1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。

（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。

2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。

（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。

（2）分步乘法计数原理的应用。

2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。

（2）理解分步乘法计数原理的含义。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。

2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。

3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。

五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。

2. 相关实例和练习题。

教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。

2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。

3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。

二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。

2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。

3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。

2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。

3. 让学生举例说明并计算。

二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。

2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）内容分析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理主要包括：分类加法计数原理的定义、分步乘法计数原理的定义以及两个原理的简单应用，其核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法．学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系．由于它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容．教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同．问题诊断分析：在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来．要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较典型的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法．学情分析：本节课的授课对象是民族地区完全中学普通高中的学生.这些学生学习基础相对比较薄弱，思维不够灵活，分析问题的能力也不强。

为此在教学时需循序渐进，逐步培养学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的辨析能力，规范学生对这种问题的分析过程和解答过程，引领学生学会解决此类问题的一般性方法，从而有效地促使学生强化对两个原理的理解深度.三维目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并掌握他们的区别与联系；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力；情感态度与价值观：①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣；②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.目标解析：①理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；②理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；③会应用两个计数原理解决简单的实际问题就是指根据具体问题的特征选择对应的计数原理。

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案《1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容课题：分类计数原理与分步计数原理教材：苏教版选修2-3第1章第1节第1课时授课教师：江苏省海门中学江美新1、教学目标：[知识与技能目标]掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题;通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力。

[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。

通过比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力。

[情感态度与价值观目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。

通过两个原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的学习习惯。

在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识，从而实现自我的价值。

2、教学重点、难点：教学重点：对两个原理的理解和应用教学难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理教学关键：弄清分步、分类两个重要概念3、教学方法与手段：教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。

4、教学过程：教学的基本流程设计：数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题;2、分析问题，形成概念;3、反思过程，提炼方法;4、运用新知，解决问题;5、变式演练，深入探究;6、归纳总结，巩固提高。

整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

(一)创设情境，提出问题：在课堂教学的开始，我以问题形式配合课件的动态演示，指出人们在社会生活的各个方面常需要进行计数，远古人由“结而计之”发展到“数而计之”，而对于一些复杂的计数问题，怎么解决呢?我以景激情，以情激思，点燃学生的求知欲，引领学生进入学习情境。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。

（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。

（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。

2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。

3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。

四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。

3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。

五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。

3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。

4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。

六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个互斥的部分，这个事件发生的总次数就等于各部分事件发生次数的和。

公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + + P(An)2. 分步乘法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个相互独立的步骤，这个事件发生的总次数等于各步骤事件发生次数的乘积。

公式：P(A) = P(A1) ×P(A2) ××P(An)三、教学重点与难点1. 教学重点：分类加法计数原理的概念和公式。

分步乘法计数原理的概念和公式。

2. 教学难点：如何运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和公式。

2. 运用案例分析法引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

3. 开展小组讨论法，让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。

五、教学步骤1. 导入新课，介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 讲解分类加法计数原理的公式和应用示例。

3. 讲解分步乘法计数原理的公式和应用示例。

4. 开展案例分析，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

5. 进行小组讨论，让学生分组讨论和解决问题，分享解题心得。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。

2. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的表现，包括问题解决能力和逻辑思维能力。

3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的参与程度、团队合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、清晰，是否需要调整或补充。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）（教学设计）教学目标知识与技能分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用过程与方程：通过对简单实例的分析概括，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方法。

情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力。

教学重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

教学难点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

一、复习回顾：1．复习回顾⑴分类加法计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，…，在第n类方式中有m n中不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 + m2 +…+ m n种不同的方法．要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 +…+ m n（各类方法之和）．⑵分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 ×m2 ×…×m n种不同的方法．要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 ×m2 ×…×m n（各步方法之积）．⑶两种基本计数原理的区别与联系：（见下表）二、师生互动，新课讲解：例1：三个比赛项目，六人报名参加。

１）每人参加一项有多少种不同的方法？２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？解：1）36=729；2）6*5*4=1203）63=216例2高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法为165种．(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种．例3 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）(3)解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法；第二步确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有N=2×3×3 ×2 =36（个）.例4：已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1) P可表示平面上多少个不同的点？(2) P可表示平面上多少个第二象限的点？(3) P可表示多少个不在直线y＝x上的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(3) 点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．例5：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、教学目标：1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。

2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的解题方法。

3.培养学生的分类、归纳和逻辑思维能力。

二、教学准备：1.教学用具：黑板、粉笔、教学课件、教学实例。

2.学生学具：纸笔。

三、教学过程：步骤一：导入新知识1.教师简要介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内容和应用。

2.引导学生思考：在日常生活中，是否经常遇到需要进行分类和计数的问题？举例说明。

步骤二：分类加法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的部分，计算每个部分的数量然后求和。

2.通过教学实例，讲解分类加法计数原理的解题方法。

（1）例1：班有3个男生和4个女生，问这个班一共有几个人？（2）例2：有红、黄、绿三种颜色的苹果，已知红色有5个，黄色有3个，绿色有2个，问一共有几个苹果？（3）例3：一件衣服原价100元，店铺打8折，现在卖多少钱？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。

步骤三：分步乘法计数原理1.定义：将问题分解成若干个相互独立的步骤，计算每个步骤的数量然后相乘。

2.通过教学实例，讲解分步乘法计数原理的解题方法。

（1）例1：从1到4，选出一个数字作为个位数，选出一个数字作为十位数，选出一个数字作为百位数，一共有多少种不同的三位数？（2）例2：现有4个不同的数字，从中选取2个数字，可以组成多少个不同的两位数？3.设计学生练习题，引导学生自主解答。

步骤四：小结与巩固1.简要总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用和解题方法。

2.设计综合练习题，要求学生灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答问题。

步骤五：拓展应用1.鼓励学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际生活中的问题。

（1）例1：在次抽奖活动中，每个人有5张彩票，每张彩票都有4个数字，已知每个数字的范围是1到10，那么这次抽奖一共有多少个可能的中奖号码？（2）例2：一个班级有4个男生和3个女生，学校要选出一个代表队，其中队长必须是男生，队员可以是男生或女生，那么一共有多少种可能的代表队组合？2.扩大学生的思维视野，培养他们的综合运用能力。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、分类加法计数原理教案主旨: 学习分类加法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。

一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明有3个红色球和4个蓝色球，他想穿一双颜色相同的球，有多少种可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。

二、呈现 (10分钟)1. 介绍分类加法计数原理的概念: 分类加法计数原理是指在一个问题中，通过将问题进行分类，然后对每个分类进行计数，最后将各个分类的计数结果相加，得到最终的解决方案。

2. 给出示例问题: 一个篮球队有5个队员，一个足球队有6个队员，现在要选出两个队员进行混合比赛，有多少种可能性？三、讲解 (15分钟)1. 分类: 将问题分为篮球队员和足球队员两类。

2. 计数: 分别计算篮球队员和足球队员的可能性，篮球队员有C(5,2)种组合方式，足球队员有C(6,2)种组合方式。

3. 合并: 将篮球队员和足球队员的组合数相加得到最终的解。

四、练习 (15分钟)1. 分发练习册，让学生完成相关练习。

2. 教师巡视督促学生的练习过程，提供必要的帮助和指导。

五、总结 (5分钟)1. 总结分类加法计数原理的步骤：分类、计数、合并。

2. 强调分类加法计数原理在解决实际问题中的应用。

3. 回顾学生在课堂练习中的解题思路和结果。

二、分步乘法计数原理教案主旨: 学习分步乘法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。

一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明喜欢穿不同颜色的T恤和裤子，他有3种不同颜色的T恤和4种不同颜色的裤子，他有多少种穿搭可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。

二、呈现 (10分钟)1. 介绍分步乘法计数原理的概念: 分步乘法计数原理是指在一个问题中，将问题分为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的可能性，并将各个步骤的可能性相乘，得到最终的解决方案。

2. 给出示例问题: 一个密码锁有3个拨轮，每个拨轮上分别有0-9的数字，求密码锁的可能组合数。

1.1分类加法计数原理、分步乘法计数原理【教学目标】【知识与技能】理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的问题；【能力目标】培养学生归纳概括能力；【情感态度与价值观】养成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习习惯【教学重点】分类计数原理与分步计数原理的应用【教学难点】分类计数原理与分步计数原理的准确理解第一课时问题接入:问题1.1：从温州到杭州，可以乘汽车，也可以乘火车，一天之中，火车有2班，汽车有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到杭州共有几种不同的走法？问题1.2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？一、新知探究：你能说说以上两个问题的特征吗？1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.问题1.3：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？变式训练：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？二、探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？2.分类加法计数原理完成一件事，有n 类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，‥‥‥在第n类方案中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法： N=m1+m2+‥‥‥+mn 。

问题2.1：从温州到绍兴，没有直达的火车。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1.掌握分类加法计数原理的基本概念与计算方法；2.理解分步乘法计数原理的基本概念与计算方法；3.能够灵活运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。

二、教学重难点1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解与运用；2.引导学生学会灵活运用计数原理解决实际问题。

三、教学准备多媒体教学设备、教学课件、题目练习资料。

四、教学过程1.情境导入（5分钟）教师通过引入生活中的实际问题，比如：小明有两张红色的贴纸和三张绿色的贴纸，他把这些贴纸都收集在一个盒子里，请问他一共有多少张贴纸？引导学生思考该问题。

2.引入分类加法计数原理（10分钟）老师引导学生将红色的贴纸和绿色的贴纸分别进行分类，并进行计数，然后通过分类加法计数原理，将两个分类中的数量相加，得到总数。

师生共同完成示例题目。

3.分类加法计数原理的运用（10分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分类加法计数原理解决。

同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。

4.引入分步乘法计数原理（10分钟）教师通过引导学生思考生活中实际问题，如不重复的选择一件上衣和一条裤子，共有几种搭配方式。

引导学生发现选择上衣和选择裤子的方式是分步的，然后通过分步乘法计数原理，计算有多少种搭配方式。

5.分步乘法计数原理的运用（15分钟）教师给出一组题目，鼓励学生自己尝试用分步乘法计数原理解决。

同时教师巡视指导，及时纠正学生解题错误。

6.计数原理的综合运用（20分钟）教师给出综合性应用题，要求学生结合分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行综合运用，解决实际问题。

7.总结与扩展（10分钟）教师梳理本节课的重点知识，对分类加法计数原理与分步乘法计数原理进行总结。

然后教师布置课后作业，拓展学生的思维。

五、教学延伸1.老师可以引导学生思考计数原理在日常生活中的应用，如超市货物的分类与计数、人物影视剧中演员的选择等。

公开课教案】分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计二是要注重培养学生的思维能力，引导学生在解决问题时能够灵活运用两个计数原理，并能将其应用于实际问题中，这是提高学生数学素养的关键．3．教学目标1）知识目标：①掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用方法；②初步掌握运用两个计数原理解决实际问题的方法；③了解两个计数原理在排列、组合和二项式定理中的应用．2）能力目标：①培养学生的分类思维和分步思维；②提高学生的问题解决能力；③提高学生的数学抽象概括能力．3）情感目标：①激发学生研究数学的兴趣和热情；②培养学生的数学思维和创新精神；③提高学生的自信心和自主研究能力．二、教学过程设计1．教学方法本课程采用讲授、示范、演练和讨论相结合的教学方法．2．教学内容及时间安排1）引入（5分钟）：通过引入一道简单的计数问题，让学生对两个计数原理有一个初步的认识．2）概念讲解（10分钟）：通过PPT展示，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用方法．3）实例讲解（20分钟）：通过多个实例，讲解如何运用两个计数原理解决实际问题．4）练（15分钟）：提供一些简单的计数问题，让学生在小组内讨论解决方法，并在班内汇报．5）拓展（10分钟）：介绍两个计数原理在排列、组合和二项式定理中的应用．6）总结（5分钟）：对本节课的研究内容进行总结，强调掌握两个计数原理对于数学研究的重要性．三、教学评价1．评价方式本节课采用自评、互评和教师评价相结合的方式进行评价．2．评价内容1）知识掌握情况；2）解决问题的能力；3）数学思维和创新精神；4）自主研究能力．本节课的重点是教授两个计数原理，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征。

教学目标是通过具体实例，让学生体会到从特殊到一般的思维过程，并能正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题。

本节课采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，让学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案教案：分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。

2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。

教学重点：1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的具体应用。

2.提高学生的问题解决能力。

教学难点：能够正确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，并能运用到实际问题中。

教学准备：1.板书：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义和示例。

2.教学课件：包含丰富的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的例题。

教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）导入新知识：让学生思考以下问题：1.如果我有两种不同的衣服和三种不同的裤子，我可以有多少种不同的搭配方式？2.如果我有三个家具店，每个店铺里有四种不同的椅子和五种不同的桌子，我可以有多少种不同的搭配方式？引导学生思考和讨论问题，引出分类加法计数原理的概念。

Step 2：分类加法计数原理（20分钟）1.板书：分类加法计数原理的定义。

2.板书：示例题目，并与学生一起解答。

例题1：小明有五个红苹果和三个绿苹果，请问他有多少个苹果？解答过程：将问题分为红苹果和绿苹果两个部分，根据分类加法计数原理，总数为红苹果的个数加上绿苹果的个数，即5+3=8例题2：甲班有四个男生和五个女生，乙班有三个男生和六个女生，请问两个班级一共有多少学生？解答过程：将问题分为甲班和乙班两个部分，根据分类加法计数原理，总数为甲班学生的个数加上乙班学生的个数，即4+5+3+6=183.布置练习题：让学生自己尝试解决几个分类加法计数原理的练习题。

Step 3：分步乘法计数原理（20分钟）1.板书：分步乘法计数原理的定义。

分步乘法计数原理：当一个问题可以分为多个独立的步骤时，总数为每个步骤的选择数相乘。

2.板书：示例题目，并与学生一起解答。

例题1：小明有五种不同的上衣和三种不同的裤子，请问他有多少种不同的穿搭方式？解答过程：将问题分为选择上衣和选择裤子两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为上衣的种类数乘以裤子的种类数，即5×3=15例题2：家餐厅有四道不同的主菜和五种不同的甜点，请问用餐顾客有多少种不同的品尝方式？解答过程：将问题分为选择主菜和选择甜点两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为主菜的种类数乘以甜点的种类数，即4×5=20。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）一、教学目标1.核心素养通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步区分“分类”和“分步”，为拥有良好的计数能力打下基础，从而提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（2）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（3）能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.3.学习重点归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题..4.学习难点正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P2－P6，思考：分类加法计数原理内容是什么?分步乘法计数原理是什么?他们的区别是什么?2.预习自测1.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上任取一本书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：C2.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上取一本语文书和一本数学书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：D（二）课堂设计问题探究问题探究一 分类加法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有几种方法.分类加法原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法注:两类不同方案中的方法互不相同推广:完成一件事有n 类不同方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝m 1 +m 2+…+m n 种不同方法.完成这件事情的N 类方法中，只需用一种方法就能完成这件事.问题探究二 分步乘法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？并罗列出所有的走法.分步乘法原理: 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法注:无论第一步采用哪种方法,都不影响第2步方法的选取推广:完成一件事有n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝ 种不同方法.完成这件事情的n 个步骤中，每个步骤都完成才能完成这件事.问题探究三 分类加法与分步乘法的应用 重点、难点知识★▲例1.若x，y∈N，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数.＋【知识点：分类加法计数原理；数学思想：分类讨论】详解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.点拨：解答本题可按x(或y)的取值分类解决. 利用分类加法计数原理时要注意：(1)要准确理解题意，确定分类的标准.(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性.例2.现有5件不同样式的上衣和4条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为种【知识点：分步乘法计数原理；】解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从5件上衣中任选一件，有5种不同选法；第二步，选长裤，从4条长裤中任选一条，有4种不同选法.故共有5×4＝20种不同的配法.点拨：利用分步乘法计数原理时要注意：(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性.例3.书架的第一层放有3本不同的艺术书,第二层放有2本不同的计算机书,第三层放有5本不同的体育书,从书架上任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】详解：根据取书的学科不同,可以分为三类:1.计算机与艺术:3×2＝62. 计算机与体育: 2×5＝103. 艺术与体育: 3×5＝15共有6+10+15=31种不同的取法点拨：首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步3.课堂总结【知识梳理】分类加法计数原理; 分步乘法计数原理;【重难点突破】正确的理解完成一件事情的含义;合理分类与分步,先分类后分步.4.随堂检测1. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）A. 37种B.1848种C.3种D. 6种【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）A.37种B.1848种C.3种D.6种【知识点:分步乘法原理】答案:B3.某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）A.5B.7C.10D.12【知识点：分步乘法原理】答案:D4.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）A.265个B.232个C.128个D.24个【知识点：分步乘法原理】答案:D5.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）A. 265个B.232个C.128个D.24个【知识点:分步乘法原理,间接法】答案:B（三）课后作业基础型自主突破1.一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是（）A.8B.15C.16D.30【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有（）A.8条B.6条C.5条D.3条【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：B 解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条).3.已知集合A是{1，2，3}的真子集，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案：D 解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个).4.4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中一个运动队,不同的报法种数为（）A.16B.6C.81D.64【知识点：分步乘法原理】答案:C 解析:4名同学报名参加体育队这个事件,分为四个步骤,第一个同学有3个选择,第二个同学有3个选择,第三个同学有3个选择,第四个同学有3个选择,总共有3×3×3×3=81种.5.3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数为（）A.15B.25C.243D.125【知识点：分步乘法原理】答案:D6. 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.能力型师生共研1.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A.10种B.52种C.25种D.42种【知识点：分步乘法原理】答案：D2. 三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）A.25B.36C.26D.37【知识点：分类加法原理,三角形边角关系；数学思想：分类讨论】答案：B3. 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：（1）56415N=++=种；（2）564120N=⨯⨯=种；（3）56644574N=⨯+⨯+⨯=种4.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果探究型多维突破1.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?【知识点：分步乘法原理】⨯⨯⨯=种.甲先拿有三种选择，甲拿到的贺卡主人答案：解:列表排出所有的分配方案,共有33119继续拿有3个选择，剩下两人均只有1种选择.2.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32自助餐1.从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为（）A.13B.16C.24D.48答案：A2.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A.182B.14C.48D.91答案：C3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（）A.30个B.42个C.36个D.35个答案：C4.设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立（）A.10个B.20个C.25个D.32个【知识点：映射的定义,分步乘法原理】答案：D 解析：根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种【知识点：分步乘法原理】答案：C 解析：分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种).6.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A.8种B.12种C.16种D.20种【知识点：分步乘法原理】答案：B 解析：分两步，第1步：先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对面).第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的三个面符合题目要求，所以共有3×4＝12(种).7.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息.【知识点：分步乘法原理】答案:256 解析:8个位置,每个穿孔或者不穿孔,有两个方法,总共有82个不同的信息.8.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有种.(用数字作答)【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：9解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法.9.圆周上有2n个等分点（1n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.【知识点：分步乘法原理】答案为：2n（n-1）解析: 由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n个等分点∴共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做2n-2个直角三角形，根据分步计数原理知共有n（2n-2）=2n（n-1）个.10.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法.(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法.11.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案:解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种.(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种.(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种.12. 关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【知识点：分步乘法原理】αβγ，解：（1）∵N=2160=24×33×5，∴2160的正因数为P=235其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1∴2160的正因数共有5×4×2=40个（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数∴正因数之和为31×40×6=7440。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．问题导学知识点一分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？思考2 这几类方案中各有几种方法？思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理(1)完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．(2)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N＝____________________种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车． 思考1 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？思考2 完成每一个步骤各有几种方法？思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？梳理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝______种不同的方法．(2)完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N ＝______________种不同的方法． 题型探究类型一 分类加法计数原理例1 设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点位于x 轴上的椭圆的有( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1 若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)共有________个．类型二分步乘法计数原理例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？反思与感悟(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．类型三两个原理的综合应用例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？反思与感悟(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)混合问题一般是先分类再分步．跟踪训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？当堂训练1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有( )A．3种 B．6种 C．7种 D．9种2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7 B．12 C．64 D．813．把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法．4．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)5．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？小结：1．使用两个原理解题的本质分类―→将问题分成互相排斥的几类，逐类解决―→分类加法计数原理分步―→把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决―→分步乘法计数原理2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法种数较少将各种情况一一列举列举法――→正面复杂用总数减去不满足条件的种数间接法――→答案精析问题导学知识点一思考1 两类，即乘飞机、坐火车．思考2 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．思考3 共有7＋6＝13(种)不同的方法．梳理(1)m＋n(2)m1＋m2＋…＋m n知识点二思考1 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．思考2 第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．思考3 共有7×6＝42(种)不同的方法．梳理(1)m×n(2)m1×m2×…×m n题型探究例1 A [因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．]跟踪训练1 10解析当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(个)有序自然数对．例2 解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码．引申探究解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码．跟踪训练2 100解析由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝100.例3 解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．跟踪训练3 解由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法，故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选，可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．当堂训练1．C 2.B 3.243 4.95．解(1)分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．(2)分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法．第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．本节课是人教A版选修2-3第一章第一节，“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决.这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终.学生在初中学过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”.所以这节课我主要是教会学生归纳、总结出加法原理，类比得到乘法原理.知识内容由浅入深、螺旋上升.整节课围绕着“什么事——怎么做——怎么算”这条主线来突破教学难点.而在教学设计上又有不同的侧重点，因为加法计数原理计算比较容易掌握，所以我把侧重点放在“怎么做上”.而在乘法计数原理教学中，因为有了理解加法原理的基础，所以我把侧重点放在“怎么算”上.用例题的变式推广到一般情况和简单的综合运用，最后让学生准确运用两个原理.教材先根据两类和两步的情况归纳出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，再推广到一般形式，由简单到复杂，有特殊到一般，螺旋上升，符合学生学习的心理特点.达到了预期的效果。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用方法。

1.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。

分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。

1.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。

1.4 教学步骤引入分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。

通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。

学生练习题：让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。

小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。

第二章：分类加法计数原理2.1 教学目标让学生掌握分类加法计数原理的概念和运用方法。

2.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。

2.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。

2.4 教学步骤复习分类加法计数原理的概念。

通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。

学生练习题：让学生运用分类加法计数原理解决问题。

小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。

第三章：分步乘法计数原理3.1 教学目标让学生掌握分步乘法计数原理的概念和运用方法。

3.2 教学内容分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。

3.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。

3.4 教学步骤复习分步乘法计数原理的概念。

通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。

学生练习题：让学生运用分步乘法计数原理解决问题。

小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。

第四章：应用举例4.1 教学目标让学生能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、内容与解析（一）内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

（二）解析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理指的是分类加法计数原理的定义、分步乘法计数原理的定义、两个原理应用，其核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系。

由于它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容。

教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同。

二、目标及其解析：（一）教学目标(1)理解分类加法计数原理；(2)理解分步乘法计数原理；(3)会应用两个计数原理解决简单的实际问题.（二）解析（1）理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；（2）理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；（3）会应用两个计数原理解决简单的实际问题就是指根据具体问题的特征选择对应的原理。

三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来。

要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

四、教学支持条件分析五、教学过程一)引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.设计意图:在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.问题1.分类加法计数原理师生活动:问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题1.3：你能说说以上两个问题的特征吗？结论:分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N += 种不同的方法.问题1.4：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题1.5：如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 问题2.分步乘法计数原理师生活动:问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：分析：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．问题2.2：你能说说这个问题的特征吗？结论：分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯= 种不同的方法.问题2.3：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题2.4：如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.问题2.5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点？①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在A 大学中有5 种专业选择方法，在B 大学中有4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有N = 2 + 2 + 2 = 6 条例3.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第l 步选男生．第2步选女生．解：第1步，从30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．例4 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？六、小结1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN+=种不同的方法.2．分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN⨯=种不同的方法.七、目标检测1．填空：( 1 ）一件工作可以用2 种方法完成，有5 人只会用第1 种方法完成，另有4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿;( 2 ）从A 村去B 村的道路有3 条，从B 村去C 村的道路有2 条，从A 村经B 的路线有＿条．2．现有高一年级的学生3 名，高二年级的学生5 名，高三年级的学生4 名．( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用；2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1.分类加法计数原理的基本概念和应用；2.分步乘法计数原理的基本概念和应用；三、教学过程第一节：分类加法计数原理1.导入（5分钟）-引入生活中的例子，例如：一把铲子可以分为“红色”和“蓝色”两类，一双筷子可以分为“金属”和“木质”两类等。

-引出问题：如果有一个包里有3只红色的铲子和2只蓝色的铲子，这个包里一共有几只铲子？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分类加法计数原理的概念：当一个集合可以分为若干互不相交的类别时，集合的元素个数等于各个类别元素的个数的和。

-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。

3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分类加法计数原理的基本公式写出来，即：总数=类别1数目+类别2数目+类别3数目+...+类别n数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。

4.练习应用（15分钟）-给学生发放习题册，让学生结合自己的实际情况完成其中的练习题。

-教师巡回指导，解答学生提出的问题。

第二节：分步乘法计数原理1.复习（5分钟）-复习分类加法计数原理的概念和应用，让学生回答一些与分类加法计数原理相关的问题。

-引出问题：如果有3件相同的红色上衣和2件相同的蓝色上衣，这些上衣一共有几种穿法？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分步乘法计数原理的概念：当一个事件需要分为若干个步骤进行时，每一步的选择数目乘积等于总方案数。

-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。

3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分步乘法计数原理的基本公式写出来，即：总方案数=第一步选择数目×第二步选择数目×第三步选择数目×...×第n步选择数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。