乘法公式的综合运用

乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。

先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。

摊主正在算着成本和利润。

他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。

那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。

这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。

还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。

比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。

如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。

乘法公式在代数运算中更是大显身手。

比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。

先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。

是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。

这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。

乘法公式在几何图形中也有出色的表现。

比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。

学科教师辅导讲义【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312； （2）()()a b b a 3232++- ； （3）()()2323-+-m m .【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ）A. ()2222a b a ab b +=++；B. ()2222a b a ab b -=-+；C. ()()22a b a b a b -+=-；D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.2．下列计算中可以用平方差公式的是（ ）A.()()22--+a a ；B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121； C.()()y x y x -+-； D.()()22y x y x +-.3.如图，在边长为a 的正方形内减去边长为b 的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用,a b 表示梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

4.如图，边长为,a b 的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用,a b 表示出梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+- ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+3121312122x x .【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+ （1）（2xy+1）（1-2xy ）； （2）（3x-4a ）（4a+3x ）.4、计算：200620052006200565654343212122222222+-+++-++-++- 。

1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

八 年 级 数 学
第十五章
第一节
乘法公式
湖南师大附中博才实验中学
温故知新
平方差公式的文字叙述：
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。 平方差公式的字母表示：
(a b)(a b) a b
2
2
温故知新
乘法公式 完全平方公式的文字叙述：
两个数的和(或差)的平方，等于这 两个数的平方和，加上(或减去)它们的 积的2倍。
2 2 2
1 x 2 2 x
2
⑶-3(x+1)(x-1)- (3x+2) (2-3x) ; ⑷ (a+2b)2 (a-2b)2
2、计算：
(1)(2a b c)(b c 2a)
(2)( x 2 y 3z)( x 2 y 3z)
3.解不等式(2x+5)(2x-4)>(2x-7)2
4、已知(a+b)2=25,(a-b)2=17,求 (1)a2+b2的值； (2)ab的值；
完全平方公式的字母表示：
(a b) a 2ab b
2 2
2 2
2
(a b) a 2ab b
2
范例精析
例3 计算：
(1)( y 3) ( y 3)
2
2
(2)(x 1) ( x 1)
2பைடு நூலகம்
2
1、计算： ⑴(6x-9)2-2x (x-3 ) ;
⑵ (a-2b)(a+2b)- (a-2b)2
1 1 5.已知x+ =4，求:(1)x2+ 2 x x 1 2 (2)(x- ) x
小结 1.完全平方式：

4.家长配合监督，关注学生的作业进度，确保作业质量。
5.教师及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
d.总结：引导学生总结乘法公式的特点、应用规律和注意事项。
e.作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
4.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
b.终结性评价：通过课后作业和阶段测试，评价学生对乘法公式的掌握程度。
c.个性化评价：针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。
2.完全平方公式：继续采用具体数字，让学生观察并归纳出完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。同时，引导学生了解完全平方公式的变式，如a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.公式的推导与应用：通过几何图形、实际例题等方式，讲解乘法公式的推导过程和应用方法，让学生理解乘法公式的实际意义。
2.情境导入：展示一个与学生生活相关的实际问题，如计算一个正方形与一个长方形的面积差，引发学生思考如何简化计算过程，从而引出乘法公式的学习。
（二）讲授新知
1.平方差公式：以具体的数字为例，引导学生观察并发现两个数的平方差与这两个数的和与差之间的关系。通过实际计算，总结出平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握乘法公式的综合运用，包括平方差公式、完全平方公式以及它们的变式。
2.培养学生运用乘法公式进行简便计算的能力，提高运算速度和准确性。
3.通过对乘法公式的运用，使学生能够解决一些实际问题，如面积计算、速度问题等。

乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有： (1)ab b a b a 2)(222 ±=+， 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ．5．已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8．若（x －y ）2＋N=x 2＋xy ＋y 2,则N 为（ ）。

乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。

一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。

例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。

例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。

例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。

例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。

例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。

例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。

例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。

例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。

三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设有利于学生思考和探究的情境，激发学生的学习兴趣。如：购物时如何计算价格、装修房屋时如何计算材料用量等。
2.故事情境：通过生动有趣的故事，引出乘法公式，使学生在轻松愉快的氛围中学习。如：讲述古代数学家发现乘法公式的故事。
3.竞赛情境：组织学生进行小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高他们的学习积极性。如：平方差公式接龙游戏。
1.组织学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。如：小组内讨论如何运用乘法公式解决实际问题。
2.鼓励学生发表自己的观点和见解，培养他们的创新意识和批判性思维。如：小组内成员互相评价对方解题方法的可行性和优缺点。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。如：让学生回顾学习乘法公式时的困难和对策，分享心得体会。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
一、案例背景
在我国基础教育课程改革背景下，人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用作为数学学科的重要内容，旨在帮助学生理解和掌握乘法公式的本质，提高他们在实际问题中的应用能力。本章节内容涉及平方差公式、完全平方公式等，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
2.采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高他们的自信心和自我价值感。如：以小组为单位进行评价，侧重于团队合作、创新能力和解决问题能力的评价。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：教师通过展示一组实际生活中的图片，如购物、装修等，引导学生观察和思考其中的数学问题。如：展示一张购物小票，让学生计进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。同时，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高了他们的自信心和自我价值感。

实践活动中的实验操作部分，学生们对立方和与立方差公式的直观理解有了显著提高。但我认为，这部分内容的教学还可以进一步深化，比如通过更多的实际操作和物理模型来加强学生对立方公式的感知。
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。

例题讲解
例 求代数式的值：
(1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值； 解： ∵a 2−b 2=6，(a +b)(a−b ) =a 2−b 2，
∴(a+b)(a−b)=6， 又∵a+b=2， ∴a−b=3；
初中数学
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
当x=3，y=−2时， 原式= 6xy+18y2
= 6×3×(−2)+18×(−2)2
=36.
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值； (2)已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值；
=x2−(y−1)2 =x2−(y2−2y+1)
=x2−y2+2y−1．
初中数学
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
(1) (x+y+1)(x+y−1); (2) (x+y−1)(x−y+1)．
=[(x+y)+1][(x+y)−1] =[x+(y−1)][x−(y−1)]
两个三项式相乘
添括号法则
乘法公式： (a+b)(a−b) =a2−b2；
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，

2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。

这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。

通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。

但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。

因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。

2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。

2.准备一些实际问题，让学生进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。

学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。

4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。

5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。

乘法公式的综合运用计算题在咱们的数学学习中啊，乘法公式那可是个相当重要的家伙！像什么完全平方公式、平方差公式，在解决计算题的时候，那用处可大了去了。

就拿这么一道题来说吧，计算$(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2$。

这道题看着是不是有点让人头疼？别急，咱们一步步来。

先看前面的$(3x + 2y)^2$，根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，那它就等于$9x^2 + 12xy + 4y^2$。

再看后面的$(3x - 2y)^2$，同样根据完全平方公式，它就是$9x^2 - 12xy + 4y^2$。

然后把这两个式子相减，$9x^2 + 12xy + 4y^2 - (9x^2 - 12xy +4y^2)$，去括号可得：$9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2$这时候，好多项就可以相互抵消啦，$9x^2 - 9x^2 = 0$，$4y^2 -4y^2 = 0$，剩下的就是$12xy + 12xy = 24xy$。

再比如说这道题，计算$(2a + 3b)(2a - 3b)$，这就得用到平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

所以这道题就是$(2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$。

记得有一次，我给班上的同学讲这类题，有个小同学总是搞不清楚什么时候用完全平方公式，什么时候用平方差公式。

我就跟他说：“你就想象啊，完全平方公式就像是一个大大的正方形房子，有自己的‘房顶’和‘四面墙’，都要算清楚；平方差公式呢，就像是两个长方形，一减就得出差别啦。

”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，后来做题的时候也很少出错啦。

还有像计算$(x + 5)^2 - (x - 5)^2$这样的题目。

按照前面的方法，先分别展开，$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$，$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$，再相减，$x^2 + 10x + 25 - (x^2 - 10x + 25) = 20x$。

学习乘法公式的十个层次乘法公式是初中数学中极其重要的公式，应用十分广泛．解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的．下面谈谈学习乘法公式的十个层次．一、对号入座，直接套用公式分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，直接套用公式．例1 计算：(－85＋13x2)(－85－13x2)．分析两个因式中的－85完全相同，而13x2与－13x2互为相反数，因而可运用平方差公式计算．解原式＝（－85）2－（13x2）2＝7225－169 x2．二、连续运用乘法公式例2 化简：(a－1)(1＋a)(1＋a2)(－1－a4)．分析观察式子的结构特征，若将（－1－a4）变为－(1＋a4)，可连续运用平方差公式．解原式＝－（a2－1）(a2＋1)（a4＋1）＝－（a4－1）（a4＋1）＝－（a8－1）＝1－a8．三、符号变形后连续运用乘法公式例3 化简：(a－2)(－2－a)(4＋a2) (16＋a4)．分析观察式子的结构特征，发现将（－2－a）变为－（a＋2）后，连续运用平方差公式既简单又快捷．解原式＝－(a＋2)(a－2)(a2＋4) (a4＋16)＝－（a2－4)(a2＋4)(a4＋16)＝－（a4＋16）（a4－16）＝256－a8．四、拆项变形后运用乘法公式例4 化简：（7x－5y＋3）（－7x－5y－9）．分析若将本题两个因式中的项分别进行拆项变形：前一因式的“3”拆成“－3＋6”，后一因式的“－9”拆成“－3－6”，再通过合理分组，即符合平方差公式的特征，从而巧用公式，简捷求解．解原式＝(7x－5y－3＋6)(－7x－5y－3－6)＝[(－5y－3)＋(7x＋6)][(－5y－3)－（7x＋6）]＝（－5y－3）2－（7x＋6）2＝25 y2－49x2＋30y－84x－27．五、添项变形运用乘法公式在不改变原式值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．例5 计算：[3(22＋1](24＋1)(28＋1)－216]2018．分析将“3”写成(22－1)，如此变形后即可连续运用平方差公式．解原式＝[(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)－216 ) 2018＝[(24－1)(24＋1) (28＋1)－216] 2018＝[(28－1) (28＋1)－216]2018＝[ (216－1)－216]2018＝(－1)2018＝1．六、分组结合后逆用乘法公式例6 计算：20202－20192＋20182－20172＋…＋10002－9992＋…＋1002－992＋982－972＋…＋22－12．七、变形后逆用乘法公式例7 求满足方程5x2－12xy＋10y2－6x－4y＋13＝0的x、y的值．分析观察到，通过配方并逆用完全平方公式将方程左边化成三个完全平方式和的形式，再利用非负数的性质即可．解通过拆项、配方原方程可化为(4x2－12xy＋9y2)＋(x2－6x＋9)＋(y2－4y＋4)＝0，即(2x －3y)2＋(x－3)2＋(y－2)2＝0．八、正逆联用乘法公式根据题设条件和待求式的结构特征，乘法公式既可顺用，又可逆用．例8 已知14（b －c ）2＝(a －b)(c －a)，且a ≠c ，求b c a+的值． 分析 欲求b c a +的值，则需b ＋c 与a 之间的等量关系，而条件等式正好是a 、b 、c 之间的关系式，因此运用完全平方公式和多项式乘法将原式变形，再逆用完全平方公式即可达到求值目的．九、综合运用乘法公式例9 正数x 、y 、z 满足xy ＋yz ＝1022，求x 2＋5y 2＋4z 2的最小值．十、乘法公式变式的应用乘法公式常见的变形有：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ；a 2＋b 2＝()()222a b a b ++-； ()()()22222a b a b a b ++-=+；()()221144ab a b a b =+-- 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()224ab a b a b =+--这些变形公式，在解题中有着广泛的应用．在运用公式时，不应拘泥于公式的形式需要深刻理解、灵活运用． 例10 已知a ＋b ＝70，c 2＝ab －1225，求a 、b 、c 的值．分析 此题运用积化和差公式ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解题过程极为简捷． 解 ∵ab 2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而a ＝b ，c ＝0．代入已知式，解得a ＝b ＝35，c ＝0．。

课前学习任务
请同学们复习前面几节课学习的知识，包括平方差公式和完全平方公式，以及填括号法则.
课上学习任务
【学习任务一】乘法公式的综合运用
【例1】运用乘法公式计算：
(1)(x+y+1)(x+y−1)；
(2)(x+y−1)(x−y+1)．
【例2】运用乘法公式计算：
(1) (x+2) (x2+4) (x−2)；
2．复习课本第107-111页相关内容，并在教科书上圈画出本节的主要知识点.
(2) (x+2y)2(x−2y)2；
(3)(x+y)2−(x−y)2．
【巩固练习1】运用乘法公式计算：
(1)(2x−3y−1)(2x+3y+1);
(2)(2a+b)2−(b−2a)2．
【学习任务二】乘法公式的变形形式
【例3】求代数式的值：
(1)已知a+b=2，a2−b2=6，求a−b的值.
(2)已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
课程基本信息
课题
乘法公式的综合运用
教科书
书名：义务教育教科书 数学 八年级上册
出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
1.熟练运用平方差公式与完全平方公式进行计算；
2.根据题目要求选择不同的乘法公式进行运算；
3.提高对乘法公式综合运用的能力以及分析问题、解决问题的能力.
总结：对于完全平方公式，常用的变形形式：
a2+b2=；
=(a−b)2+2ab；
】已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.

典题精练例题4答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方求最值配方法求下列式子的最值：当为何值时，有最小值．(1)当为何值时，有最大值．(2)．(1)．(2)，故当时，最小值为．(1)，故当时，最大值为．(2)例题5答案解析标注式>整式的加减>整式的定义配方法求的最值．，所以有最小值．例题6典题精练标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算例题12答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：和与差的立方公式已知，求证：．证明见解析例题13答案解析已知：，，求：．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)(3)标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方思想的运用；或．；或．(4)例题14答案解析已知，，求的值．．方法一：∵，∴．又因为，∴，．标注式>整式的乘除>整式的乘除运算>题型：多乘多∵，∴．方法二：可得，则，．例题15答案解析已知：，求下列各式的值．．(1)．(2)．(3)．(1)．(2)．(3)∵，∴，∴，即．(1)∵，∴，∴．(2)∵，∴，∴．(3)解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算得，，原式巩固8答案解析若，求的值．．方法一：由，故．方法二：．标注式>整式加减>整式加减化简求值>题型：整体代入化简求值方法三：由，故， 从而可知，．方法四：由，故．巩固9答案解析标注式>因式分解>因式分解综合应用已知，求的值．．由题意得，．巩固10答案解析已知，．求下列各式的值．．(1)．(2)．(1)．(2)由可知，．(1)，(2)。