关系代数全解

【数据库复习】关系代数
关系代数
问：为何称为代数？
答：因为存在操作符和操作数，操作数为表，操作符为交、并等；
关系代数有分为基于集合的关系代数和基于包的关系代数；
关系代数的基本操作：并、选择、投影、笛卡尔积、差、重命名；
基本操作的意思是其他的操作符可以通过基本操作推出；
注意：如果我们使用并、交、差运算，必须保证R和S的属性集合是相同的，当然如果不同，也可以通过重命名操作；
补充：1.自然连接
2. θ连接
3.重命名
表达式树
基于包的关系代数
1.并
如果元组t在R中出现m次，S中出现n次，则在R∪S中出现m+n次；
2.交
如果元组t在R中出现m次，S中出现n次，则R∩S中出现min(m,n)次；
3.差
如果元组t在R中出现m次，S中出现n次，则R-S中出现(1)如果m>n，则出现m-n次；(2)如果m<>
4.消除重复操作符
δ(R) 能对关系R消除重复元组；
5.聚集操作符
SUM(A)
AVG(A)
MIN(A)
MAX(A)
COUNT(A)
其中A为某个属性；
6.分组操作符
γ
包含了以某个属性作为分组属性，还有聚集操作符；
7.排序元组
τA(R) 表示根据A属性进行排序；
8.外连接
左外连接：
右外连接：
9.扩展投影运算
关系代数表达式的分步表示
因为用一个表达式直接表示复杂的代数表达式会很不清楚，因此我们可以通过分步表示；
比如：
可以表示为：。

第3章关系代数3.1 集合运算u传统的集合运算包括:Ø并（∪）Ø交（∩）Ø差（－）Ø广义笛卡尔积（×）并运算u两个已知关系R和S的并将产生一个包含R、S中所有元组的新关系，记作R∪S。

u注意：Ø新关系中将R和S进行并运算，同时去掉重复的元组。

Ø关系R和S同构，即具有相同的属性。

差运算u两个已知的关系R和S的差，是所有属于R 但不属于S的元组的集合，记作R－S。

u注意：Ø关系R与S的差运算，即是删除关系R中属于关系S的所有元组的运算。

Ø关系R和S同构，即具有相同的属性。

交运算u两个已知关系R和S的交，是属于R而且也属于S的元组组成的新关系，记作R ∩S。

u注意：Ø关系R与S的交运算，即是选择在关系R和S中均存在的元组。

Ø关系R和S同构，即具有相同的属性。

笛卡尔积运算u两个已知的关系R和S的笛卡尔积，是R中每个元组与S中每个元组连接组成的新关系，记作R ×S。

u注意：Ø如果含有m个元组的R与含有n个元组的S进行笛卡尔积运算，得到的新关系含有m ×n个元组。

Ø该运算是一个联接运算。

3.2 特殊的关系运算u特殊的关系运算包括：Ø投影（∏）Ø选择（δ）Ø连接（wv）Ø除（÷）投影运算u投影运算，即是选择关系中若干个属性组成新的关系，并去掉重复元组，是对关系（R）。

的属性进行了筛选，记作∏Au注意：ØA即关系R的属性子列表，各属性之间可用逗号来分隔，也可用序号来标识各属性。

Ø投影运算是一个纵向的运算。

Ø投影运算是一个一元运算。

选择运算u选择是根据给定条件选择关系R中的若干元组组成新的关系，是对关系的元组进行筛。

选。

记作δFu注意：Ø选择条件F是一个逻辑表达式。

Ø选择运算是一个一元运算。

因为关系被解释为某个谓词的外延，关系代数的每个运算在谓词演算中都有对应者。

例如，自然连接是逻辑AND()的对应者。

如果关系R和S分别表示谓词p1和p2的外延，则R和S的自然连接(R S)是表示谓词p1p2的外延的关系。

认识到 Codd 的代数事实上关于一阶逻辑不完备是很重要的。

实现它会引起不可R S = {r s| r R, s S}主条目：投影 (关系代数)投影是写为的一元运算，这里的是属性名字的集合。

这种投影的结果定义为当所有在中的元组被限制为集合的时候所获得的集合。

广义选择是写为 的一元运算，这里的 是由正常选择中所允许的原子和逻辑算子 (与)、(或) 和 (非)构成的命题公式。

这种选择选出 中使成立的所有元组。

主条目：重命名 (关系代数) 重命名是写为的一元运算，这里的结果同一于，除了在所有元组中的 字段被重命名为 字段之外。

它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。

连接和类似连接的运算自然连接 (⋈)自然连接是写为 (R ⋈ S ) 的二元运算，这里的 R 和 S 是关系。

[1]自然连接的结果是在 R 和 S 中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。

例如下面是表格“雇员”和“部门”和它们的自然连接:雇员NameEmpI d DeptNa meHarry 3415 财务 Sally 2241 销售 George 3401 财务 Harriet2202 销售部门 DeptNa me Manager 财务 George 销售 Harrie t 生产Charle s雇员 ⋈ 部门 NameEmpI d DeptNa me ManagerHarry 3415 财务 George Sally 2241 销售 Harriet George 3401 财务 George Harriet2202 销售Harrie t工作因为外键在相同名字的属性之间保持。

如果不是这样，外键成立于从部门.manager到Emp.emp-number，则我们必须在采用自然连接之前必须重命名这些列。

数据库关系代数：是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。

关系代数运算的是关系，运算结果亦是关系。

关系代数的基本关系包括：并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除法运算。

由于并、交、差运算很简单，这里不再赘述，只说明了几个容易遗忘和混淆的运算。

1、笛卡尔积
计算两个关系R和S的笛卡尔积，R的元数为r，S的元数为s，则R×S是一个（r+s）元的元组集合
2、选择
选择是根据某些条件对关系做水平切割
3、投影π
投影与选择正好相反，是对关系的一种垂直切割，消去某列，并重新安排列的顺序。

投影用（π）表示。

4、连接
连接运算：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组，用(R ⋈S）表示，连接分为两种，一种是等值连接（有的书上写的是连接），另一种是自然连接。

等值连接：条件AθB中的θ为‘=’的连接；自然连接：关系R与S选取A、B属性值相等的那些元组。

自然连接：一般自然连接使用在R和S有公共属性时，如果没有公共属性，自然连接就转为笛卡尔积操作。

5、除法
经过总结之后，发现其实关系之间的运算并不难，关键在于要认
真分析，将符号与我们的实际找到联系，只有对各种符号印象深刻之后，这些关系之间的运算也就变得很简单。

在平时要多找联系多总结，方是正道。

•登录关系数据库关系代数之前在学习数据库时接触过关系代数，只是在经过很长一段时间不应用之后，不能很快从大脑中将知识调出来，今天就来了个再次学习总结加深自己的印象。

关系代数：是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。

关系代数运算的是关系，运算结果亦是关系。

关系代数的基本关系包括：并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除法运算。

由于并、交、差运算很简单，这里不再赘述，只说明了几个容易遗忘和混淆的运算。

1、笛卡尔积计算两个关系R和S的笛卡尔积，R的元数为r，S的元数为s，则R×S是一个（r+s）元的元组集合，如下例所示：结果：由结果分析：笛卡尔积得到的结果元数为r+s即：3+3=6；记录数为：R中的记录数与S中的记录数相乘，即：3×2=6。

2、选择选择是根据某些条件对关系做水平切割，例如δ2 > '4'（R），表示从R中挑选第二个分量值（也就是R中B列的值）大于4的元组所构成关系。

结果：3、投影π投影与选择正好相反，是对关系的一种垂直切割，消去某列，并重新安排列的顺序。

投影用（π）表示。

例如：π3,1（R）表示的结果如下：由结果可以看出：查询表达式中的下标可以用数字表示，也可以用列的名字表示，返回列的名字，而其他的列在结果关系中被去掉，也可以通过投影来重新布局关系的排列。

4、连接连接运算：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组，用(R ⋈S）表示，连接分为两种，一种是等值连接（有的书上写的是连接），另一种是自然连接。

等值连接：条件AθB中的θ为‘=’的连接；自然连接：关系R与S选取A、B属性值相等的那些元组。

、4 关系代数关系代数就是一种抽象的查询语言,通过对关系的运算来表达查询。

关系代数的运算对象就是关系,运算结果也就是关系。

系代数运算可以分为四类:1.普通的集合运算: 并、交、差2.删除一部分关系的运算选择运算“σ”会删除某些行投影运算“π”会删除某些列3.合并两个关系的运算“笛卡儿积”运算把两个关系的元组以所有可能的方式组合起来、“连接”运算有选择地从两个关系取出元组组合在一起4.改名运算不改变关系的元组,只改变关系的模式:改变属性的名字或者关系本身的名字一、关系的集合运算三种最普通的集合运算:并、交与差:1、R∪S,R与S的并,它就是R中的元素与S中的元素共同组成的集合。

2、R∩S,R与S的交,它就是既出现在R中又出现在S中的元素组成的集合。

3、R―S,R与S的差,它就是只在R中出现,不在S中出现的元素组成的集合。

要想对两个关系R与S进行上述运算,R与S必须满足如下条件:R与S的模式具有相同的属性集在对R与S进行集合运算之前,要对R与S的属性列进行排序,保证两个关系的属性顺序相同1、并, R∪S ={ r | r∈R ∨ r∈S }关系R:关系SR∪S:2、交, R∩S ={ r | r∈R ∧ r∈S }R∩S:3、差, R-S ={ r | r∈R ∧ r?S }R-S:二、投影运算投影运算符就是π,该运算作用于关系R将产生一个新关系S,S只具有R的某几个属性列。

投影运算的一般表达式如下:S = πA1, A2, … , An(R)S就是投影运算产生的新关系,它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。

例:对于关系表:Student投影运算:πStudentNo, StudentName(Student) 结果为:三、选择运算(σ)选择运算符就是σ,该运算符作用于关系R也将产生一个新关系S,S的元组集合就是R的一个满足某条件C的子集。

选择运算的一般表达式为:S = σC(R)S的模式与R的模式完全相同。

关系代数表达式总结-数据库关系代数表达式总结⼀、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学⽣学号。

分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学⽣学号，再求出选修了课程号为2的课程的学⽣学号，最后使⽤并运算的⽅法求出选修课程号为1或2的课程的学⽣学号。

本例也可以使⽤或条件来表⽰。

πSno(σCno=’1’(SC))∪πSno(σCno=’2’(SC)) 或πSno(σCno=’1’∨ Cno=’2’(SC))⼆、交例2 检索⾄少选修课程号为2和3的课程的学⽣学号。

分析：⽅法⼀：只涉及到⼀个表，但不能直接⽤∧（为什么？）特别注意，本例不能写为：πSno(σCno=’2’∧ Cno=’3’(SC))因为选择运算为⾏运算，在同⼀⾏中Cno不可能既为2，⼜为3。

第⼀步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为⽔平的条件。

SC1 SC2选修课程号为2和3的学⽣：σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’(SC×SC)最后取出学⽣的学号：π1(σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’(SC×SC))⽅法⼆：πSno(σCno=’2’(SC))∩πSno(σCno=’3’(SC))三、差例3 将学⽣信息(‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。

分析：可以将这⾏数据看成由⼀个元组构成的表，将Student表与该表进⾏差运算。

因此，该删除操作可表⽰为：Student-{‘95001’,’李勇’，‘男’，20，‘CS’}注意：但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了，就要⽤到差操作或除操作。

例4 求没有选修课程号为2的课程的学⽣学号。

分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学⽣学号，就得出没有选修课程号为2的学⽣学号。

由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的，故应当先投影，再进⾏差运算。

πSno(Student)- πSno(σCno=’2’(SC))特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC))。

关系代数关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

关系代数的9种操作：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：选择(π) 并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择四个组合操作：交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例用关系代数表示数据查询的典型例子[例]设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。

这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。

πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。

πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。

.4 关系代数关系代数是一种抽象的查询语言，通过对关系的运算来表达查询。

关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系。

系代数运算可以分为四类：1．普通的集合运算：并、交、差2．删除一部分关系的运算选择运算“σ”会删除某些行投影运算“π”会删除某些列3．合并两个关系的运算“笛卡儿积”运算把两个关系的元组以所有可能的方式组合起来.“连接”运算有选择地从两个关系取出元组组合在一起4．改名运算不改变关系的元组，只改变关系的模式：改变属性的名字或者关系本身的名字一、关系的集合运算三种最普通的集合运算：并、交和差：∪S，R和S的并，它是R中的元素和S中的元素共同组成的集合。

∩S，R和S的交，它是既出现在R中又出现在S中的元素组成的集合。

―S，R和S的差，它是只在R中出现，不在S中出现的元素组成的集合。

要想对两个关系R和S进行上述运算，R和S必须满足如下条件：R和S的模式具有相同的属性集在对R和S进行集合运算之前，要对R和S的属性列进行排序，保证两个关系的属性顺序相同1. 并, R∪S ={ r | r∈R ∨ r∈S }R∪S:2. 交, R∩S ={ r | r∈R ∧ r∈S }R∩S:3. 差, R-S ={ r | r∈R ∧ rS }R-S:二、投影运算投影运算符是π，该运算作用于关系R将产生一个新关系S，S只具有R的某几个属性列。

投影运算的一般表达式如下：S = πA1, A2, … , An(R)S是投影运算产生的新关系，它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。

例：对于关系表：Student三、选择运算（σ）选择运算符是σ，该运算符作用于关系R也将产生一个新关系S，S的元组集合是R的一个满足某条件C的子集。

选择运算的一般表达式为：S = σC（R）S的模式与R的模式完全相同。

C是我们所熟悉的条件表达式。

可以由AND，OR，NOT等子条件连成的复杂条件。

例：仍然用上面的例子，那么作如下运算：σAge > 18（Student）结果应该是：例：查询计算机系年龄大于18的学生资料，可以用如下表达式：σAge > 18 AND Dept = “计算机系” (Student)结果是：四、笛卡尔积（×）两个关系R和S的笛卡尔积记作R×S，它的关系模式属性是R和S的模式的并集。