高中数学课时达标检测(十九)古典概型的综合问题新人教A版必修

课时提升卷(十九)古典概型（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列试验中是古典概型的是( )A.在适宜的条件下,种一粒种子,观察它是否发芽B.口袋里有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,…,命中0环2.(2013·江西高考)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.3.袋中有10个小球,m个白球,n个红球,除颜色外完全相同.从中任取一球,摸到白球的概率为0.3,则m∶n=( )A.7∶3B.3∶10C.3∶7D.4∶64.(2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.5.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m,则等于( )A.0B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是.7.已知直线l1:x-2y-1=0,直线l2:ax-by-1=0,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},则直线l1∩l2=∅的概率为.8.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.(2013·辽宁高考)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率.(2)所取的2道题不是同一类题的概率.10.(2013·龙岩高一检测)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y,(1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率.(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.11.(能力挑战题)依据闯关游戏规则,请你探究图中“闯关游戏”的奥秘:要求每次同时按下左边和右边各1个按钮(按钮分别标记为左1,左2,右1,右2),其中按下某些按钮可以使灯泡点亮,点亮灯泡则闯关成功,否则闯关失败.(1)用列表的方法表示所有可能的按钮方式.(2)若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡,试求闯关成功的概率.答案解析1.【解析】选B.对于A发芽与不发芽概率不同;对于B,摸到白球与黑球的概率相同,均为;对于C基本事件有无数个;对于D,由于受射击运动员水平的影响,命中10环,命中9环,…,命中0环的概率不等,因而选B.2.【解析】选C.所有的结果为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种,满足所求事件的有2种,所以所求概率为.【变式备选】(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有10个基本事件;所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”,有1个基本事件,所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1-=.3.【解析】选C.因为摸到每个球的概率都相等,所以摸到白球的概率为=0.3,m=3,所以n=7,m∶n=3∶7.4. 【解题指南】将所有结果一一列出,根据古典概型的概率公式即可求出两球颜色为一白一黑的概率.【解析】选B.1个红球,2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球共有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3), (b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),15种.满足两球颜色为一白一黑的有6种,概率等于=.5.【解析】选B.试验发生包含的基本事件数n=4.由三角形的性质“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2,3,4”,m=1.所以=.6.【解题指南】古典概型问题,该两点间的距离为的情况可列举得出.【解析】若使两点间的距离为,则为对角线一半,选择点必含中心,设中心为G,四个顶点为A,B,C,D,基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,G), (B,C),…,(D,G),共10个,所求事件包含的基本事件有:(A,G),(B,G), (C,G),(D,G),共4个,所求概率为=.答案:7.【解析】因为a,b∈{1,2,3,4,5,6},所以a,b各有6种取法,所以总事件数是36,而满足条件的只有两组数a=2,b=4;a=3,b=6.所以P==.答案:【误区警示】本题易出现将所求事件含的基本事件中含有a=1,b=2的错误,实际上此种情况下两直线重合,不是平行的情况.错误的原因是没有准确理解题意.8.【解题指南】本题的关键是找出总的基本事件个数和其中一个数是另一个的两倍所包含的基本事件个数.【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个基本事件,其中一个数是另一个的两倍的有(1,2),(2,4)2个基本事件,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是=.答案:9.【解析】(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共有15个;并且这些基本事件的出现是等可能的,记事件A为“张同学所取的2道题都是甲类题”,则A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个,所以P(A)==. (2)基本事件同(1).记事件B为“张同学所取的2道题不是同一类题”,则B包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6)共8个,所以P(B)=.【变式备选】箱子里有3双不同的手套,随机地拿出2只,记事件A={拿出的手套配不成对};事件B={拿出的都是同一只手上的手套};事件C={拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对}.(1)请罗列出所有的基本事件.(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率.【解析】(1)分别设3双手套为:a1a2;b1b2;c1c2.a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.箱子里的3双不同的手套,随机地拿出2只,所有的基本事件是:(a1,a2)、(a1,b1)、(a1,b2)、(a1,c1)、(a1,c2)、(a2,b1)、(a2,b2)、(a2,c1)、(a2,c2)、(b1,b2)、(b1,c1)、(b1,c2)、(b2,c1)、(b2,c2)、(c1,c2),共15个基本事件.(2)①事件A包含12个基本事件,故P(A)==,(或能配对的只有3个基本事件,P(A)=1-=);②事件B包含6个基本事件,故P(B)==;③事件C包含6个基本事件,故P(C)==.10.【解析】(1)因x,y都可取1,2,3,4,5,6,故以(x,y)为坐标的点共有36个.记点(x,y)落在直线x+y=7上为事件A,事件A包含的点有:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)6个,所以事件A的概率P(A)==.(2)记x+y≥10为事件B,x+y≤4为事件C,用数对(x,y)表示x,y的取值.则事件B包含(4,6),(5,5),(5,6),(6,4)(6,5)(6,6)共6个数对;事件C包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个数对.由(1)知基本事件总数为36个,所以P(B)==,P(C)==,所以小王、小李获胜的可能性相等,游戏规则是公平的.【拓展提升】巧用概率解释实际问题概率与现实生活中的大量的随机现象密不可分,可以说概率从生活中来,同时利用概率知识又可以解释生活中的一些随机问题.例如,本题中对游戏公平与否的概率解释,就体现了概率知识在解决生活中随机现象的独到之处.11.【解题指南】将问题转化为用“有序实数对”表示基本事件,从而用古典概型概率公式解决.【解析】(1)所有可能的按钮方式列表如下:右边按钮1 2左边按钮1 (1,1) (1,2)2 (2,1) (2,2) (2)若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡,则P(闯关成功)=.【拓展提升】基本事件数的求解技巧在求概率时,通常把全体基本事件用列表法表示,把对问题的思考分析归结为“有序实数对”,以便我们更直接、更准确地找出某事件所包含的基本事件的个数,当所有可能的基本事件数确定后,再确定所求事件包含的基本事件数,便于把握和理解.关闭Word文档返回原板块。

2021年高中数学 3.2.1古典概型评测练习新人教A版必修31．下列试验是古典概型的是（）Ａ．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽.Ｂ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球. Ｃ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的. Ｄ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为，命中10环，命中9环，…命中0环2．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本为外文书的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆内的概率是( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9．在一次口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．某考生会回答5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率是多大？10.为积极配合深圳世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．29910 74D6 瓖40180 9CF4 鳴39202 9922 餢34653 875D 蝝34206 859E 薞^i26785 68A1 梡32951 80B7 肷O21342 535E 卞/ 20003 4E23 丣"。

3．2.1 古典概型一、选择题1．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25B.210C.310D.352．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( ) A.13B.14C.15D.163．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( )A.13B.112C.16D.5364．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是( )A.13B.14C.12D.165．袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为( )A.45B.35C.25D.156．假如小明同学的QQ 密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )A.1105B.1104C.1102D.110二、填空题7．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．8．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．9．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．10．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．三、解答题11．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；(2)若从分层抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．13．“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)[10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 调查人数m n 14128 6参与的人数341263 2表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[50,60)内的人数成等差数列．(1)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率．参考答案1．【解析】 从五个人中选取三个有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310. 【答案】 C2．【解析】 甲、乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则一共有：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13. 【答案】 A3．【解析】 抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P ＝16. 【答案】 C4．【解析】 从装有四个小球的盒子里随机摸出两个小球，共有6种取法，其中小球上标有的数字之和为5的取法共有2种，根据古典概型的概率公式，得其概率为13，故选A. 【答案】 A5．【解析】 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25. 【答案】 C6．【解析】 只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是110. 【答案】 D7．【解析】 基本事件的总数为6×6＝36，记事件A ＝{点P (m ，n )落在圆x 2＋y 2＝16内}，则A 所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8个．∴P (A )＝836＝29. 【答案】 298．【解析】 设3件正品为A ，B ，C,1件次品为D ，从中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD ，BD ，CD ，共3个，故P ＝36＝12. 【答案】 129．【解析】 [a ，b ]中共有b －a ＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是1b －a ＋1. 【答案】 1b －a ＋110．【解析】 用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，故所求的概率为315＝15. 【答案】 1511．解 (1)由分层抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A 1，A 2，A 3,2名中级教师分别记为A 4，A 5，高级教师记为A 6，则从中抽取2名教师的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15. 12．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2， 所以A ，B ，C 三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A 1；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，C 1}，{A 1，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415. 13．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝10，m ＋8＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6. 补全频率分布直方图，如图所示：(2)记年龄在[10,20)内的居民为a 1，A 2，A 3，A 4(其中居民a 1没有参与抢红包括动)，年龄在[20,30)内的居民为b 1，b 2，B 3，B 4，B 5，B 6(其中居民b 1，b 2没有参与抢红包活动)．各选取1人的情形有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，B 3)，(a 1，B 4)，(a 1，B 5)，(a 1，B 6)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，B 5)，(A 2，B 6)，(A 3，b 1)，(A 3，b 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，B 5)，(A 3，B 6)，(A 4，b 1)，(A 4，b 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，B 5)，(A 4，B 6)，共24种．其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率P ＝1024＝512.。

姓名，年级：时间：课后作业（十九）（时间45分钟）学业水平合格练(时间25分钟)1．下列概率模型中,是古典概型的个数为（)①从区间[1，10］内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数,求取到1的概率;③在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1 B．2 C．3 D．4［解析] 古典概型的概率特点是基本事件是有限个，并且每个基本事件发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型，故选A.［答案] A2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为( ）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误![解析] 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率P＝错误!＝错误!.[答案］C3．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（)A.错误!B.错误! C。

错误! D。

错误!［解析] 设两道题分别为A,B，所以抽取情况共有:AAA，AAB,ABA,ABB，BAA,BAB，BBA，BBB，其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目,一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB,共4种;故所求事件的概率为错误!.故选C。

［答案］C4．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为错误!的概率是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误![解析］若使两点间的距离为错误!，则为对角线的一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D,基本事件有(A，B)，(A,C),（A，D)，(A，G)，（B，C)，…，（D，G），共10个，所求事件包含的基本事件有（A，G),（B，G）,（C，G)，(D,G)，共4个，所求概率为错误!＝错误!。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题课时达标检测(十九) 古典概型的综合问题一、选择题1．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )A.15 B ．25 C.310D ．710答案：B2．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )A.19 B ．29 C.13 D ．59答案：A3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球 答案：B4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B ．25 C.12 D ．35答案：C5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B ．1288C.1360 D ．1480答案：C 二、填空题6．(浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析：设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a ，b ，c ，甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，共6种，其中两人都中奖的情况有ab ，ba ，共2种，所以所求概率为13.答案：137．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是________．解析：甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P ＝26＝13.答案：138．设集合P ＝{}x ，1，Q ＝{}y ，1，2，P ⊆Q ，x ，y ∈{}1，2，3，…，9.在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x ，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为27，则r2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可)．解析：满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个．欲使其点落在x2＋y2＝r2内的概率为27，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.答案：30(或31或32) 三、解答题9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：设事件A 为“方程x2＋bx ＋c ＝0有实根”， 则A ＝{}b ，c|b2－4c ≥0，b ，c ＝1，2， (6)而(b ，c)共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共36组．其中，可使事件A 成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．故事件A 的概率为P(A)＝1936.10．(福建高考)根据世行新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：行政区区人口占城 市人口比例区人均GDP (单位：美元) A 25% 8 000 B 30% 4 000 C 15% 6 000 D 10% 3 000 E20%10 000(1)(2)现从该城市的5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为1a (8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085，12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准． (2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.11．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78米以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)，共6种．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78米以下的事件有：(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共3种．因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P ＝36＝12.易出现所有事件包含的事件数列举不全或重复而致误的情况(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10种．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共3种．因此选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝310.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

课时素养评价十九古典概型(15分钟30分)1.下列概率模型中,是古典概型的个数为(）①从区间［1,10］内任取一个数,求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P,求点P刚好与点A重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率。

A.1B.2C.3D.4【解析】选A.古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的,并且每个样本点发生的可能性相等,故②是古典概型;④由于硬币质地不均匀,样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型;①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型.【补偿训练】1。

下列不是古典概型的是（）A。

从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B。

同时掷两颗骰子,点数和为7的概率C。

近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】选C.A、B、D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性,而C不适合等可能性,故不为古典概型.2.（2020·玉林高二检测)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A。

B. C.D。

【解析】选B。

从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有{黄白｝，｛黄蓝｝，{黄红}，｛白蓝}，{白红}，{蓝红｝，共 6 种.其中包含白色的有 3 种,选中白色的概率为.2。

设a是从集合｛1,2,3，4｝中随机取出的一个数，b是从集合{1,2，3｝中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足log b a≥1”为事件E,则E发生的概率是(）A。

B. C.D。

【解析】选B。

分别从两个集合中取1个数字，共有4×3=12种结果,可以列举出所有满足log b a≥1的事件,当b=2时,a=2，3，4,当b=3时，a=3,4，共有3+2=5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是.3.从1，2，3，5，6,7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为________。

课时达标检测(十八) 古典概型的概念及简单应用一、选择题．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为，随机事件若包含个基本事件，则()＝.．②④．①③④．①④．③④答案：．从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是( )．．答案：．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过的概率记为，点数之和大于的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜答案：．从这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为( )．．答案：．(北京高考)从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为( )解析：选设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从名学生中随机选出人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共种情形，故甲被选中的概率＝＝.二、填空题．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙、丁是女生，则至少有一名女生当选的概率是．解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)个，故至少一名女生当选的概率为＝－(没有女生当选)＝－＝.答案：．现有根竹竿，它们的长度(单位：)分别为，，，，若从中一次随机抽取根竹竿，则它们的长度恰好相差的概率为．解析：从根竹竿中一次随机抽取根的基本事件总数为，它们的长度恰好相差的基本事件数为，分别是：和和，故所求概率为.答案：．从名男生和名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为．解析：设名男生记为，名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，种情况，则所求概率为＝＝.答案：三、解答题．从－，－，－这七个数中任取两个数相乘得到的积中，求：()积为零的概率；()积为负数的概率．解：从七个数中任取两个数相乘，共有＝个基本事件．()从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有个基本事件，因此，积为零的概率为＝.()从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有×＝个基本事件，因此，积为负数的概率为＝.．现共有家企业参与某项工程的竞标，其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．()列举所有企业的中标情况；()在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解：()从这家企业中选出家的选法有(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共有种，以上就是中标情况．。

[课时作业19] 几何概型[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列关于几何概型的说法错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A2．已知函数f (x )＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x ，则使不等式f (x )＞2成立的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f (x )＞2可得x ＞1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f (x )＞2成立的概率为14. 答案：A3．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |>1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12解析：问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32 D.74解析：如图，在矩形ABCD 中，以B ，A 为圆心，以AB 为半径作圆交CD 分别于E ，F ，当点P 在线段EF 上运动时满足题设要求，所以E ，F 为CD 的四等分点，设AB ＝4，则DF ＝3，AF ＝AB ＝4，在直角三角形ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝7，所以ADAB ＝74. 答案：D5．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43D ．无法计算 解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：令6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，即D ＝[－2,3]，在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59.答案：597．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π168．一个球形容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL 水(体积为1 cm 3)，含有感冒病毒的概率为________．解析：水的体积为43πR 3＝43π·33＝36π(cm 3)＝36π(mL)，则含感冒病毒的概率为P ＝136π. 答案：136π三、解答题(每小题10分，共20分)9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率P (A )；(2)在区间[0,4]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率P (B )．解析：方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根， 则Δ＝n －4m ≥0.(1)由于m ，n ∈[0,4]，且m ，n 是整数，因此m ，n 可能的取值共有25组． 又满足n －4m ≥0的m ，n 的取值有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4，共6组．因此，原方程有实数根的概率P (A )＝625.(2)⎩⎪⎨⎪⎧0≤m ≤4，0≤n ≤4对应的区域如图中正方形区域，面积为16，而n －4m ≥0(m ，n ∈[0,4])表示的区域如图中阴影部分所示，面积为12×1×4＝2.因此，原方程有实数根的概率P (B )＝S 阴影S 正方形＝18. [能力提升](20分钟，40分)11．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B.127C.2627 D.1527解析：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体， ∴P ＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积＝127.故选B.答案：B12．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，0≤p ≤5，解得23＜p ≤1或2≤p ≤5，所以p ＝1－23＋(5－2)5＝23.答案：2313．甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．解析：如图所示：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的等价条件是|x －y |≤15.在平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域，由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以两人能会面的概率是716.14．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个点． (1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解析：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)易知半圆的面积为8π.连接MP ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ， 连接ON ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于82，而S阴影＝S扇形MOP－S △OMP ＝14π×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

课时作业45 古典概型时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)下列是古典概型的是( CD )A ．任意抛掷两枚骰子所得点数之和作为样本点时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币，反面向上解析：A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点是无限的，故B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项满足古典概型的有限性和等可能性，故D 是．2．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为( A )A.910B.35C.310D.110解析：由题意知：白球有5－3＝2(个)．记三个红球为：A ，B ，C ；两个白球为：a ，b ，一次摸出2个球所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种，至少有一个红球的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共9种，∴所求概率P ＝910.3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( C ) A.1125 B.1225 C.1325 D.1425解析：甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故所有可能的结果有5×5＝25(种)，“心有灵犀”的情况包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”概率为1325.4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是( C )A.29B.827C.49D.1627解析：由题可得：大正方体的最上层有4个恰好是两面涂色的小正方体，大正方体的中间一层及最底层都有4个恰好是两面涂色的小正方体，所以恰好是两面涂色的小正方体个数为4×3＝12(个)，所以从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是P ＝1227＝49.5．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是( B )A.13B.23C.14D.34解析：此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A →G →O →H ，A →E →O →H ，A →E →D →H ，共3个．记M ＝“此人经过市中心O ”，则M 包含的样本点为：A →G →O →H ，A →E →O →H ，共2个．∴P (M )＝23，即他经过市中心的概率为23.6．下列命题中正确的命题有( A )(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(2)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由题意，(1)中，因为某袋中装由大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，红球出现的概率是12，黑球出现的概率为13，白球出现的概率为16，所以每种颜色的球被摸到的概率不相同，所以不正确；(2)中，从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0的概率为47；不小于0的概率为37，所以不相同，故不正确；(3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么男同学被选中的概率为37，每位女同学被选中的概率为47，所以每个同学当选的可能性不相同，所以是不正确的；(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性是相同的，所以不正确，故选A.二、填空题7．过点O (0,0)作直线与以点(45，8)为圆心，半径长为13的圆相交，若在被截弦长为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则被截弦长长度不超过14的概率为932.解析：由题意可知，最长弦为圆的直径：2r ＝2×13＝26.∵O (0,0)在圆内部且圆心到O 的距离为80＋64＝12，∴最短弦长为：2×169－144＝10，∴弦长为整数的直线的条数有：2×(25－10)＋2＝32(条)． 其中长度不超过14的条数有：2×(14－10)＋1＝9(条)，∴所求概率：P ＝932.8．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为23.解析：由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，所以根据等可能事件的概率得到P ＝1015＝23.9．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为35.解析：从正方形四个顶点A ，B ，C ，D 及其中心O 这5个点中，任取2个点，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，O )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，O )，(C ，D )，(C ，O )，(D ，O )共10种情况，这2个点的距离不小于该正方形边长的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(A ，D )，(A ，C )，(B ，D )共6种情况，∴这2个点的距离不小于该正方形边长的概率P ＝610＝35.三、解答题10．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的两个黑球和编号为c，d，e的三个红球，从中任意摸出两个球．(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(2)求至少摸出1个黑球的概率．解：(1)记事件A＝“恰好摸出1个黑球和1个红球”，该试验样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共10个样本点，A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共6个样本点，由古典概型的概率公式可知，P(A)＝610＝35；(2)事件B＝“至少摸出1个黑球”，则B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共7个样本点，由古典概型的概率公式可知，P(B)＝7 10.11．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层随机抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率．解：(1)由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1，得x＝0.025，在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：x＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.4＋65×0.25＝52，设中位数为m，由0.05＋0.1＋0.2＋(m－50)×0.04＝0.5，解得m＝53.75.(2)①每组应各抽取人数如下表：有4人，设在[30,40)的是a1，a2，在[40,50)的是b1，b2，b3，b4，列举选出2人的所有可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共15种情况．设A＝“这2人至少有一人的年龄在区间[30,40)”，则包含：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)9种情况，则P(A)＝915＝35.——能力提升类——12．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是( B )A.23B.13C.12D.16解析：集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数有2×3＝6(种)，其两数之和为4的情况有两种：(2,2)，(1,3)，所以这两数之和等于4的概率P ＝26＝13，故选B.13．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( A )A.13B.12C.23D.34解析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，故他们选择相同颜色运动服的概率为39＝13，故选A.14．小李在做一份调查问卷，共有4道题，其中有两种题型，一种是选择题，共2道，另一种是填空题，共2道．小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为23；小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为12.解析：将2道选择题依次编号为1,2；2道填空题依次编号为4,5.从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)}，包含12个样本点．设事件A ＝“所选的题不是同一种题型”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)}，包含8个样本点，所以P(A)＝812＝2 3；从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)}，包含16个样本点．设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由A知所选的题不是同一种题型的样本点共8个，所以P(B)＝816＝12.15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，60件，30件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个样本量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件．(1)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本量n为多少？(2)设抽出的n件产品分别用A1，A2，…，A n表示，现从中随机抽取2件产品．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M＝“抽取的2件产品来自不同车间”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4 21，由于采用分层随机抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和1件，样本量n为7.(2)①从抽出的7件产品中随机抽取两件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A1，A7)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A5，A6)，(A5，A7)，(A6，A7)，共21种．②不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是A1，A2，A3，A4，来自乙车间的是A5，A6，来自丙车间的是A7，则从7件产品中抽取的2件产品来自不同车间的所有可能结果为(A1，A5)，(A1，A6)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A5，A7)，(A6，A7)，共14种．所以，事件发生的概率为P(M)＝1421＝23.由Ruize收集整理。

课时达标检测(十八) 古典概型的概念及简单应用一、选择题1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n.A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④ 答案：B2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B ．13 C.14D ．16 答案：B3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 2 答案：C4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B ．13 C.14D ．15 答案：A5．(陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B ．25 C.35 D ．45答案：B二、填空题6．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙、丁是女生，则至少有一名女生当选的概率是________．解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P ＝1－P (没有女生当选)＝1－16＝56. 答案：567．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m 的基本事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，故所求概率为0.2.答案：0.28．(新课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC ，CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23. 答案：23三、解答题9．从－3，－2，－1,0,5,6,7这七个数中任取两个数相乘得到的积中，求：(1)积为零的概率；(2)积为负数的概率．解：从七个数中任取两个数相乘，共有7×62＝21个基本事件． (1)从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有6个基本事件，因此，积为零的概率为621＝27. (2)从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有3×3＝9个基本事件，因此，积为负数的概率为921＝37.10．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.11．一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件；(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？(3)摸出2个黑球的概率是多少？解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6，分别是：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)．(2)事件“从3个黑球中摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝nm＝36＝12.。