定积分的几何应用2定积分在经济问题中的应用

高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。

当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。

定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。

1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。

1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。

1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。

通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。

二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。

在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。

2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。

2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。

2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。

定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。

本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。

1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。

通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。

以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。

这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。

2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。

例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。

同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。

这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。

3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。

在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。

通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。

这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。

4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。

在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。

通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。

这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。

综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。

无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。

通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。

定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。

解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。

定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。

一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。

在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。

1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。

则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。

我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。

对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。

1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。

1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。

例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。

图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。

恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。

凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。

正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。

以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。

1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。

其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。

不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。

由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。

于是可用如下方法求曲边梯形的面积。

（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。

区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。

定积分在经济学中的应用The Application of Definite Integral in Economics摘要随着社会主义市场经济的迅速发展，经济学与数学这两个学科的联系已越来越紧密，数学知识广泛地应用于经济学中。

而数学中的定积分又是微积分中重要的组成部分，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

因此，研究运用定积分来解决经济方面的问题就显得十分重要。

这篇文章借鉴其它学者研究成果的方法。

首先回顾了一些关于定积分的性质、定理。

然后列举出定积分在经济学中的应用的一些具体事例。

最后归纳整理，从两个大方面进行研究：定积分在生产上的应用；定积分在投资、决策上的应用。

并获得相应结果。

这篇文章从不同角度研究了定积分在经济学的应用，对其他作者有一定的借鉴意义。

关键词：定积分；经济学；边际函数；投资；决策AbstractWith the rapid development of the socialist market economy, economics and mathematics has become more and more closely linked together. Mathematics knowledge is widely used in economics. And the definite integral in mathematics is an important part of calculus, which is widely used in economics and is very rich in content. Therefore, it is important to study the economical problems by using definite integrals.This article draws on the methods of other scholars' research. Firstly, we review some properties and theorems of definite integral. Secondly, some examples are presented about the application of definite integral in economics. Finally, the paper summarizes the two major aspects: the application of definite integral in production and the application of definite integral in investment and decision making. And these get the results. This paper studies the application of definite integral in economics from different angles, and it has some significance for other authors.Key Words: Definite integral; Economics; Marginal functions; Investment; Decision making目录1.引言 (1)2.预备知识 (2)3.定积分在经济学中的应用 (2)3.1定积分在生产方面的应用 (2)3.1.1定积分在生产中求总成本、总收益方面的应用 (2)3.1.2定积分在最优化生产方面的应用 (4)3.1.3定积分在生产消费方面的应用 (4)3.1.4定积分在生产中预测所耗费劳动时数方面的应用 (6)3.2定积分在投资、决策方面的应用 (7)3.2.1定积分在投资方面的应用 (7)3.2.2定积分在广告策划方面的应用 (9)3.2.3定积分在企业决策方面的应用 (9)结语 (10)参考文献 (12)致谢 (13)1.引言随着社会主义市场经济的迅速发展，经济学与数学这两个学科的联系已越来越紧密，数学知识广泛地应用于经济学中。

简述不定积分和定积分在经济生活中的应用经济学中不定积分和定积分是一种重要的计算工具，具有广泛的实际应用。

不定积分和定积分在经济生活中有着重要的意义，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地了解和研究经济问题，有助于更好地推进经济发展和管理经济。

本文将简要介绍不定积分和定积分在经济生活中的应用。

不定积分在经济生活中的应用不定积分的应用在经济学中很广泛，可以用来解决许多经济中的问题。

首先，它可以用来计算价格。

不定积分可以用来计算出给定价格下消费者需求量和生产商供给量之间的关系，进而了解消费者和生产商在某一价格水平下多大程度上能够受到价格影响。

其次，不定积分可以用来计算投资成本。

不定积分可以用来计算投资成本，以判断投资成本究竟有多大，是否值得投入。

投资者也可以运用不定积分法来分析所考虑的投资项目的投资回报率，以更快地、更高效地学习投资过程的风险和收益。

定积分在经济生活中的应用定积分也在经济生活中有着重要的应用。

首先，它可以用来计算消费函数。

函数可以用来展示消费者在不同收入水平下的消费水平，这有助于经济学家和政策制定者更好地理解消费者的消费行为，推动经济发展。

其次，定积分也可以用来计算税收函数。

税收函数可以用来计算税收对投资的影响，以判断出税收的调节幅度，有助于政府制定出合理的税收政策，推动经济发展。

此外，定积分还可以用来计算产出函数。

产出函数可以用来计算不同生产要素投入水平下生产总量的大小，有助于计算出不同生产要素对总产出的贡献度，以及它们投入和产出间的关系。

结论从上述内容可以看出，不定积分和定积分在经济生活中有着重要的应用。

不定积分可以用来计算价格和投资成本，而定积分则可以用来计算消费函数、税收函数和产出函数。

因此，不定积分和定积分都是经济学上重要的工具，它们对经济管理者来说是不可或缺的。

它们的正确运用可以帮助经济学家和经济管理者更深入地理解和研究经济状况，有助于推动经济发展。

定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。

由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。

可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多着名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。

本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。

可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有例1 ?? 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

解?? 总成本函数=dx x x x)100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 ?? 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。