2021版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 第4节 角平分线(第2课时)教案 (全国通用版)人教

1.4角均分线（第 2 课时三角形三个内角的均分线）教课目的1．在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．2．可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．3．提升学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．教课要点在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．教课难点可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．课时安排1课时教课过程导入新课【问题】在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB，BC，CA三边的距离都相等 , 请在三角形居住区内标出学校 P的地点 ,P 在哪处？研究新知【活动】活动 1 分别画出以下三角形三个内角的均分线，你发现了什么？锐角三角形直角三角形钝角三角形【互动】（小组议论作图，教师指引总结结论）锐角三角形直角三角形钝角三角形发现：三角形的三条角均分线订交于一点.【活动】活动 2 （学生着手作图，发现结论）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【研究】（小组议论）剪一个三角形纸片，经过折叠找出每个角的角均分线，察看这三条角均分线，你能否发现相同的结论？结论：三角形三个角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .【思虑】（小组合作，老师指导）要证明这个结论，该怎样设计证明思路呢?要证明三角形的三条角均分线订交于一点，只需证明此中两条角均分线的交点必定在第三条角均分线上即可.【互动】（引起学生思虑，老师指导）试写出证明过程．已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .【研究】（师生互动）下边我们用学得的这个结论，解决下边的例题.【例题】如图，在直角△ ABC 中， AC=BC,∠C ＝90 ，AP 均分∠ BAC ，BD 均分∠ ABC ，AP,BD 交于点 O ，过点 O 作 OM ⊥AC,OM ＝4.(1) 求点 O 到△ ABC 三边的距离和；(2) 若△ ABC 的周长为 32，求△ ABC 的面积 .【思虑】（激发学生思虑）先剖析第（ 1）小题 .由三角形三个角的均分线订交于一点 , 且到三边的距离相等知，点 O 到△ ABC 三边的距离和为 3OM=12.【研究】（学生小组议论）第（ 2）小题，直角△ ABC 的两直角边的长未知，周长已知，怎样利用条件求△ ABC 的面积？用面积切割法来解答：解：如图，连结 OC ，过点 O 作 ON ⊥BC ， OE ⊥AB ，垂足分别为 N ，E ，则 S △ ABC =S △ AOC +S △ BOC +S △ AOB=1 1 12 AC ·OM+ BC ·ON+ AB · OE 22 = 1 OM ·(AC+BC+AB)2= 1 ×4×32=64.2【总结】 ( 学生总结，老师评论 ) 三角形内角均分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角均分线的交点，这一结论在此后的学习中会常常用到．讲堂练习1.如图，在△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O到△ ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠ BOC的度数为 ()A．110°B．120°C．130°D．140°2.已知： OE 均分∠ AOB，P 为 OE上一点， PC⊥OA于 C，且 PC=5，则 P 点到OB的距离为 _____.3．已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ ACB=90°，∠ B=40°，AD 均分∠ CAB 交BC于 D点，则∠ CAD =________.4.如图 , 直线 l1、l2、l 3表示三条相互交错的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 可选择的地点有几处 ? 画出它的地点 .参照答案1.A2.53.25°4.解：有四周，如下图 .讲堂小结三角形内角平分线的性质部署作业性质：三角形的三条角均分线交于一点，而且这一点到三条边的距离相等应用：地点的选择问题教材习题 1.10题1、题2、题3.板书设计4角均分线第 2 课时三角形三个内角的均分线锐角三角形直角三角形钝角三角形结论：三角形三个内角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .例如图，在直角△ ABC中，AC=BC,∠C＝90 ，AP均分∠ BAC，BD均分∠ABC，AP,BD交于点 O，过点 O作 OM⊥AC,OM＝4.(1)求点 O到△ ABC三边的距离和；(2)若△ ABC的周长为 32，求△ ABC的面积 .。

《角平分线》线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第 4 节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。

所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。

学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

【知识与能力目标】（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

【过程与方法目标】（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】①三角形三个内角的平分线的性质。

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教学过程第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题I习题1. 8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”。

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

第二环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设△ ABC的角平分线.BM CN相交于点P,证明：P点在ZB AC的角平分线上.证明：过P点作PDL AB PF1 AC PE丄BC其中D E、F是垂足.••• BM是△ ABC的角平分线，点P在BM上，••• PD=PE角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.• PD=PF.•••点P在Z BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.•••△ABC的三条角平分线相交于点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？（PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等. ）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.F三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点问题2如图：直线11、丨2、丨3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？要求学生思考、交流。