等比数列的概念及基本运算

等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。

在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。

本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。

一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。

通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。

根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。

二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。

当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。

2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。

3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。

如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。

三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。

2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。

3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。

4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。

总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。

等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。

熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。

等比数列知识点概念归纳总结等比数列是数学中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。

本文将对等比数列的基本概念、性质和常见问题进行归纳总结。

一、基本概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。

这个比值称为等比数列的公比，用字母q表示。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)二、性质1. 等比数列的公比q必须为非零实数。

如果q大于1，则数列呈递增趋势；如果0<q<1，则数列呈递减趋势。

2. 等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数。

3. 当q大于1时，等比数列趋于正无穷；当0<q<1时，等比数列趋于零。

4. 若一个数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列必为常数数列，即a1 = an = a。

三、常见问题1. 如何判断一个数列是否是等比数列？若一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等，则这个数列为等比数列。

2. 如何确定等比数列的公比？等比数列的公比可以通过任意两项的比值来确定。

选择两项，例如第n项和第n+1项，计算它们的比值，如果得到的结果对于数列中的任意两项都相等，则该结果即为等比数列的公比。

3. 如何求等比数列的第n项？可以通过数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将首项和公比代入公式，计算得到第n项的值。

4. 如何求等比数列的前n项和？可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算前n项和的值。

等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在金融、自然科学和工程领域。

例如在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算中的本金增长；在自然科学中，等比数列可以用来描述物种繁衍的规律；在工程领域，等比数列可以用来描述扩大或缩小的比例关系。

总结：等比数列是一种重要的数列概念，它具有一些基本概念、性质和常见问题。

等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。

一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。

它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。

设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。

二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。

当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。

2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。

3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。

这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。

三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。

1. 递推法：通过已知项计算下一项。

首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。

这种方法适用于已知首项和公比的情况。

2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。

首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。

这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。

四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。

例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。

假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。

通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。

另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。

等比数列的概念与计算等比数列，是指一个数列中，从第二个数起，每个数都是前一个数乘以一个固定的常数。

这个常数被称为等比数列的公比，通常用字母q 表示。

等比数列的概念和计算是高中数学中的重要基础知识之一，本文将从概念和计算两个方面详细介绍等比数列。

概念等比数列的概念可以通过以下定义来描述：给定一个数列a₁, a₂,a₃, ..., an，如果对于任意的正整数n，都有aₙ₊₁ = aₙ * q成立，其中q是一个非零实数，那么这个数列就是等比数列。

其中a₁是等比数列的首项，比值q是等比数列的公比。

等比数列有一些特征，我们来看看有下面两个定理。

定理1：等比数列的任意一项，等于它前一项乘以公比的(n-1)次方。

证明：假设等比数列的首项是a₁，公比是q，根据等比数列的定义，可以得到a₂ = a₁ * q。

同样根据定义，a₃ = a₂ * q = (a₁ * q) * q = a₁* q²。

以此类推，aₙ = a₁ * q^(n-1)。

定理2：等比数列的n项和公式为Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。

证明：我们知道，等比数列的任意一项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。

将等比数列的前n项相加得到Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ。

根据定理1可知，aₙ = a₁ * q^(n-1)。

将等比数列每一项都替换成a₁ * q^(n-1)，得到Sₙ = a₁ + a₁ * q + ... + a₁ * q^(n-1)。

两边因式分解得到Sₙ = a₁* (1 + q + q² + ... + q^(n-1))。

我们已经知道等比数列的前n项和可以表示为1 + q + q² + ... + q^(n-1) = (1 - qⁿ) / (1 - q)。

将这个式子带入Sₙ中，就得到了等比数列的n项和公式Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。

等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。

一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。

设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。

二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。

当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。

2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。

3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。

4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。

根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。

三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。

例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。

我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。

2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。

假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。

我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。

等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。

本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。

一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。

2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。

3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。

公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。

二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。

通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。

以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。

三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。

假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。

S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。

3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。

首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。

以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。

等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。

在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。

一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。

这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。

用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。

二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。

设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。

2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。

求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。

3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。

当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。

当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。

4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。

这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。

这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。

三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。

我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。

2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。

通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。

§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。