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由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

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由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性
众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，欲求其解，可通过著名的求根公式
得到．当已知系数a、b、c是一些具有多位有效数字的近似数时，求二次方程根的其它技巧方法(比如因式分解方法)已不适用，只有借助于计算工具(计算机、计算器)或手算，按此求根公式求得近似根了．这在理论上是成熟的方法，应该说它是完美无缺的方法，但在实际应用中却完全不是那么回事．在实际应用中，我们当然希望计算所得的结果，保留尽量多的有效数字．出于这一考虑我们需要对此求根公式做一些技术处理，这主要是指当｜ac｜即对于b2甚小时，(1)式中的某一个右端分子将出现两个非常相近的数相减情况，得到一
个很小的数，大大地损失掉已知数据中的宝贵的有效数字．其结果是使解答质量大打折扣，甚至严重失真，得不到我们所需要的信息．看如下例子：
例1 我们以近似数x1=8.143947×107，x2=1.871211×11-7(x1、x2都具有7
位有效数字)作为两根，构造一元二次方程：
(x-8.143947×107)(x-1.871211×11-7)＝0，
整理得(计算中仍保留7位有效数字)
x2-8.143947×107·x+15.239043＝0．(2)
下面我们利用求根公式重新计算这个构造出的方程的两根，计算中也保留7位有效数字，看看会发生什么情况，并做一些分析研究工作．
由求根公式(1)，得
即得x1＝8.143947×107，x2＝0．
这里x1的值相当不错，但x2的值已严重失真，可以说是面目全非了．实际上它已不满足原方程了．注意，我们构造二次方程(2)时，x2保留有7位有效数字，但由构造出的方程复原x2时，有效数字丧失殆尽！出现这种情况的原因，不难发现，是由于用求根公式(1)求x2时，分子出现了两个非常相近的数，8.143947×107与
为了避免上述不利情形的出现，我们需要将求根公式(1)作一改动，成为
按公式(3)计算x2可以有效地避免两个十分相近的数作减法，有效数字得以保存．公式(3)是将公式(1)的右端分子有理化所致．当然，在初等数学中，求根公式(3)不及公式(1)正规，或曰漂亮，因为在中学数学中，当一个题的答案分母
中含有根式时，人们习惯于将分母有理化，使根式集中于分子．这里的求根公式(3)有些违背习惯．但正是这个(3)式，在应用上有其不容置疑的优点．比如，用它计算例1中的解x2，有
＝1.871211×10-7，
它仍然保留了7位有效数字．
如此，求根公式(3)具有非常明显的优点．注意，我们解方程(2)的数值解时，是用公式(1)的第一式计算x1，用公式(3)的第二式计算x2．正如不宜用公式(1)两式统一计算根一样，也不宜用公式(2)两式统一计算根．你瞧，用公式(3)第一式计算x1有
x1之值不唯不精确，而且更糟糕，分母为0，计算成为不可能！
总结我们的分析，对例1，一次项系数b为负值，求其两根的计算公式(求根公式)为
对于一次项系数b为正值情况，求根公式应该取为
实用中，选取公式(4)或(5)的原则是：尽量避免出现两个相近数相减，以保存尽可能多的有效数字位．
善于观察的读者，一定会发现公式(4)、(5)与(1)、(3)相比无甚高明之处，它们只不过是在公式(1)、(3)的基础上用了一下韦达定理，即在x1求出的基础上按关系x2＝1/x1计算x2而已．但正是这样一处变化，却解决了此类数值计算的“稳定性”问题，使之成为一个好算法．
为了解决某个数值问题，需要选择一个算法．算法就是解题的公式、方法、程序系统．算法当然首先要有正确的理论基础与可行性，但除此之外还必须具有
稳定性，即计算结果误差对于初始数据的微小变动(比如产生不可避免的误差)具有稳定性，后者的微小变动不至于使前者产生极大误差而失真．上面求例1根的算法，用公式(1)的就不是稳定的算法，而按公式(4)或(5)的算法就是稳定的，是足可放心的算法．
有关算法稳定性的概念及应用，在中学数学中也多有涉及，这一内容虽不宜向中学生过早介绍，但作为一名数学教师，也是有必要了解一些的．
例2 已知某直线l的方程y＝ax+b，请在直角坐标系中绘出该直线．
当然，两点之间可以确定一条直线，任意取两横坐标值x1、x2，由方程可计算出相应的纵坐标y1、y2，得直线上两点只P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．在直角坐标
系中“点”出这两点，连结之，就得到所求作的直线ｌ．但这应使P1、P2距离不至于过小，因为太小时，由于“点”的位置误差可给直线带来相当大的误差．图1中，由两点P1、P2确定的直线是ｌ，但由于P2有误差到P2′点，确定的直线变到ｌ1，有相当大的误差．图1中由P1、P3也可确定直线ｌ，P1P3较大，P3虽有误差(与P2的相同)偏到P3′，但P1、P3′确定的直线ｌ2，误差就相对小得多．
设l1、l2分别为方程组之第1、2两方程代表的直线．图解法的解题思路是在直角坐标系下，绘出l1、l2的图形，找到它们的交点，图2中是点(x0，y0．), 此即为原方程组的解．但如果确定直线l1的两点取得太近，则作图误差就较大，l1偏离到l1′，同样绘出的直线l2也偏离到l2′位置，则题目最终得到的解是l1′、l2′的交点P0′(x0′、y0′)(在纸外，未画出)．它与精确值偏离相当的远，可能对于实际问题而言，已经完全失去了使用价值，得不到我们所需要的信息．为了提高解答的精确度，当初在作出直线l1(及l2)时选择其上的两点应该足够地“远”．。

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二次方程的求根公式

二次方程的求根公式

二次方程的求根公式二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。

求解二次方程的根是解决实际问题和推导数学关系的基础。

本文将介绍二次方程的求根公式以及应用实例。

一、求根公式对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解其根。

求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中±表示两个根，即正负号分别取加减。

√表示平方根。

二、实例分析下面通过几个实例来说明如何使用求根公式解决二次方程。

例一：求解方程x^2 - 3x - 4 = 0的根。

将a = 1，b = -3，c = -4代入求根公式可得：x = (3 ± √((-3)^2 - 4×1×(-4))) / (2×1)= (3 ± √(9 + 16)) / 2= (3 ± √25) / 2根据正负号的不同，可以得到两个根x1和x2：x1 = (3 + √25) / 2x2 = (3 - √25) / 2例二：求解方程2x^2 + 5x + 2 = 0的根。

将a = 2，b = 5，c = 2代入求根公式可得：x = (-5 ± √(5^2 - 4×2×2)) / (2×2)= (-5 ± √(25 - 16)) / 4= (-5 ± √9) / 4根据正负号的不同，可以得到两个根x1和x2：x1 = (-5 + 3) / 4 = -1/2x2 = (-5 - 3) / 4 = -2三、结论与应用通过以上实例的求解，可以得出以下结论：1. 一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个根，可以通过求根公式求解。

2. 如果判别式D = b^2 - 4ac大于0，则方程有两个不相等的实根。

初三数学教材二次方程的判别式与解的性质

初三数学教材二次方程的判别式与解的性质

初三数学教材二次方程的判别式与解的性质二次方程是初三数学教材中的重要内容之一。

在学习二次方程时，我们需要了解二次方程的判别式及其解的性质。

本文将详细介绍二次方程的判别式以及它们与解的性质之间的关系。

一、二次方程的判别式二次方程一般的表达式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

二次方程的判别式是指D = b² - 4ac。

判别式是通过计算而得出的一个值，它可以判断二次方程的根的性质。

判别式的值可以分为三种情况:1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根。

即方程有两个解，并且这两个解都是实数。

2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根。

即方程有两个解，但这两个解是相等的。

3. 当D < 0时，方程没有实数根。

即方程无解，解只能是复数。

二、判别式与解的性质之间的关系对于二次方程的判别式D和方程的根x1、x2，有以下关系成立：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根。

这表示方程的图像与x轴有两个交点，也就是两个解。

解的性质可以进一步被判别式来确定。

a. 若b > 0，则x1 < x2，即x1为小根，x2为大根。

b. 若b < 0，则x1 > x2，即x1为大根，x2为小根。

2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根。

这表示方程的图像与x轴有且仅有一个交点，也就是两个解相等。

3. 当D < 0时，方程没有实数根。

这表示方程的图像与x轴没有交点，也就是无解。

通过分析判别式与解的性质之间的关系，我们可以更好地理解二次方程的根的情况。

判别式的值可以帮助我们确定方程的解的个数以及它们的大小关系。

这对于解决实际问题时的应用非常重要。

三、例题分析为了更好地理解二次方程的判别式和解的性质，我们来看一个例题。

例题：解方程2x² - 5x + 2 = 0。

首先，我们需要计算判别式D的值。

根据公式D = b² - 4ac，代入a = 2，b = -5，c = 2，得到D = (-5)² - 4×2×2 = 1。

二次方程的求根公式推导与应用

二次方程的求根公式推导与应用

二次方程的求根公式推导与应用二次方程是代数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在本文中，我们将对二次方程的求根公式进行推导，并探讨其在实际问题中的应用。

一、求根公式的推导设二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

我们的目标是找到这个方程的解x。

为了方便推导，我们先将方程两边除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0。

接下来，我们使用配方法来将这个方程转化为平方完成的形式。

首先，我们将方程的左边进行配方：(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2，其中p为待定的实数。

通过比较方程x^2 + (b/a)x + c/a = 0和x^2 + 2px + p^2，我们可以得到以下等式：2p = (b/a) （式1）p^2 = c/a （式2）现在，我们将式1中的p代入式2中，得到p^2 = (b/a)^2 / 4。

进一步整理，我们可以得到p = b/2a。

接下来，我们使用完全平方公式，将二次方程转化为平方完成的形式：(x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a继续化简，我们得到：(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2现在，我们对上式两边都开平方，并解出x，得到二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a这就是二次方程的求根公式。

二、求根公式的应用二次方程的求根公式在实际问题中有着广泛的应用，我们将以一个实例来说明。

假设有一块矩形田地，长为x米，宽为(4 - x)米。

已知这个矩形田地的周长为20米，我们可以建立如下方程：2x + 2(4 - x) = 20将上述方程化简，得到：2x + 8 - 2x = 20解这个方程，可以得到x = 6。

通过代入x的值，我们可以进一步求得矩形田地的长和宽，分别为6米和(4 - 6)米，即2米。

这个例子中，我们利用二次方程的求根公式解决了一个实际问题，找到了矩形田地的长和宽。

一元二次方程式的求根公式

一元二次方程式的求根公式

一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。

幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。

一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。

它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。

而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。

为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。

一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。

那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。

而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。

这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。

首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。

如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。

判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。

接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。

如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。

通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。

在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。

无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。

在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。