第二章 第十节 函数模型及其应用

增长型函数模型及其应用复习教学目标：1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上，学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题；2、使学生学会正确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决，提高学生数学建模、解模的能力．复习教学重点：提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力，采用研究、尝试、训练的方法解决． 复习教学难点：根据已知条件建立函数关系式，把实际问题抽象、转化为数学问题，即建立数学模型． 复习教学设计：一、基础梳理1、几种常见的函数模型(1) 一次函数模型：()()0f x ax b a b a =+≠、为常数，；(2) 二次函数模型：()()20f x ax bx c a b c a =++≠、、为常数，；(3) 指数函数模型：()()010x f x b a c a b c a a b =⋅+>≠≠、、为常数，且，；(4) 对数函数模型：()()log 010a f x b x c a b c a a b =+>≠≠、、为常数，且，；(5) 幂函数模型：()()0n f x ax b a b a =+≠、为常数，．(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，把握数学本质，选择数学模型；(2) 建模：由题设中的数量关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3) 解模：运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题；(4) 还原：回到题目本身，检验求解结果的实际意义，得出结论．二、小试身手1、(巩固对不同函数增长速度的理解)下列命题不正确的是 ( C )(A) 函数()2f x x =在()0+∞，　是增函数；(B) 函数()2x f x =在()0+∞，　是增函数； (C) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立； (D) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立． 2、(指数型函数的应用) 某林场计划第一年造林1万亩，以后每年比前一年多造林20%，则三年后一共造林 ( D )(A) 1.4万亩； (B) 1.44万亩； (C) 3.6万亩； (D) 3.64万亩．三、热点考向探究热点1、一次函数、二次函数模型例1、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润分别是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有以下公式：5x P =，Q =今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 解：设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资()3x -万元，总利润为y 万元，根据题意得：)035x y x =+≤≤，令t =，则230x t t --≤≤，　， ∴ ()2213132130555220y t t t t ⎛⎫⎡=-+=--+∈ ⎪⎣⎝⎭，， 当32t =时，max 1.05y =，此时，0.753 2.25x x =-=，　， 答：为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润是1.05万元．方法小结：利用一次函数、二次函数的单调性求最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围，对于比较复杂的形式可用换元等方法进行化简．热点二：指数函数与对数函数模型例2、某工厂一、二、三月份的某产品产量分别为1万件、1. 2万件、1. 3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y (万件)与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数或(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)，已知四月份的产量为1. 36万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：若用二次函数模拟，设()20y ax bx c a =++≠，根据题意得：142 1.293 1.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得：177202010a b c =-==，，，∴ 2177202010y x x =-++，当4x =时， 1.3y =，与四月份实际产量误差0.06万件； 若用(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)模拟，根据题意得：2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解方程组得：417525a b c =-==，，， ∴ 417525xy ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，当4x =时， 1.35y =，与四月份实际产量误差0.01万件； 故：用(c b a c ab y x 、、+=为常数)作为模拟函数较好，417525x y ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭． 方法小结：在日常生活中，增长问题常用指数函数模型和幂函数模型进行模拟，有时也可以选用对数函数模型模拟，需和实际情况进行对比，看用哪种模型更为合理．变式练习：根据统计数据发现，从2000年开始，某地区的森林面积y (万亩)与经过的年数x 的关系可用一个对数函数模型()lg 0y a x b a =+≠进行模拟，已知2002年该地区森林面积为3.6万亩，2005年该地区森林面积为4.4万亩，请据此估计该地区2020年的森林面积．(参考数据：lg 20.30≈)解：由题意得：lg 2 3.6lg 5 4.4a b a b ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩，解方程组得：23a b ==，， ∴ 2lg 3y x =+，当20x =时，()2lg 20321lg 23 5.6y =+=++≈，答：估计该地区2020年的森林面积约为5.6万亩．四、课堂教学小结：解答应用题的要求：认真审题，合理建模，仔细运算，检查作答．常见的增长类函数模型：一次、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型． 常用的数学方法：待定系数法．五、分层练习：A 级：1、(人教A 版教材第101页练习改编，检验学生对不同函数增长速度的掌握)已知()2f x x =，()2x g x =，()2log h x x =，当()4+x ∈∞，　时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是 ( C )(A) ()()()f x g x h x >>； (B) ()()()g x h x f x >>；(C) ()()()g x f x h x >>； (D) ()()()f x h x g x >>．2、(( B )(A) y a bx =+； (B) x y a b =+； (C) 2y ax b =+； (D) b y a x=+． 3、(检验学生对指数函数型模型的掌握) 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶的水只有8a ，则m = ( D ) (A) 7； (B) 8； (C) 9； (D) 10．4、(检验学生对数学建模的掌握) 商店经销一种洗衣粉，年销量为6000袋，每袋进价为2. 8元，销售价为3. 4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 袋，已知每次进货运输费用为62. 5元，全年保管费为x 5.1元，要使利润最大，每次进货量应为 500 袋．B 级：1、(2011年湖北高考，检验学生对指数型函数增长情况的综合应用)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量．已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-(太贝克／年)，则()60M = ( D )(A) 5太贝克； (B) 75ln 2太贝克； (C) 150ln 2太贝克；(D)150太贝克．2、(增长型函数模型的综合应用)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：)(1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？答案：(1)()()()⎩⎨⎧≤-≤≤+-=30020030022000300t t t t t f ＜，　，　，()()()300010015020012≤≤+-=t t t g ，　； (2) 第50天上市收益最大．六、考题赏析(2011年湖北17题) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(I) 当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(II) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．解：(I) 由题意：当()02060x v x ≤≤=时，；当()20200x v x ax b ≤≤=+时，设，再由已知得12000320602003a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，，　解得，，故函数()v x 的表达式为()()600201200202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　． (II) 依题意并由(I)可得()()600201200202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　， 当()020x f x ≤≤时，为增函数，故当20x =时，其最大值为6020=1200⨯；当20200x <≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气二、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系三、知识讲解考点1 几种常见的函数模型考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m2500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m2)．解析：选B由题意3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在H2附近时，体积变化较快；h小于H2时，增加越来越快；h大于H2时，增加越来越慢．答案：②5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，得x＝1003时，y min＝50 0003，即核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．课程小结常见函数模型的理解(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”．注意：指数函数y＝a x(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x n中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．(5)“对勾”函数模型，形如f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．31 / 31。

函数模型及其应用例谈作者：李晓萍来源：《中学教学参考·下旬》 2014年第5期甘肃庆阳理工中等专业学校（745000）李晓萍函数模型是解决复杂数学问题的有力工具。

然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且在此基础上找到最为适合的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。

本文将结合实例来具体谈谈函数模型及其应用。

一、一次函数与二次函数模型在高中数学教学中，最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型，这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点：（1）当涉及的问题可以归结为一次函数模型时，即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。

对于这样的问题，在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题；（2）当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时，通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系，需要利用二次函数模型来具体求解，此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性，最后找出相关规律让问题得以解决；（3）在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中，特别需要注意的是函数的定义域。

二、分段函数模型【例1】某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为评析：分段函数是一种非常具有代表性的函数模型，也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。

在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项：（1）当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时，应立刻想到建立分段函数模型；（2）在使用分段函数解决实际问题时，应做到思维清晰，可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理，再结合每个小问题找出各段函数的变化规律，之后再让这些分段函数汇集到一起，进行相关总结。

特别需要注意的是，分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同，对于函数的端点值的确定也要十分明确。