乘法公式的综合应用
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乘法公式应用综合在咱们的数学世界里,乘法公式那可真是个神奇的存在!就像一把万能钥匙,能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧,(a ± b)² = a² ± 2ab + b²,这玩意儿可太有用啦!我记得有一次,我去逛菜市场,看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元,他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式,他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²,也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候,要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米,宽是 (a - b) 米,那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²,咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²,后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²,然后一减,4xy 就抵消掉了,剩下 8xy 。
是不是很简单?再看这道题:已知 a + b = 5 ,ab = 3 ,求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦,(a + b)² = a² + 2ab + b²,变形一下,a² + b² = (a + b)² - 2ab ,把数值带进去,5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ,那它的面积增加多少呢?原来正方形的边长是 a ,面积就是 a²。
20242024用乘法公式乘法公式是数学中非常重要的一个概念,它给出了将两个数相乘的方法。
在这篇文章中,我们将详细介绍乘法公式以及它的应用。
文章将包含以下内容:1.乘法公式的定义2.乘法运算的基本原理3.乘法公式的应用举例4.乘法公式的扩展及推广一、乘法公式的定义乘法公式是数学中一种用来表示两个数相乘的方法,它是一种简单而直观的推理,我们可以利用它来完成复杂的乘法运算。
乘法公式通常使用乘号"×"表示,表示两个数的乘积。
二、乘法运算的基本原理在乘法运算中,我们常常使用乘法表来进行计算。
乘法表是一种由数字1到10组成的表格,可以用来帮助我们进行乘法运算。
在乘法表中,每一行表示被乘数,每一列表示乘数,交叉点处的数值表示乘积。
乘法运算的基本原理是将被乘数分解成若干个部分,然后分别与乘数相乘,最后将这些部分的乘积相加得到最终的乘积。
这一原理可以通过以下公式表示:被乘数×乘数=乘积三、乘法公式的应用举例乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明乘法公式的应用:1.计算面积和体积:乘法公式可以用来计算各种图形的面积和立体形状的体积。
以矩形为例,矩形的面积可以通过将长和宽相乘得到。
面积=长×宽类似地,计算长方体的体积也可以使用乘法公式。
体积=长×宽×高2.财务计算:乘法公式在财务计算中也经常使用。
例如,计算折扣后的价格,可以通过将原价格与折扣率相乘得到。
折扣后价格=原价格×折扣率同样地,计算税后价格也可以使用乘法公式。
税后价格=原价格×(1+税率)3.概率计算:乘法公式在概率计算中也经常使用。
例如,计算两次独立事件发生的概率,可以将每个事件发生的概率分别相乘得到。
综合概率=第一次事件发生的概率×第二次事件发生的概率四、乘法公式的扩展及推广乘法公式不仅适用于两个数相乘的情况,还可以通过推广应用于更多的数。
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时,是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行教学的。
本课时主要让学生进一步理解乘法公式的结构特征,提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力,培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式,对公式有一定的理解,但在运用公式解决实际问题时,往往会因为对公式的理解不够深入而出现错误。
此外,学生的逻辑思维能力和创新思维能力还有待提高,因此,在教学中,需要引导学生深入理解乘法公式的结构特征,培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标:让学生进一步理解乘法公式的结构特征,提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标:通过自主学习、合作交流的方式,培养学生独立解决问题的能力,提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.情感态度与价值观目标:培养学生对数学的兴趣,使学生感受到数学在生活中的重要性,培养学生的团队协作精神和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点:让学生进一步理解乘法公式的结构特征,提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.教学难点:如何引导学生深入理解乘法公式的结构特征,如何培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.自主学习法:引导学生独立思考,自主探究,提高学生的独立解决问题的能力。
2.合作交流法:鼓励学生之间相互讨论、交流,培养学生的团队协作精神。
3.启发式教学法:教师通过提问、设疑,引导学生深入思考,激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.教师准备:教师需要对乘法公式有深入的了解,以便在教学中引导学生深入理解乘法公式的结构特征。
2.学生准备:学生需要预习平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式,以便在课堂上更好地理解和运用。
小专题(一) 乘法公式的综合应用乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.完全平方公式的常见变形有:a 2+b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(a+b 2)2−(a -b 2)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.类型1 直接应用公式1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.类型2 逆用公式2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.解:原式=2a+1.类型3 变形应用公式3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 的值;(2)求x 2+3xy+y 2的值.解:(1)由(x+2)(y+2)=12,得xy+2(x+y )+4=12,因为x+y=3,所以xy=2.(2)因为x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,又x+y=3,xy=2,所以原式=(x+y)2+xy=32+2=11.类型4整合公式5.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.解:由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1,①由(a-b)2=25,得a2-2ab+b2=25,②①+②,得a2+b2=13,①-②,得ab=-6,所以a2+b2+ab=13+(-6)=7.类型5解决探究问题6.(1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式为a2-b2=(a+b)(a-b).(用含a,b的等式表示)(2)运用(1)中所得到的公式,计算下列各题:①20192-2020×2018;②2(x-y-3)(x-y+3).解:(2)①20192-2020×2018=20192-(2019+1)×(2019-1)=20192-(20192-1)=1.②2(x-y-3)(x-y+3)=2[(x-y)2-9]=2(x2-2xy+y2-9)=2x2-4xy+2y2-18.。
知识总结典型例题1计算:2已知3若4当5已知6解答下列问题.7设8知识总结典型例题9若10已知:11已知12已知13阅读下列材料,并利用材料中使用的方法解决问题.这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇.于是我们开始好奇,142857 为什么会具有这样神奇的性质?是否还会有其他数具有这样的性质呢?先回答第一个问题.数学系的人也许会高冷地回答你:因为 10 是模 7 的一个原根.但这个回答,一定是令 99 % 的人懵逼的.大部分普通人恐怕会问:“原根” 是什么?当然,也许还有些连初中数学都还给老师的人,会问:“模” 是什么,哈这个问题,其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊!我相信,要完整地理解这个问题的来龙去脉,对于初中数学水平的人,大概也就需要半个小时而已~当然,需要 3 个很简单的前提条件:你知道质数(素数)的概念:只能被 1 和自身整除的数;也知道互质的含义(最大公约数为1);你会竖式计算;你已经知道:142857*7=999999;那么,下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999,那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节.毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛!竖式计算告诉我们,产生循环几乎是显然的:仔细观察一下竖式计算,你会发现一个很有趣的现象:前 6 次相减,余数分别 3、2、6、4、5、1,恰好遍历了比 7 小的 1~6,这就意味着,下一个余数无论是几,都必然会和前面的重复,从而必须产生循环.这个现象揭示了一个简单的定理:定理 1.1:1/n 的小数展开,其循环节长度不超过 n-1.如果循环节恰好为 n-1 ,在竖式计算的每一步中,余数一定遍历了 1,2,…,n-1,那么显然,1/n, 2/ n,…, (n-1)/n 的竖式计算,一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来,循环节会形成 “走马灯” 的效果.反之,对于任意一个“走马灯数”,我们可以把它当做循环小数的循环节,而循环小数必然可以表示成分数 k/n,若循环节小于 n-1,那么余数必然不能遍历 1,2,…,n-1,那么 “走马灯” 的效果则不会出现.于是我们得到了另一个定理:定理 1.2:对每一个 “走马灯数” ,都存在自然数 n,走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节,且这个循环节恰好有 n-1 位.接下来,我们需要寻找满足条件的 n,初等数论的大门将缓缓打开.14如图,在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点:1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是 .(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999,那么(2000一a)2+(1998一a)2= .从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有: (1)ab b a b a 2)(222 ±=+, 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=. (2)222222)()(b a b a b a +=-++; (3) ab b a b a 4)()(22=--+;(4)4)()(22b a b a ab --+=,)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数,已知)12)(12(22+-++=x x x x M ,)1)(1(22+-++=x x x x N ,则M 与N 的大小是( )A .M>NB . M<NC . M=ND .无法确定思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.【例3】 计算:(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1;(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452.【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45=2x 十y ,求代数式yx xy +的值. (2)整数x ,y 满足不等式y x y x 22122+≤++,求x+y 的值.(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a ,第二次提价的百分率为b ,乙商场:两次提价的百分率都是2b a +(a>0,b>o),丙商场:第一次提价的百分率为b ,第二次提价的百分率为a ,则哪个商场提价最多?说明理由.完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论:(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ;(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题.【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数,且满足222c b a =+,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从222c b a =+的变形入手;222b c a -=,运用质数、奇偶数性质证明. 学力训练1.观察下列各式:(x 一1)(x+1)=x 2一l ;(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1;(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1.根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= .2.已知052422=+-++b a b a ,则ba b a -+= . 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655: ;(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ;(3)2199919991999199719991998222-+ . 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 .5.已知51=+a a ,则2241a a a ++= . 6.已知5,3-=+=-c b b a ,则代数式ab a bc ac -+-2的值为( ).A .一15B .一2C .一6D .6 7.乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( ). A .20001999 B .20002001 C .40001999 D .40002001 8.若(x -y )2+N=x 2+xy +y 2,则N 为( )。
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要,因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律:乘法运算中,乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如:3×4=4×3=122.乘法结合律:乘法运算中,不同乘数进行相乘后再乘以另一个数,结果相同。
例如:2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律:乘法运算中,一个数与两个数的和相乘,等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如:2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律:利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如:(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算:乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如:2的3次方表示为2³,即2×2×2=83.积的计算:乘法运算中,两个整数相乘得到的结果称为积。
例如:7×6=424.乘法的逆运算:除法是乘法的逆运算,可以通过除法运算求解未知数。
例如:如果6×x=12,那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式:一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如:(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式:(a+b)(a-b)=a²-b²例如:(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式:a²-b²=(a+b)(a-b)例如:4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式:一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如:(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意:(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析:首先乘法运算,16×8=128,然后除以4,128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析:先计算括号中的加法,5+3=8,然后乘以2,8×2=16,最后减去7,16-7=93.计算6²+3²=45解析:首先计算平方运算,6²=6×6=36,然后再计算3²=3×3=9,最后相加,36+9=45通过以上的学习和例题应用,相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
乘法公式的综合应用
题型一、直接应用
1、计算:(1);(2)(3)
2、计算:(1);(2)
题型二、变位应用
3、计算:(1);(2);(3)
题型三、整体思想应用
4、计算:(1)(2)
易错题
1、2、
3、
4、若,求的值。
5、计算:
题型四、连续思想应用
5、计算(1)(2)99×101×10001
题型五、逆向思维应用
6、计算:(1)(2)472-94×27+272
7、已知,并且,求的值。
题型六、变形应用
8、用乘法公式计算:(1)792;(2); 982-101×99
9、计算:(1);(2)
10、已知:,求下列各式的值:
(1);(2)(3)
11、已知:,求的值
12、计算:
题型七、配方法的应用
13、若是一个完全平方式,则M的值为_______。
14、(1)已知,求的值为________;
(2)若,则的值为_______。
15、(1)已知,则的值是__________;
(2)已知,则的值是__________;
(3)已知代数式,则_____,_____时,代数式有最_____值是__________.
16、已知,求的值。
17、已知,试判断M、N的大小。
题型八、代数式求值
18、(1)已知,那么的值是_______;
(2)若,则的值为________;
19、若,则的值________
20、(1)当时,多项式的值是,求当时,多项式的值是多少
(2)已知,求代数式的值。
21、已知,求代数式的值。
22、当,求代数式的值。
23、已知多项式能被整除,求代数式的值。