压力E N 称为临界压力。
必须指出的是，欧拉临界应力公式的推导，是以压杆的材料为弹性的，且服从胡克定律为基础。
也就是说只有对按式(4-6)算出的临界应力0σ不超过压杆材料的比例极限p σ的长细杆有效。
但对于粗短的压杆，外载荷达到临界载荷之前，轴向应力将超过弹性极限，而处于非弹性阶段。
这时弹性模量E 不再保持常数，而是应力的函数，称切线模量。
1947年香莱(Shanley)通过与欧拉公式相类似的推导，得到两端铰支的截面轴心压杆非弹性阶段的屈曲临界力，称为切线模量临界应力：220t t E IN l π=(4-7)切线模量t E 表示在钢材应力应变曲线上的临界应力处的斜率(图4-2)。
在非弹性阶段的切线模量临界应力为：σσσσ202t tN E A πσλ== (4-8)由此可见，当p λλ≥，材料处于弹性阶段时，用式(4-6)计算临界应力0σ；当p λλ<，临界应力超过了比例极限，材料处于弹塑性阶段，用公式(4-8)计算临界应力0σ,如图4-3中虚曲线为欧拉临界应力延长线已经不适用。
(2) 实际轴心受压构件在起重机械结构中，理想构件是不存在的，构件或多或少存在初始缺陷。
如：初变形(包括初弯曲和初扭曲)、初偏心(压力作用点与截面型心存在偏离的情况)等等。
这些因素，都使轴心压杆在载荷一开始作用时就发生弯曲，不存在由直线平衡到曲线平衡的分歧点。
实际轴心压杆的工作情况犹如小偏心受压构件，其临界力要比理想轴心压杆低(图4-4)，当压力不断增加时，压杆的变形也不断增加，直至破坏。
载荷和挠度的关系曲线，由稳定平衡的上升和不稳定平衡的下降段组成。
在上升段OA ，增加载荷才能使挠度加大，内外力处于平衡状态；而在下降阶段AB ，由于截面上塑性的发展，挠度不断增加，为了保持内外力的平衡，必须减小载荷。
因此，上升阶段是稳定的，下降阶段是不稳定的，上升和下降阶段的分界点A ，就是压杆的临界点，所对应的载荷也是压杆稳定的极限承载力u N (即压溃力)。
另外，构件焊接后产生的残余应力(接应力)、轧制型钢在轧制后，由于冷却速度不均匀，产生的残余应力对构件稳定性也有很大影响。
这些残余应力由于本身自相平衡，所以对构件的强度承载能力没有影响，但对稳定承载能力则有影响。
如(图4-5)因为残余应力的压应力部分使该部分截面提前发展塑性，使轴心受压构件达到临界状态，截面由不同的两部分变形模量组成，塑性区的变形模量等于零，而弹性区的变形模量仍为E ，只有弹性区才能继续有效承载。
可以按有效截面的惯性矩e I 近似的计算两端铰接的等截面轴压构件的临界力和临界式中：eI m I=(3) 实腹式轴心压杆整体稳定计算影响轴心压杆稳定极限承载力的主要因素有多种，例如，截面形状和尺寸、材料力学性能、残余应力的分布和大小、构件的初弯曲和初扭曲、载荷作用点的初偏心、在支承处可能存在的弹性约束、构件的失稳方向等等。
严格来说，每一根轴心压杆都有各自的稳定曲线，但在设计时，是不可能精确确定该压杆的稳定曲线的。
因此，对实腹式轴心受压杆件整体稳定性计算公式采用一种简单的表达形式：[][]cr cr s cr s s N A K K σσσσσσϕσσσ=≤===或写成一般形式：[]N Aσσϕ≤≤ (4-9) 式中：N —轴心受压构件的计算载荷,N ；A —构件的毛截面面积,mm 2；K —强度安全系数；ϕ—轴心受压构件稳定系数；稳定系数ϕ的确定是轴心受压构件计算准确的关键因素之一，它的确定是通过大量具有1/1000杆件长的初弯曲、不同截面形式和尺寸、不同的加工条件和相对应的残余应力的试件进行试验，按柱的最大强度理论，用数值的方法算出大量的ϕλ-曲线(柱子曲线)归纳确定的。
在制定《钢结构设计规范》GB 50017-2003时，是根据大量的数据和曲线，选择其常用的96条曲线作为确定ϕλ-的依据。
由于这96条曲线分布较为离散，采用一条曲线代表这些曲线显然不合理，所以进行了分类，把承载能力相近的截面及其弯图4-5 焊接工字形截面的残余应力曲失稳对应的轴合为一类，归纳为a 、b 、c 三类。
每类柱子曲线的平均值(即50%分位值)作为代表曲线。
当时的柱子曲线是针对组成板件厚度40t mm <的截面进行的，而组成板件厚度40t mm ≥的构件，残余应力不但沿板宽度方向变化，在板厚度方向的变化也比较显著。
板件外表面往往以残余压应力为主，对构件稳定的影响较大。
在《钢结构设计规范》GB 50017-2003中提出，组成板件40t mm ≥的工字形、H 形截面和箱形截面的类别作出了专门的规定，并增加了d 类截面的ϕ值。
《起重机设计规范》GB/T 3811-2008采用了《钢结构设计规范》GB 50017-2003的方法。
计算轴心受压构件稳定系数ϕ时，首先按表4-2轴心受压构件截面类别确定的类别；然后按最大长细比查附录四附表4-1~4-4中对应的表求得。
也可以按下列方法计算求得：正侧长细比n λ 当0.215n λ≤时：211n ϕαλ=- (4-10)当0.215n λ>时：22321[()2n n nϕααλλλ=++ (4-11) 式中：1α、2α、3α取值查表4-3。
表4-2 轴心受压构件的截面类型表 4-3 系数123ααα、、(4) 轴心受压格构式构件的整体稳定计算起重机械钢结构中，存在大量轴心受压构件，压力不大，而长度大，所需要的截面积较小。
为了取得较大的稳定承载力，尽可能使截面分开。
经常采用格构式结构，以期取得较大的惯性矩，从而降低λ值。
肢件的轴，称为虚轴。
由于两个肢件之间不是连续的板连系而是用缀件每隔一定距离才有连系，失稳时剪力引起的变形要大些，而剪切变形对失稳变形的临界力有较大影响。
根据理论分析，两端铰接的等截面轴压构件，对虚轴的临界力和临界应力为：式中：1γ—单位剪切力作用下的剪切变形；y λ—两柱肢作为整体对虚轴y y -的长细比；hy λ—换算长细比。
对于不同形式的格构式构件的换算长细比的计算公式列于表4-4中。
格构式轴心受压构件的稳定性公式和实腹式轴心受压杆件整体稳定性计算公式完全相同，但稳定系数的采用不完全相同，对实轴计算方法与相同，对虚轴而言长细比要采用换算长细比，然后根据截面类别、钢号查表或计算取得。
λ已知如图4-6所示工字形截面轴心压杆，翼缘：2-200×10 ，腹板：1-180×6，杆长m l 4=，两端铰支，按载荷组合B 求得构件轴心压力KN N 600=，钢材为Q235B 钢，焊条为E43型，试验算构件强度、刚度及整体稳定性。
解：1、截面几何特性2122201180.650.8cm A A A ⨯⨯+⨯==+=4233390536103.36.291)2118()120(21201212186.0121cm I x =++=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=cm A I r x x 77.88.503905===334112120180.613301212y cm I ⨯⨯⨯+⨯⨯==5.11y r cm===2、许用应力及许用长细比查P12表2-2，16t ≤得：2235/s N mm σ=查P45表3-11载荷组合B 得：安全系数n=1.34 许用应力：[]σ=235/1.34=175 N/mm 2。
查P47表4-1得：150][=λ3、刚度校核由于y x l l 00=，而y x r r >，故截面仅需对y 轴作刚度和稳定控制。
