两角和与差的余弦

两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。

现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。

第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。

第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。

我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2ba 2＋b 2aa 2＋b 2知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β意角α，β都成立．(　×　)(4)sin α＋cos α＝sin .(　×　)3212(α＋π3)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )45(α＋π4)A ．－B.210210C ．－ D.72107210答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos2α35∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)π4π43522(－45)2272102．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案　12解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.123．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝.1312答案　17解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝＝.12－131＋12×1317题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ＝1，则cos 等于( )(α－π3)(α－π6)A. B.1312C. D.2233答案　D解析　∵cos α＋cos＝1，(α－π3)∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α12323232＝3(32cos α＋12sin α)＝cos＝1，3(α－π6)∴cos＝.(α－π6)33(2)化简：①sin x ＋cos x ＝.3答案　2sin(x ＋π3)解析　sin x ＋cos x ＝23(12sin x ＋32cos x)＝2sin.(x ＋π3)②sin ＋cos ＝.24(π4－x )64(π4－x )答案　sin 22(7π12－x )解析　原式＝22[12sin (π4－x )＋32cos (π4－x)]＝sin 22(π4－x ＋π3)＝sin .22(7π12－x)教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于( )(θ＋π3)(θ＋π6)A. B. C. D.12332322答案　B解析　因为sin θ＋sin(θ＋π3)＝sin ＋sin (θ＋π6－π6)(θ＋π6＋π6)＝sincos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin (θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6＝2sincos ＝sin ＝1.(θ＋π6)π63(θ＋π6)所以sin＝.(θ＋π6)332．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )35(π2，π)12A ．－ B. C. D ．－211211112112答案　A解析　∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－，tan α＝－，4534又tan(π－β)＝，12∴tan β＝－，12∴tan(α－β)＝＝＝－.tan α－tan β1＋tan α·tan β－34＋121＋(－34)×(－12)211思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)函数y ＝sin ＋sin 的最小值为( )(2x ＋π4)(2x －π4)A. B ．－22C ．－ D.23答案　C解析　y ＝sin＋sin(2x ＋π4)(2x －π4)＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x .π4π4π4π42∴y 的最小值为－.2(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝.(α＋π6)333答案　－33解析　因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，(α＋π6)3212333所以tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β1－tan αtan β－3＋331＋3×33＝＝－.－233233题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法(0，π2)正确的是( )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案　AD解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A 正确，B 错误；12∵γ∈，(0，π2)∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，(0，π2)∴0<β－α<，π2∴β－α＝，π3即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( )233A. B.1413C. D.1253答案　B解析　∵C ＝120°，∴tan C ＝－.3∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝，3tan A ＋tan B ＝(1－tan A tan B )，3又∵tan A ＋tan B ＝，233∴tan A tan B ＝.13延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于( )A ．45° B ．135°C ．150° D ．30°答案　A解析　在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝＝－1＝－tan C ，tan A ＋tan B1－tan A tan B 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .3π4答案　2解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，(－3π4)tan α＋tan β1－tan αtan β所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝.答案　－12解析　∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，12∴sin(α＋β)＝－.12思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2　(1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝22，则a ，b ，c 的大小关系是( )1－tan239°1＋tan239°A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案　D解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)22＝sin 56°－cos 56°2222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈上单调递增，[0，π2]所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案　4解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三　角的变换问题例3　(1)已知α，β∈，若sin＝，cos ＝，则sin(α－β)的值为( )(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513A. B.16653365C. D.56656365答案　A解析　由题意可得α＋∈，π6(π2，π)β－∈，5π6(－π2，0)所以cos ＝－，(α＋π6)35sin＝－，(β－5π6)1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－×＋×45513(－35)(－1213)＝.1665(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案　－1　12解析　∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.－1－(－3)1＋(－1)×(－3)12教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.4355(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tan α＝，43tan α＝，sin αcos α所以sin α＝cos α.43因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，925因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－.725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，55所以sin(α＋β)＝＝，1－cos2(α＋β)255因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，43所以tan 2α＝＝－，2tan α1－tan2α247因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－.211思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－α＋β2α－β2π4π2等．(π4－α)跟踪训练3　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.551010答案　π4解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，1010所以cos(α－β)＝.31010又sin α＝，55所以cos α＝，255所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝，cos β＝.π243210答案 －4522解析　因为0<α<，且tan α＝，π243所以sin α＝，cos α＝，4535由0<α<<β<π，π2则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，210则sin(β－α)＝，7210所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－.2103572104522课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ B ．－2－33C.－2 D ．－33答案　B解析　tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝＝－2－.4＋23－232．已知点P (x ，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos 等于( )213(π6＋α)A ．－B.3＋2263＋226C.D.3－22622－36答案　A解析　因为点P (x ，2)是角α终边上一点，2则有cos α＝＝，xx 2＋(22)2xx 2＋8而cos α＝－，13于是得＝－，解得x ＝－1，xx 2＋813则sin α＝＝，22x 2＋8223因此，cos ＝cos cos α－sin sin α(π6＋α)π6π6＝×－×32(－13)12223＝－，3＋226所以cos ＝－.(π6＋α)3＋2263.等于( )sin 10°1－3tan 10°A ．1 B.14C. D.1232答案　B解析　sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)＝sin 20°4sin (30°－10°)＝.144．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )5531010A. B.或3π4π43π4C. D ．2k π＋(k ∈Z )π4π4答案　C解析　由sin α＝，cos β＝，5531010且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，2551010故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×25531010551010＝，22又0<α＋β<π，故α＋β＝.π45．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案　BCD解析　对于A ，方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.322212226＋24方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A 错误．223222126＋24对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C 正确．12对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D 正确．126．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )55513A ．sin 2α＝B ．cos(α－β)＝121319565C ．cos αcos β＝D ．tan αtan β＝8565118答案　AC解析　因为cos(α＋β)＝－，55cos 2α＝－，其中α，β为锐角，513所以sin 2α＝＝，故A 正确；1－cos22α1213因为sin(α＋β)＝，255所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，(－513)(－55)121325529565故B 错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]12＝＝，12(－55＋29565)8565故C 正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]12＝＝，12[29565－(－55)]21565所以tan αtan β＝，故D 错误．2187．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案　sin(α＋γ)解析　sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝.(3π4，π)35(β－π4)1213(α＋π4)答案　－5665解析　因为α，β∈，(3π4，π)所以<α＋β<2π，3π2<β－<，π2π43π4因为sin(α＋β)＝－，35sin＝，(β－π4)1213所以cos(α＋β)＝，45cos＝－，(β－π4)513所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin (β－π4)(β－π4)＝×＋×45(－513)(－35)1213＝－.56659．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值．π2(α－β2)19(α2－β)23解　∵0＜β＜＜α＜π，π2∴－＜－β＜，π4α2π2＜α－＜π，π4β2∴cos ＝＝，(α2－β)1－sin2(α2－β)53sin＝＝，(α－β2)1－cos2(α－β2)459∴cos ＝cosα＋β2[(α－β2)－(α2－β)]＝cos cos ＋sin sin(α－β2)(α2－β)(α－β2)(α2－β)＝×＋×(－19)5345923＝，7527∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.α＋β249×572923972910．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.3513(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.(0，π2)π2π2又∵tan(α－β)＝－＜0，13∴－＜α－β＜0.π2∴sin(α－β)＝－.1010(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.31010∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.3545∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.453101035(－1010)9105011．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan 等于( )(π2－α)(π4＋α)A ．－3B.13C ．－D ．313答案　C解析　由cos ＝2cos(π－α)得(π2－α)sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ＝(π4＋α)tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝＝－.1－21－1×(－2)1312．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．3sin x ＋3cos x ＝3sin1555(x ＋π6)C ．f (x )＝sin ＋cos 的最大值为2x2x2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案　AD解析　对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，3sin x ＋3cos x ＝61555(32sin x ＋12cos x)＝6sin，故B 错误；5(x ＋π6)对于C ，f (x )＝sin ＋cos ＝sin ，x2x22(x 2＋π4)所以f (x )的最大值为，故C 错误；2对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则(－π2，π2)α＋β＝ .答案　－3π4解析　依题意有Error!所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝1.－3a 1－(3a ＋1)又Error!所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，π2π2即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.3π414．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案　[－1，1]解析　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，π2∴Error!即≤α≤π，π2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)(2α－α＋π2)＝cos α＋sin α＝sin .2(α＋π4)∵≤α≤π，π2∴≤α＋≤，3π4π45π4∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．2(α＋π4)15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )(0，π2)A. B. C. D.π3π6π4π8答案　B解析　由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y1＋tan x tan y＝＝≤，2tan y1＋3tan2y 21tan y＋3tan y33当且仅当tan y ＝时等号成立，33由于f (x )＝tan x 在x ∈上单调递增，(0，π2)又x ，y ∈，(0，π2)则x －y 的最大值为.π616.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝，点B 的纵坐标是.55210(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解　(1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝|OA |·|OM |sin α＝，1255所以sin α＝，255又α为锐角，所以cos α＝.55因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是，210所以sin β＝，cos β＝－，2107210所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.55(－7210)2552101010(2)因为sin α＝，cos α＝，25555cos(α－β)＝－，1010sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，255(－7210)5521031010所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，22因为α为锐角，sin α＝>，25522所以α∈，所以2α∈，(π4，π2)(π2，π)又β∈，(π2，π)所以2α－β∈，(－π2，π2)所以2α－β＝－.π4。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比第一种推导方法是基于向量的几何推导。

这种方法通过将两个角度看作是向量之间的夹角，利用向量内积的性质导出余弦公式。

两角和的余弦公式为cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，两角差的余弦公式为cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。

这种方法的优点是直观易懂，易于理解。

但缺点是需要较好的向量几何基础才能理解该推导过程。

第二种推导方法是基于欧拉公式的复数推导。

该方法利用欧拉公式将三角函数表示为复数形式，然后利用复数的乘法和指数形式来推导。

这种方法比较简洁，适用于求解复杂的三角函数表达式。

但需要一定的复数运算和欧拉公式的基础知识。

第三种推导方法是基于三倍角公式的代数推导。

这种方法通过将两角和或差的公式展开为三倍角公式，然后利用已知的三倍角公式反推出余弦公式。

这种方法的优点是推导过程相对简单，适用于初学者掌握。

但缺点是需要记忆和熟练掌握三倍角公式。

第四种推导方法是基于向量的三角推导。

这种方法利用向量的角度和模长来推导余弦公式。

通过构造一个合适的向量形式，然后利用向量的加法、取模和夹角余弦公式等来进行推导。

这种方法相对较为复杂，需要一定的向量运算和角度计算知识。

第五种推导方法是基于平面几何的三角形推导。

通过构造一个合适的平面几何图形，然后利用三角形的边长和角度关系来推导余弦公式。

这种方法较为直观，易于理解，适合初学者掌握。

但缺点是对几何图形的认识要求较高。

综上所述，这五种推导方法具有各自的优缺点。

对于需要快速求解问题的读者，推荐使用欧拉公式的复数推导方法或三倍角公式的代数推导方法；对于需要更深入理解的读者，推荐使用向量的几何推导方法或向量的三角推导方法；对于初学者，推荐使用平面几何的三角形推导方法。

最后，需要提醒读者的是，选择合适的推导方法需要根据自己的数学基础和学习需求来决定。

每种推导方法都有其适用的范围和难度，选择合适的方法将有助于更好地理解和应用余弦公式。

两角和与差的余弦公式余弦公式是用来计算三角形中一个角的余弦值的公式。

它通常用于计算三角形的边长或角度。

余弦公式有两种形式，分别对应两角和与差：1.两角和的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C与角A的差的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)这两个公式可以用来计算三角形中的角度，也可以用来计算边长。

下面我们通过一些例子来说明如何应用这两个公式。

例1：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=7，AC=8、计算角C的余弦值。

解：根据余弦公式，我们需要先计算出角A和角B的余弦值，然后代入两角和的余弦公式中。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)代入具体数值，得到：cos(C) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8)=(25+64-49)/80=40/80=0.5所以角C的余弦值为0.5例2：已知三角形ABC，边长分别为AB=4，AC=5，BC=6、计算角C与角A的差的余弦值。

解：根据余弦定理，我们需要先计算出角C和角A的余弦值，然后代入两角差的余弦公式中。

使用余弦定理计算角C的余弦值：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=(16+25-36)/40=5/40=0.125使用余弦定理计算角A的余弦值：cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)=(6^2+5^2-4^2)/(2*6*5)=(36+25-16)/60=45/60=0.75代入两角差的余弦公式，得到：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)= (0.125)(0.75) + (sqrt(1 - 0.125^2))(sqrt(1 - 0.75^2))综上所述，这就是两角和与差的余弦公式的用法。

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。

两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。

其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。

在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。

一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。

二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。

根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14. 2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115， 从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

两角和差余弦公式在我们的数学世界里，两角和差余弦公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。

咱们先来说说这两角和差余弦公式到底是啥。

它就是：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB 。

可别小看这几个简单的字母和符号组合，这里面的学问大着呢！我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式怎么感觉这么奇怪，到底有啥用啊？”我笑了笑，决定给他举个有趣的例子。

我说：“想象一下，你正在操场上跑步，跑道是一个圆形。

从起点出发，你先沿着顺时针方向跑了一段角度为 A 的距离，然后又接着顺时针跑了一段角度为B 的距离。

那么，你最终相对于起点的位置变化，就可以用这个两角和差余弦公式来计算啦。

”那孩子挠挠头，还是不太懂。

我接着解释：“比如说，A 角度对应的距离让你水平移动了 x 米，B 角度对应的距离让你水平又移动了 y 米，那最终你水平移动的总距离，就得用这个公式来算啦。

”经过这么一解释，不少同学开始有点感觉了。

在解决数学问题的时候，两角和差余弦公式那可是大显身手。

比如说，要求出一个复杂角度的余弦值，我们就可以把它拆分成两个已知角度的和或者差，然后用这个公式来计算。

这就像是把一个大难题拆解成了几个小问题，逐个击破，轻松多了。

而且啊，这个公式在物理当中也有用武之地。

比如研究波的叠加，或者是计算力的合成与分解，都能看到它的身影。

再回到数学里，当我们遇到三角函数的化简、求值或者证明题时，两角和差余弦公式往往能成为解题的关键。

就拿化简来说，一堆复杂的三角函数式子，只要巧妙地运用这个公式，就能化繁为简，变得清晰明了。

在实际应用中，比如在建筑设计中，计算不同角度的受力情况；在天文学中，计算天体之间的相对位置变化；在信号处理中，分析不同频率的信号叠加效果等等，两角和差余弦公式都发挥着重要的作用。

总之，两角和差余弦公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多做练习，就能发现它的魅力所在。

两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。

我们将利用这两个和与差来推导公式。

1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。

然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。

即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。

这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。

2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。

然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。

即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。

这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。

3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。

然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。

即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。