南京航空航天大学《高等数学》6.4平面曲线的弧长

弧长
s=∫
β
α
r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
2 2
⎛ θ⎞ 例 5 求极坐标系下曲线 r = a ⎜ sin ⎟ 的长. 3⎠ ⎝ ( 0 ≤ θ ≤ 3π ) ( a > 0)
3
θ ⎛ ⎛ 解 ∵ r ′ = 3a⎜ sin ⎟ ⋅ cos ⋅ = a⎜ sin ⎟ ⋅ cos , 3⎠ 3 3⎠ 3 3 ⎝ ⎝
证 设正弦线的弧长等于 s1
s1 = ∫
2π 0
( 0 ≤ t ≤ 2 π ) 的周长 .
1 + y′ dx = ∫
2
2 2
2π
0
1 + a cos xdx
2 2
=∫
π
0
1 + a cos x dx + ∫
π
2π
π
1 + a 2 cos 2 x dx ,
= 2∫
0
1 + a 2 cos 2 xdx ,
根据对称性 s = 4s1 第一象限部分的弧长
π 2 0
2 3
2 3
2 3
= 4∫
π 2 0
′)2 + ( y′)2 dt = 4∫ 3a sin t costdt (x
= 6a .
例 4 证明正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) 的弧长
⎧ x = cos t 等于椭圆 ⎨ y = 1 + a 2 sin t ⎩
设椭圆的周长为 s2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
π
π
0
(sint )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
= 2∫ = 2∫
0
0
1 + a 2 cos 2 t dt 1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
π
故原结论成立.
x n
解
x 1 x y′ = n sin ⋅ = sin , n n n
s = ∫a
b
x = nt
= n∫
π
1 + y′ 2 dx = ∫
nπ
0
∫0
π
x 1 + sin dx n
2
1 + sin t ⋅ ndt
2
0
⎛ sin t ⎞ + ⎛ cos t ⎞ + 2 sin t cos t dt ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 2 ⎝
r ' + r dθ =
2 2
∫0
2π
π θ θ 2a | cos | dθ = 4a ∫ cos dθ = 8a 0 2 2
五、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
⎧ ⎪ 求弧长的公式 ⎨ 参数方程情形下 ⎪ ⎩
直角坐标系下
极坐标系下
思考题
闭区间[a , b] 上的连续曲线 y = f ( x ) 是否一定可求长？
= a∫
2π
∫0
2π
ds =
∫0
2π
x' 2 + y' 2 dt t t
0
2 − 2 cos t dt
= 2a ∫
2π
0
2π t t t 2π | sin | dt = 2a ∫ sin dt = −4a cos |0 = 8a 0 2 2 2
一段弧的长度.
解 ∵ y′ = x ,
1 2
∴ ds = 1 + ( x )2 dx = 1 + xdx ,
a b
1 2
所求弧长为
s = ∫a
b
2 1 + xdx = [(1 + b ) − (1 + a ) ]. 3
3 2 3 2
例2
计算曲线 y =
∫0 n sin θdθ 的弧长( 0 ≤ x ≤ nπ) .
⎛ sin t + cos t ⎞dt = n∫ ⎜ ⎟ = 4n. 0 ⎝ 2 2⎠
π
三、参数方程情形
⎧ x = ϕ (t ) , 曲线弧为 ⎨ ⎩ y = ψ (t ) (α ≤ t ≤ β )
其中ϕ ( t ), ψ ( t ) 在[α , β ]上具有连续导数.
= [ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )](dt )2 ds = (dx ) + (dy )
2 2
= ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) dt
弧长
s=∫
β
α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt . ϕ
例 3 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长.
⎧ x = a cos 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 解 星形线的参数方程为 ⎨ 3 ⎩ y = a sin t
四、极坐标情形
曲线弧为 r = r (θ )
(α ≤ θ ≤ β )
其中 r (θ ) 在[α , β ]上具有连续导数.
⎧ x = r (θ ) cosθ ∵⎨ ⎩ y = r (θ ) sinθ
2
(α ≤ θ ≤ β )
2
∴ ds = (dx ) + (dy ) = r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ ,
[
]
例7. 求心脏线r=a(1+cosθ) 的全长。 解：心脏线全长对应于r=a(1+cos θ ), θ ∈[0，2π]，
θ ∵ r ′ = − a sin θ, r ′ + r = a sin θ + a (1 + cos θ) = 4a cos 2
2 2 2 2 2 2 2 2
∴s =
∫0
2π
以小切线段的长代替小弧段Δ s 的长
2 2
a x x + dx b
xHale Waihona Puke Baidu
= 1 + y′ 2 dx 小切线段的长 ( dx ) + (dy ) ′ 2 dx 弧长元素 ds = 1 + y
曲线段的弧长
s = ∫ 1 + y′ dx .
b 2 a
2 32 例 1 计算曲线 y = x 上相应于 x 从 a 到 b 的 3
2
θ⎞
2
θ 1
θ⎞
∴ s = ∫α
=∫
β
r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ
θ⎞ θ⎞ a 2 ⎛ sin ⎟ + a 2 ⎛ sin ⎟ ⎜ ⎜ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝
6
2
3π
4
0
3π
⎛ cos θ ⎞ dθ ⎟ ⎜ 3⎠ ⎝
2
θ 3 = a ∫ ⎛ sin ⎞ dθ = πa. ⎟ ⎜ 0 3⎠ 2 ⎝
例 6
求阿基米德螺线r = aθ ( a > 0) 上相应于
θ 从0 到 2π 的弧长.
解
∵ r′ = a,
β
∴ s = ∫α
=∫
0
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
2
2π
a θ + a dθ = a ∫0
2 2 2
2π
θ + 1dθ
2
a = 2π 1 + 4π 2 + ln( 2π + 1 + 4π 2 ) . 2
第四节 平面曲线的弧长
平面曲线弧长的概念与计算 直角坐标情况 参数方程情况 极坐标情况
一、平面曲线弧长的概念
设 A 、 B 是曲线弧上的两 y 个端点，在弧上插入分点
M2 M1 M n −1
B = Mn
A = M 0 , M1 ,
Mi ,
A = M0
, M n −1 , M n = B
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长∑ | M i −1 M i |的极限存在，则称此极限为
i =1 n
曲线弧 AB 的弧长.
二、直角坐标系情形
y
设曲线 y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) ， 其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
} dy
用积分元素法: 取积分变量为 x ， o 在[a, b]上取小区间[ x, x + dx]，
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
⎧ x = a ( t − sin t ) , t ∈ [0,2π ]第一拱的长度。 求摆线 ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t )
解： ∵ x ′ = a (1 − cos t ), t
∴s =
y ′ = a sin t t