清北学堂黄玉民
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习题：已给 x1 , x 2 , x3 , x 4 > 0 ，求证：
∑ 2x
i =1
4
xi 4 ≥ 其 x5 = x1 , x6 = x 2 , x7 = x3 9 i +1 + 3 x i + 2 + 4 x i + 3
5、 设 a, b, c > 0 ，求证：
a3 b3 c3 5 + + < (a + b + c) 2 2 2 2 2 2 a − ab + b b − bc + c c − ca + a 4
证明：记 f =
a3 b3 c3 + ， a, b, c > 0 + a 2 − ab + b 2 b 2 − bc + c 2 c 2 − cab + a 2
a3 + b3 若 a, b, c 中有两个相同，如 a = b ，则 f = a + 2 = a + b + c 从而，要证的不等式记 a − ac + c 2
清北学堂内部讲义—主讲人：黄玉民
xy xy xy ⎛ xy ⎞ 3 xy 2 xy ∴⎜ ⎟ ≥ ，于是 f ( xy ) ≥ (x + y + z ) + 3a 3 z 3 −4 = f (a ) a a a a a ⎝ a ⎠
从而只须征 f (a ) ≥ 0 ，即 2 a − z
2 2 2
n −1
x2 1 ⎛ x2 ⎜ =≤ x1 n −1⎜ ⎝ x3
n
⎞ 1 ⎛ xn ⎞ ⎟ ⎜ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎜x ⎟ ⎟ ⎟ − n 1 ⎝ 1⎠ ⎠
n −1
n
x 1 ⎛ x1 ⎜ 及 1 ≤ xn n − 1 ⎜ ⎝ x2
n
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
n −1
1 ⎛ x n −1 ⎞ ⎜ ⎟ + ⋅⋅⋅ + ⎟ n −1⎜ x ⎝ n ⎠
(
)
≥
≥
由均值不等式可得 (S = a + b + c + d )
1 1 1 1 + + + ≥ s−a s−b s−c s−d ≥
4
(s − a )(s − b )(s − c )(s − d )
4
16 16 1 = s −a + s −b+ s −c+ s −d 3 a+b+c+d
⎛
n
故原不等式成立
[证二]由 Chebyshev 不等式可得：
a3 b3 c3 d3 + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c
≥
a b c d 1 2 ⎛ ⎞ a + b2 + c2 + d 2 ⎜ + + + ⎟ 4 ⎝b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c⎠ 1⎛ a b c d ⎞ + + + ⎜ ⎟ 4⎝ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c⎠ 1 1 1 1 1 ⎞ (a + b + c + d )⎛ + + + ⎜ ⎟ 16 ⎝b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c⎠
………………
n
⎞ 1 ⎟ ⎟ +n ⎠
n
x1 1 ⎛ x1 ≤ ⎜ xn n ⎜ ⎝ x2
n ⎞ xi +1 n − 1 n ⎛ xi ⎞ 1 ⎛ x n −1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⇒ ≤ ∑ ∑ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎟ +1 n n x n i i = 1 = 1 i ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ i +1 ⎠ n
⎡ ⎤ b3 c3 a3 ( ) ⇔ (a + b )⎢ 2 − + + < + bc b a b ⎥ 2 c 2 − ca + a 2 a 2 − ab + b 2 ⎣ b − bc + c ⎦
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即： 1 −
c3 c3 b b3 + < 1 + − a + b a3 + b3 b 2 − bc + c 2 c 2 − ca + a 2
b b3 1 1 ⎡ ⎤ − ∴ (3) ⇔ c 2 ⎢ 2 < − 2 3 3 b 2 − bc + c 2 ⎥ ⎣ c − ca + a ⎦ a+b a +b
2、 设 a, b, c ≥ 0 ，求证： a + b + c + 3 3 abc ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca 证：要证的不等式记为 (1) ，则 (1) ⇔ x + y + z + 3( xyz ) 3 ≥ 2 xy + 2 yz + 2 zx
2 2 2 2
⇔ ( x + y − z ) + 3( xyz ) 3 − 4 xy ≥ 0
为 (1) 显 然 成 立 ， 设 a, b, c 两 两 不 同 ， 由 轮 换 对 称 性 不 妨 设 a > b, a > c ， 若 b = 0 ， 则
f =a+
c3 c 2 − ca + a 2
且
f a c3 = + 3 a + c a + c a + c3
，
令
S=
a >1 c
，
则
f S 1 1 1 = + = 1+ − < 1 3 3 a + c 1+ S 1+ S 1+ S 1+ S f a3 b a a3 若 c > 0 ，则 f = 2 + +b且 = 3 ，令 t = > 1 2 3 a+b a +b a+b b a − ab + b
n
n
x x x 1 n ⎛ xi ⎞ ⎟ 又1 = 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ n ≤ ∑ ⎜ ⎟ x 2 x3 x1 n i =1 ⎜ ⎝ xi +1 ⎠
故要证的不等式成立。 Fra bibliotek习题：设 a1 , a 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a n > 0 ，求证： [证二]由均值不等式得：
a an a1 a2 n + + ⋅ ⋅ ⋅ + n −1 + > a 2 + a3 a3 + a 4 a n + a1 a1 + a 2 4
2
2
(2) ，在 z, x + y 固定的条件下，
2
令 f ( xy ) = ( x + y − z )
2
2
⎛x+ y⎞ + 3( xy ) z − 4( xy ) ， 0 ≤ xy ≤ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
2 3
2 3
⎛x+ y⎞ 记a = ⎜ ⎟ ，当 x, y 中有一个为 0 时 (2 ) 显然成立，不妨设 x, y > 0 ⎝ 2 ⎠
3 2
由于 t − 4t + 4t = t (t − 2 ) ≥ 0 ，∴ (2 ) 成立） 从而只须征 即 (a + b )⎢
f (a, b, c ) f (a, b, c ) ≤ a+b+c a+b
⎡
⎤ ⎡ ⎤ a3 b3 c3 a3 ( ) a b c + + < + + + b ⎥ (3) ⎢ 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ 2 b − bc + c c − cab + a ⎦ ⎣ a − ab + b ⎣ a − ab + b ⎦
a3 b3 c3 d3 1 求证： + + + ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 3
[证一]：令 S = a + b + c + d ，由 Cauchy 不等式可得
a3 b3 c3 d3 a2 + b2 + c2 + d 2 + + + ≥ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c a(s − a ) + b(s − b ) + c(s − c ) + d (s − d )
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⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证明： ⎜ ∑ x k ⎟⎜ ∑ y k ⎟ = ⎜ ∑ x k ⎟⎜ ∑ ( x k + y k )⎟ − ⎜ ∑ x k ⎟ ，由 Cauchy 不等式可得： ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ x k2 ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎜ ∑ x k ⎟⎜ ∑ y k ⎟ ≥ ⎜ ∑ x k ⎟⎜ ∑ ( x k + y k )⎟ − ⎜ ⎜∑ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 x k + y k ⎞⎛ n ⎞ ⎟ ⎟⎜ ∑ x k + y k ⎟ ⎠ ⎠⎝ k =1
