黑龙江省大庆外国语学校高中数学第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质练习2新必修2

第二章 2.3 2.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 ( C )A．平行B．异面C．垂直D．不相交[解析] ∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a.2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. ( C )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析] ∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么 ( C )A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PA≠PC[解析] ∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB.又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC.∴PA＝PA＝PC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 ( B )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FH[解析] 因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．下列命题正确的是 ( A ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③C ．②③④D ．①②④[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A ． 二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为__4__.[解析] 如图，设AB 的中点为M ，分别过A 、M 、B 向α作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4.8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是__23__. [解析] 如图，由已知得PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴PA ⊥平面PBC .又PB ⊥PC ，PB ＝PC ，BC ＝2， ∴PB ＝PC ＝ 2.∴V P －ABC ＝V A －PBC ＝13PA ·S △PBC ＝13×2×12×2×2＝23.三、解答题9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.[解析] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB ∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析] (1)连接C1D.∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1、AE、D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.B级素养提升一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ( C )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是 ( D )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.其中正确的个数为 ( C )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC .∵PA 垂直于⊙O 所在的平面，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF ，∴③正确．又AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，∴①正确．又AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，∴EF ⊥PB ，∴②正确．若AE ⊥BC ，则由AE ⊥PB ，得AE ⊥平面PBC ，此时E 、F 重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C ．二、填空题4．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__6π__.[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC .∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心．又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝6， ∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×(62)3＝6π.5．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__3 cm__.[解析] 如图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ， 又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ′，G ′∈C ′E ′，EE ′＝12(A ′A ＋B ′B )＝52，CC ′＝4，CG ︰GE ＝2︰1，在直角梯形EE ′C ′C 中，可求得GG ′＝3.C 级 能力拔高1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点.(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值． [解析] (1)设点O 为AC 、BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC . 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB ·sin60°＝ 3. 在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433. 所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋32＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155. 从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》单元测试6第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴，又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ．答案：111∶∶第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） 求线段MN 的长．（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=þ； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ．答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //． PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//． 1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上答案：Ｃ．第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ；（２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１） 求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ； （２） 设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分．答案：证明：（１）∵E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA的中点．，∴//．因此，E，F，G，H共面．//，EH FGEH CD∴//，FG CD∵//，CD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，CD EH∴//平面EFGH．同理AB//平面EFGH．CD=．（２）设PQ平面EFGH＝N，连接PC，设PC EF M△所在平面平面EFGH＝MN，PCQ∴//．∵//平面EFGH，CQ⊂平面PCQ，CQ MNCQ△是的中位线，∵是ABCEF∴是PC的中点，则N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分．M第14题. 过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（）Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点Ｃ．都相交但不一定交于同一点Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第15题. a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）Ａ．过A且平行于a和b的平面可能不存在Ｂ．过A有且只有一个平面平行于a和bＣ．过A至少有一个平面平行于a和bＤ．过A有无数个平面平行于a和b答案：Ａ．第16题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E 且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．答案：20．第17题. 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且EFGH 为菱形，若AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC m =，BD n =，则AE BE =： ．答案：m n ∶．第18题. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60þ的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面EFGH EF =，BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形EGFH 为平行四边形．（２）解：∵AD 与BC 成60þ角， ∴60HGF ∠=þ或120þ，设:AE AB x =，∵EF AEx BC AB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-， 得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形þ(1)ax a x =⨯-22()x x =-+2211()24x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦． 当12x =时，2S =最大值，即当E 为AB2．第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于AB C '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' ．答案：425∶第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE ME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第21题. 已知平面α//平面β，AB ，CD 是夹在两平行平面间的两条线段，A ，C 在α内，B ，C 在β内，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE EB CF FD mn ==∶∶∶．求证：EF //平面α．答案：证明：分AB ，CD 是异面、共面两种情况讨论． （１） 当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB CF FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２） 当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // 交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH m n =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（ ）． Ａ．4a Ｂ．2aＣ．32aＤ．周长与截面的位置有关答案：Ｂ．第24题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且:PE EA BF =答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EAFD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ， 又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第26题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截得11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ．第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -， 求证：平面11AB D //平面1C BD ．答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体， 所以1111D C A B //，1111D C A B =． 又11AB A B //，11AB A B =， 所以11D C AB //，11D C AB =， 所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D AD B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外． 求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ． 因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //． 因为a b //，所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄， 所以b α//．第29题. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面AB C '''．答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''．进而可证平面ABC //平面ABC '''．第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是（ ） Ａ．直线a 与平面α内的一条直线平行 Ｂ．直线a 与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a 与平面α内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线a 与平面α内的无数条直线平行答案：Ｃ．。

一、学习目标：1.知识与技能（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.2.情感态度与价值观（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （2）让学生亲自从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律.二、学习重、难点1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

三、知识链接：直线与平面垂直的判定定理符号语言：平面与平面垂直的判定定理符号语言：线面角：二面角：四、学习过程：问题1:如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：线面垂直⇒线线平行合作探究: 设直线a ,b 分别在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中两个不同的平面内,欲使b ∥a ,a 、b 应满足什么条件？问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD －A'B'C'D ’中，平面A'ADD ’与平面ABCD 垂直，直线A'A 垂直于其交线AD ，平面A'ADD ’内的直线A'A 与平面ABCD 垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD ，AB ⊂α，AB ⊥CD ，AB ∩CD ＝B ，研究直线AB 与平面β的位置关系。

五、达标训练：A1. 71页练习1.2⊥a ⊥αa αa αa α⊥a α⊂a αa α⊂a a M ⊥⇒a a ⇒⇒a a N M N φ⊄⇒⋂≠a a a a a六、小结与反思直线与平面、平面与平面垂直的性质定理线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.3.1 直线与平面垂直的判定》学案一、学习目标:知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法；过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。

二、学习重、难点学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、知识链接：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 四、学习过程：自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义A 问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆AB 与它在地面上的影子BC 所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？ A 问题2、直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

符号语言： 图形语言:思想: 直线与平面垂直 ⇒直线与平面垂直A 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？a l l a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭是平面内任一直线αlP2（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若αα⊂⊥a l ,，则a l ⊥2、直线与平面垂直的判定定理A 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）（图1） （图2） （1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？A 问题4、直线与平面垂直的判定定理。

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》一课一练2一、选择题1、直线与平面平行的充要条件是 （ ）A 、直线与平面内的一条直线平行B 、直线与平面内的两条直线平行C 、直线与平面内的任意一条直线平行D 、直线与平面内的无数条直线平行2、直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ）A 、只有一条，但不一定在平面α内B 、只有一条，且在平面α内C 、有无数条，但都不在平面α内D 、有无数条，且都在平面α内3、若a ⊄α，b ⊄α，a ∥α，条件甲是“a ∥b ”，条件乙是“b ∥α”，则条件甲是条件乙的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ）A 、0个B 、1个C 、无数个D 、以上都有可能5、若//,l m αα⊂，则l 与m 的关系是 （ ）A 、//l m ；B 、l 与m 异面；C 、l m φ≠；D 、l m φ=6、a,b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面 （ ）A 、有且只有一个B 、至少有一个C 、至多有一个D 、只能有有限个7、设AB,BC,CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过他们的中点的平面和直线AC 的位置关系是 （ ）A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、AC 在此平面内二、判断题8、过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ）9、过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ）三、填空题 10、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可能有________________个。

四、解答题11、P 是平行四边形ABCD 外的一点，Q 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BDQ ．12、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AP ＝B 1Q ，N 是PQ 的中点，M 是正方形ABB 1A 1的 中心．求证：(1)MN ∥平面B 1D 1；(2)MN ∥A 1C 1．13、已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC ＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．参考答案一、选择题1、D；2、B；3、A；4、D；5、D；6、B；7、A二、判断题8、正确9、错误三、填空题10、4个四、解答题11、证明：如图，连结AC交BD于O∵ABCD是平行四边形，∴AO＝OC连结OQ，则OQ⊂平面BDQ，且OQ是△APC的中位线∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外∴PC∥平面BDQ．12、证明：如图(1)连结PM交A1B1于E，连结AB1，则必过M．在△APM和△B1EM中，∠PAM＝∠EB1M∠AMP＝∠B1MEAM＝MB1∴△APM≌△B1EM∴AP＝EB1，PM＝ME，即M为PE的中点，又N为PQ的中点，∴MN∥EQ，而EQ⊂面B1D1，∴MN∥平面B1D1．(2)∵EQ∥A1C1，MN∥EQ由平行公理得MN∥A1C1．13、证明：如图作MP∥AB交AD于P，NQ∥AB交AF于Q，则MP∥NQ，由于CD NQ AB NQ FB FN AC AM CD MP ==== 所以MP ＝NQ ，又已证MP ∥NQ ，则MNQP 是平行四边形，则MN ∥PQ ，又因为MN 不在平面ADF 上，PQ 在平面ADF 内，则MN ∥平面ADF ．14、解：根据点A 、线段BC 和平面α之间的不同位置关系，本题分三种情况(1)如下图∵ BC ∥α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α＝EF∴ BC ∥EF∴EG BC AE AC CE AC DF AD ==, ∴ cb b CE AC ACc b CE AC +=+=,， 即c b b AE AC +=，又EGBC AE AC = ∴ EG ＝bc b a )(+ (2)如下图∵ BC ∥α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α＝EF∴ BC ∥EF∴ADAF AB AE BC EG ==，∴ AF ＝DF -DA ＝c -b ∴ EG ＝b b c a AD BC AF )(-=• (3)如下图∵ BC ∥α，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩α＝EF∴ BC ∥EF∴ ADAF AB AE BC EG == ∴ AF ＝DA -DF ＝b -c ∴ EG ＝b c b a AD BC AF )(-=• 15、证明：EFGH 是平行四边形⇒BD ∥面EFGH ，同理可证AC ∥面EFGH ．。

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》单元测试3一、选择题1、a∥β，则a平行于β内的(D )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线2、如果直线a∥平面，那么直线a与平面内的(D )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交3、m、n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的 ( )A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、直线a∥面α，面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )A、全平行B、全异面C、全平行或全异面D、不全平行也不全异面5、直线a∥平面，平面内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A、至少有一条B、至多有一条C、有且只有一条D、不可能有6、a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( )A、过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B、过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C、过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D、过a可以并且只可以作一个平面与b平行二、填空题7、若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且 a⊂β，b⊂α，且α∩β=c，则 a、b 的位置关系是8、若直线 a ∥平面 α，直线b∥ 平面β，a ⊂β，b ⊂α,则a 、b 的位置关系是＿三、判断题 9、//a b b α⎫⎬⊂⎭⇒ a∥α ( )10、若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a∥α （ ）；三、解答题11、如图，异面直线a 、b ，a A ∈，b B ∈，H 为AB 中点，α∈H ，α//a ，α//b ，a P ∈，b Q ∈，N PQ =⋂α，求：N 为PQ 中点。

12、三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

13、a 、b 异面直线，P 为空间任一点，过P 作直线l 与a 、b 均相交，这样的直线可以作多少条。

数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》教案一、教材分析（一）、教材的地位与作用选自人教A版普通高中课程标准试验教科书数学必修二第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质。

本节课内容是立体几何的核心内容，是平面内垂直关系的拓展，是在探究完直线、平面平行的判定及其性质之后学习的，在此基础上进一步地探究直线、平面垂直的判定及其性质，再更进一步地研究线面角、二面角的求法。

本节课内容是教学大纲和考试大纲要求掌握的重要知识点，是高中数学的重要内容之一，是高考中的必考点和热点内容。

它的地位作用可以从以下三个方面来看：1、本节课内容在高考中具有重要的地位．一方面空间角的计算是历年高考的必考内容，在三类题型中都可以出现，把线面、面面的位置关系进行定量的描述研究。

另一方面本节课内容中的位置关系判断与证明也一直是高考的必考点。

2、本节课内容是培养学生探究能力的良好题材．学习本节内容让学生亲身体验知识、方法的形成过程，并能灵活运用知识解决问题．这些都有助于学生探究意识的培养以及数学能力的提高．3、本节课内容是培养学生数学思想的良好素材。

通过本节内容的学习，培养学生公理化思想、转化与化归等数学思想以及严谨的逻辑证明的研究方法。

(二)、教学内容总体教学目标根据教学大纲、考试大纲的要求，新教材的特点、高效课堂的理念以及所教学生的实际情况确定教学目标如下：1、知识与技能（1）、理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的命题，理解掌握直线与平面所成的角的定义及求法；（2）、正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；会用几何法求二面角。

掌握两个平面垂直的判定定理及其应用；(3)、使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解决一些问题；掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互转化。

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角” “两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】 重点： 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】 实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】 空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l 和平面α内的 ，我们就说直线l 和平面α互相垂直，记作 ，其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的 , 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 . 例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A 1FD 11D A B C OE P例5.正四棱锥P-ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P-BC -D 的大小.三.课堂检测1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ）A ．只有一条B ．有无数条C ．所有直线D ．不存在2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ） ①若n m ⊥则,//βα②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥ ④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列命题，其中正确的命题有①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：平面PAC ⊥平面BDE ．四.归纳小结五.课外作业1.已知直线a 、b 和平面βα,，下列命题中错误的是（ ）A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,//B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，PA 和l 所成的角为450，PA 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ） A ．450 B ．300 C ．600 D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π， 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB .（1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱PA ⊥底面ABCD（1）当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例2. 33 例4.（2）900 例5. 450 三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD ⊥五.课外作业62a = (2)M 为中点时 （3）4a ≥。

数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》练习4一、选择题1、一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（）A、（0º，90º）B、[0º，90º]C、[0º，180º]D、[0º，180º)2、两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（）A、0条B、1条C、2条D、无数条4、已知平面α的斜线a与α内一直线b相交成θ角，且a与α相交成ϕ1角，a在α上的射影c与b相交成ϕ2角，则有（）A、coSθ=coSϕ1coSϕ2B、coSϕ1=coSθcoSϕ2C、Sinθ=Sinϕ1Sinϕ2D、Sinϕ1=SinθSinϕ25、△ABC在平面α内，点P在α外，PC⊥α，且∠BPA=900，则∠BCA是 ( )A、直角B、锐角C、钝角 D 、直角或锐角6、正方体ABCD-A1B1C1D1中，与A D1垂直的平面是 ( )A、平面DD1C1CB、平面A1DB1C、平面A1B1C1D1D、平面A1DB7、菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是 ( )A、平行B、相交C、垂直相交D、异面垂直8、与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有（）A、四个B、5个C、6个D、7个二、填空题9、设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 .10、一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面α所成的角是 .11、若10中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面α所成的角是 .三、解答题⊥，求证：AP在平面α内12、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP l13、已知一条直线l和一个平面α平行，求证直线l上各点到平面α的距离相等14、已知：a，b是两条异面直线，a⊥α，b⊥β，α∩β=l，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B求证：AB∥l15、如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD 所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．参考答案一、选择题1、B ；2、C ；3、C ；4、A ；5、B ；6、B ；7、D ；8、D 二、填空题9、cos l θ 10、030 11、1arcsin10三、解答题12、证明：设AP 与l 确定的平面为β，如果AP 不在α内，则可设AM αβ=，∵l α⊥，∴l AM ⊥，又∵AP l ⊥， 于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ，这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， 所以AP 一定在平面α内13、证明：过直线l 上任意两点A 、B 分别引平面α的垂线B B A A '',,垂足分别为B A ',∵αα⊥'⊥'B B A A , ∴B B A A '//设经过直线B B A A '',的平面为β，B A '=αβ ∵l //α ∴ B A l ''// ∴四边形AA B B ''为平行四边形∴B B A A ='由A 、B 是直线l 上任意的两点，可知直线l 上各点到这个平面距离相等14、证明方法一：（利用线面垂直的性质定理） 过A 作b '∥b，则a ，b '可确定一平面γ ∵AB 是异面垂线的公垂线， 即AB ⊥a ，AB ⊥b ∴AB ⊥ b ' ∴AB ⊥γ∵a ⊥α，b ⊥β，α∩β=lMP Aβl αCG∴l ⊥a ，l ⊥b ∴l ⊥b ' ∴l ⊥γ ∴AB∥l证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）∵AB 是异面直线a ，b 的公垂线，过AB 与a 作平面γ，γ∩α=m ∵a ⊥α ∴a ⊥m 又a ⊥AB ，AB ⊂γ ∴m∥AB又过AB 作平面g ，g∩β=n 同理：n∥AB∴m∥n，于是有m∥β 又α∩β=l ∴m∥l ∴AB∥l15、解：（1）连结BD 交AC 于O ，∵E，F 是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C ， ∴EF⊥平面GMC ．（2）可证BD∥平面EFG ，由例题2，正方形中心O 到平面EFGABb am nlαβγg。