第一部分 第一章 §3 3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式

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bc＝－234232＝－3210，解得 c＝327. 同理，当 b＝－287时，a＝－23，c＝－327.综上所述，a，b，c 的值分别为23，287，327或－23，－287，－327.
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应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数 a，G，b 成等比数列，只需证明 G2＝ab，其中 a， b，G 均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项 an－1，an，an＋1，则 an 是 an－1 与 an＋1 的等比中项，即 a2n＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会 大大减少运算过程．
(2)等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 等成比数列(děnɡ bǐ shù liè) ，那么称 G 为 a 与 b 的等比中项．
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2．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为 a1(a1≠0)，公比为 q(q≠0)，则{an}的
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2．设 a1＝2，数列{1＋2an}是公比为 2 的等比数列，则 a6 等于
()
A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5
解析：选 C.1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1， 所以 1＋2a6＝5·25. 所以 a6＝5×322－1＝79.5.
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法二：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，由已知 a7
＝1，且 a4，a5＋1，a6 成等差数列，知 a4，a5＋a7，a6 成等差

A．± 4 1 C．± 4
解析： 项为± 4.
答案： A
第一章 数列
9 1 2 3．若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这 8 3 3 个数列的项数为________．
解析： ∴n＝4. 9 2n－1 1 an＝8×3 ＝3
答案： 4
第一章 数列
4．下面各数列是等比数列的是________． ①0,0,0,0，②1，－1,1，－1,1，－1，③－ 2 2，4， ④a 1，a 2，a 3，a 4.
2 2 n－1 当 q＝3 时，a1＝9，∴an＝9· ＝2×3n－3 3
第一章 数列
方法二：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a3 2 a2＝ q ＝q，a4＝a3q＝2q， 2 20 1 ∴q＋2q＝ 3 .解得 q1＝3，q2＝3. 1 当 q＝ 时，a1＝18. 3
1 － 18 n 1＝ n－1＝2×33－n. ∴an＝18× 3 3
第一章 数列
2．对等比数列通项公式的理解 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式 为an＝a1qn－1.要注意： (1)公式成立的条件是n∈N＋，q≠0； an＋1 (2)此公式是按定义： ＝q(q是非零常数)推导出来 an 的，即an＋1＝anq，这是等比数列通项公式的一种递推关系 的表现形式；
第一章 数列
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7
的等比中项． [策略点睛]
第一章 数列
[规范作答]
设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因
a1＋a1q＋a1q2＝168 q≠1， 由已知， 得 a1q－a1q4＝42
为 a2－a5＝42， 所以
，

如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
则每日剩下的部分依次为：
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
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4
引例：
❖ ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台 计算机都感染20台计算机，则这种病毒每 一轮感染的计算机数构成的数列是：
1，20，202，203，…
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5
1,2,4,8,16,32,...
么G叫做a与b的等比中项。
G ab 即G2 ab
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an a1qn1
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和 １８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a312 ,a418 ,
即
a1q a1q
2 3
12 18
an a1•qn1 思考与讨论：对于本例
解：由a5=a1q4, a15=a1q14
q10a15 5 1 a5 20 4
q5 1 2
a 20 a 1q 5 551 25 2或 a 20 5 2
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15
随堂练习
❖ （1） 一个等比数列的第9项是 4 ，公比
是 1 ，求它的第1项；
9
3
❖ （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是
an a1qn1
(1)2，4，8，16，32，64，... an22n12n
(2)1，3，9，27，81，243，… (3) 5，5，5，5，5，5，…
an13n13n1
an 51n15
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5)0.5,0.25,0.125,0.0625，... (6)1.2，-2.4，4.8，-9.6，...

*
试一试 2:(1)若{an}为等比数列,且 3a4=a6-2a5, 则公比是( B ) (A)0 (B)-1 或 3 (C)1 或-3 (D)-1 或-3 (2)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前三项之 和等于 21,则该数列的通项公式是 .
解析:(1)设公比为 q,则 3a1q3=a1q5-2a1q4. 3 ∵a1q ≠0, ∴q2-2q-3=0, 解得 q=-1 或 q=3.故选 B. (2)依题意 a1+4a1+42a1=21, ∴a1=1, ∴an=a1q =4 . n-1 答案:(1)B (2)an=4
n
n-1
-1),
an 得 an 1 a2 又∵ a1
1 =2 1 =2
,
,
1 ∴{a }是以2
n
1 为首项,以2
n
为公比的等比
n
1 数列,其通项公式为 a = 2
.
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n-1 n-1
等比数列的判定与证明
【例 1】 观察下面几个数列,其中一定是等比数列 的有哪些?
1 (1)数列{a }的通项公式为 a = 2
n n
·3 ;
n
(2)数列 a,a,a,„,a; (3)数列 1,2,6,18,54,„;
(4)数列{an}中,
a2 a1
=2,
a3 a2
=2;
(5)数列{an}中,
.
9 (D) 5
2
(2)若数列 x,x(x-1),x(x-1) ,„是等比数列,则 x 的取值范围是
3 5 9 解析:(1)依定义,有 = ,∴a= .故选 D. a 3 5
(2)由于等比数列的任何一项都不为 0,因此 x≠0 且 x(x-1)≠0,所以 x≠0 且 x≠1. 答案:(1)D (2)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)