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北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题西城区高三数学统一测试2020.4 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项。
1.设 $A=\{x|x2\}$，则 $A\cap B$ =（）A。
$(-\infty,)$B。
$(2,3)$C。
$(-\infty,)\cup(2,3)$D。
$(-\infty,3)$2.若复数 $z=(3-i)(1+i)$，则 $z$ =（）A。
22B。
25C。
10D。
203.下列函数中，值域为$\mathbb{R}$ 且为奇函数的是（）A。
$y=x+2$B。
$y=\sin x$C。
$y=x-x^3$D。
$y=2\sqrt{x}$4.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若$a_3=2$，$a_1+a_4=5$，则 $S_6=$（）A。
10B。
9C。
8D。
75.设 $A(2,-1)$，$B(4,1)$，则以线段 $AB$ 为直径的圆的方程是（）A。
$(x-3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$B。
$(x+3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$C。
$(x-3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$D。
$(x+3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$6.设 $a,b,c$ 为非零实数，且 $a>c$，$b>c$，则（）A。
$a+b>c$B。
$a^2+b^2>c^2$C。
$(a+b)^2>c^2$D。
$abc>0$7.某四棱锥的三视图如图所示，记 $S$ 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A。
$22\notin S$，且 $23\notin S$B。
$22\notin S$，且 $23\in S$C。
$22\in S$，且 $23\notin S$D。
$22\in S$，且 $23\in S$8.设 $a,b$ 为非零向量，则“$a+b=a-b$”是“$a$ 与 $b$ 共线”的（）A。
西城区高三模拟测试数 学2020．6第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．设全集U=R ，集合{|2},{|1}A x x B x x =<=<则集合（ U A ）∪B=(A)．(-∞,2)(B)．[2,+∞] (C)．(1,2)(D)．(-∞,1)∪[2,+∞] 2．设复数z=1+i ，则z 2=（A ）．-2i （B ）．2i （C ）．2-2i（D ）．2+2i 3．焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)．x 2=4y (B)．y 2=4x (C)．x 2=8y(D)．y 2=8x 4．在锐角△ABC 中，若a=2，b=3，A=π6，则cos B = (A)34) (B) 34 (C) 74 (D)3345．函数是()1f x x x=- (A)奇函数，且值域为(0，+∞) (B)奇函数，且值域为R(C)偶函数，且值域为(0，+∞) (D)偶函数，且值域为R6．圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于 (A)2 (B)2 3 (C)2 5 (D)47．设a ，b ，c 为非零实数，且a>b>c ，则 111()()A a b b c B a b c->-<< ()2()C a b c D +>以上三个选项都不对8．设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，12⋅=a b ，则()R ||x x +∈a b 的最小值为（A ）B C ．1 D 9．设{a n }为等比数列，则“对于任意的*2,m m a m a +∈>N ”是“{a n }为递增数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD X 由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为(A)平行 (B)相交 (C)异面且垂直 (D)异面且不垂直第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在6(15)x +的展开式中，x 的系数为 ▲12.在等差数列{a n }中，若1216a a +=5,1,a =则1a = ▲ ；使得数列{}n a 前n 项的和S n 取到最大值的n= ▲13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ▲14．能说明“若()20,m n +≠则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m ，n 的值是 ▲15．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=,且当(]0,2x ∈时(),23x f x =- 有以下三个结论：② ()112f -=-； ②当1142a ⎛⎤∈⋅ ⎥⎝⎦时，方程()f x α=在区间[]4.4-上有三个不同的实根； ③函数()f x 有无穷多个零点，且存在一个零点Z b ∈.。
2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S(C)2√2∈S,且2√3∉S(D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 9.已知函数f(x)=sinx 1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)②④ 10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是(A)(0,101](B)(0,99] (C)(0,100] (D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为 .(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是 .13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为 .)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)。
2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．B 5. A 6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．2012．(3,1)-13214．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,AB AD BD ===所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分 因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分 又因为1AA AD A =，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 在底面ABCD 中，由题意，得224BC BD CD =+=.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =，1(0,4,2)B C =-，11(2,2,0)B D =-， ……………… 8分 设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=n ，110B D ⋅=n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分 设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ， 则 6sin |cos ,|||6||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n n n ， 直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为66. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分B 1B DAA 1D 1CC yxz2ππ2ππsincos cos sin 3434=+4=. ……………… 8分 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==. ……………… 11分 所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分选择③作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分得2πsin3B ，解得21sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角， 所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分 因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsincos cos sin 3434=+=. ……………… 11分 所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分 故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人. ……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分 所以随机变量的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分 X则π(2)tan 4f '=， ……………… 4分即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分 （Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分 令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2上单调递减，在(,e)2上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a ∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a a g f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得a 1b =，则1c =. ……………… 2分 根据椭圆的对称性，知四边形ABCD 是矩形.设0(1,)A y -，0(1,)B y --，0(1,)C y -，0(1,)D y ，将1x =-代入椭圆方程得2012y =. ……………… 3分 所以四边形ABCD的面积0||||2||2S AB AD y c =⋅=⋅=. ……………… 5分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1()l y k x m =-：， ……………… 6分联立22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， …… 7分 则42222164(12)(22)0k m k k m ∆=-+->，2122412k m x x k +=+，221222212k m x x k -=+. ……………… 8分所以12|||AB x x - ……………… 9分=同理，得||CD = 由四边形ABCD 为平行四边形，得||||AB CD =，即得22m n =. 由题意知m n ≠，所以m n =-，即0m n +=. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：四边形ABCD 不可能为矩形. ……………… 12分由（Ⅱ）知,M N 两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,A C 两点关于原点对称，故C 的坐标为11(,)x y --.由题意，得221112x y +=，222212x y +=. ……………… 13分 于是，2221212122212121AB BC y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-22212221112(1)2(1)2y y y y -==-≠----. 所以AB 不可能垂直于BC .所以四边形ABCD 不能为矩形. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . ……………… 3分（Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤，且12k a a a n +++=， 得122k n a a a k =+++≥，即2n k ≤. ……………… 5分 所以当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，2(2,2,,2)k 共有个 是n 的一个“正整数分拆”）； 当n 是奇数时，k 的最大值是12n -（此时，12(2,2,,2,3)k -共有个是n 的一个“正整数分拆”）. ……………… 8分（Ⅲ）当n 为奇数时，由题意，得0n f =；且1(1,1,,1)n 共有个是n 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0n g >，故n n f g <. ……………… 9分当n 为偶数时，由()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n 共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0n f >，0n g >.① 当2n =时，n 的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221f g ==； ② 当4n =时，由（Ⅰ）知，442f g ==； ……………… 11分 ③ 当n 为大于4的偶数时，因为对于n 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)k a a a ，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个.且当12(,,,)k a a a 不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个也不相同，所以n n f g ≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n -不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n ≥，所以(3,3)n -有意义） 所以n n f g <.综上，对所有的正整数n ，n n f g ≤；当且仅当2n =或4时等号成立. ……… 14分。
西城区高三统一测试数学试题2020.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1.设{}{}20,3><=<=x x x B x x A ，或，则B A I =（ ）C A.)0,(-∞ B.)3,2( C.)0,(-∞)3,2(Y D.)3,(-∞ 2.若复数)1)(3(i i z +-=，则z =（ ）BA.22B.52C.10D.20 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）CA.2+=x yB.x y sin =C.3x x y -=D.xy 2=4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5,2413=+=a a a ，则6S =（ ）B A.10 B.9 C.8 D.75.设)1,4(),1,2(B A -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）AA.2)3(22=+-y xB.8)3(22=+-y xC.2)3(22=++y xD.8)3(22=++y x6.设c b a ,,为非零实数，且c b c a >>,，则（ ）C A.c b a >+ B.2c ab > C.c b a >+2 D.cb a 211>+ 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则D A.S S ∉∉3222，且 B.S S ∈∉3222，且C.S S ∉∈3222，且D.S S ∈∈3222，且8.设b a ,为非零向量，则“b a b a +=+”是“b a 与共线”的（ ）A A.充分二不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知函数xxx f sin 21sin )(+=的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ）D ①绕着x 轴上一点旋转180°； ②沿x 轴正方向平移；③以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解)4,3,2,1(=i x i ，其中4321x x x x <<<，则))((4321x x x x -+的取值范围是（ ）BA.]101,0(B.]99,0(C.]100,0(D.),0(+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在6)1(xx +的展开式中，常数项为 .（用数字作答）2012.若向量),1(),2,(2x b x a ==满足3<⋅b a ，则实数x 的取值范围是 .13<<-x13.设双曲线)0(14222>=-b by x 的一条渐近线方程为x y 22=，则该上去西安的离心率为 .26==a c e 14.函数)42sin()(π+=x x f 的最小正周期为 ；若函数)(x f 在区间),0(a 上单调递增，则α的最大值为 .8max π=a15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中，所有正确的序号是 .②③三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 平面ABCD ，底面ABCD 满足22,21=====DC BD AA AD AB BC AD ，且∥.（Ⅰ）求证：⊥AB 平面11A ADD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面11CD B 所成角的正弦值.【解析】（Ⅰ）因为在底面ABCD 中，2,22AB AD BD ===，所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分 因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分 又因为1AA AD A =I ，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分在底面ABCD 中，由题意，得224BC BD CD =+=.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =u u u r ，1(0,4,2)B C =-u u u u r ，11(2,2,0)B D =-u u u u u r， ……………… 8分设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ， 由10B C ⋅=u u u u r n ，110B D ⋅=u u u u u r n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分 设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ， 则 6sin |cos ,|||6||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅u u u ru u u r u u u r n n n ， 直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为66. ……………… 14分17.（本小题满分14分）已知ABC ∆满足 ，且32,6π==A b ，求C sin 的值及ABC ∆的面积. 从B a a B sin 23,34===③，②①π这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+ 624-=. ……………… 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==. ……………… 11分 所以△ABC 的面积1933sin 24S ab C -==. ……………… 14分 1B DAA 1D 1CC yxz选择③作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分sin3=，解得21sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角， 所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+=. ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C ==. ……………… 14分 18.（本小题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人. ……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分 所以随机变量的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19.（本小题满分14分）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为4π，求a 的值； （Ⅱ）已知导函数()f x 在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2()f x e ＞-【解析】（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分 则π(2)tan4f '=， ……………… 4分 X即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分 （Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2a 上单调递减，在(,e)2a上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a ag f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20.（本小题满分15分）设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点M （m ，0），直线2l 经过点N （n ，0），直线1l ∥直线2l ，且直线1l 、2l 分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点。
西 城 区 高 三 统 一 测 试数 学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-¥,0) (B )(2,3) (C )(-¥,0)∪(2,3) (D )(-¥,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A ) y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2(B )(x -3)2+y 2=8(C )(x +3)2+y 2=2 (D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22a b c1+2s i n xî 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A ) 充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④ (C )②③ (D )②④( ) ìïx 2+10x +1,x ≤0, ( ) ( ) 10. 设函数f x = í 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ï|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+¥)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b 22为 .14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为 ;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,AA 1 ⊥ 平面 A BCD , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1;(Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2 设椭圆E :x2+y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1, a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n .(Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。
