数据库关系代数除法讲解

关系代数关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

关系代数的9种操作：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：选择(π) 并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择四个组合操作：交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。

这种表达式的运算结果仍然是一个关系。

可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例用关系代数表示数据查询的典型例子[例]设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。

这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。

πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。

πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。

关系代数的除法嘿，朋友们！今天咱来唠唠关系代数里的除法。

这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数据世界的秘密大门呢！你想想看，除法就像是一场精确的筛选。

比如说，你有一堆水果，苹果、香蕉、橘子啥的，然后你想要找出那些既能和苹果搭配，又能和香蕉搭配的水果，这时候除法不就派上用场啦！它能把那些不符合要求的统统剔除掉，只留下最精华的部分。

咱再打个比方，就好像你在找朋友。

你有一群朋友，有些喜欢打篮球，有些喜欢踢足球，然后你想找到那些既喜欢和你打篮球又喜欢和你踢足球的朋友，这不就跟关系代数的除法一个道理嘛！它能帮你从茫茫人海中精准地找到那个对的“朋友组合”。

关系代数的除法可不是随随便便就能搞定的哟！它需要你仔细琢磨，认真思考。

就跟解一道难题似的，你得一步一步来，不能着急。

有时候可能会遇到一些复杂的情况，让你觉得脑袋都大了，但是别灰心呀！只要你坚持下去，慢慢摸索，总会找到答案的。

比如说，在处理那些庞大的数据集合时，除法就像是一个厉害的过滤器。

它能把那些没用的、多余的信息过滤掉，只留下最有价值的部分。

这可多重要啊！不然面对那海量的数据，你不得晕头转向啊。

而且哦，学会了关系代数的除法，你就像是掌握了一门独特的技能。

在数据处理的世界里，你就能更加游刃有余啦！别人还在那里苦苦挣扎的时候，你就能轻松地找到答案，这多牛啊！想想看，如果没有除法，我们该怎么从那么多的数据中找到我们真正需要的东西呢？那可真是难上加难啊！所以说，除法可真是个好东西，咱可得好好珍惜它，好好利用它。

总之呢，关系代数的除法就像是一把神奇的宝剑，能帮我们在数据的海洋中披荆斩棘，找到我们想要的宝藏。

它虽然有点复杂，有点难搞，但只要我们用心去学，去理解，就一定能掌握它的精髓。

别害怕困难，别嫌麻烦，加油吧，朋友们！让我们一起在关系代数的世界里畅游，用除法这把钥匙开启更多的精彩！。

“数据库原理”课程中关系代数的重难点分析作者：何冬黎吴璟莉邓剑锋来源：《无线互联科技》2019年第01期摘要：“数据库原理”课程是广西师范大学计算机科学与信息工程学院计算机专业及信息管理专业本科生的必修课，关系代数中的“除”运算是该课程的一个重难点。

文章结合笔者多年的教学研究和实践，对关系代数“除”运算的教学进行了探讨，希望能够有益于该课程教学的研究。

关键词：“数据库原理”课程教学；关系代数；“除”运算；包含广西师范大学计算机科学与信息工程学院在学生大二时会开设必修课程—“数据库原理”。

课程目标是使学生掌握数据库技术相关概念、理论和方法，并具有一定的数据库系统设计能力，为下面开发数据库应用系统打下良好的基础[1]。

课程的用书是中国人民大学王珊[2]老师的国家精品课程团队编写的教材—《数据库系统概论》，高等教育出版社出版，已经到了第5版。

教材比较简洁，比如在讲解“除”运算时，首先讲了“除”运算的定义，然后给了3个“除”运算的例题就结束了。

这个台阶跨度太大，很多学生不好理解，表现为“除”运算的题目做不出。

为了让学生上得去，好理解，老师的作用就是在中间多加几级台阶。

笔者加的第1级台阶是：讲解“除”运算的由来及用处，引发学生学习兴趣；第2级台阶：将“除”运算题目分成两类，分别讲解解决方法，对症下药；第3级台阶：及时总结，并对学生的易错点进行错误原因讲解，鼓励学生学好这个重难点。

以下为具体的授课过程。

1 关系代数中“除”运算的由来及用处探讨，引发学生学习兴趣由一道除法题引出思考：9÷2=4…1是什么意思？商等于4，表示被除数9里面包含有4个除数2。

还剩下1没有完全包含一个2，只包含了部分，所以1是余数。

即“除”有包含（覆盖）的意思。

总结推广到二维表（关系）做“除”运算，是在二维上实现包含（覆蓋）的含义。

即在一个大表中找包含（覆盖）了一个小表的运算。

为了好让学生理解，补充以下例子。

补充例子（“除”运算的实际应用）如下：我们有选修情况表SCG表（见表1），包括姓名、性别、课程名称、院系、成绩属性，若想查询有哪些同学的离散数学课程得了优且数据结构课程也是优？即，谁的选修情况包含（覆盖）了以下的CG表（见表2），这时就需要用到除法：SCG÷CG。

关系代数除法运算的例子《说说关系代数除法运算的那些事儿》嘿，朋友们！今天咱要来聊聊关系代数除法运算这个看似有点高深莫测，但其实也挺有意思的东西。

你想想看，这除法运算就像是一场奇妙的“筛选派对”！咱来举个例子哈，假如有两个表，一个是“学生课程表”，记录了每个学生选了啥课程；另一个是“必修课表”，上面都是学校规定的必修课。

那这除法运算就厉害啦，它能帮我们找出那些把所有必修课都选了的学生。

就好像在这个“派对”里，“必修课表”就是那扇进入特殊区域的门，只有满足条件，也就是选了所有必修课的学生才能通过这扇门，进入到那个特殊的小群体里。

这多有趣呀！而且，我觉得除法运算就像是一个超级严格的“筛选官”。

它可不马虎，一点点不符合条件的都不行，非得是完完全全符合要求的才行。

有时候我都觉得它太较真儿了，但没办法呀，谁让这就是它的工作呢。

比如说有个学生就差一门必修课没选，哎呀，那就拜拜咯，通不过这个严格的“筛选官”的审核，进不了那个特殊区域。

这感觉就像是你去参加一场比赛，差那么一点点就达标了，但就是不行，得多遗憾啊。

不过呢，一旦通过了这个除法运算的筛选，那可就牛了呀。

那就代表着这些学生在选课这件事儿上是相当厉害的，是“学霸”级别的存在呢。

我觉得除法运算其实挺能体现我们生活中的一些道理的。

有时候我们也在各种各样的“派对”或者“场合”中被筛选，只有达到了特定的要求，才能进入到某个特定的圈子或者获得某个机会。

虽然这过程可能会有点辛苦，但一旦成功了，那感觉肯定很棒呀。

总之呢，关系代数除法运算虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，把它想象成一场有趣的“筛选派对”呀什么的，就会发现它其实也没那么难啦。

而且还挺有意思的呢，就像是在和这些数字、表格玩一场有趣的游戏！所以呀，大家别被它吓住了，大胆地去探索吧！。

【数据库原理】关系代数篇——除法讲解陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 }a1值对应的象集为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }a2值对应的象集为{ (b3,c7) , (b2,c3) }a3值对应的象集为{ (b4,c6) }a4值对应的象集为{ (b6,c6) }关系S在B、C上的投影为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为【例题一】为了更好的理解除法的实际作用，请看下面的例题设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决)学生信息关系student（sno，sname，age，sex）学生选课关系sc（sno，cno，score）学校课程关系course（cno，cname）SQL语言中没有全称量词，具体实现时可以把带有全称量词的谓词转换为等价的带有存在量词的谓词。

解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists解决所谓forall的问题。

(1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) )Sql语句从略(2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) )Sql语句select distinct sno from sc A where not exists(select*from course B where cno in('C002','C003')andnot exists(select*from sc C where A.sno=C.sno and o=o ))也可以采用自连接select s1.snofrom (select*from sc where cno='C001')as s1, (select*from sc where cno='C003')as s2where s1.sno=s2.sno(3)求至少学习了学生S003所学课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σsno=’S003’ (sc) )select distinct sno from sc A where not exists(select*from sc B where sno='S003'and not exists (select*from sc C where A.sno=C.sno and o=o ))(4)求选择了全部课程的学生的学号解此例的等价自然语义是，输出这样的学号，不存在某门课程在他的选课记录里没有选这门课关系代数表达式：∏sno (sc÷∏cno(course) )Sql语句select distinct sno from sc A where not exists (select cno from course B where not exists(select*from sc C where C.sno=A.sno ando=o))(5)求选择了全部课程的学生的学号和姓名解关系代数表达式：∏sno,sname((student∞sc)÷∏cno(course) )Sql语句select sno,sname from student A where not exists(select cno from course B where not exists(select*from sc C where C.sno=A.sno ando=o))以上小问用group by结合count语句也是可以实现的，也更好理解一些。

数据库的关系运算数据库的关系运算是指对关系型数据库中的关系进行操作和处理的一种方式。

关系运算包括集合运算和关系运算两大类，通过这些运算可以对数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作，实现数据的管理和处理。

一、集合运算1. 并运算：并运算是指将两个关系中的元组合并成一个新的关系。

并运算使用符号"∪"表示，它的结果是两个关系中所有元组的集合。

例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R∪S={a, b, c, d, e}。

2. 交运算：交运算是指找出两个关系中共有的元组，形成一个新的关系。

交运算使用符号"∩"表示，它的结果是两个关系中共有元组的集合。

例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R∩S={c}。

3. 差运算：差运算是指从一个关系中删除另一个关系中的所有元组，形成一个新的关系。

差运算使用符号"-"表示，它的结果是从第一个关系中去除与第二个关系中相同元组后的集合。

例如，有关系R和S，R={a, b, c}，S={c, d, e}，则R-S={a, b}。

4. 笛卡尔积运算：笛卡尔积运算是指将两个关系中的元组按照所有可能的组合方式进行组合，形成一个新的关系。

笛卡尔积运算使用符号"×"表示，它的结果是两个关系中元组的所有组合。

例如，有关系R和S，R={a, b}，S={c, d}，则R×S={(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}。

二、关系运算1. 选择运算：选择运算是指从一个关系中选择满足指定条件的元组，形成一个新的关系。

选择运算使用符号"σ"表示，它的结果是满足条件的元组的集合。

例如，有关系R，R={a, b, c}，选择条件为a=b，则σ(a=b)(R)={a, b}。

2. 投影运算：投影运算是指从一个关系中选择指定的属性，形成一个新的关系。

数据库的关系代数与关系演算在现代计算机科学领域，关系型数据库是一种常见的数据存储和管理方式。

为了有效地操作和查询数据库中的数据，我们需要使用关系代数和关系演算这两种形式化的工具。

本文将讨论关系代数和关系演算在数据库中的应用，以及它们的特点和用途。

一、关系代数关系代数是基于集合论和逻辑学原理的一种形式化查询语言。

它提供了一组操作符来对关系数据进行操作和查询。

关系代数操作主要包括选择、投影、并、差和连接等。

1. 选择操作（Selection）：选择操作用于从一个关系中筛选出满足特定条件的元组。

条件可以是简单的等式、不等式，也可以是复杂的逻辑表达式。

2. 投影操作（Projection）：投影操作用于从关系中选取指定的属性列，生成一个新的关系。

这个新关系包含了原始关系中所有元组的指定属性。

3. 并操作（Union）：并操作用于合并两个关系，并去除其中的重复元组。

4. 差操作（Difference）：差操作用于从一个关系中去除另一个关系中的元组。

5. 连接操作（Join）：连接操作用于将两个关系中满足特定条件的元组组合为一个新的关系。

关系代数提供了一种简洁且可组合的方式来表达复杂查询。

通过将不同的操作符组合使用，可以实现复杂的查询需求。

二、关系演算关系演算是基于数理逻辑的一种形式化查询语言。

它通过使用一组公式和变量，对关系数据进行操作和查询。

关系演算主要分为元组关系演算和域关系演算两种形式。

1. 元组关系演算（Tuple Relational Calculus）：元组关系演算是一种描述查询结果的方式，它通过描述所需元组的条件来表达查询需求。

2. 域关系演算（Domain Relational Calculus）：域关系演算是一种描述查询结果的方式，它通过描述所需属性的条件来表达查询需求。

关系演算提供了一种更为直观和易于理解的查询方式。

通过声明查询结果的条件，可以获取到满足条件的关系数据。

三、关系代数与关系演算的区别与联系关系代数和关系演算都是用于描述和操作关系数据库的形式化工具，它们之间存在着区别和联系。