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轻松搞定摆列组合难题二十一种方法摆列合系生风趣，但型多，思路灵巧，所以解决摆列合，第一要真，弄清楚是摆列、合是摆列与合合；其次要抓住的本特色，采纳合理适合的方法来理。
复稳固1.分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第1法中有 m1种不一样的方法，在第 2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．2.分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2 步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。
分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．解决摆列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能达成所要做的事 , 即采纳分步是分 , 或是分步与分同行 , 确立分多少步及多少。
3.确立每一步或每一是摆列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及拿出多少个元素 .4.解决摆列合合性，常常与步交错，所以必掌握一些常用的解策略一 . 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解 : 因为末位和首位有特别要求 , 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 . 先排末位共有 C13而后排首位共有 C14C14A34C13最后排其余地点共有A43由分步计数原理得 C41C31 A43288地点剖析法和元素剖析法是解决摆列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素剖析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地点剖析为主 , 需先知足特别地点的要求, 再办理其余位置。
如有多个拘束条件，常常是考虑一个拘束条件的同时还要兼备其余条件练习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二 . 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
1.4 计数应用题教学目标：利用排列组合知识以及两个基本原理解决较综合的计数应用题，提高应用意识和分析解决问题的能力．教学重点：理解排列和组合． 教学难点：能运用排列和组合以及两个计数原理解决简单的实际问题．教学过程：一、知识回顾排列：1．不重复； 2．有顺序． 组合：1．不重复； 2．无顺序．公式：A C !m m n nm ＝ 性质：C C -m n m n n ＝，11C C C -+m m mn n n ＝＋．二、数学应用例1 高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？解 完成这件事情分3步进行：第一步：从30名男生中选3名男生，有330C 种方法， 第一步：从20名女生中选2名女生，有220C 种方法，第三步：将选出的5名学生进行分工，及全排列，有55A 种方法．所以选法有：32530205C C A 92568000 ＝． 答 共有92 568 000种不同的选法． 例2 2名女生，4名男生排成一排． （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？解 （1）5252A A 240＝．（2）4265245652A A A A A 480或－＝．（3）2464C A 360＝或者6622A 360A ＝． 答 分别有240，480和360种不同的排法.例3 从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的有多少个？解法1 满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ×个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数有387A ×． 所以共有498A ×＋387A ×＝26 544个． 解法2 43989A 2A 26544 －＝． 答 大于13 000的五位数共有26 544个． 三、巩固练习教材P28练习第1，2，3，4，5题．四、要点归纳与方法小结1．相邻（捆绑），不相邻（插空）． 2．特殊元素（或位置）优先安排． 3．混合问题，先组后排． 4．分类组合（隔板）．。
§1.4 计数应用题(一)课时目标1.利用计数原理，解决一些简单的实际问题.2.理解解计数应用题的常用思想方法．解计数应用题，要按照元素的性质进行________，按事情发生的过程进行________；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路．一、填空题1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第1号瓶内，那么不同的放法共有__________种．(用式子表示) 2．某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内一共有________种不同的安排方法．(用式子表示)3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．4．三个人坐在八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法总数为________种．5．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．6．现从8名学生干部中选2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男同学有______人，女同学有______人．7．从5名男生和3名女生中任选3男2女分别参加不同的学科兴趣小组，则有________种不同的安排．8．从数集{－1,0,1,2,3}中任取3个数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________条与x轴正、负半轴都有交点的不同的抛物线．二、解答题9．A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，问：一共有多少种不同的排法？10．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，问：一共有多少种不同排法？能力提升11．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？(用数字作答)12．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的．现打算用编号①，②，③，④的仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同的放法有多少种？1．解计数应用题，要针对特殊的元素或位置进行分类或分步．2．几类特殊问题：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．1．4 计数应用题(一)答案知识梳理分类分步作业设计1．C18A59解析第一步：从去掉甲、乙的8种种子选1种放入第1号瓶子内；第二步：再从剩下的9种种子中选5种放入剩余的5个瓶子中，∴共有放法C18×A59种．2．C118A717解析先安排人数较多的学校，共有C118种方法；在剩余的17天中任选七天安排其余学校，A717种，∴共有C118A717种不同的安排方法．3．1 260解析C29C37C44＝1 260(种)．4．24解析可使用插空法，余下的五个座位形成6个空，从中间的四个空中任选3个排3个人即可，有A34＝24(种)坐法．5．1206．3 5解析设男同学n名，则C2n C18－n A33＝90.∴n＝3.7．3 600解析C35×C23×A55＝3 600.8．189．解A，B两种商品捆绑在一起，看成一个商品，与E形成三个空档，将C，D插入，有A23种，C，D内部排列有A22种，A，B排列有A22种，所以共有A23A22A22＝24.10．解从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有C23A22＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24(种)排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法．由分类计数原理，知共有24＋12＋12＝48(种)．11．解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C23A33C14＋A33C13＝90(种)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C23A33C14＋C13C23A33C13＝234(种)，所以共有90＋234＝324(个)．12.解如图所示，PA只能与BC或CD所代表的化工产品放在一起，若PA与BC放在一起，则一定有PD与AB，PC与AD，PB与CD分别放在4个仓库里，则有A44＝24(种)不同的放法．同理PA与CD时，也有24种不同的放法，由分类计数原理知共有24＋24＝48(种)不同的放法．。
隔板法在排列组合中的应用在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。
则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C92=36（个）。
实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。
下面举例说明。
技巧一：添加球数用隔板法。
○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。
［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解的个数了，故解的个数为C122=66（个）。
［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法：例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C133=286（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有C133=286（种）。
［点评］两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例4. 为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？［分析］记两个小品节目分别为A、B。
“隔板法”及其应用排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
例1、将7个相同的球放入4个不同的盒子中，（1）不出现空盒时的放入方式共多少种？（2）任意放入时的方式共有多少种？该题有多种解法，先介绍其中的“隔板法”。
解：（1）将7个相同小球一字排开，在其中间的6个空格中加入无区别的3个“隔板”将球分成四份。
故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法，则不同的放法共有2036==C N 种。
（2）每种放法对应于将7个相同小球与3个相同“隔板”进行的一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有120310==C N 种放入的方式。
思维启迪 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即“n 个相同元素有序分成m 组（每组的任务不同）”的问题一般可用“隔板法”解，即（1）当每组含元素数目至少一个时，其不同分组方式为11--=m n C N 种，即给n 个元素的中间1-n 空格加入1-m 个“隔板”。
（2）任意分组，可出现某些组含元素为0个时，其不同分组方式为11--+=m m n C N 种，即将n 个相同元素与1-m 个相同“隔板”进行排序，在1-+m n 个位置中选1-m 个安排隔板。
例2、将10个优秀的指标分配给3个班级，（1）每班至少一个，则共有多少种分配方法？（2）任意分配共有多少种分配方法？（3）若班级为一、二、三班，若名额数不小于班级数，则共多少种分配方法？ 分析：由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子模型。
可采用“隔板法”。
（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有3629==C N 种分配方法。
（2）排隔板，即10个指标和2个隔板，共12个位置选2个放隔板，共有66212==C N 种分配方法。
（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的4个优秀名额用插隔板法，共有1025==C N 种分配方法。
学业分层测评（建议用时：45 分钟）[学业达标]一、填空题1．从乒乓球运动员男5 名、女6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有_________ 种．【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 &种方法；第2步, 从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A2种•故有C5A6= 300种.【答案】3002．将4 名教师分配到3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分配方案共有__________ 种．【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所中学，共有C4A3二36 种分配方案．【答案】363．在8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5 张无奖．将这8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________ 种．（用数字作答）【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C3A2= 36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A3= 24种•故共有60种获奖情况．【答案】604．某外商计划在5 个候选城市投资3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有 ___________ ．【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A|种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C2A!A4种方案.由分类计数原理得共有A5+ C2Ah4= 120（种）方案.【答案】120 种5．由1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与5 相邻的六位偶数共个. 【导学号：29440020】【解析】分两类：若1与3相邻，有A?C3A2A3= 72(个),若1与3不相邻，有A3A3= 36(个).故共有72+ 36= 108个.【答案】1086. 甲、乙、丙三人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_________ (用数字作答).【解析】由题意分类计数：若7 个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A7种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有种不同的站法.因此不同的站法种数是A37＋c31A27=336.【答案】3367. 某单位安排7 位员工在10 月1 日至7 日值班，每天1 人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在10 月7 日，则不同的安排方案共有_____________ 种.【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有 4 种选择，共有安排方案 A 22A 144A4= 192 种；2 1 4(2) 若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A2A4A4= 192种；(3) 若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4X A2A4A3= 192种；②若丙安排在中间5天的其它3 天,贝U丁有3种安排法，共有4x A1A3A3A I= 432 种，所有共有192+ 192+ 192+ 432= 1 008 种.【答案】 1 0088. 若集合{a，b，c，d} ={1,2,3,4} ，且下列四个关系：① a=1;②1;③ c= 2；④ 4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a, b, c, d)的个数是【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；⑴若①正确，即a= 1，则②③④都错误，即b= 1，C M2， d = 4.其中a= 1 与b= 1 矛盾，显然此种情况不存在.(2) 若②正确，即b M 1,则①③④都错误，即a M 1, C M2, d = 4,则当b = 2 时，有a= 3，c= 1 ；当b= 3 时，有a= 2；c= 1 此时有 2 种有序数组.(3) 若③正确，即C= 2,则①②④都错误，即a M 1, b= 1, d= 4,则a= 3，即此种情况有 1 种有序数组.(4) 若④正确，即d M4,则①②③都错误，即a M 1, b= 1, C M2,则当d = 2 时，有a= 3，c= 4 或a= 4，c= 3，有 2 种有序数组；当d= 3 时，有c= 4，a= 2，仅1 种有序数组.综上可得共有2+ 1 + 2+ 1 = 6(种)有序数组.【答案】6二、解答题9. 3 名男同志和3 名女同志到4 辆不同的公交车上服务，(1) 若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2) 若男女各包2 辆车，有多少种安排方法？【解】(1)先将3名男同志安排到车上有A3种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有c3种方法，还有2个女同志有A3种安排方法，故共有A3C3A I=432种安排方法.(2)男同志分2组有&种方法，女同志分2组有C3种方法，将4组安排到4 辆车上有A；种方法，故共有C3C3A4= 216种安排方法.10. 有12 名划船运动员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？【解】设集合A=｛只会划左舷的3个人｝, B= ｛只会划右舷的4个人｝, C =｛既会划左舷又会划右舷的5个人｝.先分类，以集合A为基准，划左舷的3 个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人.第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BUC中选3人，即有C9种选法.因是分步问题，所以有C3。
1 1.4 计数应用题
课前导引
情景导入
在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A 、B 两种作物,每种作物一垄.为有利于作物生长,要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有多少种?(用数字作答) 思路分析:先考虑A 种植在B 的左边的情况,有三类:A 种植在最左边一垄上时,B 有3种不同的种植方法;A 种植在左边第二垄上时,B 有2种不同的种植方法;A 种植在左边第三垄上时,B 只有1种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 相同,故共有2×(3+2+1)=12种不同的选垄方法.
答案:12.
知识预览
1.排列数与组合数的公式及性质.
m n A =__________;m n C =_______________.
答案:n (n -1)…(n -m +1)!
)1)...(1(m m n n n +-- 2.解排列组合题的“十六字方针,十二个技巧”:
(1)“十六字方针”是解排列组合题的基本规律,即_________、_________、_________、_________.
(2)“十二个技巧”是速解排列组合题的捷径,即①相邻问题_________;②不相邻问题_________;③多排问题_________;④定序问题_________;⑤定位问题_________;⑥有序分配问题_________;⑦多元问题_________;⑧交叉问题_________;⑨至少(或至多)问题_________;⑩选排问题_________;○
11_________;○12复杂问题转化法. 答案: (1)分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合
(2)捆绑法 插空法 单排法 倍缩法 优先法 分步法 分类法 集合法 间接法 先取后排法 局部与整体问题排除法。
1.4计数应用题1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．(重点) 2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点)[小组合作型](1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有________种．(3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．【精彩点拨】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．(2)“插空法”分类求解．(3)C＝0，从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A，B便可．【自主解答】(1)法一(直接法)：依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有C34A33·23个；②要1不要0的有C24A33·22个；③要0不要1的有2C24·22·A22个．故共可组成不同的三位数：C34A33·23＋C24A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．法二(间接法)：把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有C35·A33种，再正反面交换，有23种，故总数为C35A33·23，其中0在百位上时不符合要求，有C24A22·22，故可得到不同的三位数C35A33·23－C24A22·22＝432(个)．(2)分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示，或者，此时有2A33A33＝72种；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△，有4A33C12＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法．(3)因为直线过原点，所以C＝0，因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A，B便可，共有A26种不同取法，对应A26＝30条不同直线．【答案】(1)432 (2)120 (3)301．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面．2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数．[再练一题]1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________. 【导学号：29440018】【解析】 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A 25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.【答案】18有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：(1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)将6本书平均分给三个人，每人两本．【精彩点拨】【自主解答】(1)不平均分组问题．先在6本书中任取一本，作为一堆，有C16种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有C25种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C33种取法，故一共有C16C25C33＝60种不同的分法．(2)不平均定向分配问题．由(1)知，分成三堆的方法有C16C25C33种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是C16C25 C33＝60种．(3)不平均不定向分配问题．由(1)知，分为三堆的方法有C16C25C33种，但每种分组方法又有A33种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有C16C25C33A33＝360种．(4)平均分配问题．将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C26种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C24种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C22种方法，所以一共有C26C24C22＝90种方法．1．本题属于典型分配问题，(1)(2)属于逐个分配，直接应用分步计数原理．(3)采用先分组再分配的方法．2．解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配．[再练一题]2．(1)在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？(2)在本例中，若6本书完全相同，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有多少种不同的分法？【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有C46种，甲不论用哪一种方法取得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有C12种方法，甲、乙不论用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有C11种方法，所以一共有C46C12C11＝30种方法．(2)(隔板法)：把6本书排成一排摆好如图“○○○○○○”，因为书都相同，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可．所以共有C25＝10种方法．[探究共研型]探究【提示】在相邻区域涂色不相同问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进行，但不相邻区域颜色可相同，因此又要用到分类计数原理．用五种不同的颜色给图141中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【精彩点拨】(1)无限制条件的涂色问题，只要符合题意便可．(2)有限制条件的涂色问题，注意相邻区域及对称区域的颜色．【自主解答】(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×4＝80种涂法．第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260种．1．涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．2．涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．[再练一题]3．如图142所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种. 【导学号：29440018】图142【解析】先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同涂法．【答案】121．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．【解析】第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．【答案】3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．【解析】第一步，先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法．由分步计数原理得共有2C13A22C13＝36(种)分配方案．【答案】363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展览，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种.【导学号：29440019】【解析】分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内．故不同的放法种数为C18A59＝120 960(种)．【答案】120 9604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．【答案】1205．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？【解】因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
