2012高考总复习《走向清华北大》精品35

第四十二讲 抛物线班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4 B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0.过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，令x＝0得：y ＝－a2.∴12×|a |4·|a |2＝4， ∴a 2＝64， ∴a ＝±8，故选B. 答案：B2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为l ：x ＝－1，经过F 且斜率为3的直线y ＝3(x －1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A (3,23)，AK ⊥l ，垂足为K (－1,23)，∴△AKF 的面积是4 3.故选C.答案：C4．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．4个解析：经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.答案：C5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++＝0，则||||||FA FB FC ++等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)． ∵FA FB FC ++＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知||||||FA FB FC ++＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6，故选B. 答案：B6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.45B.23C.47D.12解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，另一种可能是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2(x －3)2－3，把y ＝2(x －3)2－3代入y 2＝2x ，可得2x2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝45，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x＝±2 3.故水面宽43米．答案：43米8．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为________．解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由点到直线的距离公式，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204－y 02＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个．答案：39．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程：x ＝－1，如图， 则直线AB 的方程为y ＝x －1，由21,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得 x 2－6x ＋1＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根， ∴x 1x 2＝1，x 1＝3＋2 2.根据抛物线定义，得|FA |＝x 1＋1， |FB |＝x 2＋1(x 1>x 2)，∴|FA ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝x 1＋11x 1＋1＝x 1(x 1＋1)x 1＋1＝x 1＝3＋2 2. 答案：3＋2 210．设x 1、x 2∈R，常数a ＞0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹方程是________． 解析：由y ＝x *a ，得y 2＝x *a ＝(x ＋a )2－(x －a )2＝4ax (y ≥0)． 答案：y 2＝4ax (y ≥0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB 过定点； (3)求弦AB 中点P 的轨迹方程； (4)求△AOB 面积的最小值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)． (1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2. (2)∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)． ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，∴k AB ＝2py 1＋y 2. ∴直线AB ：y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)． ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2.∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2.∴y ＝2py 1＋y 2(x －2p )． ∴AB 过定点(2p,0)．(3)如图，设OA ：y ＝kx ，代入y 2＝2px 得：x ＝0或x ＝2p k2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k . 同理，以－1k代k 得B (2pk 2，－2pk )．设中点坐标P (x 0，y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2y 0＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k .∵k 2＋1k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k 2＋2，∴x 0p＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0p 2＋2，即y 20＝px 0－2p 2.∴中点P 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.(4)设M (2p,0)，S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y 1|＋|y 2|)＝p (|y 1|＋|y 2|)≥2p |y 1y 2|＝4p 2，当且仅当|y 1|＝|y 2|＝2p 时，等号成立．评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)；②因为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都在抛物线上，故满足y 21＝2px 1，y 22＝2px 2；③利用y 21y 22＝4p 2x 1x 2可以整体得到y 1y 2或x 1x 2.12．是否存在同时满足下列条件的抛物线：①准线是y 轴；②顶点在x 轴上；③点A (3,0)到该抛物线上的动点P 的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由．解：设满足条件的抛物线存在，顶点B 在x 轴上． 设B (a,0)，以y 轴为准线的抛物线方程为y 2＝4a (x －a )，由条件知a >0.设P 是抛物线上的点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24a ＋a ，m .则|AP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24a ＋a －32＋m 2＝116a[m 2－12(a －a 2)]2＋12a －8a 2， ∴当a －a 2≥0，即0＜a ≤1，且m 2＝12(a －a 2)时，|AP |min ＝12a －8a 2. ∴12a －8a 2＝2，解得a ＝1或a ＝12.此时抛物线方程为y 2＝4(x －1)或y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.当a －a 2<0，即a >1，且m ＝0时， |AP |min ＝|a －3|＝2.∴a ＝5，此时抛物线方程为y 2＝20(x －5)， ∴存在满足条件的抛物线，其方程为y 2＝4(x －1)或y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －12或y 2＝20(x －5)．13．(精选考题·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由224y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

第二十五讲平面向量的数量积班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a －b)，则实数m的值为()A．－2B．2C．－12D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有() A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是()A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1， ∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC 中，,,AB a AC b == a ·b <0，S △ABC ＝154， |a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154， ∴sin ∠BAC ＝12， 又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°.答案：C5．(精选考题·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,OA a OB b == 则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |， sin ∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2， 所以S △OAB ＝12|a ||b | sin ∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. 答案：C 6．(精选考题·湖南)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝AC AB ，故||||AB AC AB AC = cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故||||AB AC AC AB = cos A ＝AC 2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(精选考题·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.答案：18．(精选考题·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10. 答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________. 解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC + )的最小值是________．解析：令|OM |＝x 且0≤x ≤2，则|OA |＝2－x .()2OA OB OC OA OM += ＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()OA OB OC + 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6.设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23. 故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a－b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值． 解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋ sin(－θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0， ∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。

第9章 第7节一、选择题1．(2010·安徽理)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)[答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1 ∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C. 2．(2010·全国卷Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力．在△F 1PF 2中，由余弦定理cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， 故|PF 1|·|PF 2|＝4.3．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] 由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1|→2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D.14[答案] A[解析] ∵曲线mx 2＋y 2＝1是双曲线，∴m <0，排除C 、D ；将m ＝－14代入已知方程，变为y 2－x 24＝1， 虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.5．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102 C.152 D. 5[答案] B[解析] ∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝3|AF 2|，∴|AF |1＝3a ，|AF 2|＝a ，且|F 1F 2|＝2c .∴Rt △AF 1F 2中(3a )2＋a 2＝(2c )2∴5a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝102. 6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB.12(m －a ) C ．m 2－a 2D.m －a[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，两式平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝m －a .7．(2010·辽宁理)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12[答案] D[解析] 如图，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1， ∴F 点坐标为(a 2＋b 2，0)，B 点坐标为(0，b )，渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴k BF ·⎝⎛⎭⎫b a ＝－1， 即－ba 2＋b 2·b a ＝－1， ∴a a 2＋b 2＝b 2，即ac ＝c 2－a 2，⎝⎛⎭⎫c a 2－c a－1＝0， 即e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． ∴e ＝1＋52，故选D. 8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] C[解析] 如图，当点P 、M 、N 在如图所示位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2＝6.二、填空题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b 2，0)分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案] 52121[解析] ∵(b 2＋c c －b 2)＝∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ，e ＝c a ＝521＝52121. 10．(2010·江西理)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝________.[答案] 2[解析] 由x 24－y 232＝1知a 2＝4，b 2＝32， ∴c 2＝a 2＋b 2＝36，∴c ＝6.∴右焦点为(6,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 024－y 0232＝1，(x 0－6)2＋y 02＝2x 0，解得x 0＝25或x 0＝2. ∵点A 在双曲线的右支上，∴x 0≥2，∴x 0＝2.11．在△ABC 中，BC ＝2AB ，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率是________．[分析] 先根据余弦定理用AB 、BC 表示AC ，再根据双曲线的定义和离心率的概念求解．[答案] 2＋73[解析]设AB ＝2c (c >0)，则BC ＝4c ，根据余弦定理AC ＝(2c )2＋(4c )2－2×2c ×4c ×cos120°＝27c ，根据双曲线定义，2a ＝AC －BC ＝27c －4c ，故该双曲线的离心率为c a ＝2c 2a ＝2c 27c －4c ＝17－2＝2＋73. 三、解答题 12．求下列双曲线方程(1)虚轴长为12，离心率为54. (2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)． [解析] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，解得b ＝6，c ＝54a ，∴b 2＝c 2－a 2＝916a 2＝36，a ＝8. ∴焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264－y 236＝1. 同理，可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为y 264－x 236＝1. 因此，双曲线的方程为x 264－y 236＝1和y 264－x 236＝1. (2)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14， 所以双曲线方程为x 29－y 216＝14. 即：x 294－y 24＝1. 13．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析] 设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0. 因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．14．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512PB →，求a 的值． [解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0① 由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵P A →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． ∴x 1＝512x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0，∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960， ∵a >0，∴a ＝1713. 15．(文)已知椭圆x 2a 12＋y 2b 12＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．[解析] (1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 12－b 12＝a 22＋b 22＝c 2.即a 12－a 22＝b 12＋b 22由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 12－b 12)－2(a 22＋b 22)2(a 12－a 22)＝b 12－b 22a 12－a 22＝b 12－b 22b 12＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 12＋b 22. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ ＝12(a 12－a 22)·2b 1b 2b 12＋b 22＝b 1b 2(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24， 所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24. (理)(2010·四川理)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．[解析] (1)由距离公式及距离列式并化简可得．(2)写出MN 所在直线方程，并判断K是否存在，然后运用韦达定理及MF →·FN →作出判断．解：(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2|x －12|， 化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)． (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y 得 (3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ>0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝k 2(4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4)＝－9k 2k 2－3. 因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 因此M 点的坐标为(12，3y 12(x 1＋1))，FM →＝(－32，3y 12(x 1＋1))同理可得FN →＝(－32，3y 22(x 1＋1)) 因此FM →·FN →＝(－32)×(－32)＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34(4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1)＝0 ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2， 则B (2,3)，C (2，－3)，AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为(12，32)，FM →＝(－32，32)． 同理可得FN →＝(－32，－32)． 因此FM →·FN →＝(－32)×(－32)＋(－32)×32＝0. 综上，FM →·FN →＝0，即FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .。

第二讲命题及其关系､充分条件与必要条件班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由|x-1|<2得-1<x<3.由x(x-3)<0得0<x<3.因为“-1<x<3成立”⇒“0<x<3成立”,但“0<x<3成立”⇒“-1<x<3成立”.故选B.答案:B评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件.3.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=1时,直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直;当直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直时,有a=1.故选C.答案:C评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4.x2<4的必要不充分条件是( )A.-2≤x≤2B.-2<x<0C.0<x≤2D.1<x<3解析:x2<4即为-2<x<2,因为-2<x<2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2<x<2,所以x2<4的必要不充分条件是-2≤x≤2.选A.答案:A5.(精选考题·天津)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.”答案:B6.设p:x<-精选考题或x>精选考题;q:x<-2011或x>精选考题,则¬p是¬q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵p:x<-精选考题或x>精选考题;q:x<-2011或x>精选考题,∴¬p:-精选考题≤x≤精选考题,¬q:-2011≤x≤精选考题.∵∀x∈[-精选考题,精选考题],都有x∈[-2011,精选考题],∴¬p⇒¬q,而∃x0∈[-2011,精选考题],且x0 ∉ [-精选考题,精选考题],如x0=-精选考题.5,∴¬p是¬q的充分不必要条件.故选A.答案:A二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2011·江苏金陵中学三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是____________________________.解析:x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题.由x5,1x42,x>⎧⎨⎩<或≤≤得1≤x<2,故x∈[1,2).答案:[1,2)8.设p､r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的________条件,r是t的________条件.(用充分､必要､充要填空)解析:由题意可画出图形:由图形可看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.答案:充分充要9.令P(x):ax2+3x+2>0,若对任意x∈R,P(x)是真命题,则实数a的取值范围是__________.解析:对任意x∈R,P(x)是真命题,就是不等式ax2+3x+2>0对一切x∈R恒成立.(1)若a=0,不等式仅为3x+2>0不能恒成立.(2)若980aa>-∆⎧⎨=<⎩,解得a>98.(3)若a<0,不等式显然不能恒成立.综上所述,实数a>98.答案:a>9 810.已知p:log (|x|-3)>0,q:x2- x+16>0,则p是q的________条件.解析:由log (|x|-3)>0可得0<|x|-3<1,解得3<x<4或-4<x<-3. 所以p:3<x<4或-4<x<-3.由x2- x+16>0可得x<13或x> ,所以q:x<13或x> .故p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.主人邀请张三､李四､王五三个人吃饭聊天,时间到了,只有张三､李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能来了.”主人听了随口说了句:“你看看,该来的没有来.”张三听了,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎哟,不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人的离去原因.解:张三走的原因是:“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因:“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”,李四觉得自己是应该走的.评析:利用原命题与逆否命题同真同假解题非常方便,要注意用心体会!12.已知p:113x--≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解:由113x--≤2,得-2≤x≤10.“¬p”:A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m(m>0).∴“¬q”:B={x|x>1+m或x<1-m,m>0}. ∵¬p是¬q的充分而不必要条件,∴A B.结合数轴有0,110,12,m m m >⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≥解得0<m≤3.评析:将充要条件问题用集合的关系来进行转化是解此类题目的关键.13.(精选考题·潍坊质检)设p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--⎪⎨+->⎪⎩≤ (1)若a=1,且p∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解:先解不等式,把命题p,q 具体化,第(1)问利用真值表求x;第(2)问由互为逆否命题等价确定p 、q 之间的关系,确定关于a 的不等式,问题可解.(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p 为真时,实数x 的取值范围是1<x<3.由2260280x x x x --+->⎧⎪⎨⎪⎩≤.得2<x≤3, 当q 为真时,实数x 的取值范围是2<x≤3.若p∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3.(2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p ⇒¬q,且¬q ⇒¬p,设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B,又A={x|¬p}={x|x≤a 或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≤2或x>3},则0<a≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a≤2.评析:本题中,¬p 是¬q 的充分不必要条件,从而推出集合A 与B 的关系,确定关于a 的不等式组,使问题获得解决.。

用心 爱心 专心 1 2012年数学高考模拟样题
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩瘙綂[KG-1.0mm]UB=( )
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析:对于ðU B={x|x≤1},
因此A∩ðU B={x|0<x≤1}.故选B.
答案:B
2.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:对于“x>0”⇒“x≠0”;反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.故选A.
答案:A
3.设z=1+i(i 是虚数单位),则
2z +z 2=( ) A.1+i B.-1+i
C.1-i
D.-1-i
解析:对于
2221z z i
+=++(1+i)2=1-i+2i=1+i.故选A. 答案:A
4.设α､β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l ⊂β
B.若l∥α,α∥β,则l ⊂β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β
D.若l∥α,α⊥β则l⊥β 解析:对于A ､B ､D 均可能出现l∥β,而只有C 是正确的.故选C.
答案:C
5.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=( )。