数据库关系代数除法讲解

关系代数的除法嘿，朋友们！今天咱来唠唠关系代数里的除法。

这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数据世界的秘密大门呢！你想想看，除法就像是一场精确的筛选。

比如说，你有一堆水果，苹果、香蕉、橘子啥的，然后你想要找出那些既能和苹果搭配，又能和香蕉搭配的水果，这时候除法不就派上用场啦！它能把那些不符合要求的统统剔除掉，只留下最精华的部分。

咱再打个比方，就好像你在找朋友。

你有一群朋友，有些喜欢打篮球，有些喜欢踢足球，然后你想找到那些既喜欢和你打篮球又喜欢和你踢足球的朋友，这不就跟关系代数的除法一个道理嘛！它能帮你从茫茫人海中精准地找到那个对的“朋友组合”。

关系代数的除法可不是随随便便就能搞定的哟！它需要你仔细琢磨，认真思考。

就跟解一道难题似的，你得一步一步来，不能着急。

有时候可能会遇到一些复杂的情况，让你觉得脑袋都大了，但是别灰心呀！只要你坚持下去，慢慢摸索，总会找到答案的。

比如说，在处理那些庞大的数据集合时，除法就像是一个厉害的过滤器。

它能把那些没用的、多余的信息过滤掉，只留下最有价值的部分。

这可多重要啊！不然面对那海量的数据，你不得晕头转向啊。

而且哦，学会了关系代数的除法，你就像是掌握了一门独特的技能。

在数据处理的世界里，你就能更加游刃有余啦！别人还在那里苦苦挣扎的时候，你就能轻松地找到答案，这多牛啊！想想看，如果没有除法，我们该怎么从那么多的数据中找到我们真正需要的东西呢？那可真是难上加难啊！所以说，除法可真是个好东西，咱可得好好珍惜它，好好利用它。

总之呢，关系代数的除法就像是一把神奇的宝剑，能帮我们在数据的海洋中披荆斩棘，找到我们想要的宝藏。

它虽然有点复杂，有点难搞，但只要我们用心去学，去理解，就一定能掌握它的精髓。

别害怕困难，别嫌麻烦，加油吧，朋友们！让我们一起在关系代数的世界里畅游，用除法这把钥匙开启更多的精彩！。

数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。

数据库关系代数关系代数是关系数据库系统查询语⾔的理论基础⼀、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、⾃然联接等操作。

五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、⾃然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表⽰先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进⾏选择或等值关联后的结果(仅筛选⾏、不筛选列)注2：⾃然连接表⽰两个关系中若有相同名称的属性，则⾃动作为关联条件，且仅列出⼀列⼆、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合⽽成的式⼦称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是⼀个关系。

可以⽤关系代数表达式表⽰对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学⽣关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND /doc/4100a9c158f5f61fb73666f5.html O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进⾏⾃然连接，然后再执⾏选择投影操作。

关系代数关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

关系代数的9种操作：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π)四个组合操作：交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷)关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例用关系代数表示数据查询的典型例子[例]设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC))(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC))由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。

这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。

πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC))（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。

πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC))（5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。

第1期2019年1月No.1January，2019无线互联科技Wireless Internet Technology广西师范大学计算机科学与信息工程学院在学生大二时会开设必修课程—“数据库原理”。

课程目标是使学生掌握数据库技术相关概念、理论和方法，并具有一定的数据库系统设计能力，为下面开发数据库应用系统打下良好的基础[1]。

课程的用书是中国人民大学王珊[2]老师的国家精品课程团队编写的教材—《数据库系统概论》，高等教育出版社出版，已经到了第5版。

教材比较简洁，比如在讲解“除”运算时，首先讲了“除”运算的定义，然后给了3个“除”运算的例题就结束了。

这个台阶跨度太大，很多学生不好理解，表现为“除”运算的题目做不出。

为了让学生上得去，好理解，老师的作用就是在中间多加几级台阶。

笔者加的第1级台阶是：讲解“除”运算的由来及用处，引发学生学习兴趣；第2级台阶：将“除”运算题目分成两类，分别讲解解决方法，对症下药；第3级台阶：及时总结，并对学生的易错点进行错误原因讲解，鼓励学生学好这个重难点。

以下为具体的授课过程。

1 关系代数中“除”运算的由来及用处探讨，引发学生学习兴趣由一道除法题引出思考：9÷2=4…1是什么意思？商等于4，表示被除数9里面包含有4个除数2。

还剩下1没有完全包含一个2，只包含了部分，所以1是余数。

即“除”有包含（覆盖）的意思。

总结推广到二维表（关系）做“除”运算，是在二维上实现包含（覆盖）的含义。

即在一个大表中找包含（覆盖）了一个小表的运算。

为了好让学生理解，补充以下例子。

补充例子（“除”运算的实际应用）如下：我们有选修情况表SCG 表（见表1），包括姓名、性别、课程名称、院系、成绩属性，若想查询有哪些同学的离散数学课程得了优且数据结构课程也是优？即，谁的选修情况包含（覆盖）了以下的CG 表（见表2），这时就需要用到除法：SCG ÷CG 。

2 将“除”运算题目分成两类，分别讲解解决方法2.1 “除”运算的定义下面给出关系代数中“除”运算的明确定义，在教材55页。

【数据库原理】关系代数篇——除法讲解陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 }a1值对应的象集为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }a2值对应的象集为{ (b3,c7) , (b2,c3) }a3值对应的象集为{ (b4,c6) }a4值对应的象集为{ (b6,c6) }关系S在B、C上的投影为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为【例题一】为了更好的理解除法的实际作用，请看下面的例题设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决)学生信息关系student（sno，sname，age，sex）学生选课关系sc（sno，cno，score）学校课程关系course（cno，cname）SQL语言中没有全称量词，具体实现时可以把带有全称量词的谓词转换为等价的带有存在量词的谓词。

解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists解决所谓forall的问题。

(1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) )Sql语句从略(2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) )Sql语句select distinct sno from sc A where not exists(select*from course B where cno in('C002','C003')andnot exists(select*from sc C where A.sno=C.sno and o=o ))也可以采用自连接select s1.snofrom (select*from sc where cno='C001')as s1, (select*from sc where cno='C003')as s2where s1.sno=s2.sno(3)求至少学习了学生S003所学课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σsno=’S003’ (sc) )select distinct sno from sc A where not exists(select*from sc B where sno='S003'and not exists (select*from sc C where A.sno=C.sno and o=o ))(4)求选择了全部课程的学生的学号解此例的等价自然语义是，输出这样的学号，不存在某门课程在他的选课记录里没有选这门课关系代数表达式：∏sno (sc÷∏cno(course) )Sql语句select distinct sno from sc A where not exists (select cno from course B where not exists(select*from sc C where C.sno=A.sno ando=o))(5)求选择了全部课程的学生的学号和姓名解关系代数表达式：∏sno,sname((student∞sc)÷∏cno(course) )Sql语句select sno,sname from student A where not exists(select cno from course B where not exists(select*from sc C where C.sno=A.sno ando=o))以上小问用group by结合count语句也是可以实现的，也更好理解一些。

数据库中的关系代数与关系演算数据库涵盖的范围广泛，其运用的逻辑学与数学原理也十分严谨。

数据库中的关系代数与关系演算两个部分，是数据库分析与设计的重要内容。

本文将讨论它们的定义、方法及应用。

一、关系代数1.1 定义关系代数是一种数学形式，是一种用来描述数据库系统中数据操作的一种标准化语言。

关系代数理论分为两部分：关系代数和关系演算。

关系代数关注的是数据在层次结构中的使用。

1.2 方法关系代数的操作一般基于及定理。

关系代数的符号及运算有选择（selection）、投影（projection）、并（union）、差（difference）、乘积（product）、联接（join）以及除（division）等符号。

通过这些操作符，可以对单个关系进行处理。

一个关系实例可以看做是一个记录的集合，而这些记录也叫作元组。

1.3 应用关系代数的应用可以用于Web数据挖掘，企业数据分析，以及管理信息系统等方面。

在大多数的数据库软件中，关系代数已经内置在了SQL语言之中。

二、关系演算2.1 定义关系演算是关系完备性理论的一种重要语言，指对关系上的操作以及使用代数符号表示的过程。

关系演算是由图灵等科学家提出的一种用来处理关系数据的操作。

这种操作是从一个关系中提取出需要的信息来处理数据的。

2.2 方法关系演算有两种基本形式，分别是元组关系演算和域关系演算。

元组关系演算是指通过运算符来生成新的元组。

而域关系演算则是指通过运算符来生成新的属性值。

2.3 应用关系演算的应用包含多个方面，如关系数据库的设计，数据库查询语言的设计等。

在关系数据库中，使用关系演算的方法可以实现对数据的查询和管理，保证数据的一致性。

在现代信息技术中，关系演算也逐渐开始应用于生产及服务领域。

三、关系代数与关系演算的联系与区别关系代数和关系演算是两个相互补充、相互影响的部分。

它们的相同点在于都是面向关系的运算，都是关系数据库的理论基础。

而它们不同的地方则是，关系代数强调的是关系运算，即加、减、交、差等运算。

因为关系被解释为某个谓词的外延，关系代数的每个运算在谓词演算中都有对应者。

例如，自然连接是逻辑AND()的对应者。

如果关系R和S分别表示谓词p1和p2的外延，则R和S的自然连接(R S)是表示谓词p1p2的外延的关系。

认识到 Codd 的代数事实上关于一阶逻辑不完备是很重要的。

实现它会引起不可R S = {r s| r R, s S}主条目：投影 (关系代数)投影是写为的一元运算，这里的是属性名字的集合。

这种投影的结果定义为当所有在中的元组被限制为集合的时候所获得的集合。

广义选择是写为 的一元运算，这里的 是由正常选择中所允许的原子和逻辑算子 (与)、(或) 和 (非)构成的命题公式。

这种选择选出 中使成立的所有元组。

主条目：重命名 (关系代数) 重命名是写为的一元运算，这里的结果同一于，除了在所有元组中的 字段被重命名为 字段之外。

它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。

连接和类似连接的运算自然连接 (⋈)自然连接是写为 (R ⋈ S ) 的二元运算，这里的 R 和 S 是关系。

[1]自然连接的结果是在 R 和 S 中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。

例如下面是表格“雇员”和“部门”和它们的自然连接:雇员NameEmpI d DeptNa meHarry 3415 财务 Sally 2241 销售 George 3401 财务 Harriet2202 销售部门 DeptNa me Manager 财务 George 销售 Harrie t 生产Charle s雇员 ⋈ 部门 NameEmpI d DeptNa me ManagerHarry 3415 财务 George Sally 2241 销售 Harriet George 3401 财务 George Harriet2202 销售Harrie t工作因为外键在相同名字的属性之间保持。

如果不是这样，外键成立于从部门.manager到Emp.emp-number，则我们必须在采用自然连接之前必须重命名这些列。