2020届高三数学第一轮复习(高考教练)考点55 圆的方程(理科)课件 精品

定义
01
两个圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部时，
称这两个圆外切。
判定方法
02
通过比较两个圆心之间的距离与两个圆的半径之和的大小关系
来判定。若圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。
性质
03
两圆外切时，连心线必过切点，且两圆心到切点的距离相等。
圆与圆相交
01
定义
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。
圆的方程形式
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ， 其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，其中D² + E² - 4F > 0 。通过配方可以化为标准 方程。
参数方程
圆的参数方程为 x = a + rcosθ, y = b + rsinθ (θ为 参数)。
05
圆的方程在几何问题中的应用
利用圆的方程求轨迹问题
确定动点的轨迹
通过设定动点的坐标，利用圆的方程将动点的坐标代入，得到动 点的轨迹方程。
求解轨迹的半径和圆心
通过轨迹方程，可以进一步求解出轨迹的半径和圆心坐标。
判断轨迹的形状
根据轨迹方程的形式和性质，可以判断出轨迹的形状，如圆、椭圆 等。
利用圆的方程解决最值问题
直线与圆相切
直线与圆有且仅有一个交点，即 直线刚好与圆接触。
可以通过比较圆心到直线的距离 与圆的半径来判断，若距离等于
半径则相切。
切线的斜率可以通过圆心坐标和 切点坐标求得。
直线与圆相离
直线与圆没有交点，即直线在 圆外部。

考点1
考点2
考点3
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考点1
考点2
考点3
-13-
(2)方法一 ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9, 即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=1
解析:由题得圆心坐标为(0,1),所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.
故选C.
3.(2018河南南阳联考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与
2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( A )
A.(x-1)2+(y-1)2=5
由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,
得D2-4F=36,④ 由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.
故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
考点1
考点2
考点3
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思考求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般 来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求
求圆的方程
例1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的
方程为 (x -3) 2+y2 =2 .
(2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,

垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3

2)n＝0，
整理得(m＋n)b＋(m2＋n2－2n)＝0.
因 为 它 对 任 意 实 数 b≠0 恒 成 立 ， 所 以
m＋n＝0 m2＋n2－2n＝0
，
解得mn＝＝1－1 或mn＝＝00 .
故当 b 变化时，圆 C 经过除原点外的一个定点，
其坐标为(－1,1)．
【点评】本题中圆 C 经过三个点 O，A，B，因此考虑求 解圆的一般方程，再配方确定圆心坐标和半径，圆 C 过定点 问题可以转化为关于 b 的等式(m＋n)b＋(m2＋n2－2n)＝0 恒 成立的问题．
一 求圆的方程
【例 1】根据下列条件求圆的方程： (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y －1＝0 相切于点 P(3，－2)； (2)过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
【解析】(1)过切点 P(3，－2)且与直线 x＋y－1＝0 垂 直的直线方程为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心 为(1，－4)．
3.(2011·中山月考)圆 x2－2x＋y2－3＝0 的圆心到直 线 x－ 3y－3＝0 的距离为 1 .
【解析】圆 x2－2x＋y2－3＝0 可转化为(x－1)2 ＋y2＝4，故圆心坐标为(1,0)，圆心到直线 x－ 3y －3＝0 的距离为|1－1＋3·0－323|＝1，故填 1.
4.过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x ＋y－2＝0 上的圆的方程是 (x－1)2＋(y－1)2＝4 .
方程或一般方程；⑩ x0 a2 y0 b2 r2； x0 a2 y0 b2 r2； x0 a2 y0 b2 r 2
1.方程 x2＋y2－4kx－2y－k＝0 表示圆的充要条件是( )
1 A.4<k<1