必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 教学设计

第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2)一、知识结构1．2．空间中平行、垂直间的转化关系二、学习目标1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

等角定理 。

2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。

判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。

3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三、课时安排全章约需10+2课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时小结----------------------------------1课时四、教学建议2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。

学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。

2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。

3．了解作为以后推理依据的三个公理。

教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。

要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。

文字语言——对图像的描述、解释与讨论。

符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。

空间点、直线、平面之间的位置关系第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。

学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。

2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。

3．了解作为以后推理依据的三个公理。

教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。

要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。

文字语言——对图像的描述、解释与讨论。

符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。

在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。

课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。

注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。

2．两个重要模型四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。

建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。

3．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。

公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面的依据。

课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：判定两个平面相交的依据，为画图提供理论——两个平面相交有一条交线；可用于判定点在直线上。

建议：适当进行不同角度的两个相交平面直观图画法的练习，提高学习兴趣，提高空间想象能力，为在空间图形中进行命题论证奠定基础——过画图关。

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系教学内容空间两条直线之间的位置关系，等角定理。

第二章点、直线、平面之间的地点关系2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系教课设计 A第 1课时教课内容：平面教课目标一、知识与技术1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平搁置的直观图；2.掌握平面的基天性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同谈论中，形成对平面的感性认识.三、感情、态度与价值观经过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，从而加强了学习的兴趣.教课要点、难点教课要点：1.平面的看法及表示；2.平面的基天性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教课难点：平面基天性质的掌握与运用.教课要点：让学生理解平面的看法，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的看法及其性质由感性认识上涨到理性认识.教课打破方法：对三个公义要联合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教课方法：研究谈论，讲练联合法．学习方法：学生经过阅读教材，联系身旁的实物思虑、交流，师生共同谈论等，从而较好地完成本节课的教课目标 .教课准备教师准备：投影仪、投电影、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教课过程教学设计教课内容师生互动过企图程什么是平面？师：生活中常有的如一些能看得见的平黑板、桌面等，给我们以形成创设面实例 .平面的印象，你们能举出平面情境更多例子吗？那么平面导入的概新课的含义是什么呢？这就念是我们这节课所要学习的内容 .续上表1. 平面含义师：以上实物都给加强对随堂练习判断以下我们以平面的印象，几知识的命题能否正确：何里所说的平面，就是理解培主题①书桌面是平面；从这样的一些物体中养，自研究② 8 个平面重叠起抽象出来的，但是，几觉钻研合作来要比 6 个平面重何里的平面是无穷延的学习交流叠起来厚；展的 .习惯 .③有一个平面的长数形结是 50m，宽是 20m；④平合，加面是绝对的平，无厚度，深理可以无穷延展的抽象的解 .数学看法 .2. 平面的画法及表师：在平面几何示中，如何画直线？（一（ 1）平面的画法：学生上黑板画）水平搁置的平面平时画以后教师加以必定，解成一个平行四边形，锐角说、类比，将知识迁徙，画成 45°，且横边画成得出平面的画法：通过类邻边的 2 倍长（如图）．β比探主题研究合作交流D C假如几个平面画在αA B一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投电影）．（2）平面平时用希腊字母α、β、γ 等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个极点也许相对的两个极点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等 .索，培α养学生知识迁β移能α力，加强知识·B的系统α·A性 .（3）平面内有无数个点，平面可以看作点的会集 .点 A 在平面α内，记作：A∈α ; 点 B 在平面α外，记作： Bα．续上表3.平面的基天性质教师指引学生公义 1：假如一条直线思虑教材P41的思虑上的两点在一个平面内，题，让学生充分发布主题研究合作交流那么这条直线在此平面自己的见解 .通过类内．师：把一把直尺比探A B边沿上的任意两点索，培· C ·α·放在桌边，可以看养学生符号表示为A∈L到，直尺的整个边沿知识迁B∈L?L?α．就落在了桌面上，用移能A∈α事实指引学生概括力，加B∈α出公义 1．强知识公义 1：判断直线能否教师指引学生阅的系统在平面内．读教材 P42 前几行相性 .公义 2：过不在一条直关内容，并加以解线上的三点，有且只有一析．个平面 .师：生活中，我A 们看到三脚架可以α · ·BL符号表示为： A 、B 、C 坚固地支撑照相机三点不共线??有且只有 或丈量用的平板仪一个平面 α，使 A ∈α、 B 等等．∈α、 C ∈α . 指引学生概括公义 2 作用：确立一 出公义 2．个平面的依照 .教师用正（长）公义 3：假如两个不重方形模型，让学生理合的平面有一个公共点，解两个平面的交线βP的含义 .那么它们有且只有一条过α ·L该点的公共直线 .注意：（1）公义符号表示为：P ∈ 中“有且只有一α∩β ??α∩β =L ，且 P 个”的含义是：∈ L ．“有”，是说图形存公义 3 作用：判断两 在，“只有一个”，个平面能否订交的依照 .是说图形独一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过 不在同向来线上的三个点的平面是有的，并且只有一个”，也即不共线的三点确立一个平面 .“有且只有一个平面”也可以说成“确立一个平面 . ”指引学生阅读P42 的思虑题，从而概括出公义3．续上表4.教材P43例1教师及时谈论和拓展经过例子，让学生掌纠正同学的表达方法，坚固创新握图形中点、线、面的位规范画图和符号表示.提应用置关系及符号的正确使高．提高用 .1．平面的看法，画法及表示方法 .2．平面的性质及其作用．3．符号表示．培养学生归纳整合学生概括总结、教4．注意事项．知识小结师恩赐点拨、完美并板能书 .力，以及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.以下说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm2；（3）平面是矩形或平行四边形的形状 .此中说法正确的个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 32.若点 A在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. Ab C. Ab D. Ab3.图中表示两个订交平面，此中画法正确的选项是（）．4. 空间中两个不重合的平面可以把空间分成（C）部分 .A B答案： 1.A 2. B 3.D 4. 3或 4第 2课时教课内容空间中直线与直线之间的地点关系教课目标一、知识与技术1.认识空间中两条直线的地点关系；2.理解异面直线的看法、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公义 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线地点关系的谈论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.领会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、感情、态度与价值观感觉到掌握空间两直线关系的必需性，提高学习兴趣.教课要点、难点教课要点1.异面直线的看法 .2.公义 4 及等角定理 .教课难点异面直线所成角的计算.教课要点提高学生空间想象能力，联合图形来判断空间直线的地点关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教课打破方法联合图形，利用不一样的分类标准给出空间直线的地点关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围 .教法与学法导航教课方法研究谈论法．学习方法学生经过阅读教材、思虑与教师交流、概括，从而较好地完成教课目标.教课准备教师准备投影仪、投电影、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教课过程详见下表 .教学设计教课内容师生互动环企图节创异面直线的看法：不一样在任经过身旁实物，设疑设何一个平面内的两条直线叫做相互交流异面直线激趣情异面直线 .的看法．点出境师：空间两条直主导线有多少种地点关题．入系？新课探 1. 空间的两条直线的地点教师给出长方多媒索关系体模型，指引学生得体演新订交直线：同一平面内，有出空间的两条直线示提知且只有一个公共点；有以下三种关系．高上平行直线：同一平面内，没教师再次重申课效有公共点；异面直线：不一样在任异面直线不共面的率.何一个平面内，没有公共点 .特色．师生异面直线作图时平时用一互个或两个平面衬托，以以下图：动，打破重点.探 2. 平行公义师：在同一平面例 2索思虑：长方体 ABCD-A'B'C'D'内，假如两条直线都的讲新中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，与第三条直线平行，解让知那么 BB'与 DD'平行吗？那么这两条直线互学生公义 4：平行于同一条直线相平行 . 在空间中，掌握的两条直线相互平行 .能否有近似的规了公符号表示为：设 a、 b、 c 是律？理 4三条直线生：是．的运假如 a//b ， b//c ，那么重申：公义 4 实用．a//c.质上是说平行拥有例 2 空间四边形 ABCD中，E、传达性，在平面、空F、 G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 间这个性质都合用．的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形 .续上表3. 思虑：在平面上，我们让学生观察、思虑：等角简单证明“假如一个角的两边∠ADC 与定理探与另一个角的两边分别平行，那A'D'C'、∠ADC与∠为异索么这两个角相等或互补” . 空间A'B'C' 的两边分别面直新中，结论能否依旧成立呢？对应平行，这两组角线所知等角定理：空间中假如两个的大小关系如何？成的角的两边分别对应平行，那么这生：∠ADC=角的两个角相等或互补 .A'D'C' ，∠ADC +∠看法A'B'C' = 180°作准教师画出更具备.一般性的图形，师生共同概括出以低等角定理．探 4. 异面直线所成的角师：① a' 与 b' 所成以教索如图，已知异面直线 a、 b，的角的大小只由 a、b师讲新经过空间中任一点 O 作直线 a'的相互地点来确立，授为知∥ a、b' ∥b，我们把 a' 与 b' 所与 O的选择没关，为主，探成的锐角（或直角）叫异面直线了简易，点 O一般取师生索 a 与 b 所成的角（夹角）．在两直线中的一条共同新例 3（投影）上；交知② 两条异面直线所流，成的角θ∈（ 0，π）；导出2③ 当两条异面直线异面所成的角是直角时，直线我们就说这两条异所成面直线相互垂直，记的角作 a⊥ b；的概④ 两条直线相互垂念.直，有共面垂直与异例 3面垂直两种情况；让学⑤ 计算中，平时把两生掌条异面直线所成的角握了转变成两条订交直线如何所成的角.求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识.续上表拓展创新应用提高教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教充师当堂谈论 .分调动学生动手的积极性，小本节课学习了哪些知识内容？2．计算异面直线所成的角应注意什么？学生概括，而后老师增补、完美．教师适时给予肯定.小结知识，形成结整体思维．课堂作业1.异面直线是指（）．A.空间中两条不订交的直线B.分别位于两不一样平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不一样在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2对B. 3对C. 4对D. 6对3.正方体 ABCD-1AB1C1D1中与棱 AA1平行的棱共有（）．A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60°，则的大小为（）．.答案： 1. D 2. B 3. C 4. 60°或120°第 3课时教课内容空间中直线与平面之间的地点关系平面与平面之间的地点关系教课目标一、知识与技术1.认识空间中直线与平面的地点关系，认识空间中平面与平面的地点关系；2.提高空间想象能力.二、过程与方法1.经过观察与类比加深了对这些地点关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验概括整理本节所学知识 .三、感情、态度与价值观感觉空间中图形的基本地点关系，形成慎重的思想质量.教课要点、难点教课要点空间直线与平面、平面与平面之间的地点关系.教课难点用图形表达直线与平面、平面与平面的地点关系.教课要点借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依照这些标准对直线与平面、平面与平面的地点关系进行分类及判断.教课打破方法合适地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的地点关系.教法与学法导航教课方法借助实物，让学生观察事物、思虑关系，讲练联合，较好地完成本节课的教课目标学习方法研究谈论，自主学习法.教课准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教课过程详见下表 ..教学设计教课内容师生互动过企图程问题 1：空间中直线和直生 1：平行、订交、线有几种地点关系？异面；复习问题 2：一支笔所在的直生 2：有三种地点回线和一个作业本所在平面有关系：创设（ 1）直线在平面顾，几种地点关系？情境激发导入内；（2）直线与平面相新课学习交；兴（ 3）直线与平面趣 .平行．师必定并板书，点出主题 .主1．直线与平面的地点关师：有谁能讲出这加强题系 .三种地点有什么特色对知探（ 1）直线在平面内——吗？生：直线在平面内识的究有无数个公共点 . （ 2）直线与时两者有无数个公共理解合平面订交——有且仅有一个点 .培作公共点 .直线与平面订交养，交（3）直线在平面平行时，两者有且仅有一个自觉流——没有公共点 . 此中直线与公共点 . 直线与平面平钻研平面订交或平行的状况，统称行时，三者没有公共点的学为直线在平面外，记作 a.（师板书）．习习直线 a 在面内的符号语师：我们把直线与惯，言是 a. 图形语言是：平面订交或直线与平数形直线 a 与面相交的面平行的状况统称为结a∩=A.图形语言是符号语直线在平面外 . 师：直合，言是：线与平面的三种地点加深直线 a 与面平行的符号关系的图形语言、符号理语言是 a∥.图形语言是：语言各是如何的？谁解 .来画图表示一个和书写一下 .学生登台画图表示 . 师；好. 应当注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外 .上表2．平面与平面的地点：下边同学关系思虑以下两个（投通（ 1） 1：取出两本影）．比，看作两个平面，上下、生：平行、订交 .探左右移和翻，它之：它有什么特索，主的地点关系有几种？（2）点？培育2：如所示，成生：两个平面平行方体 ABCD– A′B′C′D′学生探两者没有公共点，两知究的六个面，两两之的地点个平面订交，两者有迁徙合关系有几种？且有一条公共直能作（ 3）平面与平面的位（板）．力 .交置关系：下边同学加流平面与平面平行——用形和符号把平面和知没有公共点 .平面的地点关系表示出的系平面与平面订交——有且来⋯⋯只有一条公共直. 平面与：下边我来看性 .平面平行的符号言是∥几个例子（投影例 1）．. 形言是：上表例 1 以下命题中正学生先独立完成，然例1确的个数是（ B）．后谈论、共同研究，得出通过①若直线 l 上有无数个点答案 . 教师利用投影仪给示范不在平面内，则 l ∥.出示范 .传授②若直线l 与平面平师：如图，我们借助学生行，则 l与平面内的任长方一个意一条直线都平行 .体模通过③假如两条平行直线中型，模型拓棱 AA 所在直线有无数点的一条与一个平面平行，来研1展那么另一条也与这个平在平面 ABCD外，但棱AA1究问创面平行 .所在直线与平面ABCD相题的新④若直线l 与平面平交，所以命题①不正确；方法，应行，则 l与平面内的任A1B1所在直线平行于平面加深用ABCD， A B 明显不平行于意一条直线没有公共点 .对概11提D.BD，所以命题②不正确；念的高AB ∥AB，A B 所在直线平理解 .31111例 2 已知平面∥ ，直行于平面，但直线AB 例2ABCD线 a，求证 a∥.平面，所以命题③目标ABCD证明：假设 a 不平行，不正确； l 与平面平行，训练则 a 在内或 a与订交.则 l与无公共点，l 与平学生∴ a 与有公共点 .面内全部直线都没有公思维又 a.共点，所以命题④正确，的灵∴ a 与有公共点，与面应选 B.活，并∥面∴∥矛盾 ..师：投影例2，并读题，先让学生试试证明，发现正面证明其实不简单，而后教师恩赐指引，共同完成，并概括反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .加深对面面平行、线面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平面的地点关系.2．“正难到反”数培养学生整合小学生概括总结、教师学思想与反证法解题步知识结恩赐点拨、完美并板书.骤 .3.“分类谈论”数学思想．能力，以及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A．一条直线不订交B．两条直线不订交C．任意一条直线都不订交D．无数条直线都不订交【分析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不订交，反之亦然；故应选 C.2. “平面内有无量条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．即不充分也不用要条件【分析】假如直线在平面内，直线可能与平面内的无量条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试依据以下要求，把被遮挡的部分改为虚线：（1）AB没有被平面遮挡；（2）AB被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线a与直线b拥有怎样的地点关系？【分析】平行或异面．5．假如三个平面两两订交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论 .【分析】三个平面两两订交，它们的交线有一条或三条.6.求证：假如过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥l，求证： m.证明：设l 与 P 确立的平面为，且I=m′，则 l ∥m′.又知 l ∥ m，mI m P ，由平行公义可知，m与 m′重合.所以 m.教课设计 B第 1课时教课内容：平面教课目标1.认识平面的看法，掌握平面的画法、表示法及两个平面订交的画法；2.理解公义一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.经过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提高为理性认识，注意差别空间几何与平面几何的不一样，多方面培育学生的空间想象力.教课要点：公义一、二、三，实践活动感知空间图形．教课难点：公义三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：着手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不停感知.教课过程一、引入在平面几何中，我们已经认识了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的全部都是在一个无形的平面中进行，请同学说说究竟平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无穷延伸的，我们是如何表示这类无穷延伸的？那么你以为平面能否有界限？你又以为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分谈论，由各小组代表陈说你这样表示的原由？教师暂不作评判，连续往下进行.实践活动：1.认真观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都同样的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，想法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想一想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感觉到画几何体与我们的视角有必定的关系.练习一：试画出以下各种地点的平面.1.水平搁置的平面2. 竖直搁置的平面图 2（1）图 2（2）3.倾斜搁置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．小结：平面的画法和表示法 .图 4（1）图4（2）图4（3）我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5. 平行四边形的锐角平时画成 45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍 . 假如一个平面被另一个平面遮挡住，为了加强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图6.图 5平面常用希腊字母,,图6图7等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个极点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD，平面 AC 或平面 BD.前方我们感觉了空间中面与面的关系及画法，此刻让我们研究一下点、线与一个平面会犹如何的关系？明显，一个点与一个平面有两种地点关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以以为平面是由它内部的全部的点构成的点集，所以点和平面的地点关系可以引用会集与元素之间关系.从会集的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B（如图 7）.再来研究一下直线与平面的地点关系.将学生分成小组，并着手实践操作后讨论：把一把直尺边沿上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边沿就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确立一条直线”这一公义，我们不难理解以下结论：公义1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.A l ,B l ,且 A, B,l．lα A 图8B例 1 分别用符号语言、文字语言描述以下图形．Aa A a图 9（2）图 9（3）图 9（1）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____a；A____α，AB____a；B____α，B bα；α，aa____a____ = Bb____α；B____b．图 10图 11问题情况：制作一张桌子，最少需要多少条腿？为何？公义 2 经过不在同一条直线上的三点，有且A只有一个平B C面 .α图 12实践活动：取出两张纸演示两个平面会犹如何的地点关系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无穷延展性，不难理解以下结论：公义 3假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点的直线 .βPI Il 且P l．αPl图 13例 3如图14用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的地点关系.l【分析】依据图形，先判断点、直线、平面之间的地点关系，而后用符号表示出来 .【分析】在（ 1）中，I l , a I A , a I B .在（ 2）中，I l , a, b, a I l P , B I l P .三、坚固练习教材 P43练习 1—4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公义的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、部署作业P51 习题 A组 1 ，2．第 2课时教课内容：空间中直线与直线之间的地点关系教课目标：一、知识目标1.认识空间中两条直线的地点关系；2.理解异面直线的看法、画法，培育学生的空间想象能力；3.理解并掌握公义 4．二、能力目标1.让学生在观察中培育自主思虑的能力；2.经过师生的共同谈论培育合作学习的能力.三、感情、态度与价值观让学生感觉到掌握空间两直线关系的必需性，提高学生的学习兴趣.教课要点、难点教课要点： 1.异面直线的看法； 2.公义4.教课难点：异面直线的看法 .学法与教课器具1.学法：学生经过观察、思虑与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教课目标；2.教课器具：多媒体、长方体模型、三角板．教课过程一、复习引入1．平面内两条直线的地点关系有（订交直线、平行直线）．订交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB，CD既不平行，又不订交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不一样在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注 1：两直线异面的鉴识一 : 两条直线既不订交、又不平行．两直线异面的鉴识二 : 两条直线不一样在任何一个平面内．合作研究一：分别在两个平面内的两条直线能否必定异面？。

）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。

思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。

2.1《空间点,直线,平⾯之间的位置关系》教案（新⼈教必修2）.§2.1.1 平⾯⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）利⽤⽣活中的实物对平⾯进⾏描述；（2）掌握平⾯的表⽰法及⽔平放置的直观图；（3）掌握平⾯的基本性质及作⽤；（4）培养学⽣的空间想象能⼒。

2、过程与⽅法（1）通过师⽣的共同讨论，使学⽣对平⾯有了感性认识；（2）让学⽣归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使⽤学⽣认识到我们所处的世界是⼀个三维空间，进⽽增强了学习的兴趣。

⼆、教学重点、难点重点：1、平⾯的概念及表⽰；2、平⾯的基本性质，注意他们的条件、结论、作⽤、图形语⾔及符号语⾔。

难点：平⾯基本性质的掌握与运⽤。

三、学法与教学⽤具1、学法：学⽣通过阅读教材，联系⾝边的实物思考、交流，师⽣共同讨论等，从⽽较好地完成本节课的教学⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、投影⽚、正（长）⽅形模型、三⾓板四、教学思想（⼀）实物引⼊、揭⽰课题师：⽣活中常见的如⿊板、平整的操场、桌⾯、平静的湖⾯等等，都给我们以平⾯的印象，你们能举出更多例⼦吗？引导学⽣观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学⽣的活动给予评价。

师：那么，平⾯的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（⼆）研探新知1、平⾯含义师：以上实物都给我们以平⾯的印象，⼏何⾥所说的平⾯，就是从这样的⼀些物体中抽象出来的，但是，⼏何⾥的平⾯是⽆限延展的。

2、平⾯的画法及表⽰师：在平⾯⼏何中，怎样画直线？（⼀学⽣上⿊板画）之后教师加以肯定，解说、类⽐，将知识迁移，得出平⾯的画法：⽔平放置的平⾯通常画成⼀个平⾏四边形，锐⾓画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平⾯通常⽤希腊字母α、β、γ等表⽰，如平⾯α、平⾯β等，也可以⽤表⽰平⾯的平⾏四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的⼤写字母来表⽰，如平⾯AC 、平⾯ABCD 等。

D C BA α如果⼏个平⾯画在⼀起，当⼀个平⾯的⼀部分被另⼀个平⾯遮住时，应画成虚线或不画（打出投影⽚）课本P41 图 2.1-4 说明平⾯内有⽆数个点，平⾯可以看成点的集合。

第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程（一）导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A ∉α,B∈α,则a ⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.（三）应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P 与直线BC的位置关系.图17解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q 、R 三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行,∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ，则P ∈l 1⊂α,P∈l 2⊂γ,∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.（四）知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC ，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD ，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.（五）拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.（六）课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.（七）作业课本习题2.1 A组5、6.§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

《直线与平面垂直的判定》一、教学内容解析本节主要内容是由直线和平面垂直的概念发现直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习.垂直是立体几何的核心概念之一直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况, 它既是直线与平面位置关系的深化,又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础, 在教材中起到了承上启下的作用, 具有相当重要的地位. 新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开, 而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开, 通过该内容的学习, 能进一步培养学生空间想象能力, 发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力,体会“平面化”思想和“降维”思想.同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念.教学重点 :直观感知、操作确认概括出直线与平面垂直的定义和判定定理 .教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 .二、教学目标解析知识与技能：1、经历对实例、图片的观察, 提炼直线与平面垂直的定义, 并能正确理解直线与平面垂直的定义;2、通过直观感知、操作确认, 归纳直线与平面垂直的判定定理, 并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 ;过程与方法：1、通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力 .2、在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力, 同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想 .3、尝试用数学语言(文字、符号、图形语言) 对定义和定理进行准确表述和合理转换 .情感、态度与价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程, 提高严谨与求实的学习作风, 形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 .三、教学过程设计（1）利用多媒体课件展示生活中一组图片，让学生直观感知线面垂直。

点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

必修二空间点直线平面之间的位置关系教案一、教学目标：1.了解空间中点、直线、平面的基本概念，并能够准确描述它们之间的位置关系。

2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的几何性质。

3.应用所学知识解决实际问题。

二、教学重点：1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的基本属性。

2.能够应用所学知识解决实际问题。

三、教学内容：1.空间中点、直线、平面的概念及其表示方法。

2.直线与直线的位置关系：相交、平行。

3.直线与平面的位置关系：相交于一点、平行于平面。

4.平面与平面的位置关系：相交、平行。

四、教学过程：步骤一：导入新知识（15分钟）1.复习并巩固二维平面几何中的直线和平行线的概念，积累一些直线和平行线的性质；2.通过一些常见的平行线的例子，引出直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的位置关系。

步骤二：点、直线、平面的概念及表示方法（10分钟）1.引导学生回顾点、直线、平面的概念和表示方法，使用示意图加深理解；2.提问引导学生思考：点确定直线，直线确定平面，点和平面之间是否必然相交？步骤三：直线与直线的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与直线相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与直线平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤四：直线与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与平面相交于一点时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤五：平面与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察平面与平面相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察平面与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤六：综合应用（15分钟）1.提供一些综合性问题，让学生应用所学知识解决问题；2.引导学生分析问题，并给出解决思路；3.让学生个别或小组合作展开思考，解决问题；4.客观给予学生合理的评价和鼓励。

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。