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北京师范大学《教育统计学》第七章 平均数差异的显著性检验5 20101129111436906

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平均数差异显著性检验

平均数差异显著性检验


独立样本：秩和检验法
适用资料
秩和检验法与参数检验中独立样本的t 检验相对应。当“总体正态” 这一前提不成立，不能使用t检验时以秩和检验法代替t 检验。
计算过程
具体步骤： ① 将两个样本数据混合由小到大进行等级排列（最小的为1等）； ② 设 n1 < n2 ，将容量较小的样本（ n1 ）中各数据的等级相加， 以T表示； ③ 把T值与秩和检验表（附表14）中的临界值比较，若T≤T1 或 T≥T2 ，则表明两样本差异有统计学意义；若T1<T<T2 ，则意味着两样本 差异无统计学意义。
s12 s22 n1 n2
（2）相关样本
Z DX DX SEDX
X X
1 2 1 2
12 22 2r 1 2 n
或
Z
D X DX SE DX

X
1
X 2 1 2 s12 s 22 2rs1 s 2 n
1
X 2 1 2
2 s12 s2 n 1
（1）两个样本容量均小于10 时（n1 ≤10 , n2 ≤10 ）
独立样本：秩和检验法
（2）两个样本容量均大于10 时（n1>10，n2>10） 一般认为当两个样本容量均大于10时，秩和的分 布接近正态分布，其平均数及标准差如下（n1≤n2） ：
n n n 1 T 1 1 2 2
配对样本：符号等级检验法（方法二）
（2）当N＞25 时 当N＞25 时，一般认为T 的分布接近正态分布。 其平均数、标准差分别为：
T
N N 1 4
N N 12 N 1 T 24
T T
因而可以进行Z 检验
7-2平均数差异的显著性检验

7-2平均数差异的显著性检验

平均数差异的显著性 检验
平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性检验是指通过从两个总 体中抽取出的两个样本来判断这两个总体的均值 的大小关系。 一、理论依据
抽样分布理论
• 两个平均数之差的标准误，是用一切可能的样本 平均数之差在抽样分布上的标准差来表示的： 1.相关样本：
SEX X
1 2
2 12 2 2r 1 2
Z X1 X 2
2 X 1
n1

2 X 2
n2
•
决断规则（查Z值表）： 同前
2.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：
X1 X 2
2 2 n1 X 1 n2 X 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
• •
检验统计量：
t
df n1 n2 2
决断规则（查t值表）： 同前

2.独立样本：
SEX
1X2

12
n1

2 2
n2
平均数差异的显著性检验
二、相关样本平均数差异的显著性检验 相关样本的两种情况： 1.同组前后测 2.配对组 1.相关大样本（n=n1=n2＞30）： • • 检验统计量： Z
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
n
决断规则（查Z值表）： 同前 2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
• •
检验统计量：
t
df n 1
n 1
决断规则（查t值表）： 同前
平均数差异的显著性检验
三、独立样本平均数差异的显著性检验 1.独立大样本（n1＞30、n2＞30）： • 检验统计量：
7平均数差异的显著性检验

7平均数差异的显著性检验

第三节 假设检验的基本原理
某心理学家认为，一般汽车司机视反应时平均 175ms。有人随机抽取26名司机为样本测定， 结果平均180ms，标准差20ms。能否根据测试 结果否定心理学家的结论？（假定视反应符合 正态分布）
有一家本地的饭馆为了提高午餐时间的生意而宣布举行 一次活动。为了促销，有20%的机打餐单将会根据随 机的原则印有一个红星，这标志着这一顿午餐是免费的。 你从活动开始后已经在这个饭馆就餐了4次了，但仍然 没有遇上免费午餐。你是否应该怀疑这次促销活动的真 实性呢？如果你8次后仍然没有，或16次后仍然没有又 该如何呢？你是应该抱怨还是将这归于坏运气呢？
研究假设
定义：研究者想收集证据予以支持的假设。 符号：H1 、Ha 内容：假设两均数之间存在真实的差异。 备择假设作为虚无假设的对立假设而存在，因此它也 是一个陈述命题。备择假设是对虚无假设的否定。
表示方法： 0
也称作备择假设、对立假设。
虚无假设和备择假设的关系
3. 将统计量的值与临界值进行比较，作出决策 统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝H0 双侧检验：│统计量│> 临界值，拒绝H0 左侧检验：统计量 < -临界值，拒绝H0 右侧检验：统计量 > 临界值，拒绝H0 也可以直接利用统计量对应的P值作出决策：
p值<，拒绝 H0
双侧检验的P 值
解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不 正常”。建立的原假设和备择假设为
H0 ： 10cm H1 ： 10cm
提出假设(例题分析)
【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少 于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检 其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈 述用于检验的原假设与备择假设。
第七章 平均数差异的显著性检验

第七章 平均数差异的显著性检验

第七章 平均数差异的显著性检验
一 平均数差异性检验的基本原理
• 含义： – 平均数差异的显著性检验是指对两个样本平均数之间 差异进行的显著性检验。 • 差异显著的表达： – 两个样本平均数所代表的总体之间的平均数有差异；
– 两样本平均数的差异已不能认为完全是抽样误差造成
的，两个样本平均数分别来自于不同的总体。
σ1、σ2分别表示第一个和第二个变量的总体标准差 r 表示两个变量的相关系数 n 表示样本的容量
一 平均数差异性检验的基本原理
• 2)当两个变量互相独立（相关系数为0）这两个变量之差
平均数标准误，即独立样本平均数之差的标准误：
• n1、n2分别表示第一个和第二个样本的容量
二
相关样本平均数差异的显著性检验
五
方差不齐性独立样本平均数差异的 显著性检验
练习
• 课后完成本章练习题。
感谢各位的参与！
1、两个总体均值之差的检验（配对样本的t检验）
• 检验两个相关总体的均值 – 配对或匹配 – 重复测量 (前/后) 利用相关样本可消除项目间的方差 假定条件 – 两个总体都服从正态分布 – 如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 , n2 30 )
• •
二
相关样本平均数差异的显著性检验
• 检验统计量为：
t
X -X s
1 1 2 2 d d
2 2

X -X
1 1
n -1
d
2 2
n n(n - 1)
-
d
2 2
2 2
自由度df ＝nD - 1
• 有兴趣可以推导
二
相关样本平均数差异的显著性检验
2、同一组对象情况
7教育统计学第七章

7教育统计学第七章


从两个正态总体中抽出样本，两总体标准差 未知，且样本容量 n1 30, n2 30 或有一个小于 30时
( X 1 X 2 ) (1 2 ) t SD
SD
(X
1
X1) ( X 2 X 2 )2ຫໍສະໝຸດ 2n1 n2 2
n1 n2 n1n2
X 1 ( X 1 ) / n1 X 2 ( X 2 ) 2 / n2 n1 n2 SD n1 n2 2 n1n2
2
n2 (n2 1)
例如：18个走读生与7个同龄住宿生自学能力得分如书上119页表7.5所示， 问走读生与住宿生自学能力是否有显著差异？
7.5 方差齐性检验
一、F分布

2 1
2 2
LOGO
s F s
2 1 2 2
n S＝ x n 1
由例1、2可知，独立样本，总体标准差未知 条件下，进行差异显著性检验，首先 首先 要进行总体方差齐性检验。
平均数之差 D
X1 X 2 的标准误为
D
1
2
n1

2
2
n2
第二节 相关样本平均数差异 的显著性检验
一、配对组情况 二、同一组对象的情况
从两个正态总体中抽出相关样本，两总体标 准差未知，且样本容量n<30（n>30）时
( X 1 X 2 ) (1 2 ) t SD
LOGO
第七章 平均数差异显 著性检验
平均数差异显著性检验是指根据两个样本平均
数的差异检验两个相应总体平均数的差异。

第一节 平均数差异性检验的基本原理
一、平均数差异性检验的原理
二、平均数之差的标准误
第七章 平均数差异的显著性检验

第七章 平均数差异的显著性检验


n
——第一个与第二个变量的总体方差； r——两个变量的相关系数 n——样本的容量（n对相关样本）
2 12 2
10
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
二、平均数之差的标准误 平均数之差的标准误——两个总体标准差已知 2、独立样本——
D

2 1
n1


2 2
n2
n1、n2——第一个与第二个样本的容量
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： 分别用平均数差异的标准误的三种不同形式计算t值： ①用D计算
t
D
D D
2
n( n 1)
( D ) / n
2
19
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ②用总体标准差估计值S计算
23
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 32人的射击小组经过三天集中训练，训练前后分数如表， 问三天集训有无明显效果？
检验的步骤：
（1）提出假设
H0：μ1≤μ2（或μD≤0） H1：μ1＞μ2（或μD＞0）
24
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 ——假定训练前后射击得分是从两个正态总体抽出的相关样 本，那么它们差数的总体也呈正态分布； ——而差数的总体标准差σD未知， ——于是样本的差数平均数与差数的总体平均数的离差统计 量呈t分布。 ——但因差数的数目n=32＞30，t分布接近正态，也可以用 Z检验近似处理。
25
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
第七章 平均数差异的显著性检验

第七章 平均数差异的显著性检验


五
方差不齐性独立样本平均数差异的 显著性检验
练习
• 课后完成本章练习题。
感谢各位的参与！
• •
二
相关样本平均数差异的显著性检验
• 检验统计量为：
t
X -X s
1 1 2 2 d d
2 2

ห้องสมุดไป่ตู้
X -X
1 1
n -1
d
2 2
n n(n - 1)
-
d
2 2
2 2
自由度df ＝nD - 1
• 有兴趣可以推导
二
相关样本平均数差异的显著性检验
2、同一组对象情况
从两个正态总体中抽出的相关样本，差数的总 体也呈正态分布，差数总体标准差未知，则样本差 数平均数与差数总体平均数离差统计量呈t 分布。 但n30，接近正态，可以用Z检验近似处理。
• n1、n2分别表示第一个和第二个样本的容量
二
相关样本平均数差异的显著性检验
1、两个总体均值之差的检验（配对样本的t检验）
• 检验两个相关总体的均值 – 配对或匹配 – 重复测量 (前/后) 利用相关样本可消除项目间的方差 假定条件 – 两个总体都服从正态分布 – 如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 , n2 30 )
自由度自由度dfdf相关样本平均数差异的显著性检验2同一组对象情况从两个正态总体中抽出的相关样本差数的总体也呈正态分布差数总体标准差未知则样本差数平均数与差数总体平均数离差统计量呈t分布
第七章 平均数差异的显著性检验
一 平均数差异性检验的基本原理
• 含义： – 平均数差异的显著性检验是指对两个样本平均数之间 差异进行的显著性检验。 • 差异显著的表达： – 两个样本平均数所代表的总体之间的平均数有差异；
平均数差异的显著性检验共33页文档

平均数差异的显著性检验共33页文档

两样本独立
t
X1X2
n1S12 n2S22 n1n2
n1n22 n1n2
（11．7）
d fn 1n22
例２：为了揭示小学二年级的两种识 字教学法是否有显著性差异，根据学生的 智力水平、努力程度、识字量多少、家庭 辅导力量等条件基本相同的原则，选择了 10对学生，然后把每对学生随机地分入实 验组和对照组。
例1:某幼儿园在儿童入园时对49名儿童 进行了比奈智力测验(σ=16)，结果平均智 商为106。一年后再对同组被试施测，结果 平均智商分数为110。已知两次测验结果的 相关系数为r=0.74，问能否说随着年龄的增 长和一年的教育，儿童智商有了显著提高？
解题过程
提出假设： H0:μ1≥μ2 H1: μ1＜μ2
Z X1 X2 S ED
X
（11．8）
⑴．两样本相关
Z
X1X2
12222r12
n
Z
X1X2
S12 S22 2rS1S2
n
（11．9）
⑵．两样本独立
Z
X1 X2
平均数差异的显著性检验
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
李毓秋
E-mail：lyqzhuhaisina
第十一讲
平均数差异的显著性检验-1
一．平均数差异显著性检验的统 计量及计算公式
106 110
12612620.7 41 616
49
1.71
确定显著性水平 显著性水平为α=0.05 做出统计结论 单侧检验时Ｚ0.05=1.65，Ｚ0.01=2.33 而计算得到的Ｚ=1.71﹡ Ｚ0.05 ＜|Z|＜Ｚ0.0１，则概率 0.05＞P＞0.01 差异显著,应在0.05显著性水平接受零假设 结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育， 儿童智商有了显著提高。
第七章 平均数差异的显著性检验

第七章 平均数差异的显著性检验


29
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
在教育研究中，相关样本应用受限，原因： ——前测对后测的影响； ——以及同质被试较难保证。 因此，常用独立样本对总体平均数的差异进行检验。 独立样本——两个样本内的个体是随机抽取的，它们之间不 存在一一对应关系，这样的两个样本称为独立样本。
30
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
SD
S1S2
2 S12 S 2 2rS1S 2 n
——第一个与第二个总体标准差的估计值 r——两个变量的相关系数
17
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ③用样本标准差σX表示
SD

2 X1

2 X2
2r X 1 X 2
n 1
18
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 两个样本容量n1和n2都大于30的独立样本称为独立大样本。 ——当两个总体标准差已知时，两个独立大样本平均数之差 的标准误为：
D

2 1

2 1
n1


2 2
n2
2 2 ——第一个与第二个变量的总体方差；
n1、n2 ——第一个与第二个样本的容量。
31
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
一、平均数差异显著性检验的原理 首先，提出 ——零假设（即两个总体平均数之间无差异H0：μ1-μ2=0） ——备择假设（H1：μ1-μ2≠0）。 然后，以两个样本平均数差的抽样分布为理论依据，来考察 ——两个样本平均数是否来自于这样的两个总体， 即这两个总体的平均数之差为零。 ——也就是看样本平均数之差在其抽样分布上出现的概率如何。
(优选)第七平均数差异的显著性检验

(优选)第七平均数差异的显著性检验


16
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤：
③用样本标准差σX表示
SD
2 X1
2 X
2
2r
X
1
X
2
n 1
17
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤：
分别用平均数差异的标准误的三种不同形式计算t值： ①用D计算
t
D D
D2 ( D)2 / n
n(n 1)
18
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤：
②用总体标准差估计值S计算
t
X1 X2
S12 S22 2rS1S2

19
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤：
③用样本标准差σX计算
t
X1 X2
2 X1
2 X
一、平均数差异显著性检验的原理 当样本平均数之差较小，在其抽样分布上出现的概率较大， 那么，应保留零假设而拒绝备择假设。 意味着，两个样本平均数是来自同一个总体或来自平均数 相同的两个总体，而样本平均数之差是由于抽样误差所致。
5
抽样分布
拒绝域 a/2
1 -a 接受域
置信水平 拒绝域
a/2
临界值
DX
临界值
1 2 0
样本统计量
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
二、平均数之差的标准误 平均数之差的标准误 ——是两个样本平均数差的抽样误差。 ——是用一切可能的样本平均数之差在抽样分布上的标准 差来表示。 由公式推导知： ——两个变量之差的平均数等于两个变量平均数之差。 ——两个变量之差的离差等于两个变量离差之差。
05第七章_平均数差异的显著性检验

05第七章_平均数差异的显著性检验


计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
3．两总体非正态， n1和n2大于30（或50）
总体标准差未知条件下，平均数之差的 抽样分布服从t分布，但样本容量较大，t分 布接近于正态分布，可以以Ｚ近似处理，因 此以Z′作为检验统计量，计算公式为：
计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
对本题做方差齐性检验
1．提出假设
H0
:
2 1
2 2
H1
:
2 1
2 2
2．选择检验统计量并计算
对两总体方差是否齐性进行检验，应选F 做检验统计量，其计算公式为
2．选择检验统计量并计算 两种识字教学法的测验得分假定是从两个正
态总体中随机抽出的样本,它们差数的总体也呈 正态分布。两总体标准差未知，因此平均数之差 的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量。
两样本为配对实验结果，属于相关样本，已 计算出相关系数，因此选公式（11.5）计算。
t
X1 X2
S12
106 110
162 162 2 0.741616
49
1.71
确定显著性水平 显著性水平为α=0.05 做出统计结论 单侧检验时Ｚ0.05=1.65，Ｚ0.01=2.33 而计算得到的Ｚ=1.71﹡ Ｚ0.05 ＜|Z|＜Ｚ0.0１，则概率 0.05＞P＞0.01 差异显著,应在0.05显著性水平接受零假设 结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育， 儿童智商有了显著提高。

教育统计学7、10、11章


表7.2
n
实验组 （启） 10
___
X
s
6.999
59.9
9 对照组 （传统）
50.3
7.714
解：这是两个独立小样本平均数差异显著性检 验——t检验 根据题义用右侧检验 1.提出假设： H0 : 1 2 2.选择检验统计量并计算其值： 公式：
H1 : 1 2
t
X1 X 2
2 2 ( n1 1) s1 ( n2 1) s2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
相关样本的两种情况
1.配对组：按某些条件基本相同的原则， 经过一一配对而成的两组被试，实行不 同的实验处理后，对同一个测验所得到 的两组测验结果是相关样本。 2.同一组对象：同水平的测验对同一组 被试在实验前后两次进行测验，所获得 的两组测验结果是相关样本。

例1 配对组平均值差异检验
为了揭示小学二年级的两种识字教学法是否有 显著性差异，根据学生的智力水平、努力程度、 识字量多少、家庭辅导力量等条件基本相同的 原则，将学生配成10对，然后把每对学生随机 地分入实验组和对照组，实验组施以分散识字 教学法，对照组施以集中识字教学法，后期统 一测验结果如表7.1所示。 问题：两种识字教学法是否有显著性差异？

x 2 值： 先计算理论频数 (2)计算
f
t
根据零假设健康状况为好、中、差人数的理论值为： 54*1/4=13.5 , 54*2/4=27,
o
54*1/4=13.5
x
2
(f

f
t
t
)2
f
2 2 2 （ 15-13.5） （23-27） （16-13.5） 2= + + =1.22 13.5 27 13.5
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F检验的基本步骤：
第一步：提出假设
第二步：选择检验统计量并计算其值
第三步：一般情况下，经常应用的是右侧 F检验。
第四步：统计决断 查附表3（第394页）。
例子：
例1：教科书160页；
例2：教科书162页。
t(17) 0.01 2.898
t (6)0.01 3.707
（2）将t的临界值代入t´临界值的计算公 式中（用多种算法，可以只选择其中的一种）， 得0.05显著性水平t´临界值的近似值为：
( S1 / n1 )t( df 1) 0.05 ( S 2 / n2 )t( df 2 ) 0.05 t0.05 ' 2.190 2 2 S1 / n1 S 2 / n2
断。
因为|t´|=5.981>3.090，P<0.01
所以，要拒绝零假设，其结论是：第二胎同
龄学生的自学能力极显著地优于独生子女。
第五节
方差齐性检验
定义：对两个总体的方差是否有显著性所 进行的检验称为方差齐性（相等）检验。
一、F分布
从方差相同的两个正态总体中，各随机抽
取一个样本，分别求出各自所属总体方差的估 计值，并计算这两个总体方差估计值的比值， 这个比值叫做F比值，用公式表示为：
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 （1）先根据自由度
df1 n1 1 18 1 17
df2 n2 1 7 1 6
查t值表双侧检验的临界值，分别找到 0.05显著性水平的t临界值
t(17)0.05 2.110
t (6)0.05 2.447
及0.01显著性水平的t临界值
2 2
0.01显著性水平t´临界值的近似值为：
t0.01
'
( S1 / n1 )t( f 1) 0.01 ( S 2 / n2 )t( df 2 ) 0.01 3.090 2 2 S1 / n1 S 2 / n2
2 2
(3)将实际计算得的t´值与t´的临界值比较，
根据表7.6中的t´检验统计决断的规则作出统计决
S12 F 2 S2
F分布的特点是：
1.F分布是一簇分布，随分子和分母的自 由度不同而有不同的分布曲线（见P159）。 2.F分布是正偏态的，即一簇正偏态的曲 线（不过，随着分子和分母自由度的增大而逐 渐趋于正态）。 3.F比值都是正的。 4.由于计算F比值时总把大的方差估计值 作为分子，小的作为分母，所以F比值≥1。
例子：
18个独生子女与7个同龄第二胎学生自学
能力得分如表7.5所示，问独生子女与第二胎学
生自学能力是否有显著性差异？（教科书第
154页）
解：1.提出假设
H 0 : 1 2
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
X1 X 2 t S12 S 22 n1 n2
'
330 / 18 233 / 7 5.981 2 2 8.381 2.911 18 7