2016-2017年安徽省合肥一中高一下学期期末数学试卷及答案

2017-2018学年第二学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D.2. 已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A. B. C. D.3. 已知向量，则（）A. B. C. D.4. 定义行列式运算：，若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.5. 为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（）A. 以为底边的等腰三角形B. 以为斜边的直角三角形C. 以为底边的等腰三角形D. 以为斜边的直角三角形6. 如图，直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（）A. B. C. D.7. 已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.8. 已知为内一点，且，，则为（）A. B. C. D.9. 已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.10. 设，，且，则（）A. B. C. D.11. 已知函数，则的最小正周期为（）A. B. C. D.12. 在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在圆弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影为________．14. 在中，若，则角________.15. 化简的值为__________．16. 已知为的外接圆圆心，，，若，且，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，.（1）求的值；（2）求的值.18. 已知向量.（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值.19. 已知向量，其中.若函数的图象关于原点对称，且相邻两条对称轴间的距离为.（1）求图象所有的对称轴方程；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程所有的解.20. 已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.21. 已知函数.（1）求满足的实数的取值集合；（2）当时，若函数在的最大值为2，求实数的值.22. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，其中在线段上，在线段上，记为.（1）若的周长为，求的值；（2）求的最大值，并求此时的值.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.2. 已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴点共线，且为中点，则点的位置有5种情况，如图：（1）∵，∴；（2）；（3）；（4）；（5）；故选A.3. 已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】B因为，故，故选B.4. 定义行列式运算：，若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移（）个单位后，可得的图象，根据所得图象对应的函数为偶函数，可得，即，所以的最小值是，故选B.5. 为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（）A. 以为底边的等腰三角形B. 以为斜边的直角三角形C. 以为底边的等腰三角形D. 以为斜边的直角三角形【答案】C【解析】∵，∴，即．两边同时加，得，即，∴．∴是以为底边的等腰三角形，故选C.6. 如图，直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为为中点，所以必有，则，当且仅当时，可取得最小值为，故本题正确选项为A.考点：向量的运算.7. 已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略8. 已知为内一点，且，，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：设、分别为、的中点，∵，∴，，同理由，即，∴．∴到的距离等于到的距离的，设的面积为S，则，故为，故选D.点睛：本题考查向量在几何中的应用、共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想；根据已知的等式变形可得，，从而得出到的距离等于到的距离的即可解决问题.9. 已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设，，∴，，，∴.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．10. 设，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，根据三角函数的基本关系式可得，又，即，因为，所以，即，故选B。

一、选择题1．(0分)[ID ：12707]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?2．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-3．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．41n a n =-D ．41n a n =+4．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．(0分)[ID ：12680]已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 26．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 7．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）8．(0分)[ID ：12674]已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π9．(0分)[ID ：12635]已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 10．(0分)[ID ：12670]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12649]若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-13．(0分)[ID ：12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．414．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68 B ．67 C ．61 D ．60 15．(0分)[ID ：12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：12824]在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．17．(0分)[ID ：12812]奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21xf x =-，则()2log 11f =______.18．(0分)[ID ：12790]已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 19．(0分)[ID ：12779]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.20．(0分)[ID ：12757]在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为21．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.22．(0分)[ID ：12730]若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 23．(0分)[ID ：12763]已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变． 25．(0分)[ID ：12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．三、解答题26．(0分)[ID ：12917]解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.27．(0分)[ID ：12887]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 28．(0分)[ID ：12878]已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.29．(0分)[ID ：12852]已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．30．(0分)[ID ：12835]以原点为圆心，半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x y --=相切.（1）直线l 过点(2,6)-且l 截圆O 所得弦长为43求直线l l 的方程；（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ⋅=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A2．A3．C4．A5．D6．C7．C8．D9．B10．C11．D12．D13．B14．B15．B二、填空题16．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为317．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题18．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情19．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用20．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题21．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题 22．【解析】故答案为 23．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面 25．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.2．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.4．A解析：A【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列7．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 8．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.10．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.11．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2)22442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12．D解析：D 【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

安徽省高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线L的倾斜角为，则m=________2. （1分） (2016高一下·蓟县期中) 若不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则c+b=________．3. （1分） (2019高一下·吉林期末) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，且，则 ________.4. （1分） (2016高二上·苏州期中) 已知平面外一条直线上有两个不同的点到这个平面的距离相等，则这条直线与该平面的位置关系是________．5. （1分）(2019·大连模拟) 直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是________．6. （1分） (2020高二上·焦作期中) 已知等比数列的前项和，则实数 ________.7. （1分）在△ABC中，， AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为________8. （1分）(2020·江西模拟) 在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是________．9. （1分）(2017·广西模拟) 已知x、y满足，则z=x+2y的最大值为________．10. （1分） (2016高一下·盐城期中) 原点到直线2x+y﹣5=0的距离等于________．11. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC= ，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为________．12. （1分） (2016高一上·黄浦期中) 已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且 =1，则三角形面积的最小值为________．13. （1分）若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称，且α∈（﹣2π，2π），则α=________14. （1分） (2015高三上·上海期中) 已知P1（1，a1）、P2（2，a2）…Pn（n，an）、…是直线上的一列点，且a1=﹣2，a2=﹣1.2，则这个数列{an}的通项公式是________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2016高二上·南城期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．16. （10分） (2019高一上·株洲月考) 如图1，在直角梯形中，AB∥CD，，，， . 为的中点，在线段上，且MN∥AD.现沿边将四边形翻折，使得平面平面，如图2所示.（1）若为的中点，求证：BF∥平面﹔（2）证明：平面 .17. （15分） (2019高二上·沈阳月考) 已知函数，，数列满足，， .（1）求证；（2）求数列的通项公式；（3）若，求中的最大项.18. （5分）求过直线2x+3y+5=O和直线2x+5y+7=0的交点，且与直线x+3y=0平行的直线的方程，并求这两条平行线间的距离．19. （10分） (2019高一上·金台期中) 某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过am3时，只缴纳基本月租费c元；如果超过这个使用量，超出的部分按b元/m3计费．（1）请写出每个月的煤气费y（元）关于该月使用的煤气量x（m3）的函数解析式；（2）如果某个居民7～9月份使用煤气与收费情况如下表，请求出a，b，c，并画出函数图象；月份煤气使用量/m3煤气费/元7448101091619其中，仅7月份煤气使用量未超过am3 ．20. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足( 为常数，且 )．（1）求数列的通项公式及的值；（2）求．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共60分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

安徽省合肥市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018 高一下·包头期末) 直线 过点，且与以，公共点，则直线 斜率的取值范围是（ ）为端点的线段总有A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·宁夏月考) 设 是等差数列，公差为 ， 是其前 项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）A.B.C.D . 和 均为 的最大值3. （2 分） (2020 高二下·北京期中) 由均值不等式知道，，当且仅当时取等号；当时，由知道．如下判断全部正确的是（ ）A.有最小值 2，a+b 有最大值 4B.有最小值 2，a+b 有最小值 4C.有最小值 1，ab 有最大值 4D.有最小值 1，ab 有最小值 4第1页共9页4. （2 分） 设 θ 为第二象限的角，sinθ= ，则 sin2θ=（ ）A.B.C.﹣D.﹣5. （2 分） 已知函数，其中 MN 是半径为 4 的圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点，设函数 f（x）的最小值为 t，当点 P 在单位圆上运动时，t 的最大值为 3，则线段 MN 的长度为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分）中 为其内角，设，，且，则（）A. B.C. D. 7. （2 分）已知，,则A . －7等于（ ）第2页共9页B. C.7 D. 8. （2 分） (2020·松江模拟) 已知实数 A . 最小值是 2 B . 最小值是 C . 最大值是 2 D . 最大值是，且，则行列式的（ ）9. （2 分） (2019 高一下·浙江期中) 若 的值为（ ）为等差数列， 是其前 项和，且A.B.，则C. D. 10. （2 分） (2019 高一上·银川期中) 下列结论正确的是（ ） A. B. C.D.第3页共9页二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11. （1 分） (2019 高二下·广东期中) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，，则________.12. （1 分） (2016 高一上·上海期中) 不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0 的解是________．13. （1 分） (2020·吉林模拟) 已知数列 是等比数列，其前 项和为 ，，，则________．14. （1 分） (2017·黑龙江模拟) 实数 x，y 满足不等式组： 是________．15. （1 分） (2017 高一下·双鸭山期末) 在，则=________。

合肥一中、合肥六中2018—2019学年第二学期高一期末联考数学试题参考答案12601.【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选D．2.【答案】A【解析】在中，，，，即，由正弦定理得，，解得故选A．3.【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下，时，，时，，时，，时，，满足循环终止条件，此时，则输出的n值是9．故选C．4.【答案】B【解析】由图1得样本容量为，抽取贫困户的户数为人，则抽取C村贫困户的户数为人．故选B．5.【答案】A【解析】，故A正确；，故B不正确；是递减函数，又，所以，故D不正确．故选A．6.【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选B．7.【答案】D【解析】，，，，当且仅当，取等号，故选D．8.【答案】C【解析】在中，，,，．，，代入，，解得．的形状是等边三角形．故选C．9.（合肥六中学生做）【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为，设圆锥的底面半径是r，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是2，圆锥的表面积为．故选B．（合肥一中学生做）【答案】B【解析】向量、的夹角为，，，则．故选B．10.（合肥六中学生做）【答案】A【解析】作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积，四棱锥的体积，由三视图可知两个四棱锥大小相等，．故选A．（合肥一中学生做）【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数，且，，，的周期为4，时，，，，时，，．故选A．11.（合肥六中学生做）【答案】C【解析】当，即．当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此满足题意，应舍去；当，即时．关于x的不等式的解集为空集，，解得．综上可得：a的取值范围是．故选C．（合肥一中学生做）【答案】C【解析】函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数的图象，若，则，；解得，；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为T的整数倍，且．故选C．12.【答案】B【解析】因为，所以，所以．又时，，，所以最大值为1，最小值为．若对任意，都有，则且，所以，所以实数p的取值范围是．故选B．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13.【答案】【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：．故答案为．14.（合肥六中学生做）【答案】【解析】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理可得，，故答案为．（合肥一中学生做）【答案】【解析】若，，则，，可得，求得，故答案为．15.【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为1010．16.【答案】【解析】由题意可得：，解得：，设，则：，可得：，当且仅当时x取得最大值，，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）（合肥六中学生做）【解析】根据相似性可得：，解得：；……分设该正四棱柱的表面积为则有关系式因为，所以当时，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48……10分（合肥一中学生做）【解析】依题意，，，，故，将点的坐标代入函数的解析式可得，则，又，故，故函数解析式为……5分当时，，则，，所以函数的值域为……10分18.（本题满分12分）（合肥六中学生做）【解析】设数列的公差为d，由题意知：，解得，．所以．……5分由，，则有．则．所以，．……12分（合肥一中学生做）【解析】当时，，为R上的奇函数证明如下：，其定义域为R，则，故函数为奇函数；……5分当时，函数在R上单调递减，证明如下：，设，则，又由，则，则有，即函数为R上的减函数．……12分19.（本题满分12分）【解析】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；……6分由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率．AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为．……12分20.（本题满分12分）【解析】由及正弦定理，可得，即，由可得，所以，因为，，所以．……6分由得，又因为，所以的面积，把，带入得，所以，解得．……12分21.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，，，，，以上个式子相加得：时，时，，符合上式，；……6分Ⅱ得 (12)分22.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，说明理由可以是：离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，个数据点与回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，个数据点更加贴近回归直线l，个数据点与回归直线更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；……4分Ⅱ令，代入，故估计B同学的物理分数大约是81分；……7分Ⅲ由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为，物理标准分为，，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．……12分。

2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）1．（5分）下列事件是随机事件的是（）①当x≥10时，lgx≥1②当x∈R，x2﹣1=0有解③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα＞sinβ时，α＞βA．①②B．②③C．③④D．①④2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．4．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={4，8}现从集合A中任取一个数为a，从B中任取一个数为b，则b＞a的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．567．（5分）设方程2x+x=0，log2x+x=0，log2x﹣=0的实数根分别为a，b，c则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．（5分）△ABC三边a，b，c对应的角分别是A，B，C．若c2＜a2+b2+2abcos2C，则角C的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（） D．（，）10．（5分）若定义在[﹣2012，2012]上的函数满足：对任意x1，x2∈[﹣2012，2012]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，且x＞0时，有f（x）＞2011成立．令f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2011 B．2012 C．4022 D．4024二、填空题（每小题5分，共计5个小题．将正确的答案写在答题卡相应的横线上）11．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=．12．（5分）已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值是．13．（5分）已知||=5，||=3，||=7则向量与的夹角为．14．（5分）设数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），第三项及以后所有项和为S（3），…，第n项及以后所有项和为S（n）．若数列{S（n）}是首项为，公比为2的等比数列，则a n=．15．（5分）对任意x∈R，函数f（x）满足，设a n=[f （n）]2﹣f（n），数列{a n}的前15项的和为，则f（15）=．三、解答题（本大题共计6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．17．（12分）在文理分科前，为了了解高一学生成绩情况，某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内？请说明理由．18．（12分）某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．（1）若y=ax，其中a是满足的常数，用a来表示当售货金额最大时x 的值．（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．19．（12分）已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S n．20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R，a≠0）．（1）若a=1，b=﹣4，c=3，求f（x）＜0的解集．（2）若a＜0，c=﹣2，方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．求证：﹣4＜＜﹣1．（3）若函数f（x）的最小值为0，且a＜b，求的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立．定义数列{a n}和{b n}：a1=3，2a n=f（a n﹣1）+3（n=2，3，…），b n=，数列{b n}的前n项和S n．（I）求a、b的值；（II）求证：；（III ）求证：2016-2017学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计10个小题．在给出的四个选项中只有一个是正确选项）1．（5分）下列事件是随机事件的是（）①当x≥10时，lgx≥1②当x∈R，x2﹣1=0有解③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα＞sinβ时，α＞βA．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①当x≥10时，lgx≥1，属于确定事件，②当x∈R，x2﹣1=0有解，解得x=±1，属于确定事件③当a∈R，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，需要根据a的值确定解得个数，属于随机事件，④当sinα＞sinβ时，α＞β，属于随机事件，故选：C．2．（5分）设集合，集合B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．ϕB．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：集合={x|x≥﹣1}；集合B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B=（﹣1，+∞）∩[0，+∞）=[0，+∞）．故选：B．3．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．【解答】解：设此数列为{ a n}，则由题意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选：C．4．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={4，8}现从集合A中任取一个数为a，从B中任取一个数为b，则b＞a的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：b=4时，a=1，3，b=8时，a=1，3，5，7，故满足条件的概率P===，故选：B．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：B．6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．7．（5分）设方程2x+x=0，log2x+x=0，log2x﹣=0的实数根分别为a，b，c则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵当x＜0时，0＜2x＜1，则2x+x=0的实数根﹣1＜a＜0，当x＞0时，log 2x∈R，当0＜x＜1时，log2x＜0，∴log2x+x=0的实数根0＜b＜1，当x＞1时，log2x＞0，∴log 2x﹣=0的实数根分别为c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．8．（5分）△ABC三边a，b，c对应的角分别是A，B，C．若c2＜a2+b2+2abcos2C，则角C的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（） D．（，）【解答】解：∵c2=a2+b2﹣2abcosC，c2＜a2+b2+2abcos2C，∴﹣cosC＜cos2C，化为：（2cosC﹣1）（cosC+1）＞0，∴cosC，C∈（0，π），∴C∈．故选：B．10．（5分）若定义在[﹣2012，2012]上的函数满足：对任意x1，x2∈[﹣2012，2012]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，且x＞0时，有f（x）＞2011成立．令f（x）的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2011 B．2012 C．4022 D．4024【解答】解：∵对于任意x1，x2∈[﹣2012，2012]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2011，∴f（0）=2f（0）﹣2011，∴f（0）=2011，令x1=2012，x2=﹣2012，∴f（0）=f（2012﹣2012）=f（2012）+f（﹣2012）﹣2011，∴f（2012）+f（﹣2012）=4022．设x1＜x2∈[﹣2012，2012]，则x 2﹣x1＞0，∵x＞0时，f（x）＞2011，∴f（x2﹣x1）＞2011，∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2011＞f（x1），∴函数f（x）在[﹣2012，2012]上单调递增，∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2012）、N=f（﹣2012），则M+N=f（2012）+f（﹣2012）=4022．故选：C．二、填空题（每小题5分，共计5个小题．将正确的答案写在答题卡相应的横线上）11．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=﹣．【解答】解：tan2α=tan（α+β+α﹣β）===﹣，故答案为：﹣12．（5分）已知x，y满足|x|+|y|≤4，则z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值是2．【解答】解：由题意，|x|+|y|≤4，表示以（0，0）为中心，边长为4的正方形内部就是所求区域，z=（x+3）2+（y﹣3）2的表示为（﹣3，3）为圆心，为半径，当正方形与圆只有一个点时（外接），圆心到原点的距离为：3．可得：=3﹣2∴z=2，即z=（x+3）2+（y﹣3）2的最小值为2．故答案为：213．（5分）已知||=5，||=3，||=7则向量与的夹角为120°．【解答】解：∵|﹣|=7，∴∴=，∴cos＜＞==∵∴与的夹角为120°．故答案为：120°14．（5分）设数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），第三项及以后所有项和为S（3），…，第n项及以后所有项和为S（n）．若数列{S（n）}是首项为，公比为2的等比数列，则a n=﹣．【解答】解：根据题意，知：当n＜m时，有m≥n+1；∵S（n）是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，∴S（n）==4﹣，S（n+1）=4﹣；∴a n=S（n）﹣S（n+1）=4﹣﹣4+=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）对任意x∈R，函数f（x）满足，设a n=[f（n）]2﹣f（n），数列{a n}的前15项的和为，则f（15）=．【解答】解：∵，∴，两边平方得，即，即数列{a n}任意相邻两项相加为常数，则，即，又由，可得．故答案为：．三、解答题（本大题共计6小题，共75分）16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=，所以当sin2x=﹣1时，函数f（x）的最大值为，它的最小正周期为：=π；（2）因为==﹣，所以，因为C为锐角，所以；因为在△ABC 中，cosB=，所以，所以=．17．（12分）在文理分科前，为了了解高一学生成绩情况，某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内？请说明理由．【解答】解：（1）∵频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，∴第二小组的频率是：=0.08，∵第二小组频数为12，∴样本容量是n==150．（2）∵成绩在110分以上（含110分）为优秀，∴估计该学校全体高一学生的优秀率为：（1﹣）×100%=88%．（3）∵[90，120）的频率为：=0.46，[120，130）的频率为：=0.3，∴在这次测试中，学生数学测试成绩的中位数落在第四小组内．18．（12分）某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即定价为原来的（1+）倍，0＜x≤10，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．（1）若y=ax，其中a是满足的常数，用a来表示当售货金额最大时x 的值．（2）若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．【解答】解：（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+），n（1﹣），npz因而有：npz=p（1+）•n（1﹣），∴z=，在y=ax的条件下…（4分）z=，∵，∴10﹣ax＞0∴（10a+ax）（10﹣ax）≤，当且仅当10a+ax=10﹣ax，即x=时成立．即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=．…（8分）（2）由z=得0＜x＜5即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事（0，5）…（12分）19．（12分）已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S n．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，数列{b n}的公差为d，依题意得0+a1=1，①，d+a1q=1，②，2d+a1q2=2，③．由①②③解得：d=﹣1，q=2，a1=1∴a n=2n﹣1，b n=1﹣n∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=（1+2+…+2n﹣1）﹣[0+1+…+（n﹣1）]=﹣=2n﹣1﹣（n2﹣n）．20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R，a≠0）．（1）若a=1，b=﹣4，c=3，求f（x）＜0的解集．（2）若a＜0，c=﹣2，方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．求证：﹣4＜＜﹣1．（3）若函数f（x）的最小值为0，且a＜b，求的最小值．【解答】（1）解：a=1，b=﹣4，c=3，f（x）=x2﹣4x+3，由f（x）＜0，化为（x﹣1）（x﹣3）＜0．解得1＜x＜3，∴f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜3}．（2）证明：方程f（x）=x化为g（x）=ax2+（b﹣1）x﹣2=0，（a＜0），∵方程f（x）=x的两实根x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（1，2）．∴，即，化为，如图所示阴影部分，P（﹣1，4）．k OP=﹣4，∴．（3）解：f（x）=，∵函数f（x）的最小值为0，且a＜b，∴0＜a＜b，b2=4ac．令，===+4≥2+4=8，当且仅当t=3即b=3a＞0时取等号．∴的最小值为8．21．（14分）设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立．定义数列{a n}和{b n}：a1=3，2a n=f（a n﹣1）+3（n=2，3，…），b n=，数列{b n}的前n项和S n．（I）求a、b的值；（II）求证：；（III ）求证：【解答】解：（ I ）由|f （x ）|≤|2x 2+4x ﹣6|=2|（x +3）（x ﹣1）|得f （﹣3）=0，f （1）=0，故a=2，b=﹣3，∴f （x ）=x 2+2x ﹣3（II ）由2a n =f （a n ﹣1）+3=a n ﹣12+2a n ﹣1=a n ﹣1（a n ﹣1+2）（n ≥2）得，∴∴=∵2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1（n ≥2），∴2a n ﹣2a n ﹣1=a n ﹣12≥0（n ≥2）， ∴a n ≥a n ﹣1（n ≥2），从而a n ≥a n ﹣1≥≥a 2≥a 1=3＞0，即a n +1＞0，∴（III ）由2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1（n ≥2）得（a n ﹣1+1）2=2a n +1＜2（a n +1）（n ≥2）， 设a n +1=c n ，则c 1=4，且2c n ＞c n ﹣12（n ≥2）， 于是1+log 2c n ＞2log 2c n ﹣1（n ≥2），设d n =log 2c n ，则d 1=2，且1+d n ＞2d n ﹣1（n ≥2），∴d n ﹣1＞2（d n ﹣1﹣1）（n ≥2）， ∴d n ﹣1＞22（d n ﹣2﹣1）＞＞2n ﹣1（d 1﹣1）=2n ﹣1（n ≥2）， 从而n ≥2时， 当n=1时，，∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

安徽省合肥市庐江县2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）下列四个数中数值最大的是（）A．1111（2）B．16 C．23（7）D．30（6）2．（5分）为估测某校初中生的身高情况，现从初二（四）班的全体同学中随机抽取10人进行测量，其身高数据如茎叶图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．172，172 B．172，169 C．172，168.5 D．169，1723．（5分）某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10404．（5分）实验测得四组数对（x，y）的值为（1，2），（2，5），（4，7），（5，10），则y与x之间的回归直线方程可能是（）A．B．C．D．5．（5分）按下列程序框图运算，则输出的结果是（）A．42 B．128 C．170 D．6826．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7．（5分）在等比数列{a n}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值等于（）A．1 B．﹣C．1或D．﹣1或8．（5分）若x、y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．59．（5分）《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sin A：sin B：sin C=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．请在下面A题和B题中选做一题A题12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1、x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，且f（1）=0，则f（2017）=（）A．4032 B．2016 C．2017 D．4034B题13．（5分）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x、y∈R都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，1）B．[，1] C．（，1）D．（，1]二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），则数列{a n}的前12项和为．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若b sin A﹣a cos B=0，则A+C=．16．（5分）已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为y的取值范围是．请在下面A题和B题中任选一题A题17．（5分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则m的取值范围是．B题18．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分58分）19．（10分）已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长．21．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天P M2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多47吨，供电至多300千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少？23．（12分）某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．请在下面A题和B题中选做一题A题24．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1﹣2S n=1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=n+，求数列{b n}的前n项和T n．B题25．（12分）设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．【参考答案】一、选择题1．D【解析】对于A，1111（2）=1×1+1×2+1×4+1×8=15，对于C，23（7）=2×7+3×1=17；对于D，30（6）=3×6+0×1=18，∴四个数中数值最大的是18，即30（6）．故选D．2．B【解析】由茎叶图可知：这组数据为158，160，161，165，166，172，172，174，177，183，所以其中位数为=169，由茎叶图知出现次数最多的数是172，可得众数为172．故选B．3．D【解析】由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选D．4．A【解析】由题意可知=3，=6，回归直线方程经过（3，6）．代入选项，A符合．故选A．5．C【解析】模拟程序的运行，可得i=1，S=0执行循环体，S=2，i=3不满足条件i≥9，执行循环体，S=2+23，i=5不满足条件i≥9，执行循环体，S=2+23+25，i=7不满足条件i≥9，执行循环体，S=2+23+25+27，i=9满足条件i≥9，退出循环，输出S的值为：2+23+25+27=170．6．C【解析】∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cos C=∴∴△ABC是钝角三角形故选C.7．C【解析】∵在等比数列{a n}中，a3=7，S3=21，∴，化简得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或，故选C．8．C【解析】由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1）．化目标函数z=3x﹣2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣5．9．A【解析】因为sin A：sin B：sin C=（﹣1）：：（+1），所以由正弦定理得，a：b：c=（﹣1）：：（+1），又△ABC的周长为2+，则a=（﹣1）、b=、c=（+1），所以△ABC的面积S====，故选A．10．C【解析】在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的x范围为[1，2]，所以由几何概型的公式得到概率为；故选C．11．D【解析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．12．A【解析】f（1）=0，f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，…∴f（n）=2n﹣2．用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，f（1）=2×1﹣2=0，结论成立．（2）假设n=k时，结论成立，即f（k）=2k﹣2，则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k﹣2+2=2k，结论也成立，由（1）、（2）知，f（n）=2n﹣2．∴f（2017）=2×2017﹣2=4032．故选A．13．A【解析】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），即==f（1）=，∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=f（n）=（）n，∴S n==1﹣（）n，由1﹣（）n在n∈N*上递增，可得最小值为1﹣=，则S n∈[，1）．故选A．二、填空题14．﹣9【解析】a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），即有a n﹣a n﹣1=﹣（n≥2），可得数列{a n}为首项2，公差d为﹣的等差数列，则数列{a n}的前12项和为12×2+×12×11×（﹣）=﹣9．故答案为﹣9．15．120°【解析】在△ABC中，b sin A﹣a cos B=0，由正弦定理可得：sin B sin A=sin A cos B，∵sin A≠0．∴sin B=cos B，可得：tanB=，∴B=60°，则A+C=180°﹣B=120°．故答案为120°．16．8；（1，+∞）【解析】∵正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，∴x+2y=2xy≤，化为（x+2y）（x+2y﹣8）≥0，解得x+2y≥8，当且仅当y=2，x=4时取等号．则x+2y的最小值为8．由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，∴x=＞0，∴y（y﹣1）＞0，解得y＞1．∴y的取值范围是（1，+∞）．故答案分别为8；（1，+∞）．17．（﹣4，0]【解析】m=0时f（x）=﹣1＜0成立，或m≠0时，结合题意得：，解得：﹣4＜m≤0，因此实数m的取值范围（﹣4，0]．18．（﹣∞，）【解析】依题意，x∈[1，3]，mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立⇔m（x2﹣x+1）＜6恒成立，∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴m＜恒成立，x∈[1，3]，又当x=3时，x2﹣x+1取得最大值7，∴m＜（）min=，即m的取值范围是：m＜．故答案为（﹣∞，）．三、解答题19．解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．20．解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=ac sin B=，∴3c sin B sin A=2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C=；（2）∵6cos B cos C=1，∴cos B cos C=，∴cos B cos C﹣sin B sin C=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cos A=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sin B sin C=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．21．解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．所以所求的概率P==．（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得：a=0.004②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．22．解：设生产甲、乙两种产品各x吨、y吨，日产值为z万元由题意得x，y的约束条件为：，目标函数z=12x+8y，作出可行域（如图阴影）在图中作直线y=﹣x，当平移至过点A时，Z取最大值，联立两直线方程可得A（4，5），代入计算可得Z的最大值为88，故每天生产甲4吨，乙5吨，时日产值最大为88万元．23．解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），由二次函数的性质可得，当x=8时，y max=44，即有总利润的最大值为44万元；（2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0，由x+≥2=4，当x=2时，取得等号．由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．24．解：（1）a1=1，S n+1﹣2S n=1，即为S n+1+1=2（S n+1），即有数列{S n+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，则S n+1=2•2n﹣1=2n，即S n=2n﹣1，n∈N*，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，上式对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，n∈N*；（2）b n=n+=n+n•（）n﹣1，前n项和T n=（1+2+3+…+n）+[1•1+2•（）+3•（）2+…+n•（）n﹣1]，设M n=1•1+2•（）+3•（）2+…+n•（）n﹣1，M n=1•+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，相减可得，M n=1++（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n•（）n=﹣n•（）n，化简可得M n=4﹣（n+2）•（）n﹣1，则T n=n（n+1）+4﹣（n+2）•（）n﹣1．25．（Ⅰ）证明：若k=0，则f k（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为a n+S n=f k（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，a n+S n=2，①a n﹣1+S n﹣1=2，②①﹣②得2a n﹣a n﹣1=0（n∈N，n≥2）．若a n=0，则a n﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以a n≠0（n∈N*）．故数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，a n+S n=bn+c，③a n﹣1+S n﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2a n﹣a n﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{a n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a n=b﹣d（常数），而a1=1，故{a n}只能是常数数列，通项公式为a n=1（n∈N*），故当k=1时，数列{a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，a n+S n=pn2+qn+t，⑤a n﹣1+S n﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2a n﹣a n﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{a n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有a n=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以a n=1+（n﹣1）•2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{a n}能成等差数列，其通项公式为a n=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{a n}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则a n+S n的表达式中n的最高次数为2，故数列{a n}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a n}能成等差数列．。

2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知sinα＝，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5D．﹣64．（5分）为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A．2B．3C．4D．55．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105B．16C．15D．16．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，那么公比q的取值范围是（）A．q＞1B．0＜q＜1C．q＜0D．q＜19．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8B．9C．10D．1212．（5分）设2cos x﹣2x+π+4＝0，y+sin y•cos y﹣1＝0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1B．C．D．二、填空题13．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝．14．（5分）若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．15．（5分）已知非零向量，满足||＝1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是．16．（5分）已知f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）设函数f（x）＝•，其中向量＝（m，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，且函数y＝f（x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）＝（）x，数列{b n}满足条件b1＝2，f（b n+1）＝，（n∈N*），若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．22．（12分）已知f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k＝2，求方程f（x）＝0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．2015-2016学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知sinα＝，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：∵sinα＝且α是第二象限的角，∴，∴，故选：A．2．（5分）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．故选：D．3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5D．﹣6【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x+2y为，由图可知当直线过A（﹣1，﹣2）时z有最小值为﹣1+2×（﹣2）＝﹣5．故选：C．4．（5分）为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A．2B．3C．4D．5【考点】BA：茎叶图．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，＝91，∴635+x＝91×7＝637，∴x＝2，故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105B．16C．15D．1【考点】EF：程序框图．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s＝1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s＝1×3×5＝15．故选：C．6．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n＝＝6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m＝＝4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为＝．故选：C．7．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝cos[﹣（2x﹣）]＝cos（﹣2x）＝cos（2x﹣）＝cos[2（x﹣）]，∴将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度．故选：B．8．（5分）在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，那么公比q的取值范围是（）A．q＞1B．0＜q＜1C．q＜0D．q＜1【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，则a n＜a n q即a n（1﹣q）＜0若q＜0，则数列{a n}为正负交错数列，上式显然不成立；若q＞0，则a n＜0，故1﹣q＞0，因此0＜q＜19．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3M：奇偶函数图象的对称性；H7：余弦函数的图象．【解答】解：令y＝f（x）＝，∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数y＝为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选：D．10．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CF：几何概型．【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），则A（0，0），C（2，1），则•≥1等价为2x+y≥1，作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，当y＝0时，x＝，即E（，0），则△ADE的面积S＝＝，则五边形DCBE的面积S＝2﹣＝则•≥1的概率P＝＝，故选：D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8B．9C．10D．12【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：由题意得2S5＝﹣3+S10，∴S10﹣2S5＝3．由数列{a n}为等比数列可知，S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，∴（S10﹣S5）2＝S5（S15﹣S10），即S15﹣S10＝＝+S5+6≥2+6＝12，当且仅当S5＝3时上式“＝”成立．即有S15﹣S10的最小值为12．故选：D．12．（5分）设2cos x﹣2x+π+4＝0，y+sin y•cos y﹣1＝0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：由y+sin y cos y﹣1＝0，得y+sin2y﹣1＝0，令2y＝x﹣，代入方程上述方程可得：﹣+sin﹣1＝0，整理得：2cos y﹣2y+π+4＝0，满足已知条件．∴x﹣2y＝，则sin（2x﹣y）＝sin＝1．故选：A．二、填空题13．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝﹣6．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：由等差数列{a n}的公差为2，得到a3＝a1+4，a4＝a1+6，又a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2＝a1•（a1+6），解得：a1＝﹣8，则a2＝a1+d＝﹣8+2＝﹣6．故答案为：﹣614．（5分）若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为16．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y＝＝10+≥10+6＝16，当且仅当x+3y＝1，即＝y取等号．因此x+3y的最小值为16．故答案为16．15．（5分）已知非零向量，满足||＝1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC＝60°又由||＝||＝1由正弦定理＝得||＝sin C≤∴||∈（0，]故答案为：．16．（5分）已知f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】2H：全称量词和全称命题．【解答】解：∵f（x）＝，x∈R，∴f（﹣x）＝＝﹣＝＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（﹣∞，+∞）是为增函数，由f（m sinθ）+f（1﹣m）＞0，得f（m sinθ）＞﹣f（1﹣m）＝f（m﹣1），则m sinθ＞m﹣1，即（1﹣sinθ）m＜1，当θ＝时，sinθ＝1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴﹣1＜﹣sinθ＜0，0＜1﹣sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共70分）17．（10分）设函数f（x）＝•，其中向量＝（m，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，且函数y＝f（x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．【考点】9Y：平面向量的综合题．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝＝m（1+sin2x）+cos2x＝m+m sin2x+cos2x由已知，∴2m＝2即m＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当＝﹣1时，f（x）的最小值为此时2x+＝即{x|，k∈Z}18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）＝1，解得a＝0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25＝10．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（Ⅰ）∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝sin C，可得：2cos C sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，可得：C＝．（Ⅱ）由题意可得：S＝ab sin C＝，∴解得：ab＝6，又∵a2+b2﹣2ab cos＝c2，可得：（a+b）2﹣3ab＝c2，可得：（a+b）2﹣18＝c2，又a+b+c＝5+，∴（5+﹣c）2﹣18＝c2，∴解得：c＝．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）＝（）x，数列{b n}满足条件b1＝2，f（b n+1）＝，（n∈N*），若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1，a1＝2a1﹣2，即a1＝2，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2×2n﹣1＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（Ⅱ∵）f（x）＝（）x，f（b n+1）＝，（n∈N*），∴＝，∴＝，即b n+1＝b n+3，∴b n+1﹣b n＝3，b1＝f（﹣1）＝2，∴数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴b n＝3n﹣1，c n＝＝，∴T n＝+++…++，T n＝+++…++，两式相减得：T n＝1++++…+﹣，＝1+×﹣，＝1+（1﹣）﹣，∴T n＝2+3（1﹣）﹣，＝2+3•﹣，∴T n＝5•．21．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【考点】7F：基本不等式及其应用；HU：解三角形．【解答】解（1）在△ADE中，y2＝x2+AE2﹣2x•AE•cos60°⇒y2＝x2+AE2﹣x•AE，①又S△ADE＝S△ABC＝＝x•AE•sin60°⇒x•AE＝2．②②代入①得y2＝x2+﹣2（y＞0），∴y＝（1≤x≤2）；（2）如果DE是水管y＝≥，当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记f（x）＝x2+，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f（x）max＝f（1）＝f（2）＝5．∴y max＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．22．（12分）已知f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k＝2，求方程f（x）＝0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k＝2时，f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1＝0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1＝0解得由①②得当k＝2时，方程f（x）＝0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）＝0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）＝0得，所以k≤﹣1；由f（x2）＝0得，所以；故当时，方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1＝0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2＝0即，因为x2＜2，所以．。

2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（ ） A ．522 B ．324C ．535D ．578【答案】D【解析】根据随机抽样的定义进行判断即可． 【详解】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578 则第6个编号为578 本题正确选项：D 【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键． 2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算A 、B 两点的距离为（ ）A ．100mB ．C ．D ．200m【答案】A【解析】计算出ABC ∆三个角的值，然后利用正弦定理可计算出AB 的值. 【详解】在ABC ∆中，AC =，45ACB ∠=，105CAB ∠=，即30ABC ∠=，由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，sin 45sin 30AB ∴=o o，解得100AB = ，故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.4．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B【解析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C 村人口户数乘以10%，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数. 【详解】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户． 故选：B. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >【答案】A【解析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<Q ，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选：A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.6．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．716【答案】B【解析】设正方形的边长为2，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为42=，对应每个小等腰三角形的面积112224S =⨯=， 则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ． 【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 7．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x >，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】由圆锥展开图为半径为4的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积. 【详解】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.10．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=（ ）A ．BC ．D【答案】B【解析】利用平面向量数量积和定义计算出a b -==r r得出结果. 【详解】向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -====r r B ．【点睛】本题考查利用平面向量的数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将模进行平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查计算能力，属于中等题.11．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】先利用定义推导出函数()y f x =的周期，由奇函数的性质得出()00f =，可解出m 的值，然后利用周期性和奇函数的性质计算出()2019f 的值. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()y f x =的周期为4，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()010f m =-=，得1m =.所以，当01x ≤≤时，()21xf x =-.()()()()()120194505111211f f f f ∴=⨯-=-=-=--=-，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，在涉及函数多种对称性时，可利用定义推导出函数的周期性，利用函数的周期来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞【答案】C【解析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或240a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选：C ． 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 【答案】C【解析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果二、填空题16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【答案】2【解析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值. 【详解】1cos3A =Q ，sin 3A ∴==，23b c =Q ，且ABC ∆，1sin2ABC S bc A ∆∴=，1223c c =⨯，c ∴=b =由余弦定理得2229192cos 22232a b c bc A =+-=+-=，a ∴=故答案为：2． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，则()sin αβ+=___________. 【答案】2425【解析】将等式62sin 3c 5os αβ-=-和等式12cos 3s 5in αβ-=-都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出()sin αβ+的值. 【详解】若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-， 将上述两等式平方得22364sin 9cos 12sin cos 25αβαβ+-=，① 2214cos 9sin 12cos sin 25αβαβ+-=，②， ①＋②可得()374912sin 25αβ+-+=，求得()24sin 25αβ+=，故答案为：2425．【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =________【答案】1010【解析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m 的值即可. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 公差为d ， 则()32133S a a d ==+，又由11a =，35S a =，则()3114d d +=+，2d =， 则()11212019m a a m d m =+-=-=，解可得1010m =； 故答案为：1010． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．20．在ABC ∆中，150ABC ∠=o ，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=，若ABC ∆的BD 取到最大值时，AC =___________.【答案】【解析】由三角形的面积公式得出ac =，设BD x =，由ABC BCD ABD S S S ∆∆∆=+可得出x =，利用基本不等式可求出x 的值，利用等号成立可得出a 、c 的值，再利用余弦利用可得出AC 的值. 【详解】由题意可得11sin15024ABC S ac ac ∆===o ac =设BD x =，则144ABC BCD ABD S S S ax cx ∆∆∆=+=+=x =，由基本不等式可得1x =≤===，当且仅当a =时，x 取得最大值1，a ∴=2c =，由余弦定理得(2222222cos 22228AC b a c ac ABC ⎛==+-∠=+-⨯⨯= ⎝⎭，解得AC =． 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．底面半径为3，高为底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数；（2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．【答案】(1) 2(0h x x =<;(2) 正四棱柱的底面边长为的表面积最大值为48.【解析】试题分析：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系式224y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=， 解得：(20h x x =<<； （2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，因为0x <<x =48max y =，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求53x x -+-的最小值，那么可以看成是数轴上的点到5x =和3x =的距离之和，易知最小值为2、求导法等.22．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】(1) ()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2) 2⎡⎤⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）依题意， 2,,A T π==则2ω=， 将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得()26k k Z πϕπ=-∈，故=6πϕ-，函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由题意可得22363x πππ-≤-≤， 结合三角函数的性质可得函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.试题解析：（1）依题意， 22,4,2312A T ππππωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， 故()()22f x sin x ϕ=+. 将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得213sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()26k k Z πϕπ=-∈， πϕ<又，故=6πϕ-，故函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 22363x πππ-≤-≤ ，则2126sin x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 2226sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.点睛：求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos (ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin (ωx ＋φ)(或cos (ωx ＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<．【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.24．已知函数()()2221xxm f x m R --=∈+. （1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）将3m =代入函数()y f x =的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数()y f x =的奇偶性；（2）将函数()y f x =的解析式化为()1121xm f x -=-+，然后利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在R 上的单调性. 【详解】（1）当3m =时，()1221xx f x -=+，函数()y f x =为R 上的奇函数.证明如下：()1221xx f x -=+，其定义域为R ，则()()()()12212212121212x xx x xx x xf x f x -----⋅---====-+++⋅，故函数()y f x =为奇函数； （2）当1m >时，函数()y f x =在R 上单调递减.证明如下：()22112121x xx m m f x ---==-++，任取12x x <， 则()()()()()()2212111212121221111111121112222x x x x xx x x m m m m m f x f x ------⎛⎫⎛⎫-=---=-=- ⎪ ⎪++⎭+⎝+⎝⎭++，又由12x x <，则12220x x -<，则有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 因此，函数()y f x =为R 上的减函数． 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.25．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．【答案】（I ）n 50,0.004,0.018x y ===，910；（II ）914.【解析】试题分析：(I)根据频率直方图的相关概率易求n 50,0.004,0.018x y ===，依据样本估计总体的思想可得该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，求事件A 对立事件A 的的概率，可得()()109112814P A P A =-=-=. 试题解析：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====⨯⨯10.040.10.120.560.01810y ----==因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-⨯=人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910（II ）由茎叶图知，A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505⨯=人，记A 等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，则事件A 的可能结果为1213,,D D D D 14152324,,,,D D D D D D D D 25343545,,,D D D D D D D D 共10种因此()()109112814P A P A =-=-= 【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型.26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，14BD =，求c 边的长. 【答案】（1）23B π=；（2）5c =. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）利用余弦定理得出2239b c c =++，由三角形的面积公式1sin 2ABC S ac B ∆==12b BD ⋅，代入数据得出75b c =，将该等式代入等式2239b c c =++可解出c 边的长.【详解】（1）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()()sin sin sin B C A A π+=-=，所以()sin 2cos 10A B +=， 因为0A π<<，sin 0A >，所以1cos 2B =-，0B π<<，23B π∴=； （2）由于23B π=，由余弦定理得2222222cos 39b a c ac B a c c c c a =+==++++-，又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积11sin 22ABC S ac B b BD ∆==⋅，把3a =，23B π=，BD =75b c =，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了余弦定理和三角形面积公式来解三角形，解题时要根据题中相关条件列方程组进行求解，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.27．设数列{n a }满足12a =，12n n n a a +-=；数列{b n }的前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-． （Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝n n a b ，求数列{n c }的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）2,32n n n a b n ==-；（Ⅱ）110(35)2n n T n +=+-⋅【解析】（Ⅰ）根据数列递推式，利用累加法可得n a ，验证n=1也符合，可求出数列{n a }的通项公式；将已知()2132n S n n =-中的n 换为n-1，得到()(211[31)12n S n n -⎤=---⎦，作差可得32n b n =-，验证n=1也符合即可. （Ⅱ）由()32?2nn c n =-，利用错位相减法求和即可. 【详解】（Ⅰ）由已知，当n 2≥时，()()()()1112211222n n n n n n n a a a a a a a a ----⎡⎤=-+-+⋯+-+=++⋯+⎣⎦+2=2n ，又因为12a =，所以数列{n a }的通项公式为2n n a =．因为()2132n S n n =-，所以()(211[31)1n 22n S n n -⎤=---≥⎦（）， 两式作差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，因此所求通项公式为32n b n =-.（Ⅱ）由2,32n n n a b n ==-，可得()32?2nn c n =-， ∴()123124272322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ()()23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()()23123222322n n n T n +-=+⋅++⋅⋅⋅+--⋅ =()11422332212n n n ++-+⋅--⋅-， 整理得()110352n n T n +=+-⋅.【点睛】本题数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查了错位相减法求和，属于中档题. 28．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+.（1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置；（2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X X Z s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）．【答案】（1）0γγ<，理由见解析（2）81（3）C【解析】（1）不剔除,A B 两同学的数据，44个数据会使回归效果变差，从而得到0γγ<，描出回归直线即可；（2）将x=125代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.【详解】(1)0γγ<，说明理由可以是：①离群点A,B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由. （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+ 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分.（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82， 数学标准分为16161122110.511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈ 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈ 0.720.63>，故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些.【点睛】本题考查散点图和线性回归方程的简单应用，考查数据处理与数学应用能力.。

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合肥一中2015—2016学年第一学期高一期末试卷数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1。

2{4,21,}A a a =--，=B {5,1,9},a a --且{9}A B ⋂=，则a 的值是（ )A 。

3a = B. 3a =- C. 3a =± D. 53a a ==±或 2。

函数()14log 12-=x y 的定义域为（ )A 。

)21,0( B. )43(∞+，C ．)21(∞+， D 。

错误!3。

若方程032=+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1,则m 的取值范围是（ ）A. )2(∞+， B 。

)20(， C ．)4(∞+， D 。

)4,0( 4.设2150.a =，218.0=b ，5.0log 2=c ，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5。

为了得到函数)33sin(π-=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象( )A ．向右平移9π个单位长度 B ．向左平移9π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6. 给出下列各函数值：① 100sin ；②)100cos( -；③)100tan( -;④错误!.其中符号为负的是A ．①B ．②C ．③D ．④7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A. AD = 34AB +31ACB.1433AD AB AC =-C. AD = 31-AB +34ACD.4133AD AB AC =-8。