2.2信号分析基础

,
⎪⎩ 0,
∫T 2 −T 2
sin(nω 1 t ) ⋅
sin(mω1t )dt
=
⎪⎧T ⎨2
,
⎪⎩ 0,
m=n m≠n
m=n m≠n
2.2 周期信号及其频谱
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幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流
，基波（
ω
）和各次谐波
1
（nω1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信 号，满足条件：
x ( t ) = x ( t + nT )
在有限区间上，凡满足狄利赫利条件的周期 信号，都可以展开成傅立叶级数（正交函数线性 组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数）:
{cos nω0t,sin nω0t}
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2.2 周期信号及其频谱
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
2.2 周期信号及其频谱 时域分析与频域分析的关系
幅值
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信号频谱X(f)代表了信号 在不同频率分量成分的大 小，能够提供比时域信号 波形更直观，丰富的信
e是自然对数的底，−此1式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法
定义为
e = lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = 2.71828L n→∞⎝ n ⎠
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2.2 周期信号及其频谱
由泰勒级数展开
欧拉公式与三角函数的关系
cosθ
=1−θ 2 +θ4 −θ6 +L
246
sinθ
=θ −θ3
3
+θ5 −θ7
57
+L
同样若 e jθ展开，可得到
ejθ = 1 + jθ + (jθ )2 + (jθ )3 + (jθ )4 + L
1! 2! 3! 4!
= 1−θ 2
2
+θ4
4
−θ6
6
+L+
j⎜⎜⎝⎛θ
−θ3
3
+θ5
5
−θ7
7
+ L⎟⎟⎠⎞
= cosθ + jsinθ 三角函数可表示为
cosθ = ejθ + e− jθ
总结
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（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系
（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质
（4）引入负频率
2.2 周期信号及其频谱
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(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f
(t
)
=
a0
+
∞
∑
[an
cos(nω1t
)
+
bn
sin(nω1t
An ~ ω关系曲线称为幅度频谱图； ϕn ~ ω关系曲线称为相位频谱图。 可画出频谱图。
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
2.2 周期信号及其频谱
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• 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数 倍的频率处。直观看出：各分量的大小，
各分量的频移.
An
ϕn (ω)
ω1
nω1
ω1
t
d
t
=
0
2⎠
− T1 2
A/2 T1 2
∫ ( ) an
=
2 T1
∫ ( ) bn
=
2 T1
A T1
2 − T1
2
T1
t
cos
T1 A
2 − T1
2
T1
t
sin
nω1t nω 1t
dt dt
=0 =A
nπ
ω1
=
2π T1
(−1)n+1
n = 1,2,3L
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f
(t )
=
0
+
A π
sin ω 1t
−
A 2π
sin
2ω1t
−L
直流
基波
谐波
2.2 周期信号及其频谱
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已知f (t ) = 1 + sinω1t + 2cosω1t 请画出其幅度谱和相位谱。
+
cos⎜⎛ ⎝
2ω
1t
+
π 4
⎟⎞， ⎠
化为余弦形式
f (t) = 1 +
5 ⎜⎛ ⎝
1 5
sin
ω1t
2.2 周期信号及其频谱
傅里叶生平
1768—1830
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• 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周
期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 的分析理论” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
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2.2 周期信号及其频谱
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2.2 周期信号及其频谱
{cos(nω1t ),sin(nω1t )} 是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，n=0,1,...∞
由积分可知
T
∫2 −T
cos(nω 1 t ) ⋅
sin(m ω 1
)dt
=
0
∫2
T
2 −T
cos(nω
1t
)
⋅
cos(mω
1t
)dt
2
=
⎪⎧T ⎨2
T /2 −T / 2
x(t)e− jnω0t
d
t利用欧拉公式
∫ ∫ = 1 T
T /2 −T / 2
x(t)
cos(nω0t
)d
t
−
j
1 T
( ) T / 2
x(t) sin
−T / 2
nω0t
dt
=
1 2
(an
−
jbn
)
∫ ∫ C−n
=
F (−nω0 )
=
1 T
T /2 −T / 2
x(t)
cos(nω0t
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦 信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论 点
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分 来表示”——傅里叶的第二个主要论点
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2.2 周期信号及其频谱 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)
变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度 来了解信号的特征。
2.2 周期信号及其频谱 时域和频域的对应关系
131Hz
147Hz
165Hz 175Hz
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频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
2.2 周期信号及其频谱
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2.2 周期信号及其频谱 2.2.1 傅立叶级数与周期信号的分解
息。 频率
时域分析
时间 频域分析
2.2 周期信号及其频谱
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时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
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2.2 周期信号及其频谱 大型空气压缩机传动装置故障诊断
)]
n=1
∞
= c0 + ∑ cn cos(nω1t + ϕ n )
n=1
∞
∑ 指数形式 f (t ) = F (nω1 ) ejnω1t n = −∞
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2.2 周期信号及其频谱 (2)两种频谱图的关系
● 三角函数形式：An ~ ω，ϕn ~ ω 单边频谱
指数函数形式：Cn ~ ω，ϕn ~ ω
+
2 5
cos ω1t
⎟⎞ ⎠
+
cos⎜⎛ ⎝
2ω1t
+
π 4
⎟⎞ ⎠
三角函数=形1 +式5的c傅os(里ω1叶t −级0.1数5π的) +谱co系s⎜⎝⎛数2ω1t
+
π 4
⎟⎞ ⎠
三角函数形式的频谱图
狄利赫利条件：
• .在一个周期内只有有限个间断点； • .在一个周期内有有限个极值点； • .在一个周期内函数绝对可积，即
∫t+T f (t)dt < ∞
t
• 一般周期信号都满足这些条件.
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2.2 周期信号及其频谱
1，傅里叶级数的三角展开式：
∞
∑ x(t)
=
a0 2
+
(an cosnω0t +bn sinnω0t) (n =1,2,,3,...)
)d
t
+
j
1 T
( ) T / 2
x(t) sin
−T / 2
nω0t
dt
=
1 2
(an
+
j bn
)
2.2 周期信号及其频谱 F (nω0 ), F (−nω0 )是复数
Cn = F (nω0 ) = F (nω0 ) e jϕn
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C−n = F (− nω0 ) = F (nω0 ) e− jϕn