一元二次方程的解法—公式法

一元二次方程公式法怎么解?对于ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac≥0时，x1=(-b+根号Δ）/(2a),x2=(-b-根号Δ）/(2a),１、配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=先将一元二次方程化成一般形式，然后求出（b2-4ac）的值，如果（b2-4ac）的值大于或等于0，那么将a、b、c的值代入求根公式即可求出方程的解；如果（b2-4ac）的值小于0，那么这个方程无解.十字相乖法一元二次方程求根共有三种解法，1。

“配方”这是比较基本的考试中经常会用。

2。

“十字相乘法”这是对比较熟练的人用的。

3。

“Δ”即B的平方减4AC大于0有两个不同的根，等于0有两个相同的根，小于0无解。

二次项系数小于0有最大值，大于开口向上有最小值一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)求根共有三种解法：1、“配方”这是比较基本的经常使用。

2、“十字相乘法”比较熟练的用。

3、用判别式“Δ=b2-4ac”求根。

即b的平方减去4ac，当Δ大于0时，有两个不同的根，Δ等于0时，有两个相同的根，Δ小于0时，无解。

当二次项系数a小于0，开口向下，有最大值，a大于0，开口向上，有最小值，_____-b±√b²-4acx= ——————2a这就是ax²+bx+c=0的解（b²-4ac≥0）。

一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。

解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。

一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。

1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。

与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。

当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。

根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。

需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。

此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。

2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。

一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。

（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。

公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。

一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。

例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。

2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。

（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。

2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。

3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。

第6课时 22.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。

）2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。

）（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x（老师点评）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．二、探索新知用配方法解方程（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=- 配方，得：x 2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0 ∴（x+）2=()2 直接开平方，得：x+=± 即x= ∴x 1=，x 2= 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

一分耕耘 一分收获 1 一分耕耘 一分收获§22.2.4一元二次方程的解法—公式法【学习目标】1．掌握求根公式的概念及推导. 2．运用公式解一元二次方程.3. 能初步判断一元二次方程是否有根.【学习重难点】1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．3．熟练地用求根公式解一元二次方程． 【知识链接】用配方法解一元二次程的一般步骤:1.二次项系数化为１,２．移项：３．配方：４.当n 0≥时；用 法求解；当0 n 时，方程没有实数根。

【学习过程】：一． 创设情境，导入新课１. 思考：方程09822=--x x 用配方法如何解？二．合作交流２．用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的一元二次程 解：因为0≠a ，方程两边都除以ａ，得移项：得配方，得即 因为0≠a ，所以042a ，当042≥-ac b 时，直接开平方得所以x= 即=x 1 =x 2 由以上的研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：：思考：这里为什么强调042≥-ac b ?如果042ac b -，会怎么样呢？用求公式根解一元二次方程的方法叫做总结：用求公式根解一元二次方程的步骤：1.一化：将方程化为一元二次方程的 ；2.二定：确定a,b,c 的值及 的值；3.三代：若 042≥-ac b ，则代入求根公式 ，求出方程的两个实数根；若042ac b -，则方程无实数根。

三．应用迁移，巩固提高例１.用公式法解方程122=-x x 步骤解：0122=--x x （ ） 因为a=1, b=-2，c=-1 （ ）ac b42-=()08114)2(2=-⨯⨯-- （ ）所以x=128)2(⨯±-- （ ）即211+=x ，212-=x （ ）课型：新授课 编号： 编写人：李春晖 审核组：数学组 审核人：谢晴 姓名 班级 编写日期：2013.8.6编号：16师生札记一分耕耘 一分收获 2 一分耕耘 一分收获练习：1. 042=+x x 2. 1252=x例2用公式法解方程0132=++x x总结：当042=-ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根。

一元二次方程的解法——公式法1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式 ，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

问题：求根公式是怎样得来的呢？如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？？已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2．一元二次方程的判别公式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,1x =，2x =； ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根，122b x x a-==； ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根；3.一元二次方程跟与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：， （也称韦达定理）。

4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况； ③在的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。

一元二次方程解法的公式一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是使用公式法。

公式法是指通过求解一元二次方程的解法公式来求解方程的根。

这个公式叫做“二次方程求根公式”，也叫做“根公式”。

二次方程求根公式是这样的：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a其中，±表示两个解，√表示开方，b²-4ac叫做判别式。

这个公式的意义是，对于任意一个一元二次方程ax²+bx+c=0，我们可以通过这个公式求出它的两个解x1和x2。

具体来说，我们需要先计算出判别式的值，如果判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，则方程有一个实数根；如果判别式小于0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

接下来，我们可以根据公式计算出方程的两个解。

需要注意的是，如果判别式小于0，则需要使用复数的运算方法来计算解。

例如，对于方程2x²+3x-5=0，我们可以先计算出判别式的值：b²-4ac = 3²-4×2×(-5) = 49因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。

接下来，我们可以使用公式计算出方程的两个解：x1 = (-3 + √49) / 4 = 0.5x2 = (-3 - √49) / 4 = -2因此，方程2x²+3x-5=0的两个解分别为0.5和-2。

二次方程求根公式是解一元二次方程的重要工具之一。

通过这个公式，我们可以快速、准确地求解一元二次方程的根，从而解决各种实际问题。

求一元二次方程解的公式
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法，求根公式等，接下来看一下具体内容。

一元二次方程的解法公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。

（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。

公式法解一元二次方程一元二次方程是数学领域中常见且重要的方程形式。

这种方程可以表示为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b和 c 分别表示常数，而 x表示未知数。

解一元二次方程的方法有很多种，例如因式分解法、配方法等。

本文将重点介绍一种常用的解法，即公式法。

公式法是通过使用一元二次方程的求根公式，来求解该方程的根。

求根公式有两个，分别是负根公式和正根公式。

下面将详细介绍这两个公式以及如何使用它们解一元二次方程。

对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，首先需要计算出判别式Δ，Δ 的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

根据Δ 的值可以得出方程的根的情况：1. 如果Δ > 0，即判别式大于零，方程有两个不相等的实数根。

此时，可以使用正根公式和负根公式进行求解。

正根公式的计算公式为 x_1 = (-b + √Δ) / (2a)；负根公式的计算公式为 x_2 = (-b - √Δ) / (2a)。

通过带入这两个公式，可以得到方程的两个根。

2. 如果Δ = 0，即判别式等于零，方程有两个相等的实数根。

此时只需要使用一种求根公式。

求根公式的计算公式为 x = -b / (2a)。

带入这个公式，可以得到方程的根。

3. 如果Δ < 0，即判别式小于零，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

此时只需要使用虚数单位 i，其定义为√(-1)。

求根的计算公式为 x_1 = (-b + i√|Δ|) / (2a)；x_2 = (-b - i√|Δ|) / (2a)。

通过带入这两个公式，可以得到方程的根。

下面通过一些实例来说明公式法的应用：例1：求解方程 2x^2 - 3x - 2 = 0。

首先计算判别式Δ = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25。

由于Δ > 0，所以方程有两个实数根。

然后，根据正根公式和负根公式计算根：x_1 = (-(-3) + √25) / (2(2)) = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2；x_2 = (-(-3) - √25) / (2(2)) = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5。