数学实验报告2-圆周率的计算-mathematica

数学实验报告二题目：利用Mathematica计算圆周率π的值学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2013级数学三班学生姓名：高继红学号： 201370010307指导教师：张贵仓数学实验报告（二）一．实验题目：圆周率π的计算二．实验目的：1.用多种方法计算圆周率错误！未找到引用源。

的值；2.通过实验来说明各种方法的优劣；三．实验环境：在Windows 环境，利用Mathematica7.0这个数学软件四．实验内容1.运用数值积分法来近似计算π的值；2.运用泰勒级数来近似计算π的值；3.利用蒙特卡洛（Monte Carlo ）法来近似计算π的值。

五．实验方法1.数值积分法 利用公式⎰+=102114dx x π设分点x 1,x 2,…x n-1将积分区间[0,1]分成n 等分。

所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n 。

记yi=f(xi).则第i 个曲边梯形的面积A 近似地等于梯形面积，即：A=(y(i-1)+yi)h/2。

将所有这些梯形面积加起来就得到：A ≈2/n[2(y 1+y 2+…y n-1)+y 0+y n ]利用Mathematica 编程计算上式:n=5000;Y[x]:=4/(1+x*x);s1=(sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]实验结果：{0.00020000000000000000000 (sum[y[0.00020000000000000000000 k], {k,1.0000000000000000000,4999.0000000000000000}]+0.50000000000000000000 (y[0]+y[1.0000000000000000000])),0.0000333333333333333333333333333333(4.00000000000000000000000000000 sum[y[0.000200000000000000000000000000000(-0.500000000000000000000000000000+k)],{k,1.00000000000000000000000000000,5000.00000000000000000000000000}]+2.00000000000000000000000000000sum[y[0.000200000000000000000000000000000 k],{k,1.00000000000000000000000000000,4999.00000000000000000000000000}]+y[0]+y[1.00000000000000000000000000000]),3.14159265358979323846264338328}以上s1，s2分别是用梯形公式和辛普森公式计算出的 ，最后一句中的N[s1,20]表示s1的前20位准确有效数字组成的近似值，N[Pi,30]是 的前 位有效数字组成的近似值。

圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。

圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。

在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。

实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。

选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。

将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。

实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。

选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。

然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。

随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。

实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。

我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。

通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。

实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。

其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。

在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。

实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。

我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。

例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。

结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。

数学实验报告一、 实验问题人们很早就发现圆的周长和直径的比是个常数，也就是我们都熟悉的圆周率π，那么这个常数的值究竟是多少哪？我国的伟大数学家祖冲之将π精确到3.1415926-3.1415927之间，西方的数学研究者也从来没有停止过对π的计算，那么在今天计算机技术如此发达的情况下，我们如何将π的近似值精确到更多位数哪？二、问题的分析π的精确度问题困扰大家已久，所以我们不妨在MATLAB 中采用循环来实现对π的更高位数的精确。

不妨以精确到小数点后9位为例。

我们知道 31arctan 21arctan 1arctan 4+==π 因此可以利用）（π）（321-1-2n 1-2n 1n 1-n 111-2n 431arctan 21arctan 4+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=三、实验内容在MATLAB 中键入以下程序clear;n=0;r=1;p=0;k=-1;a=1;b=1;while r>=1.0e-9n=n+1;k=k*(-1);a=4*a;b=9*b;pl=p+k/(2*n-1)*(2/a+3/b);r=abs(4*(pl-p));fprintf('n=%.0f,p=%.10f\n',n,4*pl);p=pl;end四、问题求解结果和结论n=1,p=3.3333333333n=2,p=3.1172839506n=3,p=3.1455761317n=4,p=3.1408505618n=5,p=3.1417411974n=6,p=3.1415615879n=7,p=3.1415993410n=8,p=3.1415911844n=9,p=3.1415929813n=10,p=3.1415925796n=11,p=3.1415926705n=12,p=3.1415926497n=13,p=3.1415926545n=14,p=3.1415926534n=15,p=3.1415926536对泰勒级数，当｜x ｜越小时级数收敛速度越快，这启示我们另外构造相关级数来逼近π。

实验一 熟悉Mathematica 的基本使用1、 写出圆周率π的前50位小数，看看它的前100位，1000位小数，能不能发现什么规律? In[ ]:= N[Pi,50]Out[ ]= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751In[ ]:= N[π,100]Out[ ]= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068In[ ]:= N[Pi,1000]（结果略）说明：100位，1000位的都可以不记录，看看有没有规律就可以。

2、 第1234个素数是什么？15485863是素数吗？、In[ ]:= Prime[1234]Out[ ]= 10061In[ ]:= PrimeQ[15485863]Out[ ]= True (*不要看成或写作Ture*)3、26(1)π+位于哪两个整数之间？In[ ]:= 26Floor[(1)]π+ (*取整数*)Out[ ]= 1649234In[ ]:= 26Round[(1)]π+ (*四舍五入取整数,不小于x 的最小整数*)Out[ ]= 16492354、构造一个表，由不超过100的所有素数组成；In[ ]:= Table[Prime[i],{i,1,25}]Out[ ]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97} 但是，这个25是怎么来的呢？可以先观察一下：In[ ]:= Table[If[PrimeQ[i],i],{i,1,100}]Out[ ]= {Null,2,3,Null,5,Null,7,Null,Null,Null,11,Null,13,Null,Null,Null,17,Null ,19,Null,Null,Null,23,Null,Null,Null,Null,Null,29,Null,31,Null,Null,Null,Null,Nu ll,37,Null,Null,Null,41,Null,43,Null,Null,Null,47,Null,Null,Null,Null,Null,53,Nu ll,Null,Null,Null,Null,59,Null,61,Null,Null,Null,Null,Null,67,Null,Null,Null,71,Null,73,Null,Null,Null,Null,Null,79,Null,Null,Null,83,Null,Null,Null,Null,Null,89,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,97,Null,Null,Null}或者：In[ ]:= Table[If[Prime[i]<100,Prime[i]],{i,1,100}]Out[ ]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97, Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null, Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null, Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null, Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null, Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null,Null}经过观察，即可得到25个。

数学实验报告实验三学院：数学与统计学院班级：信息与计算科学(1)班姓名：郝玉霞学号：201171020107实验三一、实验名：最佳分数近似值二、实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。

“最佳”就是既要误差小，又要分母小。

我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。

三、实验环境：学校机房，Mathematica 软件。

四、实验的基本理论和方法：1、根据高中数学及大学数学中所学内容，经过分析研究，得出基本结论，利用Mathematica 来进行验证，并寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。

2、计算圆周率π“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。

五、实验的内容和步骤实验步骤： 1、计算对数值对给定的正实数b ，N 且b ≠1，要求对数值a=N b log ,也就是求实数a 使a b =N ，如果能找到整数p ，q 使q pN b≈,则N b qp ≈，N b log qp≈，以lg2为例：由102=1024≈1000=310可得lg2≈103=0.3，再要提高精确度，就要找出更大的q 使q2更接近10的某个幂q10，也就是使p q32更接近于1。

练习题1：让q 依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q ，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数p qq 102)(=λ最接近于1：q=1时，p(1)=0,λ(1)=01102=2.设已对q 求出p(q)和λ(q)，计算2λ(q)，如果2λ(q)<10,则取p(q+1)=p(q),λ(q+1)=2λ(q),如果2λ（q ）≥10，则取p(q+1)=p(q)+1，λ(q+1)=10)(2q λ. 如果λ(q)比以前所有的λ(i)(11-≤≤q i )都更接近1，即|λ(q)-1|<|λ(i)-1|对所有3、Mathematica 中常用的展开数与多项式的函数的使用；的1≤i ≤q-1成立，就取qp都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。

圆周率实验报告简介圆周率是数学中一个重要的常数，表示圆的周长与其直径之比。

它是一个无理数，近似值可以表示为3.14159。

在本次实验中，我们将通过一个简单的实验来近似计算圆周率。

实验步骤1.准备工作–准备一个光滑的圆柱体，可以使用一个圆形罐子或者圆木材料。

–准备一个刻度尺和一条绳子或者皮带。

2.实验操作a.将绳子或者皮带缠绕在圆柱体上，确保它紧密地贴合。

b.标记绳子或者皮带的一个固定点作为起点。

c.沿着圆柱体的周长绕一圈，注意不要拉紧或者松弛绳子或者皮带。

d.当绳子或者皮带绕完一圈后，标记下结束点。

e.使用刻度尺测量起点和结束点之间的距离，记录下来。

3.数据处理a.将测量得到的距离除以圆柱体的直径，得到一个近似的比值。

b.根据比值计算出近似的圆周率。

数据和分析根据我们的实验结果，我们得到了以下数据：测量次数距离（cm）直径（cm）圆周率近似值1 100 30 3.3332 98 29 3.3793 102 33 3.091通过测量的数据，我们可以看出每次实验得到的圆周率近似值都有一定的偏差。

这是因为我们的实验过程中可能存在一些误差造成的。

比如，我们测量距离的时候可能存在一定的读数误差，或者圆柱体并不是完美的圆形等。

因此，我们的实验结果只能作为一个近似值参考。

结论通过本次实验，我们使用简单的方法近似计算了圆周率。

虽然我们得到的结果并非精确值，但是它可以作为一个近似值来使用。

我们还可以通过增加测量次数、使用更精确的测量工具等方式来提高结果的准确性。

总结来说，圆周率是一个重要的常数，它与圆的性质密切相关。

通过实验我们可以近似计算圆周率，但要得到更准确的结果仍需要更精确的实验方法和工具。

数学软件作业圆周率的计算2007数学应⽤软件设计内容——怎样计算圆周率π的值实验报告姓名：。

学号：；；；；实验⽬的：利⽤所学的数学应⽤软件，解决下列问题：1. ⽤反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求π，若要精确到以40位、50位数字，试⽐较简单公式和Machin 公式所⽤的项数；2. ⽤数值积分计算π，分别⽤梯形法和Simpson 法精确到10位数字，⽤Simpson 法精确到15位数字；3. ⽤Monte Carlo 法计算π，除了加⼤随机数，在随机数⼀定时可重复算若⼲次后求平均值，看能否求得5位精确数字？4. 设计⽅案⽤计算机模拟Buffon 实验；5.利⽤学习过的知识(或查阅资料)，提出其他计算π的⽅法。

实验的基本理论与⽅法：1.利⽤反正切函数的幂级数表达式：利⽤积分公式两边积分得：在上式中令x=1得：⽤Mathematica 计算In[1] k=1000;S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18][Out2] 3.14059265383979293In[3] k=10000;[Out4] 3.14149265359004324In[5] k=15000;[Out6] 3.14152598692320065In[7] k=20000[Out8] 3.14154265358982449+-+-+-=+--221422)1(111n n x x x x +--+-+-=--12)1(53arctan 12153n x x x x x n n +--+-+-=-121)1(5131141n n π由上述计算可以知道，⽤反正切函数的幂级数展开来计算π的值，运算速度⽐较慢，结果精度也不⾼,因此此⽅法⼀般不选取。

下⾯对精确到相同精度时简单公式和Machin 公式所⽤的项数进⾏⽐较：简单公式：Machin 公式：再⽤Mathematica 计算：当精确到40位时：对于简单公式：Clear[k,n,S]In[9] k =62;s2 = N[4*Sum[(-1)^(n - 1)*(1/2)^(2n - 1)/(2n - 1) + (-1)^(n -1)*(1/3)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out10] 3.141592653589793238462643383279502884197对于Machin 公式：In[11] k = 28;s3 = N[4*Sum[4*(-1)^(n - 1)*(1/5)^(2n - 1)/(2n - 1) - (-1)^(n -1)*(1/239)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out12] 3.141592653589793238462643383279502884197当精确到50位时：对于简单公式：In[13] k = 78;s2 = N[4*Sum[(-1)^(n - 1)*(1/2)^(2n - 1)/(2n - 1) + (-1)^(n -1)*(1/3)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 40][Out14] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993750对于Machin 公式：In[15] k = 35;s3 = N[4*Sum[4*(-1)^(n - 1)*(1/5)^(2n - 1)/(2n - 1) - (-1)^(n -1)*(1/239)^(2n - 1)/(2n - 1), {n, 1, k}], 50][Out16] 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751431arctan 21arctan π=+ +--+-+-=--12153)21(12)1()21(51)21(3121[4n n n π])31(12)1()31(51)31(313112153 +--+-+-+--n n n 42391arctan 51arctan 4π=-由上述⽐较可以看出：在精确到相同精度时，⽤Machin 公式计算的结果⽐较准确，并且所需的项数也⽐较少，当精确到40位时简单公式和Machin 公式分别需要62和28位，⽽当精确到50位时，分别为78和35位。

Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。

这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。

1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。

1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。

5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。

它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。

这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。

只要计算出单位圆的面积，就算出了π。