【精品试卷】四川省蓉城名校高二数学上学期期中试题 理

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期入学联考数学（理）试题一、单选题1．若集合{}1,1,3,5,7A =-，{}15B x x =-<≤，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5 C ．{}1,1,3,5- D ．{}1,1,3,5,7-【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为{}1,1,3,5,7A =-，{}15B x x =-<≤， 所以{}1,3,5A B =. 故选：B ． 2．5cos 6π=A ．12B ．12-C D ． 【答案】D【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.【详解】根据特殊角的三角函数值，可知5πcos6=.故选D. 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从0到π内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.3．方程112xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根位于区间（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【分析】令函数1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用零点存在定理确定正确选项．【详解】令函数1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得函数单调递减，原方程的根即()y f x =的零点，()14f -=，()02f =，()112f =，()324f =-，∵()()120f f ⋅<，可得根位于区间(1,2).4．如图，网格上绘制的是某几何体的三视图，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．92B ．272C ．9D ．27【答案】C【分析】由三视图确定该几何体是棱锥，且得出棱锥的性质，然后由体积公式计算． 【详解】解：由三视图可知几何体的直观图（如图）是底面为正方形的四棱锥，且PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，∴该几何体的体积为1(33)393V =⨯⨯⨯=，故选：C ．5．已知α，β是空间中不重合的两平面，a ，b ，l 是空间中不同的三条直线，A ，B 是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥ B ．a α∥，b α∥，a ，b βαβ⊂⇒∥ C ．a α∥，b a b α⇒∥∥D ．A α∈，A β∈，l A l αβ⋂=⇒∈【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，面面平行的判定定理判断B ，线面位置关系判断C ，平面公理判断D ．【详解】由直线与平面平行的判定定理知A 错误（需要加条件a α⊄）；由平面与平面平行的判定定理知B 错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C 错误（,a b 可以平行、可能异面也可能相交）；由平面公理知D 正确， 故选：D ．6．已知1cos 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由同角三角函数的基本关系可得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得 cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代值化简即可.【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.又1cos 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin 43πα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 4444ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2424ππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：B ．7．若单位向量1e ，2e 满足121222e e e e +=-，则1e ，2e 的夹角为（ ） A ．6π B ．2π C ．56π D ．0【答案】B【分析】利用向量数量积的运算律可得120e e ⋅=，进而即得. 【详解】原式两边平方得2222112211224444e e e e e e e e +⋅+=-⋅+，解得120e e ⋅=，即12,2e e π=。

2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。

蓉城名校2017-2018学年高二数学上学期期中试题理考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线1:310l xy 与直线2:0l mx y 平行，则实数m 的取值是A ．13B ．13C ．3D ．32．双曲线22149xy的渐近线方程是A ．3y2xB ．2y3xC ．9y4x D．4y9x3．下列选项中，说法错误的．．．是A ．命题“若2320,1x x x 则”的逆否命题为: “ 若1x ，则232xx 0”B ．“1x ”是“2320x x”的充分不必要条件C ．命题p ：2,0xR xx, 则p ：2,0x R xx D ．若pq 为假命题，则,p q 均为假命题4．圆224+9x y 和圆22325xy 的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离5．已知双曲线的离心率为263，焦点是(4,0)(4,0),，则双曲线的标准方程为A ．221412xyB ．221124xyC ．221106xyD.221610xy6．如果点M 在运动的过程中总满足关系式2222336xy x y ，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．圆C ．线段D. 双曲线7．己知命题“,xR 使22(1)20x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是A ．(,3)(5,+)B ．3,1C ．(3,5)D ．,35,+8．已知双曲线方程为2214yx，过(0,1)P 的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条9．关于x 的方程24(2)3xk x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．5(0,)12B ．13[,]34C ．5(,)12D ．53(,]12410．椭圆221169xy上一点P 到直线110xy 的距离最大值为A ．722B．82C ．22D ．52211．设P 是椭圆2212516x y上一动点，Q 是圆2231xy上一动点，直线640kxy k 恒过定点M ,则PQPM 的最大值为A ．15B ．16C ．97D ．97+112．如图，已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b ab，椭圆2C 以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点，双曲线1C 的一条渐近线与以椭圆2C 的长轴为直径的圆交于A ,B 两点，与椭圆2C 交于C ,D 两点，且CD t AB ，则t 的取值范围是A．20,2B．30,2C．2,12D．3,12第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年度上期高中2022级期中联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）A.8B.9C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.⨯=．【详解】设4个小球分别为1A，2A，1B，2B，则试验结果为4312故选：C2.某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.⨯=，则成绩在515分以上人数为【详解】成绩在515分及以下人数为1600060%9600-=．1600096006400故选：D3.给出下列命题：①若空间向量a，b满足0a b ⋅<，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若a c b c ⋅=⋅，则a b =；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++ 也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]人数/人42550156A.59B.59.4C.69D.69.4【答案】D 【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为42550156506070809069.4100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：D5.若1()3P A =，()14P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 的关系为（）A.相互独立B.互为对立C.互斥D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式()5()()()6P A B P A P B P AB ==+- ，求出5()6P AB =，从而得到()()()P AB P A P B =⋅，即可判断出结果.【详解】因为()5135()()()()6346P A B P A P B P AB P AB ==+-=+-= ，得1()4P AB =，所以131()()()344P AB P A P B =⨯==⋅，故选：A.6.的正方形ABCD 对角线BD 折起，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角的大小为120︒，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A.14B.14-C.34-D.34【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出,,,A B C D 坐标，从而得到13(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =-，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取BD 中点O ，连接AO ，CO ，以OC ，OB 分别为x ，y 轴，垂直面BOC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，如图所示，因为ABCD 的正方形，所以1OA OB OC ===,则(0,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，又易知，OA BD ⊥,OC BD ⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，由题知，120AOC ∠=︒，所以030A Z ∠=︒，则13,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，1(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =- ，故131322cos ,24AD BC AD BC AD BC+⋅===⋅ ，所以，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34．故选：D.7.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为21s ．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，A 同学实际成绩137分，被错录为118分；B 同学实际成绩115分，被错录为103分；C 同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A.2212s s = B.2212s s > C.2212s s < D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为n ()0n >，因为11810312913711598++=++，所以更正前后平均分不变，且()()()()()()22222211812510312512912554913712511512598125973-+-+-=<-+-+-=，所以2212s s <．故选：C8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，其中3AB =，2BC =，14CC =，2BE =，则BC 中点G 到平面1AEC F 的距离为（）A.211B.3211C.32222D.92222【答案】D 【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(2,3,2)E ，1(0,3,4)C ，(1,3,0)G ，所以1(2,3,4)AC =- ，(0,3,2)AE =，(1,0,2)GE = ，设(,,)n x y z = 为平面1AEC F 的法向量，则100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3202340y z x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1z =，所以21,,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，点C 到平面1AEC F 的距离为2222GE n d n ⋅==．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x '，方差为2s '．下列结论正确的是（）A.x ax '=B.222a a cs =+' C.x ax c'=+ D.222s s a '=【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，则新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x ax c '=+，方差为222s s a '=.故选：CD10.下面结论正确的是（）A.若事件M 与N 相互独立，则M 与N 也相互独立B.若事件M 与N 是互斥事件，则M 与N 也是互斥事件C.若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()0.58P M N =D.若()0.6P M =，()0.4P N =，则M 与N 互为对立事件【答案】AC 【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A 、B ；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C ，D.【详解】对于A ：若事件M 与N 相互独立，因为M N M MN =-，所以()()()()P M N P M MN P M P MN=-=-又()()()()()()()()1P M N P M P N P M P N P M P M P N ==-=-⎡⎤⎣⎦，所以()()()P MN P M P N =，所以事件M 与N 相互独立，所以()()()()P M N P N NM P N P NM=-=-()()()()()()()1P N P N P M P N P M P N P M =-=-=⎡⎤⎣⎦，所以M 与N 是相互独立事件，故A 正确；对于B ：若事件M 与N 是互斥事件，如掷一枚骰子出现1、2、3点记为事件M ，出现1、2、3、4点记为事件N ，则N 为出现5、6点，满足事件M 与N 是互斥事件，显然M 与N 不互斥事件，故B 错误；对于C ，若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()()()()()()0.40.3P M N P M P N P MN N M P P =+-=+- 0.70.40.30.58=-⨯=，故C 正确；对于D ：如从110 共10个整数中随机抽取一个数，记抽到1、2、3、4、5、6为事件M ，则()0.6P M =，记抽到1、2、3、4为事件N ，则()0.4P N =，显然M 与N 不为对立事件，故D 错误；故选：AC11.某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，该单位全体工作人员平均体重x 和方差2s 分别为（）A.61x =B.60x = C.2155s = D.2169s =【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为5a （0a >），女性人数为3a ，该单位全体人员体重的平均数为：536456615353a ax a a a a=⨯+⨯=++，所以该单位全体人员体重的方差为：2253151(6461)159(5661)16988⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：AD12.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点O 是AC 中点，点M 是棱SD 的上动点（M 与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为910B.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为35C.存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60︒D.不存在点M ，使//OM 平面SBC 【答案】ABC 【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A 、O 、C 和S 、M 、D 分别共线，其余18种均不共线，故概率为2912010-=；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为93155=．故A 、B 正确．以A 为空间原点建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2,0,0,1,1,0A D C S B O ，设DM DS λ=，(0,1)λ∈，设(),,M x y z ，则有()()(),2,0,2,20,22,2x y z M λλλ-=-⇒-，则(1,12,2)OM λλ=-- ，(2,0,0)AB =-，1cos ,2AB OM AB OM AB OM ⋅==⋅，解得24210λλ--=，()22160∆=-+>，方程有解，故C 正确．设平面SBC 的法向量(,,)n a b c =，()()0,2,0,2,0,2BC SB ==-，则有()201,0,1220n BC b n n SB a c ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅=-=⎪⎩，由0OM n ⋅= ，可得1212λλ=⇒=，故D 错误．故选：ABC【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：8636029371409857572703474373964746983312 6710037162332616959780456011366142817424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为153 204=．故答案为：3 414.某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则n=__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为1n，高中生抽取的人数为3n，则初中生抽取的人数为360n+，所以331601100**********n n n +==，解得340n =，1110n =从而13306025n n n n +==++．故答案为：25015.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设i A ()1,2,3,4i =为独孤队第i 局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：123A A A ，1234A A A A ，1234A A A ，1234A A A A ，所以独孤队取胜的概率()()()()123123412341234P P A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++0.40.50.60.40.50.40.50.40.50.40.50.60.30.40.50.236=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：0.23616.已知空间向量a ，b ，c 两两之间的夹角均为60︒，且2= a ，6b = ，2c = ，若向量x ，y分别满足()0y y a b ⋅+-= 与12x c ⋅=，则y x - 的最小值为__________．【答案】5-5【解析】【分析】由题意可得2b a y --= ，令2b ap -=，可得y p -= 且2p c ⋅= ，利用数量积的性质得出5x p -≥，最后由模的三角不等式()()()()y x y p x p x p y p -=---≥--- 可得结论．【详解】依题意26cos606a b ⋅=⨯⨯︒=，22cos 602a c ⋅=⨯⨯︒=，62cos606b c ⋅=⨯⨯︒=，因为()0y y a b ⋅+-= ，所以()222022b a b a y b a y y ⎛⎫⎛⎫---⋅-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2222724b a b a b a y ⎛⎫--⋅+-== ⎪⎝⎭，所以2b ay --= ，令2b a p -= ，则y p -= ，且222b a bc a cp c c -⋅-⋅⋅=⋅==，由12x c ⋅= ，得()122x c p c x p c x p c -=⋅-⋅=-⋅≤-⋅，所以1052x p -≥=，所以()()()()5y x y p x p x p y p -=---≥---≥当且仅当x p - ，y p -u r u r共线同向且x p - ，c 共线时等号成立.故答案为：5-【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由()0y y a b ⋅+-= 结合已知变形得出2b ay --=，引入向量2b ap -=，可得y p -= ，从而得到x p - 的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分。

成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为A.异面B.相交C.平行D.平行或异面2.已知直线l经过点A(1，－1)，B(2，m)，若直线l的斜率为1，则m的值为A.0B.1C.－1D.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000D.10504.已知点A(1，0)，直线l：x－y＋1＝0，则点A到直线l的距离为A.1B.2C.2D.225.若直线2x－y＋a＝0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则a的值为A.4B.6C.－6D.－26.设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是，A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l⊥n，m⊥n，则l//mC.若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥nD.若l⊥α，l//β，则α⊥β7.若实数x，y满足约束条件y2x402y x80y20--≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝3x－y的最小值为A.－6B.－5C.－4D.－28.如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是9.直线2y－x＋1＝0关于y－x＋3＝0对称的直线方程是A.2x－y－8＝0B.2x－y－10＝0C.2x＋y－12＝0D.2x＋y－10＝010.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为A.1010B.24C.22D.3101011.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥PA，BC⊥PB，PB＝BC，PA＝AB，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则PN NCA.12B.13C.23D.112.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝r2(r>0)，若圆C上至少有3个点到直线x＋y＋2＝0的距离为2，则实数r的取值范围为A.(0，22)B.(22，32]C.(32，＋∞)D.[32，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．不等式260x x --≤的解集是（ ）A ．∅B ．RC ．[]2,3-D ．(][),23,-∞-+∞【答案】C【分析】对26x x --分解因式，然后求解即可.【详解】不等式260x x --≤可化为()()230x x +-≤，解得23x -≤≤.故选：C ．2．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，点P 的坐标为（ ）A ．()4,3,2-B ．()3,4,2-C ．()4,2,3-D ．()4,3,2【答案】A【分析】按照空间直角坐标系得点P 坐标即可.【详解】解：由空间直角坐标系的性质可知P 点为()4,3,2-，故选：A ．3．若直线l 的倾斜角的取值范围是()0,90︒，则斜率的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()1,+∞ 【答案】B【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系，直接求解即可.【详解】由斜率的定义可知：倾斜角的正切值取值范围是()0,∞+.故选：B ．4．若非零实数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．-a >-bC ．33a b >D ．a b >【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B ，C ；举例说明判断A ，D 作答.【详解】非零实数a ，b 满足a >b ，对于A ，取1,2a b ==-，满足a >b ，而2214a b =<=，A 不一定成立；对于B ，因a >b ，则-a <-b ，B 不成立；对于C ，由不等式的性质知，若a >b ，则33a b >，C 成立；对于D ，取1,2a b ==-，满足a >b ，而||12||a b =<=，D 不一定成立.故选：C5．已知α，β是空间中不重合的两平面，,a b 是空间中不同的两条直线，则下列结论正确的是（ ） A ．b α⊥，b βαβ⇒⊥∥B ．b α⊥，a b a α⊥⇒∥C ．αβ⊥，b b αβ⊂⇒⊥D ．αβ⊥，b b αβ⊥⇒∥ 【答案】A【分析】过b 作平面γ交β于直线c ，进而可证明c α⊥即可判断A ；根据题意还可以是a α⊂判断B ；根据b β⊥或b β//或相交且不垂直判断C ；根据b β∥或b β⊂判断D.【详解】解：对于A ，如图，过b 作平面γ交β于直线c ，∵b β∥，b γ⊂，c βγ=，∴b c ∥，∴c α⊥，∵c α⊥，c β⊂，∴αβ⊥，故正确；对于B ，b α⊥，a b ⊥时，a α∥或a α⊂，故错误；对于C ，αβ⊥，b α⊂时，b β⊥或b β//或相交且不垂直，故错误；对于D ，αβ⊥，b α⊥时，b β∥或b β⊂，故错误.故选：A6．若正实数,a b 满足42a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】解：由题知：21141(4)4424a b ab a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当41a b ==时等号成立. 所以，ab 的最大值为14故选：B7．已知A ，B 两点的坐标分别为()1,0，1,2，若两平行直线1l ，2l 分别过点A ，B ，则1l ，2l 间的距离的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 【答案】D【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析1l ，2l 间的距离的最大值为AB ，即可求得.【详解】解：由题可知1,0A ，()1,2B -，如图，两平行直线1l ，2l 分别过点A ，B ，因为12l l ∥，所以1l ，2l 间的距离即点A 到直线2l 的距离d ，由图可知，d AB ≤当1l ，2l 垂直AB 时，1l ，2l 间的距离取最大值，即最大值为AB ，又由两点间的距离公式可知，22(11)222AB ++=故选：D ．8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点P 满足212PF F F ⊥，且122PF PF =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 2C 3D ．23【答案】C【分析】根据椭圆的几何性质列式求解离心率即可.【详解】解：如图，设2PF m =，∴12PF m =，∵212PF F F ⊥ ∴2212123F F PF PF m =-=， ∴离心率12122332F F c c m e a a PF PF =====+. 故选：C ． 9．已知A 、B 两点的坐标分别为()3,0-、()0,4，若点P 是圆224x y +=上的动点，则PAB 面积的取值范围是（ ）A ．[]0,10B ．[]3,9C ．[]5,7D ．[]1,11 【答案】D【分析】求出点P 到直线AB 距离的取值范围，再利用三角形的面积公式可得出PAB 面积的取值范围.【详解】设过A 、B 两点的直线为134x y -+=，化简得43120x y -+=， 圆心()0,022125(3)4=-+， ∴圆224x y +=上的点P 到43120x y -+=的距离d 的取值范围是12122,255⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 即222,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又22345AB +=，则PAB 面积最大值为12251125⨯⨯=， PAB 面积最小值为125125⨯⨯=，PAB 面积的取值范围是[]1,11. 故选：D.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是线段1AA 的中点，点Q 是线段1DB 上的动点（包括端点），则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【分析】以D 为坐标原点，建立空间指教坐标系，写出点P 的坐标，设出点Q 的坐标，根据空间中两点之间的距离公式，求解即可.【详解】建立分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，如下所示： 则点P 的坐标为11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点Q 的坐标为()(),,01λλλλ≤≤， 则2222215112(1)33324222PQ λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12λ=时，不等式取等；即PQ 2故选：B ． 11．已知直线30mx y m -=与30()R x my m +=∈交于点P ，若()3,0A ，)3,0B，则使点P 到A ，B 两点距离之和等于4的m 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D 【分析】由点P 到A ，B 两点距离之和等于4，得到P 的轨迹为2214x y +=，又两条直线互相垂直，且分别过定点()3,0-，)3,0，则P 点的轨迹又为(2233x y x +=≠，则P 即为两曲线的交点. 【详解】由直线的性质可知直线30mx y m -=与30x my +=相互垂直，且分别过定点()3,0-，)，∴点P()），即圆：(223x y x +=≠，由椭圆的定义可知到A ，B 距离之和等于4的点在椭圆：2214x y +=上，∵圆(223x y x +=≠与椭圆2214x y +=有4个交点，∴满足题意的m 的值有4个. 故选：D12．已知实数,x y 满足方程221x y xy ++=，则下列不等式正确的是（ ）A ．11x y -≤-≤B ．11x y -≤+≤C ．113xy -≤≤D ．2201x y <+≤ 【答案】C【分析】由题知223124y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而设cos 2y x θ+=sin ()R y θθ=∈，再根据三角函数性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：原方程可化为223124y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以，不妨设cos 2y x θ+=sin ()R y θθ=∈， 解得cosx θθ=，y θ=， ()1cos 2sin x y θθθϕ-==+，∴[]2,2x y -∈-，故A 选项错误；()2cos x y θθθϕ+=+，∴x y ⎡+∈⎢⎣⎦，故B 选项错误； ()2321121cos sin 2cos 2sin 233333xy θθθθθθϕ=-=+-=+-，∴11,3xy ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 选项正确；2222cosx y θθθ⎛⎫⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭()34142cos 22sin 23333θθθϕ=-=-+，∴222,23x y ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故D 选项错误； 故选：C ．二、填空题13．椭圆221167x y +=的长轴长为______．【答案】8【分析】根据椭圆方程确定椭圆的2a ，即可求解长轴长.【详解】解：由椭圆221167x y +=的几何性质可知216a =，∴4a =，∴长轴长28a =。

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．命题“N,3sin x x x ∀∈>”的否定是（ ） A ．N,3sin x x x ∀∈≤B ．N,3sin x x x ∀∈<C ．000N,3sin xx x ∃∈>D ．000N,3sin xx x ∃∈≤【答案】D【分析】由全称命题的否定的定义即可得出结果.【详解】由全称命题的否定的定义可知，N,3sin x x x ∀∈>的否定为000N,3sin xx x ∃∈≤.故选：D.2．直线0x y -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角.【详解】由0x y -+=得斜率1tan 4k π==，故选：B.3．抛物线236y x =的准线方程是（ ） A ．9y = B ．9y =- C ．9x = D ．9x =-【答案】D【分析】根据抛物线方程()220y px p =>的准线方程为2px =-求解. 【详解】由236y x =得18p =，∴准线方程为92px =-=-， 故选：D4．在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '关于（ ）对称. A ．xOy 平面 B ．yOz 平面 C ．xOz 平面 D ．原点【答案】B【分析】根据空间直角坐标系的定义求解.【详解】因为点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '两点的横坐标互为相反数，其余坐标相等， 所以两点则关于yOz 平面对称， 故选:B ．5．若x ，y 满足约束条件580?2310032110x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,4-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解． 【详解】画出可行域如图，()1,4A ，()2,2B -，()3,1C ，y x 表示点(),x y 与()0,0O 连线的斜率，13OC k =，1OB k =-， ∴y x 的取值范围是(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：C.6．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．260【答案】C【分析】直接运行程序框图即可求解. 【详解】由图可知,初始值2,1S k ==；第一次循环，112,3228k S =+==⨯+=，23k =>不成立； 第二次循环，213,38327k S =+==⨯+=，33k =>不成立； 第三次循环，314,327485k S =+==⨯+=，43k =>成立； 退出循环，输出S 的值为85. 故选：C.7．已知命题p ：直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，命题:3q a =-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】判断命题p 与命题q 间关系可得答案.【详解】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则()233a a a +=⇒=-或1a =， 又当1a =或3a =-时，两直线均不重合，即命题p 等价于3a =-或1a =， 则由命题p 不能得到命题q ，但由命题q 可得命题p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.8．下列命题是真命题的是（ ）A ．“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”的逆否命题B ．“偶函数的图象关于y 轴对称”是特称命题C ．“1x >且1y >”是”2x y +>”的充要条件D ．若0xy ≠，则x ，y 只有一个不为0 【答案】A【分析】根据命题的定义一一判断即可求解. 【详解】A 选项，原命题与逆否命题等价，原命题“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”为真命题， 则逆否命题为真命题，A 正确；B 选项，原命题可改写为“所有偶函数的图象关于y 轴对称”是全称命题，B 错误；C 选项，x >且1y >可得到2x y +>，但2x y +>，如取1,4x y =-=得不到x >且1y >，所以“1x >且1y >”是”2x y +>”的充分不必要条件，C 错误； D 选项，若0xy ≠，则x ，y 都不为0，D 错误. 故选:A.9．若直线20x y m -+=与椭圆22152x y +=交于,A B 两点，且AM MB =，则点M 的坐标可能是（ ）A ．11,210⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(5,1)-C ．11,210⎛⎫⎪⎝⎭D ．(5,1)【答案】A【分析】利用中点弦问题的点差法求解. 【详解】因为AM MB =，所以M 为AB 中点， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，因为,A B 在椭圆上，所以22112222152152x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()052x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()1212121225y y y y x x x x +-=-+-，即25OM AB k k ⋅=-，因为直线20x y m -+=过点,A B ，所以2AB k =， 所以0015OM y k x ==-，经检验C 、D 不满足0015y x =-， A 、B 选项均满足0015y x =-，但(5,1)-在椭圆外，不符合条件，故选：A.10．已知直线()100,0x my n m n ++-=>>与圆()2219x y +-=相交于A ，B 两点，且AB 的长度始终为6，则4n mmn+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9【答案】D【分析】由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，结合基本不等式即可求解. 【详解】圆()2219x y +-=的圆心()0,1，半径为3，由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，而0,0m n >>，所以()4141441559n m m n m n mn m n m n n m +⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯+=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4m nn m=且1m n +=，即12,33m n ==时等号成立.故选：D.11．已知动点P 在双曲线22215x y a -=的右支上，过点P 作圆22:1C x y +=的切线，切点为M ，切线长|PM | ）A ．32B ．52C D 2【答案】A【分析】由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，即可求出,a c 进而求出离心率.【详解】解：由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，当|OP |取得最小值时，P 为双曲线右顶点（a ，0），则2a =，则2223459,3,2c c a b c e a =+=+====. 故选：A.12．已知直线1x my =+与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，M 为抛物线上一动点，OM 与线段AB 交于点N ，且3OM ON =，则ABM 面积的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】A【分析】联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长AB ，进而求出ABOS，由3OM ON =，得2ABMABO SS =△，根据表达式求出最值即可．【详解】由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，2(4)160m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y y y m =-+=，()241AB m =+，O 到直线1x my =+的距离d =，∴12ABO S AB d =⨯⨯=△∵3OM ON =，∴2ABM ABO S S ==△△ ∴当0m =时，ABM S △取最小值4． 故选：A ．二、填空题13．双曲线22152x y -=的实半轴长为___________.【分析】根据实半轴定义求解.【详解】由题可得25a =，所以a =所以实半轴长为a =故答案为:14．粮食安全是国之大者，解决吃饭问题，根本出路在科技.某科技公司改良试种了A ，B ，C 三类稻谷品种，今年秋天分别收获了A 类稻谷1200株，B 类稻谷1500株，C 类稻谷2100株.现用分层抽样的方法从上述所有稻谷中抽取一个容量为320株的样本进行检测，则从B 类稻谷中应抽取的株数为___________. 【答案】100【分析】先求出A 、B 、C 株数之比，然后按比例抽取.【详解】A 、B 、C 株数之比为457：：，则B 类抽取的株数为532010016⨯=. 故答案为：10015．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：则表中a 的值为___________. 【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解. 【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.三、双空题16．已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MB MA -=，(N ，则MNB 周长的最小值为______，此时点M 的坐标为______.【答案】 10 54⎛- ⎝⎭【分析】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹方程，根据双曲线定义及三点共线求得MNB 周长的最小值，将直线AN 的方程代入双曲线方程可求得M 的坐标．【详解】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，则2,1,c a b ===M 的轨迹方程为()22103y x x -=<，∵4NB =，∴MNB 的周长最小时，MN MB +最小，2MN MB MN MA +=++，又4MN MA AN +≥=，当且仅当N ，M ，A 三点共线且M 在线段AN 上时，等号成立， ∴MNB 的周长为24610MN MB NB MN MA AN ++=+++≥+=，直线AN 的方程为)2y x =+，将其代入到2213y x -=，化简得：441x --=，54x =-，则524y ⎫-+=⎪⎭，M 的坐标为54⎛- ⎝⎭.故答案为：10，54⎛- ⎝⎭.四、解答题17．已知直线1:20l x y -+=和2:0l x y +=相交于点P .(1)若直线l 经过点P 且与3:220l x y +-=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线l '经过点P 且与4:2310l x y --=平行，求直线l '的方程. 【答案】(1)230x y -+= (2)2350x y -+=【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，设l 的方程为20x y m -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数m 的值，即可得解；（2）依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数n 的值，即可得解；【详解】（1）解：由200x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以1:20l x y -+=与2:0l x y +=的交点P 为()1,1- 设与3:220l x y +-=垂直的直线l 的方程为20x y m -+=， 将()1,1P -代入20x y m -+=，即()2110m ⨯--+=解得3m =， 则l 的方程为230x y -+=；（2）解：依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入230x y n -+=，即()21310n ⨯--⨯+=解得5n =， ∴l '的方程为2350x y -+=.18．成都电视台在全市范围内开展创建全国文明典范城市知识竞赛，随机抽取n 名参赛者的成绩统计如下表：成绩分组 频数 频率[)50,60 10 0.10[)60,70 25a[)70,80 35 0.35[)80,90b0.20[]90,100100.10(1)请求出n ，a ，b 的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这n 名参赛者成绩的中位数和平均值（结果均保留一位小数） 【答案】(1)100n =，0.25a =，20b =，频率分布直方图见解析 (2)中位数为74.3，平均值为74.5【分析】（1）根据频率计算公式求出n ，a ，b 的值，进而画出频率分布直方图；（2）由中位数左边和右边的直方图的面积相等，求出中位数；由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均值. 【详解】（1）由[)70,80组数据可得：351000.35n ==， 则250.25100a ==，1000.220b =⨯=， 画出频率分布直方图如图，（2）设中位数为x ，则()0.10.250.035700.5x ++⨯-=，解得74.3x ≈， 平均值为550.1650.25750.35850.2950.174.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19．已知m ∈R ，命题p ：[]0,2x ∀∈，22m x x ≤-，命题q ：()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立. (1)若p 是真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范围. 【答案】(1)1m ≤- (2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据恒成立的思想可知()2min 2m x x ≤-，由二次函数最值可求得结果；（2）根据基本不等式可求得44x x+≥，由能成立的思想可知4m ≥时；由题意可知,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况即可.【详解】（1）若p 是真命题，则22m x x ≤-在[]0,2上恒成立， ∵()22211x x x -=--，[]0,2x ∈，∴当1x =时，()2min 21x x -=-，∴1m ≤-；（2）对于q ，当0x >时，4424x x x x +≥⋅=，当且仅当2x =时取等号， 若()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立，只需4m ≥即可，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 和q 一真一假，当p 真q 假时，114? m m m ≤-⎧⇒≤-⎨<⎩， 当p 假q 真时，144? m m m >-⎧⇒≥⎨≥⎩综上，m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.20．已知直线:30l x y λλ+--=和圆22:6210C x y x y +--+=(1)证明：无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；(2)若l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）注意到直线l 过定点，再证该定点在圆C 内部即可；（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，即可得答案.【详解】（1）()130：l λx y -+-=，恒过点M （1，3），22:6210C x y x y +--+=化简为()()22319：C x y -+-= 将M （1，3）代入圆的方程得()()2213319-+-<，则M （1，3）在圆内，∴无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；..（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，则CM ==C 半径r 为3，得22AB ==⨯=.21．已知动点M 到点()1,0F 的距离等于它到直线=1x -的距离，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求动点M 的轨迹方程C ；(2)已知()2,0A -，()0,1B ，过点B 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，求PAB 的面积.【答案】(1)24y x =(2)1或18或12【分析】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，则2p =，即可得出答案；（2）分三种情况讨论：①当l 斜率不存在时；②当l 斜率为0时；③当l 斜率存在且不为0时，根据题意求出点P 坐标，即可得出PAB 的面积.【详解】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，故2p =，动点M 的轨迹方程C ：24y x =；（2）①当l 斜率不存在时，点P 与原点()0,0O 重合，12112PABS =⨯⨯=； ②当l 斜率为0时，直线l ：1y =与抛物线C ：24y x =交于点1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111248PAB S =⨯⨯=△； ③当l 斜率存在且不为0时，设l ：()10y kx k =+≠，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，得：()222410k x k x +-+=，① 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，则()22Δ24416160k k k =--=-=，解得1k =，将1k =代入①可得2210x x -+=，解得1x =，此时解得()1,2P ， 直线AP ：()20212y x -=++，即()223y x =+， 则直线AP 与y 轴交于点40,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故111112123232PAB BQA BQP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△. 综上，PAB 的面积为：1或18或12． 22．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点()2,0A -，斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P ，Q 均异于点A ），且满足()3AP AQ k k k +=-，设点A 到直线l 的距离为d ，若d λ<恒成立，求实数λ的最小值.【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）根据题意求出,,a b c ，写出椭圆方程即可；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理与()3AP AQ k k k +=-得,m k 的关系，可得直线l 恒过点()1,0B -，则1d AB <=，即可得出答案．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为()21,0F ，∴1c =，∵椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，∴2a =，∴b =∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=. （2）设直线l 的方程为y kx m =+， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：()()222438430k mk m x x +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122843mk x x k -+=+，()21224343m x x k -=+ ()121212122222AP AQ y y kx m kx m k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫++∴+=+=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212121222424kx x k m x x m k x x x x ++++=+++()()()2222224382244343438244343m mk k k m m k k k m mk k k --⋅+++++=--+⋅+++2221224341616mk k m mk k -==--+， 化简得：22032m mk k -+=，即()()20m k m k --=，则2m k =或m k =， 当2m k =时，()22y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()2,0A -，不合题意， 当m k =时，()1y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()1,0B -，此时点A 到直线l 的距离1d AB <=，∵d λ<恒成立，∴λ的最小值为1.。

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．已知点(2,3,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ） A ．(2,3,4) B ．(2,3,4)--C ．(2,3,4)--D ．(2,3,4)--【答案】D【分析】根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解. 【详解】因为点(2,3,4)A -，所以点A 关于原点的对称点的坐标为(2,3,4)--， 故选：D230y -+=的倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】先求斜率k =tan θ=3πθ=．【详解】3y =+，可知k =tan θ=3πθ=故选B【点睛】一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目．3．以原点为圆心， ）A ．22x y +=B ．228x y +=C ．22(2)(2)8x y -+-=D ．22x y +=【答案】B【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，已知圆心和半径，代入圆的标准方程即可求解.【详解】由题意知：圆心坐标为(0,0)，圆的半径r = 所以所求圆的标准方程为228x y +=， 故选：B.4．与直线:210l x y -+=垂直且过点(1,2)的直线方程为（ ）A ．240x y +-=B ．20x y -=C ．250x y +-=D ．230x y -+=【答案】C【分析】利用两直线垂直其斜率之积等于1-，可求出直线的斜率，再将点(1,2)代入直线方程即可求出答案.【详解】已知直线l 的斜率为2，则所求直线方程的斜率为12-，设直线方程为12y x b =-+，因为直线过点(1,2)，所以152122b b =-⨯+⇒=，则直线方程为1522y x =-+，整理得250x y +-=故选：C. 5．不等式201x x +≤-的解集为（ ） A ．(2,1)- B ．[2,1)-C ．(,2](1,)-∞-+∞D ．(2,1]-【答案】B【分析】利用转化法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由201x x +≤-可得()()21010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得21x ，故原不等式的解集为[2,1)-， 故选：B6．已知10,0a b -<<>，则下列大小关系正确的是（ ） A ．2ab b a b << B ．2b ab a b << C ．2b a b ab << D ．2ab a b b <<【答案】D【分析】利用作差法，可得答案.【详解】()1ab b b a -=-，由10,0a b -<<>，则()10b a -<，即ab b <；()()()22111a b b b a b a a -=-=-+，由10,0a b -<<>，则10a -<，10a +>，即()()110b a a -+<，可得2a b b <；()21a b ab ab a -=-，由10,0a b -<<>，则10a -<，即()10ab a ->，可得2ab a b <；综上2ab a b b <<. 故选：D.7．焦点在x 轴上的椭圆2214x y m +=的焦距是8，则椭圆的长轴长为（ ）A ．40B ．C ．D ．20【答案】B【分析】由椭圆的性质即可得到答案.【详解】由题意得41620m =+=，则椭圆的长半轴长为故选：B.8．若2x >，则12x x +-的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0【答案】C【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为2x >，所以20x ->，则11222422x x x x ⎛⎫+=-++≥= ⎪--⎝⎭， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，此时取得最小值4， 故选：C ．9．己知两点12(2,0),(2,0)F F -，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．2211612x y +=B ．22143x y +=C ．22184x y +=D ．22134x y +=【答案】A【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点， 长轴长为8的椭圆，进而求解.【详解】因为12(2,0),(2,0)F F -，所以12=F F 4， 又12F F 是1PF 与2PF 的等差中项， 所以121228PF PF F F +==，则点P 到定点12F F ，的距离之和为8，（大于12=F F 4）， 所以动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，1228a PF PF =+=，则4,2a c ==，22212b a c =-=，所以椭圆方程为：2211612x y +=， 故选：A .10．方程()0x x y -=所表示的曲线（ ） A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线0x y -=对称【答案】B【分析】解出方程，即可看出方程所表示的曲线，进而分析其对称性即可. 【详解】()0x x y -= 0x ∴=或x y =所以方程()0x x y -=所表示的曲线为y 轴或直线y x =，都关于原点对称. 故：选B.11．圆221:()1C x a y -+=与圆222:(3)(4)2C x y -++=的位置关系为（ ）A ．外离B ．相切C ．内含D ．与a 的取值有关【答案】A【分析】根据圆心距和半径的关系判断两圆的位置关系即可.【详解】由题意得圆1C 的圆心为(),0a ，半径为1，圆2C 的圆心为()3,4-41=≥=>，所以两圆外离.故选：A.12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在椭圆C 上（点M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||MN F F NF ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A 1B 1CD 【答案】B【分析】设2MF x =，则12MF a x =-，利用勾股定理求出x ，再解方程(22=a c 即得解.【详解】依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =-，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c -+=， 整理得22220x ax b -+=，由于点M 在第一象限，x a =22=NF ，得22=MN MF ，即(22=a c ，整理得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得1e =-1e =-. 故选：B ．二、填空题13．两平行直线3210x y ++=与3210x y +-=之间的距离为____________． 21321313【分析】由平行线之间的距离公式直接求解即可.【详解】两平行直线3210x y ++=与3210x y +-=()221121332--=+. 21314．设变量x ，y 满足约束条件03200x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____________．【答案】3【分析】作出可行域，平移直线2z x y =+，找出使得该直线在x 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组03200x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立0320x y x y -=⎧⎨-+=⎩可得1x y ==，即点()1,1A ，平移直线2z x y =+即2y x z =-+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时，z 取最大值，即max 213z =+=. 故答案为：315．直线l 过点()0,1，且与圆2223460x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为___________． 【答案】1y =310x y -+=【分析】由已知，先将圆的方程化为标准式，然后分类讨论直线l 斜率存在、不存在，计算圆心到直线的距离d 等于圆的半径，列式即可求解直线方程的斜率，从而得到直线方程. 【详解】由已知，圆2223460x y x y +--+=可化为：(()22321x y +-=，直线l 过点()0,1，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线方程为：0x =， 所以圆心到直线的距离31d ，此时直线l 与圆(()22321x y +-=不相切，所以不成立；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =+，要使直线与圆相切，需满足圆心到直线的距离d 等于圆的半径， 即232111k d k-+==+，解得：0k =或3k =所以直线l 的方程为：1y =310x y -+=. 故答案为：1y =310x y -+=.16．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．【答案】【分析】本题相当于求三棱锥的外接球体积的最小值.先把三棱锥补形成一个长方体，可得外接球的直径为长方体的体对角线，分析已知条件，再借助基本不等式求出半径的最小值，最后可求出球的体积最小值.【详解】因为线段,,AB AC AD 两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段,,AB AC AD 分别为长方体的长、宽、高，则半径为R 的球即为长方体的外接球.令,,AB x AC y AD z ===，所以有()22222222R AB AC AD x y z =++=++ 又因为,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，所以1111116222222ABCACDADBSSSAB AC AD AC AB AD xy yz xz ++=⋅+⋅+⋅=++=，即12xy yz xz ++=. 由基本不等式有222222222x y xy y z yz x z xz ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩，所以()2222212R x y z xy yz xz =++≥++=，当且仅当2x y z ===时等号成立，此时min R ，min V =. 故答案为：.三、解答题17．分别求以下方程．(1)求过两直线：1:0l x y -=，2:20l xy +-=的交点，且斜率为2的直线的一般式方程；(2)已知椭圆C 的对称中心为原点，对称轴为坐标轴，且过两点12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ⎭，求椭圆C 的标准方程． 【答案】(1)210x y --= (2)2214x y +=【分析】（1）联立两直线求得交点，利用点斜式求得直线方程，再转化成一般式即可； （2）设出椭圆标准方程，将给定点的坐标代入列出方程组，求解即得【详解】（1）由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以1l ，2l 的交点为()1,1，故过()1,1且斜率为2的直线的方程为()121y x -=-即210x y --=；（2）设椭圆C 的标准方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠，因点12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ⎭在椭圆C 上， 则有31142214m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4m =，1n =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；18．已知实数a ，b 满足：13a <<,25b <<． (1)求23a b +的取值范围；(2)已知2223,33M a a b N a a b =++=-++，试比较M ，N 的大小． 【答案】(1)82321a b <+<； (2)M N >【分析】（1）根据不等式的性质求解，即可得到；（2）作差法比较式子大小. 【详解】（1）根据不等式的性质可得，226a <<，6315b <<， 则82321a b <+<.（2）()()()22223332331M N a a b a a b a a a a -=++--++=+-=+-,因为13a <<， 所以有 ()()310a a +-> 所以，M N >.19．已知圆C 过()()()2,0,4,2,0,2M N P --三点． (1)求圆C 的一般式方程；(2)若直线l 过点()3,2，且被圆C截得的弦长为l 的方程； 【答案】(1)224440x y x y +-++= (2)158290x y --=或3x =.【分析】（1）设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，分别代入()()()2,0,4,2,0,2M N P --求得圆C 的一般式方程.（2）利用垂径定理和点到直线距离可求得斜率k ，从而求得直线l 的方程【详解】（1）设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，因为圆C 过()()()2,0,4,2,0,2M N P --三点，所以420420164420D FEF D E F ++=⎧⎪-+=⎨⎪++-+=⎩解得444D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,故圆C 的一般式方程为224440x y x y +-++=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线为3x =，圆C截得的弦长为l 为3x =. 设直线l 的斜率为k ，又过点()3,2，所以直线l 的方程为320kx y k --+=， 由（1）可知圆心为(2,2)-，半径2r =，又因为圆C截得的弦长为所以由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，由点到直线的距离可得1=158k =. 所以直线l 的方程为：158290x y --= 或3x =. 20．已知圆22:(2)(2)1C x y ++-=，定点(4,4)M ．(1)光线自定点M 开始射到x 轴上，经x 轴发生镜面反射后到达圆C 上的点N 为止，求光线路程的最小值；(2)若点A 在圆C 上转动，点P 为线段MA 的中点，求点P 的轨迹方程． 【答案】(1)1 (2)221(1)(3)4x y -+-=【分析】（1）设点(4,4)M 关于x 轴的对称点为(4,4)M '-，根据光的反射原理M 到N 的最短距离，转化为M '到圆上点的距离最小值；（2）设点(,)P x y ，11(,)A x y ，根据线段MA 的中点为P ，求得112424x x y y =-⎧⎨=-⎩，结合A 在圆C 上，代入即可求解.【详解】（1）由圆22:(2)(2)1C x y ++-=可得圆心()2,2C -，半径为1， 点(4,4)M 关于x 轴对称点为(4,4)M '-，光线从M 到N 经过的路程，即为点M '与点N 的直线距离，其最小值为||111M C '-==，所以光线路程的最小值为1； （2）设点(,)P x y ，11(,)A x y因为点(4,4)M ，线段MA 的中点为P ，可得114242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112424x x y y =-⎧⎨=-⎩，又因为A 在圆C 上，可得22(242)(242)1x y -++--=，即221(1)(3)4x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为221(1)(3)4x y -+-=21．某建筑单位购买某种建筑设备，购买时费用为100万元，此建筑设备每年的运输转场与设备管理等费用共计9万元，但这种建筑设备随着每年的转场需要重新构架，在此过程中会造成设备的维修费、保养费等逐年增高，第一年为2万元，第二年为4万元，第三年为6万元，而且以后以每年2万元的增量逐年递增．(1)若变量x ，y 分别表示此建筑设备使用的时间（单位：年）和花费的总金额（单位：万元），请用含x 的代数式表示y ；(2)建筑设备的年平均使用费用越低，它的使用就越划算，请在（1）小问的基础上规划一下此建筑设备最佳的使用时间（单位：年），并说明理由． 【答案】(1)2*10100,y x x x N =++∈ (2)10年【分析】由题意可知花费的总金额为购买费用、运输转场与设备管理等费用、维修费、保养费之和，即可列出函数关系式；利用函数关系式中函数的性质，即可求出最佳的使用时间.【详解】（1）已知此建筑设备每年的运输转场与设备管理等费用共计9万元，x 年则花费9x 万元，维修费、保养费每年2万元的增量逐年递增，由等差数列求和可得x 年需()222x x +万元，花费的总金额2*10100,y x x x N =++∈.（2）设建筑设备的年平均使用费用为w，则210100*********x x w x x x ++==++≥+=（当且仅当100x x=，即10x =时取等号），所以当10x =时，建筑设备的年平均使用费用越低，故此建筑设备最佳的使用时间为10年.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎭． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线:l y kx m =+满足2m k ≠-且与椭圆E 相交于不同的两点A ，B ，若以线段AB 为直径的圆始终过点(2,0)Q ，试判断直线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=； (2)过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据题意列方程，再结合222a b c =+，解方程得到a ，b ，c ，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程得到122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，根据以线段AB 为直径的圆经过点Q ，得到0QB QA ⋅=，然后列方程得到()()2652014k m k m k ++=+，解得65m k =-，即可得到直线l 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）由题意得c a =222112a b +=，又222a b c =+，解得2a =，1b =，c = 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>， 则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，()()()2222121212112414m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 因为以线段AB 为直径的圆经过点Q ，所以0QB QA ⋅=，()222,QB x y =-，()122,QA x y =-，()121212240QB QA x x x x y y ⋅=-+++=，即()()2652014k m k m k ++=+，解得65m k =-或2m k =-，满足0∆>，因为2m k ≠-，所以65m k =-，直线l 方程为6655y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，恒过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线l 过定点，定点为6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。

四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高二数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线2025π:cos4l x =的倾斜角为（）A.π2 B.2025π4 C.π4D.0【答案】A 【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为2025πcos 4为常数，故直线2025π:cos 4l x =的倾斜角为π2.故选：A.2.直线3230x y +-=与320x y +=之间的距离为（）A.5B.13C.9D.13【答案】D 【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线3230x y +-=和320x y +=平行，由两条平行直线间的距离公式可得13d ===．故选：D ．3.圆221:4C x y +=与圆222:(2)(3)9C x y -+-=的公切线条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(2)(3)9C x y -+-=，则圆心()22,3C ，半径23r=，则12CC ==15<，即211212r r C C r r -<<+，故圆1C 与圆2C 相交，其公切线条数为2．故选：C ．4.过点()1,3P -作圆22(1)(1)2x y -++=的切线，则切线的斜率为（）A.1-或7-B.1- C.2-或7- D.2-【答案】A 【解析】【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出1k =-或7k =-．【详解】因为圆22(1)(1)2x y -++=的圆心为()1,1-，易知过点()1,3P -的切线l 斜率存在，设l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，则d ==，解得1k =-或7k =-．故选：A ．5.若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（）A.12B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为6636⨯=个．其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：()()()()()()()()()1,1,3,3,5,5,1,3,1,5,3,1,3,5,5,1,5,3，共9个，故91364P ==．故选：B ．6.在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为11B C 的中点，则平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值为（）A.63B.4C.15D.5【答案】D 【解析】【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值.【详解】1,,DA DC DD 两两垂直，故以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =，取1BB 的中点为P ，连接CP ，则()()()10,1,0,1,1,,1,1,0,0,0,02C P B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,1,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,0,0，()11,0,1A ，则11,0,1,1,0,,0,22QB CP QB CP QB CP ⎛⎫⎛⎫=-=∴⋅=∴⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10,1,0,1,0,,0,2AB CP CP AB CP AB⎛⎫==∴⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭又因为QB CP ⊥，CP AB ⊥，AB BQ B = ，,QB AB ⊂平面ABQ ，故⊥CP 平面ABQ ，所以11,0,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为平面ABQ 的一个法向量，设平面11ACC A 的一个法向量为(),,n x y z =，则11001000x n AC x y y z n AA z =⎧⎧⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩，所以()1,1,0n =-- ()1,1,0n =--为平面11ACC A 的一个法向量，设平面ABQ 与平面11ACC A 的夹角为α，则P cos 5C nCP nα⋅=== ，故平面ABQ 与平面11ACC A夹角的余弦值为5．故选：D．7.如图，E 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部（含表面）一动点，则EA EB ED ++的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，然后根据模的坐标求法求出最值即可.【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0A B D ，设()(),,01,01,01E x y z x y z ≤≤≤≤≤≤，则()(),,,(1,,),,1,EA x y z EB x y z ED x y z =---=---=---，则()13,13,3EA EB ED x y z ++=---.故EA EB ED ++= 1x y z ===．故选：C ．8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为腰长为1的等腰直角三角形，且AB AC >，侧面11ACC A 为正方形，2,AB AE P =为平面1A BC 内一动点，则PA PE +的最小值是（）A.62B.32C.D.265【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点A 、A '到平面1A BC 距离相等，得出A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点求出最短路径即可【详解】由题意，以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ，则()()()()1111,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,,,022A B C A E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()()110,1,0,1,0,1,0,0,1CB CA AA ===，设A 关于平面1A BC 的对称点为(),,,0A x y z z >'，则()()11,,1,1,,A A x y z AA x y z =---'=-'，设平面1A BC 的法向量()111,,n x y z =，则10,0,CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,y x z =⎧⎨+=⎩令11x =，则110,1y z ==-，所以()1,0,1n =-为平面1A BC 的一个法向量，所以A 与A '到平面1A BC的距离112AA n A A n d n n ⋅⋅==='=，即1x z -+=①，又AA n '∥，所以1,x z y -=-⎧⎨=⎩②，所以由①②得211z -=，又由0z >可得0,0,1x yz ===，所以()0,0,1A '，所以2PA PE PA PE A E +=+≥===''，当且仅当,,A P E '三点共线时取等号，所以PA PE +的最小值为62．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列叙述正确的是（）A.点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称B.点()3,1,6--与点()3,1,6-关于z 轴对称C.点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称D.坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分【答案】AC 【解析】【分析】ABC 选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC 正确，B 错误；D 选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分.【详解】A 选项，点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称，A 正确；B 选项，点()3,1,6--关于z 轴的对称点是()3,1,6，B 错误；C 选项，点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称，C 正确；D 选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为8个部分，D 错误．故选：AC ．10.已知直线()1:120l ax y a -+-=在x 轴上的截距大于0，直线2:240l x y +-=与y 轴交于点B ，则（）A.0a < B.1l 恒过定点2,1C.点B 到直线1l 的距离可能为3 D.不存在a 使得12//l l 【答案】BD 【解析】【分析】运用截距概念求解即可判断A 、C ；运用消去参数判断B ；根据1l 恒过定点判断D 【详解】对于A ，把0y =代入()120ax y a -+-=，得210a x a -=>，所以0a <或12a >，A 错误；对于B ，将直线()120ax y a -+-=改写为()()210x a y -+-+=，所以2010x y -=⎧⎨-+=⎩，所以21x y =⎧⎨=⎩，所以1l 恒过定点()2,1C ，B 正确；对于C ，对于2:240l x y +-=，令0x =可得()0,2B ，易得当1BC l ⊥时，点B 到直线1l 的距离取得最大值=，C 错误；对于D ，因为直线1l 恒过的定点()2,1C 也在直线2l 上，即12,l l 至少有一个交点C ，D 正确．故选：BD ．11.已知平面内一动点M 到坐标原点的距离为1，以M 为圆心、1为半径的动圆与圆22:(1)(2)5N x y -+-=交于,A B 两点，则（）A.存在唯一的圆M ，使得,A B 两点重合B.1MN ⎤∈-⎦C.若ABN 存在，则其不可能为等边三角形D.tan ANB ∠的最大值为43【答案】BCD 【解析】【分析】由给定条件可得坐标原点与点,A B 之一重合，利用动圆M 与圆N 的位置关系判断A ；由圆上的点与定点距离最值判断B ；求出AB 最大值判断C ；由余弦定理求解判断D.【详解】依题意，坐标原点与点,A B 之一重合，不妨设坐标原点为A ，圆22:(1)(2)5N x y -+-=的圆心(1,2)N ，半径，对于A ，当动圆M 与圆N 内切或外切时，均有,A B 两点重合，A 错误；对于B ，点M 在以A 为圆心、1为半径的圆上运动，||AN =||1]MN ∈+，B 正确；对于C ，||BN =，要使ABN 为等边三角形，则||AB =，而2||||||AB MA MB ≤+=，当且仅当点,,A M B 共线时取等号，则ABN 不可能为等边三角形，C 正确；对于D ，要使tan ANB ∠最大，即ANB ∠最大，只需||AB 取最大值2，此时2223cos5ANB ∠=，44sin ,tan 53ANB ANB ∠=∠=，D 正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量()()2,1,3,,21,3a b m n =-=+ 满足a b ⊥ ，则m n +=______．【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.【详解】因为a b ⊥ ，故()()2,1,3,21,322190m n m n -⋅+=++-=，解得4m n+=．故答案为：413.已知圆P 过()()()1,1,7,3,5,7---三点，则圆P 的面积为______．【答案】25π【解析】【分析】设圆的一般方程，将3点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.【详解】设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入()()()1,1,7,3,5,7---三点坐标可得110,499730,2549570,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩解得4,6,12,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆P 的方程为2246120x y x y +-+-=，其标准方程为22(2)(3)25x y -++=，故其面积2π25πS r ==．故答案为：25π14.在正三棱锥P ABC -中，AB AP =⊥平面PBC ，点P 在底面ABC 内的投影为点,O M 是平面ABC 内以O 为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值最大为______.【答案】3【解析】【分析】过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】正三棱锥P ABC -中，因为AP ⊥平面PBC ，又,PB PC ⊂平面PBC ，因此,PA PB PA PC ⊥⊥，故PB PC ⊥，故22sin60223PA PB PC AB AO AB =====︒=，则PO ==，延长CO 交AB 于点D ，过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，易知,,OD OE OP 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(1,,,0,0,A B P ，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，则(cos ,sin ,PM αα=，()0,AB =，设直线PM 与AB 所成的角为θ，则3cos 3PM AB PM ABθα⋅===≤，当π2α=或3π2时，取最大值3．故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()()()2,2,2,6,4,2A B C ---三点，点P 在圆22:4E x y +=上运动．（1）若直线PA 与圆E 有唯一公共点，求PA ；（2）求222PA PB PC ++的最小值．【答案】（1）2（2）56【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，由勾股定理求出切线长；（2）设s ，且224x y +=，表达出2228012PA PB PCy ++=-，而22y -≤≤，故当2y =时，取得最小值56．【小问1详解】由题意知，圆E 的圆心为()0,0E ，半径2r =，故2AE ==>，由题意可得直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，在Rt APE 中，由勾股定理可得2PA ==．【小问2详解】设s ，且224x y +=，故222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-+-++()22312681268128012x y y y y =+-+=+-=-，而22y -≤≤，当2y =时，222PA PB PC ++取得最小值56．16.已知在ABC V 中，()()()0,0,2,0,1,3,,A B C D E ，分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ．（1）求AC 边上的高所在直线的斜截式方程；（2）若ADE V 的面积为ABC V 面积的14，求直线DE 的一般式方程.【答案】（1）1233y x =-+；（2）330x y +-=.【解析】【分析】（1）由AC 的斜率和垂直关系可得AC 边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可.（2）先由题意得12AD AE AC AB ==，即E 为AB 的中点，接着由中点坐标公式、直线BC 的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线DE 的方程，再转化成一般式即可.【小问1详解】由题直线AC 的斜率为130310k -==-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为1113k -=-，所以AC 边上的高所在直线的方程为()1023y x -=--，化为斜截式为1233y x =-+.【小问2详解】因为ADE V 的面积为ABC V 面积的1,,4D E 分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ，所以1,2AD AE E AC AB ==为AB 的中点，即()1,0E ，又直线BC 的斜率为30312-=--，所以直线DE 的斜率也为3-，所以直线DE 的方程为()031y x -=--，即330x y +-=，所以直线DE 的一般式方程为330x y +-=.17.如图，在四面体OABC 中，3OA = ，且26,,3OA OB OA OC CD CB G ⋅=⋅== 为AD 的中点，点H 是线段OA 上的动点（含端点）．（1）以{},,OA OB OC 为基底表示OG ；（2）求DH OH ⋅的最小值．【答案】（1）111236OG OA OB OC =++ （2）-1【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理得到2133AD OA OB OC =-++ ，111236OG OA AG OA OB OC =+=++ ；（2）设()01OH OA λλ=≤≤ ，得到2133DH OA OB OC λ=-- ，求出()29601DH OH λλλ⋅=-≤≤ ，当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值1-.【小问1详解】由题意可得()2233AD AC CD AC CB OC OA OB OC =+=+=-+- 2133OA OB OC =-++ ，所以11212233OG OA AG OA AD OA OA OB OC ⎛⎫=+=+=+-++ ⎪⎝⎭111236OA OB OC =++ ；【小问2详解】设()01OH OA λλ=≤≤ ，因为()2133DH OH OD OA OA AD OA OA O B A OC O λλ⎛⎫=-=-+=--++ ⎪⎝⎭ 2133OA OB OC λ=-- ，所以2212()3333DH OH OA OB OC OA OA OA OB OA OC λλλλλ⎛⎫⋅=--⋅=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭()29601λλλ=-≤≤，故当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值，最小值为1196193⨯-⨯=-．18.已知在空间直角坐标系中，点()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,2,1,1O P Q R --．（1）证明：,,OP OQ OR 不共面；（2）求点O 到平面PQR 的距离；（3）设S 为平面PQR 上的一个动点，且222PS = ，求,PO PS 的夹角θ取得最小值时，OS 的值．【答案】（1）证明见解析（2）11（3）62【解析】【分析】（1）用反正法证明即可；（2）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量求解即可；（3）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解余弦值，进而可知正弦值，利用向量的模长公式求解即可.【小问1详解】由题意假设存在,a b ∈R ，使得OR aOP bOQ =+成立，则()()()2,1,11,0,10,1,1a b =-+-，即()()2,1,1,,a b a b =--，可得2,1,1,a b a b =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩此方程组无解，所以假设不成立，故,,OP OQ OR 不共面．【小问2详解】由题意可得()()()1,0,1,1,1,2,3,1,0OP PQ PR =-=-= ，设平面PQR 的法向量为 =s s ，所以20,30,x y z x y +-=⎧⎨+=⎩令1x =-，则3,1y z ==，故平面PQR 的一个法向量为()1,3,1n =-，故点O 到平面PQR 的距离21111OP n d n ⋅== ．【小问3详解】设,OP n 的夹角为α，则cos OP n OP nαα⋅==== 所以min π2θα=-，所以OS OP PS =+=2=．19.现定义：若圆A 上一动点M ，圆A 外一定点N ，满足MN 的最大值为其最小值的两倍，则称N 为圆A 的“上进点”．若点G 同时是圆A 和圆B 的“上进点”，则称G 为圆“A B ⊗”的“牵连点”．已知圆221:(1)(1)3A x y +++=．（1）若点C 为圆A 的“上进点”，求点C 的轨迹方程并说明轨迹的形状；（2）已知圆22:(2)(2)1B x y -+-=，且,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”．（ⅰ）求直线PQ 的方程；（ⅱ）若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线1:3l y kx =+与H 交于,I J 两点，探究当k 不断变化时，在y 轴上是否存在一点W ，使得0IW JW k k +=（IW k 和JW k 分别为直线IW 和JW 的斜率）恒成立？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，点C 的轨迹是以()1,1A --为半径的圆．（2）（ⅰ）0x y +=；（ⅱ）存在，()0,3W 【解析】【分析】（1）由“上进点”的定义知C 是圆A 的“上进点”，则()2CA r CA r +=-，（其中r 是圆A 的半径），由此得点C 的轨迹.（2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，则,P Q 均同时为圆A 与圆B 的“上进点”，所以,P Q 应为圆A 、圆B 的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线PQ 的方程；（ⅱ）先求出圆H 的方程，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠，假设y 轴上存在点()0,W t ，使得0IW JW k k +=.则1212t 0y t y x x --+=，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩结合韦达定理可求解.【小问1详解】因为点C 为圆A的“上进点”，所以233CA CA ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，即CA =，所以C 的轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，所以点C 的轨迹是以()1,1A --【小问2详解】（ⅰ）∵P 为圆“A B ⊗”的“牵连点”，∴P 同时为圆A 与圆B 的“上进点”，由P 为圆B 的“上进点”，得()121PB PB +=-，所以3PB =，即点P 在圆22(2)(2)9x y -+-=上，由P 为圆A 的“上进点”，得点P 在圆22(1)(1)3x y +++=上；∴点P 是圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的交点．因为,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，所以直线PQ 即为圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的公共弦所在直线，两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=．（ⅱ）设22(1)(1)3x y +++=的圆心为()1,1S --22(2)(2)9x y -+-=的圆心为()2,2T ，半径为3．直线ST 的方程为y x =，与y 0x +=联立得PQ 的中点坐标为()0,0，点S 到直线0x y +=的距离为=，则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=．假设y 轴上存在点()0,W t 满足题意，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠．则0IW JW k k +=，即1212t 0y t y x x --+=，整理得()()21120x y t x y t -+-=．将11223,113y kx y kx =+=+，代入上式可得211211033x kx t x kx t ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭①，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()222810,Δ039k x kx ++-=>，所以1212222839,11k x x x x k k -+=-=++，代入（1）并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =.故y 轴上存在点()0,3W ，使得0IW JW k k +=恒成立.。