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perron-frobenius 定理Perron-Frobenius 定理是线性代数中重要的一个定理，它涉及到非负矩阵的特征值和特征向量，并且在许多不同领域都有广泛的应用，比如动力系统、图论、概率论、统计物理等等。
本文将介绍这个定理及其证明过程。
Perron-Frobenius 定理最初由 Oskar Perron（1880-1975）和 Ferdinand Georg Frobenius（1849-1917）在不同的时间独立发现，因此它也被称为 Perron-Frobenius 定理。
它的主要内容是：对于非负矩阵，存在一个唯一的最大实特征值，它的大小等于模所有特征值中最大的那个，并且这个最大特征值对应的特征向量是唯一的，并且所有的分量都是非负数。
为了更好地理解这个定理，我们需要先介绍一些基本概念和符号。
设 $A$ 是大小为$n \times n$ 的非负矩阵，即 $A_{ij} \ge 0$，其中 $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$。
另外，我们定义一个列向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，并且$\mathbf{v}$ 也是非负向量，即 $\mathbf{v}_i \ge 0$，其中 $i \in \{1,2,\dots,n\}$。
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值， $\mathbf{x}$ 是对应于 $\lambda$ 的一个特征向量，那么有 $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
首先，我们证明下面两个命题：1. 对于 $\lambda \ge 0$ 和任意非负向量 $\mathbf{v}$，有 $A \mathbf{v} \ge\lambda \mathbf{v}$，其中 $\ge$ 表示每个分量都大于等于。
证明：设 $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\\vdots \\v_n\end{pmatrix}$，则 $A \mathbf{v} = \begin{pmatrix}\sum_{j=1}^n A_{1j} v_j \\\sum_{j=1}^n A_{2j} v_j \\\vdots \\\sum_{j=1}^n A_{nj} v_j\end{pmatrix}$。
关于矩阵秩的证明-----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。
关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。
向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。
在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）r(kA)=⎩⎨⎧=≠0 00)(k k A r（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0(5) r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A即⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+B B A O A 由性质5可得r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)证：由初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B E n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩阵，C 为s ×t 阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，使 B=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-E A O OA =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T s n AA E O OE 故有r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E O C E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--D B O O C A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O B E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--D B O O C A =r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---D B O CD AB C A 故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】 红星.高等代数选讲【M 】.：机械工业，2009. 【2】钱.高等代数题解精粹【M 】.：中央民族大学，2005. 【3】徐忡，等.高等代数考研教案【M 】.;西北工业大学，2009.。
frobenius范数与迹运算
Frobenius范数和迹运算是矩阵分析中常用的两种概念。
Frobenius范数，也被称为欧几里得范数或者Hilbert-Schmidt范数，是一个矩阵的范数，记为‖A‖F。
对于一个m×n的矩阵A，其Frobenius范数定义为A的所有元素绝对值的平方和的平方根，即：
‖A‖F = √(ΣΣ|aij|^2) = √(tr(AA^T))
其中，aij是矩阵A的元素，ΣΣ表示对所有元素进行求和，tr(AA^T)表示矩阵AA^T 的迹（即主对角线元素之和）。
迹运算，记为tr(A)，对于一个方阵A，其迹定义为A的主对角线元素之和，即：
tr(A) = Σaii
其中，aii是矩阵A的主对角线上的元素。
迹运算具有一些重要的性质，例如对于任意方阵A和B，以及标量c，有：
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
tr(cA) = c*tr(A)
tr(AB) = tr(BA) （当A和B均为方阵时）
Frobenius范数和迹运算在矩阵分析、线性代数、数值分析等领域有广泛的应用。
例如，在求解线性方程组、计算矩阵的逆、计算矩阵的特征值等问题中，都需要用到这些概念。
此外，它们也在机器学习、信号处理、图像处理等领域发挥着重要作用。
* * * * 学院学生毕业论文（ 2012 届）****学院教务处制-诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信.毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与F robenius不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用．关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式；线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组．Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relationship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen value algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s application in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equalities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations.目录1 矩阵秩的性质 (2)1.1矩阵的秩的不变性 (2)1.2 矩阵的秩的一些基本性质 (7)1.3矩阵的秩与矩阵的运算 (7)1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用 (8)1.5 矩阵的秩与可逆 (12)2 求矩阵的秩 (13)3 矩阵的秩在线性代数中的应用 (13)3.1 矩阵的秩与解线性方程组 (13)3.2 矩阵的秩与向量组的相关性 (14)3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论 (15)4 矩阵的秩在解析几何中的应用． (17)4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用． (17)4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用． (19)4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用． (19)5 矩阵的秩在判定齐次M arkov链遍历性中的应用 (20)参考文献 (22)致谢 (23)矩阵的秩的性质及应用矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成，1801年德国数学家高斯(.F Gauss，)把一个线性变换的全部系数作为一个整体．1844年,德国数学家17771855爱森斯坦()F E i s s e n s t e i n 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850.,18231852年,英国数学家西尔维斯特()J a m e s J o s e p h S y l v e s t e r 首先使用,18411897了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱()A Gayley 发表《关于矩.,18211895阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m n*矩阵只能用n k*矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特()C Hermitem.,18221901使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯()..18491817F G F r o h e n i o u s m 发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．本文在 1.4提到的Sylvester与F robenius不等式分别由S y l v e s t e与F robenius在1884年及1911年给出的，百年来很多数学家研究了使其等式成立的条件，2004年，2008年，胡付高分别给出了矩阵多项式秩的S y lv e s te r与F robenius不等式成立条件：定理1.4.4，定理1.4.5.本文参考文献[1]、[3]、[9]，给出了矩阵的三种等价的定义，并且探讨了矩阵的几种重要的性质，矩阵的秩与矩阵的运算、零特征值代数重数、可逆的关系．以及矩阵的秩在线性代数，解析几何，概率论中的应用．1 矩阵秩的性质定义 1.1 一个矩阵A 中不等于零的子式的最大阶数r 叫做矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零．记为()rank A r =. 1.1矩阵的秩的不变性性质1.1.1 转置矩阵的秩相等，即()()T rank A rank A =. 定理1.1.2 初等变换不改变矩阵的秩． 证明：()1 设把一个矩阵()ij m nA a ⨯=的第i 行与第j 行交换得到矩阵B ：111111111111,n n i in j jn j jn i in m m n m m n a a a a a a a a A B a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 并且矩阵A 的秩为r ，明显地，矩阵B 的秩也为r ．设矩阵B 有s 阶子式D ，s r >．若D 不同时含有第i 行和第j 行的元素，则D 为矩阵A 的一个s 阶子式，则0D =；若D 同时含有第i 行和第j 行的元素，这是有：111111110s s s s s s sslt lt lt lt it it jt jt jt jt it jt kt kt kt kt a a a a a a a a D a a a a a a a a ===． 由此可知()()rank A rank B ≥．而我们同样可以将矩阵B 交换第i 行和第j 行可得到矩阵A ，则()()rank A rank B ≤．所以()()rank A rank B =．由此可证，第一种初等变换不改变矩阵的秩．()2设把矩阵A 的第i 行乘以不等于零的数k 得到矩阵B ．设矩阵B 有s 阶子式D ，s r >，若D 不含有第i 行的元素，则D 为矩阵A 的一个s 阶子式，则0D =；若D 含有第i 行的元素，则有：1111110s s s s sslt lt lt lt it it it it kt kt kt kt a a a a ka ka a a D k a a a a ===． 所以，()()r a n k A r a n k B≥．而将矩阵B 第i 行乘以1k得到矩阵A ，则()()r a n k A r a n k B≤．所以()()rank A rank B =．由此可证第二种初等变换不改变矩阵的秩．()3设把一个矩阵A 的第j 行乘以数k 加到第i 行而得到矩阵B ：111111n i in j jn m m n a a a a A aa aa ⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=mnm jn j jnin j i n a a a a kaa ka a a a B1111111， 并且A 的秩是r ，我们要证明，B 的秩也为r ．我们先证明，B 的秩不能超过r ．若是矩阵B 没有阶数大于r 的子式，那么它当然也没有阶数大于r 的不等于零的子式，因而它的秩显然不能超过r ．设矩阵B 有s 阶子式D ，而s r >．那么有三种可能的情况．①若D 不含第i 行的元素．这时D 也是A 的一个子式，而矩阵A 的秩为r ，但是s r >，由此知，0D =．②若D i 含第行的元素，且含第j 行的元素．这时，有111111111s s s ss s s ssht ht ht ht it jt it jt it it jt jt jt jt lt lt lt lt a a a a a ka a ka a a D a a a a a a a a ++===．③若D 含第i 行的元素，但不含第j 行的元素．这时111111111112s s s s s s s sssht ht ht ht ht ht it jt it jt it it jt jt lt lt lt lt lt lt a a a a a a a ka a ka a a a a D k D kD a a a a a a ++==+=+， 由于1D 和2D 是矩阵A 的一个s 阶子式，所以120,0D D ==．从而，0D =．由以上三种情况可知，矩阵B 的所有大于r 的子式都为0．因此，矩阵B 的秩不大于r ．既是：()()rank A rank B ≥．同样的，我们也可以对矩阵B 施行初等变换得到矩阵A ，这样就可以得到()()rank A rank B ≤．这样子我们就证明了()()rank A rank B =，既第三种初等变换不改变矩阵的秩．有以上三点可证，初等变换不改变矩阵的秩．证毕．事实上，施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵.引理1.1.1 设A 为一个m n ⨯矩阵：111212122212n nm m m n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则可通过行初等变换和第一种列初等变换将A 化成阶梯型：1010001000000000J *****⎛⎫ ⎪**** ⎪ ⎪ ⎪=** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，进而化为：()1,112,12,11000010000010000000000000r n r nr r n r r r rn c c c c I C c c ++⨯-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.证明：若是矩阵A 的元素ij a 都等于零，那么A 已有J 的形式．设某一个ij a 不等于零.必要时交换矩阵的行和列，可以将该元素为与矩阵的左上角．用1ija 乘以第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数．矩阵A 化为100B **⎛⎫ ⎪**⎪= ⎪ ⎪**⎝⎭. 若在B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B 已有J 的形式．设在B 的后1m -行中有一个元素b 不等于零.把b 换到第二行第二列的焦点的位置，然后用与上面同样的方法，可将B 化为 1010000***⎛⎫ ⎪**⎪⎪** ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭如此继续下去，最后可以得到一个形如J 的矩阵.我们只要进一步由第一，第二，第三， ，第1r -行分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二， ，第2r -行分别减去第1r -行的适当倍数，如此下去，就可以得到形如,00rr n r I C -⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵. 事实上，用初等变换将矩阵化为阶梯形，其阶梯形矩阵中非零行的个数的秩就是该矩阵的秩．由此得到矩阵秩的另一种等价的定义：定义1.2 矩阵()ij m n A a ⨯=经过初等变换所形成的阶梯型中非零行的个数成为矩阵的秩．矩阵A 的秩为r ，记为()R A r =．特别，零矩阵0的秩()0R O =．用初等变换将矩阵A 化为等价标准型000r E I ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以()rank A r =.由此得到以下定理：定理1.1.3 任意一个矩阵A 都可化为000r E I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式，称I 为A 的等价标准型，且()rank A r =.定理 1.1.4 相似的矩阵具有相同的秩，秩相同的矩阵相似.A B ⇔()()rank A rank B =.证明：若矩阵A B ,则由相似的定义，可知存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,由于矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变(下面有证明)，所以，()()()()11rank A rank T A rank TAT rank B -===.若()()rank A rank B =，设A 的等价标准型为A I ,则A A I ,B 的等价标准型为B I ,则B B I ,而()()rank A rank B =，则A B I I =,由相似的传递性，知A B .证毕.定理1.1.5 若矩阵A 与B 的Jordan 标准型都为J ,则()()rank A rank B =.证明：设1S J J J ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11i iiii i n nJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,i s = .则矩阵A与矩阵B 的初等因子都为()()()1212,,sn n n s λλλλλλ--- ，所以A B .由定理1.2知，()()rank A rank B =.证毕.由此可得到：推论1.1.1 若矩阵A 的秩为r ，则其Jordan 标准型的秩也为r . 也就是说，矩阵的三种标准型的秩都不变.定理1.1.6 合同的矩阵具有相同的秩.即若A B ≅，则()()rank A rank B =. 证明：若A B ≅，则存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =,由性质1.1.1知，()()Trank Crank C =，即TC也是可逆的.由1.3.4知，()()()TTrank C AC rank C A rank A ==.定理1.1.7 如果分块矩阵A 经过有限次分块矩阵的初等变换化为矩阵B ，则其矩阵的秩不变.1.2 矩阵的秩的一些基本性质性质1.2.1 (){}0min ,m n rank A m n ⨯≤≤ 性质1.2.2 ()()T rank A rank A =性质1.2.3 将矩阵A 划去若干行(列)得到矩阵B ,则()()rank A rank B ≥性质1.2.4 设A 为n ()2n ≥阶方阵，则()()()()*1101n rank A n rank A rank A n rank A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩. 1.3矩阵的秩与矩阵的运算性质1.3.1 ()(),00,0rank A k rank kA k ⎧≠=⎨=⎩性质1.3.2 ()()00A rank rank A rank B B ⎛⎫=+⎪⎝⎭性质1.3.3 ()()0A rank rank A rank B CB ⎛⎫≥+⎪⎝⎭性质 1.3.4 ()()(){}m i n ,r a n k A B r a n k A r a n k B ⨯≤．特别，若A 可逆，()()rank A B rank B ⨯=．证明：设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n p ⨯矩阵，并且()rank A r =，设A 的等价标准型为,,,000r r n r A m r rm r n r E I ----⎛⎫=⎪⎝⎭． 换句话说，存在m 阶初等矩阵12,,,p E E E 和n 阶初等矩阵12,,,p p q E E E ++ ，使得11p p q AE E AE E I += .所以，有：1111111111q p p q p q A p q A E E AB E E AE E E E B I E E B I B ----+++===这里1111p q B E E --+= ．显然地，1A I B 除了前r 行外，其余各行都为零，所以， ()1A rank I B r ≤．而1q E E A B 是由A B 通过行初等变换得到的，所以它们有相同的秩，这样就证明了()()rank AB rank A ≤.同理可证()()rank AB rank B ≤．如果,A B 中有一个是可逆矩阵，不妨设A 是可逆的，那么，一方面，由上面的证明过程知，()()rank AB rank B ≤，而()1B A A B-=,所以()()rank B rank AB ≤．因此，()()rank AB rank B =．证毕．将该性质推广到任意m 个矩阵的乘积的情形．任意m 个矩阵的乘积的秩不大于每一个因式的秩．性质1.3.5 若矩阵A 和B 是同型矩阵，则()()()rank A B rank A rank B ±≤±. 证明：首先证明()()()rank A B rank A rank B +≤+．由于 00000nn E AB A B E B B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以：()()()00000.nnE A BA B A B rank A B rank rank rank E B B B rank A rank B ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤=≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤+所以，()()()()r a n k A r a n k A B B r a n k A B r a n k B =-+≤-+，移项得到：()()()rank A B rank A rank B -≤-所以()()()rank A B rank A rank B ±≤±.证毕. 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用定理1.4.1 （Sylvester 不等式）设A 为s n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：（利用分块矩阵证明）由于1212000n n n ABAB A A br A r bc bc B E E B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以：000n n ABA rank rank E BE ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()()()rank AB n rank A rank B +≥+，移项得到()()()rank AB rank A rank B n ≥+-．证毕．推论1. 4.1 若矩阵A 与B 为n n ⨯矩阵，且0A B =，则()()rank A rank B n +≤. 定理1.4.3 ()Frobenious 不等式 设A 、B 、C 依次为m n ⨯、n s ⨯、s t ⨯型矩阵，则 ()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-证明：因为000st I C AB ABC AB I BBBC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,有性质1.1.3可得：()()()()0000ABAB ABC rank AB rank BC rank rank B BC BABC rank rank ABC rank B B⎛⎫⎛⎫+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤=+⎪⎝⎭移项得到()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-证毕.性质1.4.1 设矩阵A 、B 为n 阶矩阵，则()()n n rank AB I rank A I -=-()n rank B I =-.证明：因为00000nn n n nnA IB I BAB I B I I B I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由性质 1.3.2与性质1.3.4得到()000n nn n n n AB I A I B I rank AB I rank rank B I B I ---⎛⎫⎛⎫-≤≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以()()()n n n r a n kA B I r a n kAI r a n k B I-≤-+-. 性质1.4.2 若A B 、是n 阶矩阵，则()()()rank AB A B rank A rank B ++≤+. 证明：因为00000nnB I A B AB A B I B B+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()rank AB A B ++≤ ()()()000AB A BAB rank AB A B rank rank rank A rank B B B ++⎛⎫⎛⎫++≤≤=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 定理1.4.3 设()()[],,n nA Pf xg x P x ⨯∈∈，则：()()()()rank f A rank g A +()()()()rank d A rank m A =+，其中：()()()(),d x f x g x =，()m x 为()f x 与()g x 的最大公因式.证明：如果()(),f x g x 之一为零多形式，则明显的，定理成立.不妨设()(),fx g x 都是非零多项式，由多形式的性质，此时有：()()()1f x d x f x =，()()()1g x d x g x =，()()()()()d x x f x x g x μν=+，()()()()[]11,,,f x g x x x P x μν∈()()()()()d A A f A A g A μν=+.对分块矩阵()()0f Ag A ⎛⎫⎪⎝⎭做分块矩阵的初等变换()()()()()()110000000E Ef A E E A E Ag A E f A E g A E EEνμ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()1100000E Ef A A f A Ag A E g A E f A E g A E μν+⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()1100000E E f A d A E g A E f A E g A E ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()110000E f A d A E f A E g A f A E⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()()11100000d A d A d A g A f A g A f A d A m A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由定理1.1.4及性质1.3.2可得()()()()00f A d A rank rank g A m A ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()rank d A rank m A =+.证毕.由此得到 S ylvester 不等式及Frobenius 不等式等号成立条件：定理1.4.4 设()()()()()(),,,1,n n f x g x F x f x g x A F ⨯∈=∈，则：()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.证明：若()()(),1f xg x =,则()1d x =，()()()m x f x g x =，则()()()r a n k d Ar a n k E n ==，()()()()()rank m A rank f A g A =，有定理1.4.4得()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.证毕.推论1.4.2 设()()[]()()(),,,,1,n n A F f x g x P x f x g x ⨯∈∈=则()()()()rank fA rank g A n+=⇔()()0fA g A =.证明：若()()()()rank f A rank g A n +=，由定理1.4.4知()()()0.rank f A g A =所以()()0f A g A =.若()()0f A g A =,则()()()0rank f A g A =,则()()()().rank f A rank g A n +=证毕.定理1.4.5 设()()()[]()()(),,,,,1n n A F f x g x h x F x f x h x ⨯∈∈=，则：()()()()()()()()()()()()rank f A g A rank g A h A rank f A g A h A rank g A +=+.证明：由于()()(),1f x h x =，所以()()()()()(),f x g x gx h x g x=，()()()()m x f x g x h x =，由定理1.4.3，可得：()()()()()()()()()()()()rank f A g A rank g A h A rank f A g A h A rank g A +=+.证毕.推论1.4.3 设()()[],,n n i j A F f x g x P x ⨯∈∈，且()()(),1i j f x g x =，1,i m ≤≤1j t ≤≤，则()()()()1111m t m ti j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.证明：由于()()(),1i j f x g x =，则()d A E =， ()()()11mti j i j m A f A g A ===∏∏.由定理1.4.3，可得：()()()()1111m t m ti j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.典型例题分析：例1：设A 为n 阶矩阵，且2A A =，证明：()()rank A rank A E n +-=,E 为n 阶矩阵.证明：令()f x x =，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，而2A A =,则20A A -=，所以应用定理1.4.4，可得到()()()()()()()()()rank A rank A E rank f A rank g A n rank f A g A +-=+=+()()()20n rank A A E n rank A A n n=+-=+-=+=.例2：设A 为n 阶矩阵，且2A E =,证明()()rank A E rank A E n ++-=. 证明：令()1f x x =+，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理1.4.4，可得到()()()()()()2rank A E rank A E n rank A E A E n rank A E ++-=++-=+-()00n rank n n =+=+=.例3：设n n A F ⨯∈，n 为正整数，则对任意的正整数l ，k ，有：()()()1klmrank Arank A E n +-=，如果1m AA +=;()()12(2)klm m rank A E rank AAA E n ---+++++= ,如果mA E=.证明：()1令()lfx x =，()()1kmg x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理1.4.4，()()()()()()klmrank Arank A E rankf A rankg A +-=+()()()()()klmn rankf Ag A n rank A AE =+=+-()()()()()()111100k kl m ml m n rank AAA A E n rank AA E n rank n --+-=+--=+-=+=()2令()()()12(1),1klm m f x x g x xxx -+=-=++++ ，则()()(,)1f x g x =应用定理1.4.4，可到：()()()()()()12klm m rank A E rank AAA E rank f x rank g x ---+++++=+()()()()()()12klm m n rank f A g A n rankA E AAA E --=+=+-++++()()()()()111212k l m m m m n rankA E A E A AA E AAA E ---+-+=+--++++++++ ()()()()()()11121212k l mm m m m m n rank A E A A A A AAA E AAA E -------=+-++++-+++++++ ()()()()1112k l mm m n rank A E A E A AA E ---+=+--++++()0n rank n =+=以上三道例题如果用零化多项式的知识去解非常繁琐，但用 S ylvester 不等式来就非常简单且易懂.矩阵秩的不等式在解题中有很好的应用，本文就不一一说明了.1.5 矩阵的秩与可逆性质1.5.1 对于任意一个n 阶矩阵A ，以下三种说法等价()1矩阵A 可逆；()2()rank A n =；()3det 0A ≠.性质1.5.2 矩阵的行秩、列秩、秩相等.性质 1.5.3 设A 为m n ⨯阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶矩阵，则()()()()rank PAQ rank AQ rank PA rank A ===.2 求矩阵的秩.1、利用定义：（子式判别法）即寻找出矩阵中非零子式的最大阶数.2、用初等变换将矩阵化为阶梯型，数出非零行的个数，既为矩阵的秩. 3 矩阵的秩在线性代数中的应用 3.1 矩阵的秩与解线性方程组定理3.1.1（线性方程组可解的判定方法） 设n 元线性方程组A X B =，其中，11121121222212,n n m m m n m a a a b a a a bA B a a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设其增广矩阵为11121121222212n n m m m nm a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； 则有()1方程组A X B =无解当且仅当()()rank A rank A<；()2方程组A X B =有唯一解当且仅当()()rank A rank A n ==； ()3方程组A XB =有无穷多解当且仅当()()rank A rank A n =<．证明：利用上面的引理1.1.1所指出的初等变换把A 和A 化为：1,1111,112,1222,12,1,11100100010010,001001000000000000000r n r n r n r nr r rn r r r rn r m c c d c c c c d c c B B c c d c c d d +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，有()()()()()(),,rank A rank B r rank A rank B rank A rank A===≤．现在设线性方程组A X B =有解，既此时有120r r m d d d ++==== ，而,r m <或者r m =，这两种情况都有()()rank A rank B r ==，所以()()rank A rank A r ==．若方程组只有一个解，则其自由未知量的个数为零，则r n =． 若方程组有无穷多解，则r n <． 反过来，设()()rank A rank A =，则()rank B r =，则有120r r m d d d ++=== ，因而，方程组有解．若r n =，则该方程组自由未知量的个数为零，则该方程组的解只有一个． 若r n <，则该方程组有无穷多个解．由此得证．定理3.1.2（齐次线性方程组有非零解的判定方法） 一个奇次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n ．证明：当r n =时，方程组一个解，既是零解．当r n <时，方程组有无穷多解，因而它除了零解外，还有其它非零解．证毕．定理 3.1.3（齐次线性方程组的解空间的维数） 数域F 上一个n 个未知量的齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间．如果所给的方程组的系数矩阵的秩为r ，那么解空间的维数等于n r -． 3.2 矩阵的秩与向量组的相关性向量组的线性相关型理论是贯穿线性代数始终的理论主线．由于线性关系是变量比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题来解决．如果称一组向量组12,,,k u u u 是线性无关的，那么等式10kj j j c u ==∑只有12,,0k c c c = 是能成立．否则称这组向量组是线性相关的．假设这组向量组为1m +阶的列向量．这时用矩阵的形式可以将上述的等式写成10kj j j AC c u ===∑，其中()12,,k A u u u = ，()12,,,Tk C c c c = ．这时判断向量12,,,k u u u 组线性无关或相关的问题，可以转换成求方程组A C =是否有非零解的问题来讨论．结合定理5.1.2，可以得到：定理 3.2.1 一组列向量组线性无关当且仅当矩阵()12,,,k A u u u = 的秩等于k ．由此可得到矩阵秩的另一种等价的定义： 定义3.2 矩阵()ij m nA a ⨯=的行（列）向量组的极大无关组的个数成为该矩阵的秩．定理3.2.2 如果方阵n n A C ⨯∈的秩为r ，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组0A X =的解向量组中，必有n r -个是线性无关的． 3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论引理3.3.1 设n 阶方阵()ij n nA a ⨯=的特征值为12,,,n λλλ ，则()1122331nna a a a trA ++++=()1232det n A λλλλ=⨯⨯⨯⨯()30A 是的特征值的充分必要条件是detA=0.引理 3.3.2 设i λ是方阵A 的i r 重特征值（称i r 为特征值i λ的代数重数），对应有i s 个线性无关的特征向量（称i s 为特征值i λ的几何重数），则1i i s r ≤≤．定理 3.3.1 如果方阵A 的秩为R ，设A 有零特征值，且其重数为r ,则必定有：n r R n -≤<证明：因为A 有零特征值，由引理3.3.1，则有det 0A =，即R n <，不等式右边成立.先求r 重零特征值对应的特征向量组12,,i x x x ，并设该向量组中有s 个线性无关，则：()()00.I A X I A X AX λ-=-=-=由此可见，零特征值对应的特征向量既为以A 为系数矩阵的n 元齐次线性方程组的解向量．因()rank A R =，由定理5.2.2，知s n R =-，而r 既为对应于零特征值的代数重数，s 既为对应于零特征值的几何重数．由引理 3.3.2可得到r s n r ≥=-，即r n R ≥-，移项得R n r ≥-．所以不等式左边成立．推论3.3.1 如果方阵A 仅有一个零特征值，即1r =，则必有A 的秩1R n =-． 证明：因为n r R n -≤<且1r =，所以1n R n -≤<，又因为R 为矩阵A 的秩，且,,1R n n -均为正整数，所以必有1R n =-．证毕．由n r R n -≤≤移项可得到n R r -≤且零特征值代数重数r n <，则n R r n -≤<，即如果A的秩为R ，则A 的零特征值的代数重数r n R ≥-，由此可得到以下推论．推论3.3.2 如果方阵A 的秩1R =,A 的n 个特征值为12,,,n λλλ ，则必有123,0n trA λλλλ=====证明：因为,1n R r n R -≤<=，所以1n r n -≤<，而R ，n ，1n -均为正整数，类似于推论3.3.1的证明可得1r n =-．由引理3.3.1的结论()1可知112233123nn n a a a a trA λλλλ++++=++++= ，而1,2,,n λλλ 中有1n -个零，则12,,n λλλ 中只有一个非零且等于trA ．定理3.3.3 设方阵n n A ⨯的秩为R ，零特征向量代数重数为r ，几何重数为s ，则R n s =-．证明：求出矩阵A 的若尔当标准型J ，则A 的秩与J 相等，均为R ．11220,'ii J J J J J J J J J ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭． 其中12,,,i J J J 为其它非零特征值所对应的若尔当块，0J 为零特征值对应的若尔当快，设'J 的秩为'R ，则由若尔当标准型性质知，R n r =-．设0J 的秩为0R ，则必有0'R R R =+，如果方阵A 的r 重零特征值对应r 个线性无关的特征向量，即s r =，则0J 可对角化．000r rJ ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，00R r s =-=，则0'R R R n r r s n s =+=-+-=-．如果1s r =-，00100r rJ ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，01R r s =-=，则J的秩0'R R R =+1n r r s n s n r =-+-=-=-+．由此类推，如果零特征值对应的特征向量全相关，即1s =，此时0010110r rJ ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，01R r s r =-=-，则J 的秩0'1R R R n s n =+=-=-．证毕．因此，零特征值代数重数进能限定秩的范围，而在此范围内秩是由特征值的几何重数决定的．4 矩阵的秩在解析几何中的应用．将矩阵的秩推广到解析几何中，会收到很好的效果． 4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用．定理4.1.1 已知平面11111:a x b y c z d π++=与平面22222:a x b y c z d π++=，设线性方程组11112222a xb yc zd a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩ ()1的系数矩阵为A 增广矩阵为A ，则：①若()()2rank A rank B ==，平面1π与2π相交于一条直线：②若()()1rank A rank A ==，平面1π与2π重合； ③若()1rank A =，但()2rank A =，平面1π与2π平行．证明： ①若()()2rank A rank A ==，有以上的定理3.1.1，可知，线性方程组()1有无穷多解，设它的一个特解为()0000,,x y z γ=，它的导出方程组为1112220a x b y c z a x b y c z ++=⎧⎨++=⎩ ()2的系数矩阵A 的秩为2，而未知量有3个，因此方程组()2有非零解，且基础解系里解的个数为321-=．设()123,,e e e η=是导出组的一个基础解系，则方程组()1的全部解为()0010203,,k x ke y ke z ke γη+=+++，其中，k 为全体实数．由解析几何的知识知，当k 取遍全体实数是，0k γη+的轨迹为通过点()000,0,x y z γ=，且方向向量为()123,,e e e η=的一条直线．所以当()()2rank A rank A ==时，平面1π与平面2π相交于一条直线．②若()()1r a n k A r a n k A ==，此时，方程组()1有解，并且()1111,,,a b c d 与()2222,,,a b c d 成比例，于是111111112222000a b c d a b c d a b c d ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以方程组()1的一般解为1111a x b y c z d ++=，既为平面1π，因此，平面1π与平面2π重合．③若()()1,2rank A rank A ==但，此时方程组()1无解，既是平面1π与平面2π无交点，既平行．由于111,,a b c 不全为零，所以()0rank A ≠，因此只有以上三种情况．证毕． 定理4.1.2 设空间三个平面的方程分别为：111122223333;;;A xB yC zD A x B y C z D A x B y C z D ++=++=++= 系数构成的矩阵为111111122222223333333,A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则：①三平面重合的充要条件为()()1rank A rank A ==．②三平面平行的充要条件为()()1,2rank A rank A ==，且A 的任意两行不成比例．③三平面两两相异且有唯一公共点的充要条件为()()2rank A rank A ==，且A的任意两行不成比例．④三平面中有两平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是()2,rank A =并且，()3rank A =，且A 的任意两行不成比例．⑤两平面重合，且第三平面与它们平行的充要条件是：()1rank A =，()2rank A =，且A 的两行不成比例．⑥三平面有唯一的公共点的充要条件是()3rank A =． 4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用．定理4.2 设空间平面与直线的一般方程为：222211113333,A B C D A x B y C z D A B C D ++=⎧++=⎨++=⎩． 系数构成的矩阵为111111122222223333333,.A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则：①直线与平面相交的充要条件为：()()3rank A rank A ==． ②直线与平面没有公共点的充要条件为()()2,3rank A rank A == ③直线属于已知平面的充要条件为()()2rank A rank A ==． 4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用． 定理4.3 设空间两直线的一般方程分别为：1111333322224444,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=++=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩． 系数构成的矩阵为1111111222222233333334444444,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则：两直线异面的充要条件为()()3,4rank A rank A ==；两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==； 两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==； 两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==．证明：由定理 3.1.1可知,方程组A X D =有唯一解的充要条件为()()3rank A rank A ==,方程组有唯一解既是两直线相交,所以两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==.方程组A X D =有无数多解的充要条件为()()3rank A rank A =<,即两直线重合的充要条件为()()3rank A rank A =<,而由定理6.1.1知,()2rank A ≥,所以,两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==.由定理 4.1知，1113332224442A B C A B C r a n k r a n k A B C A B C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,齐次线性方程组0A X =由非零解的充要条件为()3rank A <，即()2rank A =,即两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==.5 矩阵的秩在判定齐次M arkov 链遍历性中的应用设(),ij p m m n +为M arkov 链的n 步转移概率,如果(),ij p m m n +只与,i j 及时间间距n 有关时,即称此M arkov 链是齐次的.对于齐次M arkov 链,我们常常关心它的遍历性问题.判断齐次M arkov 链{},0n X n ≥的遍历性的一个充分条件如下:引理 5.1 设齐次M arkov 链{},0n X n ≥的状态空间为{}12,,n S a a a = ,P 是它的一步转移概率矩阵,如果存在整数m ,使得任意的,i j a a S ∈,都有()0,,1,2,,ij p m i j n >=则此链具有遍历性,且有极限分布()12,,,Tn ππππ= ,它是方程组P ππ=,即1,1,2,,Nj ij i i p j n ππ===∑的唯一解,其中满足jπ概率分布条件为10,1Nj i i ππ=>=∑.由引理可知，要判断齐次M arkov 链的遍历性，通常需要找到一个正整数k ，使k 步转移概率矩阵k P 无零元.当k 比较大时，通常的处理比较繁琐而且运算量大．由引理又可知：只有当极限存在（即唯一性）时，齐次M arkov 链才有遍历性，因此可通过判断11nii P πππ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ （1） 或等价于()101n i i P E ππ=⎧-=⎪⎨=⎪⎩∑ （2）是否具有唯一解来判断齐次M arkov 链{},0n X n ≥是否具有遍历性．定理5.2 设{},0k X k ≥为具有n 个状态的齐次M arkov 链，()rank Z m =，则有：当m n =时，齐次M arkov 链{},0k X k ≥具有遍历性； 当m n <时，齐次M arkov 链{},0k X k >不具有遍历性． 其中Z 表示线性方程组（2）的系数矩阵，E 为n n ⨯矩阵．证明：因为{},0k X k ≥为具有n 个状态的齐次M arkov 链，故可设其一步转移概率矩阵为111111j n i ij in n njnn n np p p p p p P p p p ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设Q 为全是1的n 维行向量，即()111Q = ，有方程组（2）得到其增广矩阵为01P EB Q -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(3) 由定理3.1可知，当且仅当()()rank B rank Z n ==时，方程组（1）才有唯一解，结合引理的结论，可知本定理是成立的．由定理可知，在实际问题中，只要求出矩阵Z 的秩m ，判断m 和n 之间的大小，就可以判断齐次M arkov 的遍历性．参考文献[1] 张禾瑞．高等代数（第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2007.[2] 吕林根,许道子．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006.[3] 许以超．线性代数与矩阵[M]．北京：高等教育出版社，1992.[4] 李师正．高等代数解题方法与技巧［M］.北京:高等教育出版社,2004.[5] 徐仲,张凯院,陆全,冷国伟．矩阵论简明教程［M］．北京：科学出版社，2005.[6] 贾美娥．矩阵的秩与运算的关系［J］.赤峰学院学报,2010,26(9):3-4.[7] 屠伯埙．体上线性映射的子空间的维数及应用［J］.数学研究与评论.1990,10(3):327-332.[8] 周华任，廖洪林，李配军.矩阵秩的等式证法[J].教学与研究.2003,24(1):76-79.[9] David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications [M].America: PearsonEducation, 2006.[10] 钟成义，肖宏儒．方阵秩与零特征值代数重数相关性探讨[J]．高等数学研究．2009，12(1):96-97.[11] 赵为华，束剑.矩阵秩在判定齐次马尔可夫链遍历性中的应用[J].南通大学学报.2009，8（1）:80-82.[12] 王磊，赵静.矩阵秩的不等式的证明[J].滨州学院学报.2009,，25（6）：73-75.[13] 林丽没，周书明，杨忠鹏，陈梅香.F robenious不等式的等式条件与可对角化矩阵的秩等式[J].山西师范大学学报.2011,25（3）:39-42.致谢从上学期选题、收集资料到这学期写开题报告，完成初稿，到定稿，期间几个月历经喜悦、聒噪、痛苦、彷徨，在写论文时心情如此复杂，到今天随着论文的完成，都落下了帷幕.在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师杨晓鹏老师的指导与督促，同时感谢他的谅解与包容.没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文.求学历程是艰苦的，但又是快乐的．感谢我大学所有教过的老师，谢谢他们在这四年中的教诲．在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富.在此，也对他们表示衷心感谢.本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！***2012年4月09日。
Frobenius不等式的等式条件与可对角化矩阵的秩等式林丽美;周书明;杨忠鹏;陈梅香【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)003【摘要】本文从Marsaglia和Styan给出的矩阵乘积的Sylvester与Frobenius 不等式中等式成立充要条件出发，利用可同时对角化矩阵的广义逆的性质，给出了可同时对角化矩阵的Sylvester与Frobenius不等式中等式成立的一系列新的充要条件．%In this paper based on from the necessary and sufficient conditions on the equivalence of the Sylvester and the Frobenius of inequality of the rank of matrix product, which were given by Marsaglia and Styan, using the nature of the generalized inverse of simultaneous matrix diagonalization, we give a sequence of necessary and sufficient conditions on equivalence of the Sylvester and the Frobenius of inequality of the rank of simuhaneous matrix diagonalization.【总页数】4页(P39-42)【作者】林丽美;周书明;杨忠鹏;陈梅香【作者单位】福建师范大学数学与计算机学院,福建福州350007;福建师范大学数学与计算机学院,福建福州350007;莆田学院数学系,福建莆田351100;莆田学院数学系,福建莆田351100【正文语种】中文【中图分类】O151.21【相关文献】1.Frobenius不等式中等号成立的充要条件 [J], 马建荣;刘三阳;张鹏鸽2.关于矩阵Frobenius秩不等式的等式条件 [J], 龚和林;舒情;谭海女3.Frobenius不等式的临界条件 [J], 周儒省4.矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件 [J], 黄卫红;杨兴东;周月军5.除环上矩阵的子矩阵的秩的恒等式与不等式 [J], 屠伯埙因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
弗罗贝尼乌斯公式在矩阵上的应用
弗罗贝尼乌斯公式（Frobenius formula）是一种在矩阵上的应用，它可以用
来计算矩阵的特征值和特征向量。
它是由德国数学家弗罗贝尼乌斯（Frobenius）
在1890年提出的。
弗罗贝尼乌斯公式的基本思想是，给定一个n阶矩阵A，它的特征值和特征向
量可以用下面的公式表示：
λ_i=a_ii+(-1)^i*det(A_i)
其中，λ_i是矩阵A的第i个特征值，a_ii是矩阵A的第i个对角元素，A_i
是矩阵A的第i个行列式，det(A_i)是A_i的行列式的值。
弗罗贝尼乌斯公式的应用非常广泛，它可以用来计算矩阵的特征值和特征向量，这对于研究矩阵的性质和结构非常有用。
此外，它还可以用来解决线性方程组，计算矩阵的逆矩阵，求解矩阵的迹等问题。
总之，弗罗贝尼乌斯公式是一种在矩阵上的应用，它可以用来计算矩阵的特征
值和特征向量，并且可以用来解决线性方程组，计算矩阵的逆矩阵，求解矩阵的迹等问题。
它的应用非常广泛，为研究矩阵的性质和结构提供了重要的理论支持。
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