等比数列4

aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q

am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3

11
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究


由 + +

=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息

第四章 数 列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
素养目标 ·定方向
学习目标 借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推 导过程 借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的关系 掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用
想一想：如果数列{an}的前n项和为Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1， n∈N＋)，那么这个数列一定是等比数列吗？
提示：一定．理由如下：由于 Sn＝－Aqn＋A，则当 n＝1 时，S1＝a1 ＝A(1－q)；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(－Aqn＋A)－(－Aqn－1＋A)＝Aqn－ 1(1－q)，而当 n＝1 时也符合该式．故数列{an}的通项公式为 an＝Aqn－1(1 －q)(n∈N＋)，并且aan＋n 1＝AAqqn－n（1（11－－qq））＝q(常数)，
(C )
A．3
B．13
C．3 或13
D．以上都不对
[解析] (1)设等比数列的公比为 q， 由 a5－a3＝12，a6－a4＝24 可得： aa11qq45－－aa11qq23＝＝1224⇒aq1＝＝21， 所以 an＝a1qn－1＝2n－1， Sn＝a1（11－－qqn）＝11－－22n＝2n－1， 因此Sann＝22n－n－11＝2－21－n.
【对点训练】❷(2022·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算
术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊
主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各
出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人
要求赔偿5斗粟. 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人

你认为国王有能力满足发明者上述 要求吗?
让我们来分析一下: 由于每个格子里的麦粒数都是前一个 格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子, 各个格子里的麦粒数依次是
1, 2, 2 , 2 , , 2 ,
2 3 63
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 2 2 2 ,
2 3 63
巩固练习

1.课本P132 1 .( 2 ) (3) .课本P1322 ,(1) ,(2)
2
3 .课本P133 3 (1) .(2)
课堂作业
P133-习题3.5 1.2.3.4.5.6. P141-复习参考题 14. P142-7.
Good bay…
；
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等比数列的前n项和
目的要求
பைடு நூலகம்1 2
.掌握等比数列的前n项和公式, .掌握前n项和公式的推导方法. 对前n项和公式能进行简单应用.
3.
重点
重点
难点
: 等比数列前n项和公式的推 导与应用. 难点 : 前n项和公式的推导思路的 寻找.
复习
1.等比数列的定义
S n 1 a1 a 2 a n 1 ( n 2 )
S1 an S n S n 1 n1 n2
S n a1 a 2 a n
a n1 q an
a n a1 q
n 1
这些你都 记得吗?
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a 2 a 3 a n 1 S n a1 q S n an