【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)

第四章　4.3.2　等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.导语同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步增长同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.一、等比数列前n 项和公式的性质二、等比数列前n 项和公式的实际应用课时对点练三、等比数列前n 项和公式的综合应用随堂演练内容索引一n问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？提示　若等比数列{a n}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.若等比数列{a n}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q ＋…＋a2n q＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶.问题2　你能否用等比数列{a n}中的S m，S n来表示S m＋n?提示　思路一：S m＋n＝a1＋a2＋…＋a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋n＝S m＋a1q m＋a2q m＋…＋a n q m＝S m＋q m S n.思路二：S m＋n＝a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1＋a n＋2＋…＋a n＋m＝S n＋a1q n＋a2q n ＋…＋a m q n＝S n＋q n S m.问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现S n，S2n－S n，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？提示　S n，S2n－S n，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列.思路二：由性质S m ＋n ＝S m ＋q m S n 可知S 2n ＝S n ＋q n S n ，故有S 2n －S n ＝q n S n ，S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ，故有S 3n －S 2n ＝q 2n S n ，故有(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列.1.若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：2.若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋(n ，m ∈N *).3.数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，仍构成等比数列.注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即S n ≠0.q n S m S 3n －S 2n例1　(1)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)2－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____.由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，(2)若等比数列{a n}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项29和为341，则这个数列的公比为______，项数为______.由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.例2　在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.方法一　∵S2n≠2S n，∴q≠1，②①方法二　∵{a n}为等比数列，显然公比不等于－1，∴S n，S2n－S n，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)，方法三　由性质S m＋n＝S m＋q m S n可知S2n＝S n＋q n S n，即60＝48＋48q n，反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{a n}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{a n}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练1　(1)已知等比数列{a n}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝______.120所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋ (a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120.(2)记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3，S8＝9，则S12等于√A.12B.18C.21D.27方法一　因为S n为等比数列{a n}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{a n}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.方法二　由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，S12－S8＝12，所以S12＝S8＋12＝9＋12＝21.n 二例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为√A.96B.126C.192D.252由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列，解得a1＝192，所以该人第1天所走路程里数为192.反思感悟(1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n，a n，S n).跟踪训练2　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼3的顶层应挂_____盏灯笼.依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{a n}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，于是得S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.n 三例4　螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图(2)阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，b n，则数列{b n}的前n项和S n＝____________.设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，a n，…，反思感悟解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意(1)首先将题目问题转化为等比数列问题.(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.跟踪训练3　如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为a n，数列{a n}的前n项和为S n.求{a n}的通项公式及S2 023.记第n个正方形的边长为b n，课堂小结1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式的性质.(2)等比数列前n项和公式的实际应用.(3)等比数列前n项和公式的综合应用.2.方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法.3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件.四1.在等比数列{a n}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于√2.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于√A.3∶4B.2∶3C.1∶2D.1∶3在等比数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，3.我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为a n，数列{a n}的前n项和为S n，则使得不等式S n> 成立的正整数n的最小值为√A.6B.5C.4D.34.一个项数为偶数的等比数列{a n}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式a n＝___________________.设数列的首项为a1，公比为q，奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，因为数列{a n}的项数为偶数，所以有q＝又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为a n＝12×，n∈N*.五1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为√A.8B.－2C.4D.22.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为√A.6B.8C.10D.12设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，所以通项公式为a n＝2n－1，中间两项的和为a n＋a n＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于√易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，√设数列{a n}的公比为q(q>0，q≠1)，∵a3，a5，－a4成等差数列，∴2a1q4＝a1q2－a1q3，∵a1≠0，q≠0，5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？√5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，6.(多选)下列说法正确的是A.若数列{a n }是等差数列，且a m ＋a n ＝a s ＋a t (m ，n ，s ，t ∈N *)，则m ＋n ＝s ＋tB.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列C.若S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列D.若S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n ＋B (其中A ，B 是非零常数， n ∈N *)，则A ＋B 为零√√。

课时分层作业(八) 等比数列的概念(第2课时)(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B 解析：∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4. ∵a 2·a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B.2．(5分)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12B ．22C ． 2D ．2B 解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 6＝2a 5，∴q ＝ 2. ∵a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝22. 3．(5分)在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于( ) A ．－213 B ．213 C ．26D ．－26A 解析：a 1·a 2·…·a 13＝(a 7)13＝(－2)13＝－213. 知识点2 等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为( ) A ．8a ，18bB ．64a ，164bC ．128a ，1128bD ．256a ，1256bC 解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12，∴对折7次后的厚度为27·a ＝128a ， 面积为⎝⎛⎭⎫127·b ＝b 128. 5．(5分)某工厂去年产值为a ，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ？( ) A ．6B ．7C ．8D ．9C 解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n . ∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8. 知识点3 等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3D 解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， ∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0， ∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ．7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( ) A ．－20 B ．－18 C ．－16D ．－14B 解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8. ∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18.8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为( ) A ．－5 B ．－15C ．5D ．15A 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1， ∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5.9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝( ) A ．34 B ．39 C ．51D ．68D 解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26，∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12C 解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．84 C ．72D ．189B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则( ) A ．q 2＝3 B ．a 32＝4 C ．a 4a 6＝2 3D ．n ＝14B D 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8，∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16 解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)， ∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12. ∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3. ∴2×⎝⎛⎭⎫－12·q 2＝－12＋⎝⎛⎭⎫－12·q ， 解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴a 1＝a 2q＝1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，q ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18.17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值． (1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)． 当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0， ∴a n ＋1－a n <0， ∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列， ∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1. ∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0， 即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列． (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得 S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2. 当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2， ∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。

第四章 4.3 4.3.1 第2课时A 级——基础过关练1．(多选)设数列{a n }为等比数列,则下面四个数列中,是等比数列的是( ) A ．{a 2n }B ．{pa n }(p 为非零常数)C ．{a n ·a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1}【答案】ABCD 【解析】A 中,∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2,∴{a 2n }是等比数列；B 中, ∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n ＝q ,∴{pa n }是等比数列；C 中,∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2,∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；D 中,∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q (a n －1＋a n )a n －1＋a n＝q ,∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．2．已知等比数列{a n }中,公比q ＝12,a 3a 5a 7＝64,则a 4＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D 【解析】由a 3a 5a 7＝a 35＝64,得a 5＝4.又∵q ＝12,∴a 4＝a 5q＝8.3．(2022年广西模拟)在等比数列{a n }中,a n >0,a 1＋a 2＋…＋a 8＝4,a 1a 2…a 8＝16,则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】A 【解析】由分数的性质得1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.∵a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5,∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5.又∵a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4,a n >0,∴a 4a 5＝2,∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.4．(2021年驻马店期末)若数列{a n }满足1a n ＋1－3a n＝0(n ∈N *),则称{a n }为“梦想数列”,已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”,且b 1＋b 2＋b 3＝2,则b 3＋b 4＋b 5＝( )A ．18B ．16C ．32D ．36【答案】A 【解析】由1a n ＋1－3a n ＝0,得a n ＝3a n ＋1,即“梦想数列”为公比为13的等比数列．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”,则1b n ＋1＝13·1b n ,即b n ＋1＝3b n ,即数列{b n }为公比为3的等比数列．若b 1＋b 2＋b 3＝2,则b 3＋b 4＋b 5＝9(b 1＋b 2＋b 3)＝18.5．正项等比数列{a n }中,a n ＋1＜a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,则a 5a 7＝( ) A ．56 B ．65 C ．23D ．32【答案】D 【解析】因为正项等比数列{a n }中,a n ＋1＜a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,所以a 4·a 6＝6,a 4＋a 6＝5,解得a 4＝3,a 6＝2.所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.6．已知等比数列{a n }中,a 4＋a 8＝－2,则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9【答案】A 【解析】a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2.∵a 4＋a 8＝－2,∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.7．已知等比数列{a n }中,满足a 1＝1,公比q ＝－3,下列说法正确的有( )①数列{3a n ＋a n ＋1}是等比数列；②数列{a n ＋1－a n }是等差数列；③数列{a n a n ＋1}是等比数列；④数列{log 3|a n |}是等差数列．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D 【解析】等比数列{a n }中,满足a 1＝1,公比q ＝－3,3a n ＋a n ＋1＝3[(－3)n －1]＋(－3)n＝[(－1)n －1＋(－1)n]·3n＝0,∴数列{3a n ＋a n ＋1}是由0构成的常数列,不是等比数列,故①错误；a n ＋1－a n ＝(－3)n－(－3)n －1＝43·(－3)n,是等比数列,故②错误；a n a n ＋1＝(－3)n －1·(－3)n ＝(－3)2n －1,是等比数列,故③正确；log 3|a n |＝log 3|(－3)n －1|＝n －1,是等差数列,故④正确．故选D ．8．在等比数列{a n }中,a n ＞0且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 3a 7＝25,则a 3＋a 5＝________．【答案】5 【解析】在等比数列{a n }中,a n ＞0且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 3a 7＝25,即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25,∴(a 3＋a 5)2＝25,解得a 3＋a 5＝5.9．设等比数列{a n }的各项均为正数且a 5a 6＋a 4a 7＝18,则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．【答案】10 【解析】由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18,解得a 5a 6＝9,∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.10．有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数．解：设这四个数为aq,a ,aq ,2aq －a ,则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝216①，a ＋aq ＋(2aq －a )＝36②，由①,得a 3＝216,a ＝6③,将②变形得3aq ＝36,将③代入此式得q ＝2, 所以这四个数为3,6,12,18.B 级——能力提升练11．已知等比数列{a n }的公比q ＞0且q ≠1,又a 6＜0,则( ) A ．a 5＋a 7＞a 4＋a 8 B ．a 5＋a 7＜a 4＋a 8 C ．a 5＋a 7＝a 4＋a 8 D ．|a 5＋a 7|＞|a 4＋a 8|【答案】A 【解析】∵a 6＜0,q ＞0,∴a 5,a 7,a 8,a 4都是负数,∴a 5＋a 7－a 4－a 8＝a 4(q －1)＋a 7(1－q )＝(q －1)·(a 4－a 7)．若0＜q ＜1,则q －1＜0,a 4－a 7＜0,则有a 5＋a 7－a 4－a 8＞0；若q ＞1,则q －1＞0,a 4－a 7＞0,则有a 5＋a 7－a 4－a 8＞0,∴a 5＋a 7＞a 4＋a 8.12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52,则下列结论正确的是( ) A ．a 2a 4＝1 B ．a 2＋a 4＝322C ．q ＝2或12D ．a 1＝2或12【答案】ABD 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2,所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误,选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数,所以a 2a 4＝a 1a 5＝1,选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322,选项B 正确．故选ABD ．13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 11＋2a 5a 9＋a 3a 13＝25,则a 1a 13的最大值是________．【答案】254【解析】由题意利用等比数列的性质知,a 1a 11＋2a 5a 9＋a 3a 13＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25,又因为a n ＞0,所以a 6＋a 8＝5,所以a 1a 13＝a 6a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 822＝254,当且仅当a6＝a 8＝52时,取等号．14．已知数列{a n },{b n }满足a 1＝1,且a n ,a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点,则a 5＝________,b 10＝________．【答案】4 64 【解析】因为a n ,a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点,所以a n ,a n＋1是方程f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个根,根据根与系数的关系,可得a n ·a n ＋1＝2n,a n ＋a n ＋1＝b n ,由a n ·a n ＋1＝2n,可得a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1,两式相除可得a n ＋2a n＝2,所以a 1,a 3,a 5,…成公比为2的等比数列,a 2,a 4,a 6,…成公比为2的等比数列．又因为由a 1＝1,得a 2＝2,所以a 5＝1×22＝4,a 10＝2×24＝32,a 11＝1×25＝32,所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.15．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升,然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1,操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a.设操作n 次后溶液的浓度为a n ,则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ,∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项,q ＝1－1a为公比的等比数列,∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n,即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n. 当a ＝2时,由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<110(n ∈N *),解得n ≥4.故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.。

4．3.1 第二课时 等比数列的性质及应用(习题课)[A 级 基础巩固]1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6,…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24详细解析:选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6),即x 2＋4x ＋3＝0,解得x ＝－3或x ＝－1(舍去),所以等比数列的前3项是－3,－6,－12,则第四项为－24.2．在正项等比数列{a n }中,a n ＋1<a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,则a 5a 7等于( )A.56 D ．65C.23D ．32详细解析:选D 法一:设公比为q ,则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1,由a 2·a 8＝6,得a 25＝6. ∴a 5＝6,a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26,∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32. 法二:设公比为q ,由a n ＞0,且a n ＋1＜a n 知0＜q ＜1. ∵a 2·a 8＝a 4·a 6＝6,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)． ∴q 2＝a 6a 4＝23,∴a 5a 7＝1q 2＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)＝6,则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000详细解析:选C ∵a 3a 8a 13＝a 38,∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000,故选C.4．在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5＝1,则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1详细解析:选B 由题意,可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1,即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1,又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23,所以a 53＝1,得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中,a 3a 11＝4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7＝a 7,则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16详细解析:选C 等比数列{a n }中,a 3a 11＝a 27＝4a 7,解得a 7＝4,等差数列{b n }中,b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________．详细解析:设此三数为3,a ,b ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案:3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列,若a 4,a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根,则a 6＋a 7＝________. 详细解析:由题意得a 4＝12,a 5＝32,∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案:188．画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米．详细解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10,n ∈N *),则第10个正方形的面积S ＝a 210＝⎝⎛⎭⎫21122＝211＝2 048. 答案:2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中,a 3＋a 7＋a 11＝28,a 2·a 7·a 12＝512,求q . 解:法一:由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512,即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2,即q ＝±142或q ＝±42.法二:∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27, ∴a 37＝512,即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根,解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8,∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中,a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36,a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100,求数列{a n }的通项公式．解:∵a 1a 5＝a 23,a 3a 7＝a 25,∴由题意,得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36,同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .[B 级 综合运用]11．设各项为正数的等比数列{a n }中,公比q ＝2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( ) A ．230 B ．210 C ．220D ．215详细解析:选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230, ∴a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230, ∴a 1＝2－272,∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102 ＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 12．各项均为正数的等比数列{a n }满足:a 1＞1,a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,记数列{a n }的前n 项积为T n ,则满足T n ＞1的最大正整数n 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14详细解析:选B ∵a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6a 7＞1，(a 6－1)(a 7－1)＜0， ∵a 1＞1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞1，a 7＜1，由a 6a 7＞1得a 1a 12＝a 2a 11＝…＝a 6a 7＞1,∴T 12＞1, ∵a 7＜1,∴a 1a 13＝a 2a 12＝…＝a 27＜1,∴T 13＜1, ∴n 的最大值为12,故选B.13．若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,则a 3a 18＝________,ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.详细解析:因为{a n }为等比数列,所以a 1a 20＝a 2a 19＝…＝a 9a 12＝a 10a 11.又a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,所以a 3a 18＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5,所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50. 答案:e 5 5014．已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列ab 1,ab 2,…,ab n ,…为等比数列,其中b 1＝1,b 2＝5,b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解:依题意a 25＝a 1a 17,即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d ),所以a 1d ＝2d 2,因为d ≠0,所以a 1＝2d ,数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3, 所以ab n ＝a 13n －1,① 又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1,② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0,所以b n ＝2×3n －1－1.[C 级 拓展探究]15．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L,容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L,A ,B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b ),先将A 中农药的14倒入B 中,混合均匀后,再由B 倒入一部分到A 中,恰好使A 中保持m L,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n 次操作后,A 中农药的浓度为a n ,B 中农药的浓度为b n ,则a 0＝a %,b 0＝b %. b 1＝15(a 0＋4b 0),a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0);b 2＝15(a 1＋4b 1),a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1);…;b n ＝15(a n －1＋4b n －1),a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15,∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n<1%,n ∈N *,解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.。

课时同步练4.3.1 等比数列 （2）一、单选题1．已知数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,则4a 等于 （ ）A ．18B ．54C ．36D ．72【答案】B【详细解析】数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,∴数列{}n a 是等比数列,公比3q =．则342354a =⨯=．故选B ．2．22 （ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．2【答案】C【详细解析】设等比中项为a ,则,2(21,1a a ===±, 故选C ．3．已知数列{}n a 是等比数列,函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、,则3a = （ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】D【详细解析】由韦达定理可知155a a +=,153a a ⋅=,则10a >,50a >,从而30a >,且231533a a a a =⋅=∴=故选D4．已知数列{}n a 为等比数列,且2234764a a a a =-=-,则46tan 3a a π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．D ．【答案】A【详细解析】由题意得3234364a a a a ==-,所以34a =-．又2764a =,所以78a =-或78a = （由于7a 与3a 同号,故舍去）．所以463732a a a a ==,因此4632tan tan tan 11tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A5．数列{}n a 中,121n n a a +=+,11a =,则6a = （ ）A ．32B ．62C ．63D ．64【答案】C【详细解析】数列{}n a 中,121n n a a +=+,故()1121n n a a ++=+, 因为11a =,故1120a +=≠,故10n a +≠, 所以1121n n a a ++=+,所以{}1n a +为等比数列,公比为2,首项为2. 所以12nn a +=即21n n a =-,故663a =,故选C.6．在等比数列{}n a 中,121a a =,369a a =,则24a a = （ ）A ．3B ．3±CD．【答案】A【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为1210a a =>,所以0q >, 又369a a =,所以423a a ===.故选A7．对于按复利计算机利息的储蓄,若本金为a 元,每期利率为r ,存期为n ,则本金和利息总和y （元）与存期n 的函数表达式为 （ ）A ．()1ny a r =+ B ．()11n y a r -=+C ．()11n y a r +=+D ．()1y a nr =+【答案】A【详细解析】1期后的本息和为()1a ar a r +=+;2期后的本息和为()()()2111a r a r r a r +++=+;3期后的本息和为()()()223111a r a r r a r +++=+;…n 期后的本息和为()1ny a r =+. 故选A8．已知等比数列{n a }中,1a +2a =12,1a ﹣3a =34,则4a = A ．﹣18B ．18C ．﹣4D ．4【答案】A【详细解析】∵等比数列{a n }中,a 1+a 2=12,a 1﹣a 3=34, ∴112111234a a q a a q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 解得111,2a q ==-, ∴a 4=31a q =1× （﹣12）3=﹣18．故选A ．9．等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,公差与公比均为3,则1b a +2b a +3b a = （ ）A ．64B ．32C ．33D ．38【答案】C【详细解析】依题意1231,3,9b b b ===,故139172533a a a ++=++=, 故选C.10．已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=,则3948tan1b b a a +-⋅的值是 （ ）A ．1BC．D．【答案】D【详细解析】在等差数列{}n b 中,由16117b b b π++=,得637b π=,673b π=,3961423b b b π∴+==, 在等比数列{}n a 中,由1611a a a =-,得36a =-6a =(224861112a a a ∴-=-=-=-,则39481473tan tan tan tan 1233b b a a πππ+⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭故选D.11．等比数列{}n a 的公比为,||1q q ≠,则2237a a +与2246a a +的大小关系是 （ ）A ．22223746a a a a +>+ B ．22223746a a a a +<+ C ．22223746a a a a +=+D ．不能确定【答案】A【详细解析】由等比数列的通项公式可得,()22382371a a qa =++,()32426262a aq q a =++,()()()()()()()2826262233333222237461111111a q q q a q q a q q q q a a a a --=+--=--=-+-++()()()()()()222222224233111111a q q q q q q a q q q =-+-+++=-++,1,0n q a ≠≠,∴()()222423110a q q q -++>,即22223746a a a a +>+.故选A .12．已知数列{},{}n n a b 满足11111121.1,0.2,,,233n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ,令n n n c a b =-,则满足4110n c ≤的n 最小值为 （ ） A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详细解析】()11111111121122223323n n n n n n n n n n n n b a a b b b a a b a a b ++++++⎛⎫-=-=-+=-++=- ⎪⎝⎭,1110.9c a b =-=,故{}n c 是首项为0.9,公比为13的等比数列,故110.93n n c -=⨯,则14110.9310n -⨯≤,即33310n -≥,当9n =时,63372910=<;当10n =时,733218710=>,显然当10n ≥时,33310n -≥成立,故n 的最小值为10. 故选B ．二、填空题13．设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式为_______．【答案】13-=n n a ,*n N ∈【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q , 因为245a a a =,427a =,所以223542427a a a a q q q ====,解得3q =,所以41327127a a q ===, 因此,13-=n n a ,*n N ∈. 故填13-=n n a ,*n N ∈14．等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=_____.【答案】10【详细解析】∵等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=, ∴56479a a a a ==, ∴3132310log log log a a a +++31210()log a a a =⨯⨯⨯6535log ()a a ⨯= 103log 3=10=故填1015．各项为正数的等比数列{}n a 中,2a 与10a 则3438log log a a +=_____． 【答案】1-【详细解析】根据题意,等比数列{}n a 中,2a 与10a的等比中项为3,则有21013a a =又由等比数列的性质可得:4821013a a a a == 则343834831log log log log 13a a a a +===- 故填1-．16．已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=,则数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】31n -【详细解析】因为132n n a a +-=,所以()113331n n n a a a ++=+=+,即1131n n a a ++=+, 即数列{}1n a +为首项3,公比为3的等比数列, 则1133n n a -+=⨯=3n ,所以31nn a =-．故填31n -.17．已知数列{}n a 中,12a =,且对于任意正整数m ,n 都有m n m n a a a +=,则数列{}n a 的通项公式是___________.【答案】2nn a =【详细解析】数列{}n a 中,令1m =,得12n n a a +=,又12a =, 所以{}n a 是首项和公比均为2的等比数列, 则122=2n n n a -⨯=.故填2nn a =18．各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中,前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为________.【答案】5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【详细解析】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,4188a a -=,所以这四项可以设为1111,,2,88a a d a d a +++,其中1,a d 为正偶数,后三项依次成公比为q 的等比数列,所以有()()()2111288a d a d a +=++,整理得14(22)0388d d a d -=>-,得(22)(388)0d d --<,88223d <<,1,a d 为正偶数,所以24,26,28d = 当24d =时,1512,3a q ==;当26d =时,12085a =,不符合题意,舍去;当28d =时,18168,7a q ==,故q 的所有可能的值构成的集合为5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.故填5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，三、解答题19．数列{}n a 满足11a =,1120n n n n a a a a +++-=（1）写出数列的前5项;（2）由 （1）写出数列{}n a 的一个通项公式; 【详细解析】 （1）由已知可得11a =,213a =,315a =,417a =,519a =.（2）由 （1）可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,所以它的一个通项公式为121n a n =-. 20．已知数列{}n a 满足156a =,()*11133n n a a n N +=+∈.（1）求证:数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列; （2）求数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）()*11133n n a a n N +=+∈,111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----,因此,数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列; （2）由于115112623a -=-=,所以,数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以13为公比的等比数列,111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭,因此,1123n n a =+. 21．已知数列{}n a 满足124n n n a a -=+,且13a =,求:（1）数列{}n a 的前3项; （2）数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）124n n n a a -=+,且13a =∴2212422a a =+=,33224108a a =+=（2）由题可令:()11424nn n n a k a k --+⋅=+⋅-1242n n n ka a =-⋅又124n n n a a -=+,2k ∴=-故数列{}24nn a -⋅是以2为公比的等比数列,且首项-5∴ 12452n n n a --⋅=-⋅∴ 12452n n n a -=⋅-⋅22．已知等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,数列{}n b 满足11b a =,22b a =,2122n n n b b b ++=-+．（1）证明{}1n n b b +-为等差数列;求数列{}n b 的通项公式; （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项． 【详细解析】 （1）根据等比数列的通项公式,得12n n a ,11b =,22b =.因为2122n n n b b b ++=-+所以()()2112n n n n b b b b +++---=,且2121211b b a a -=-=-=,所以数列{}1n n b b +-是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以()112121n n b b n n +-=+-=-, 当2n ≥时,()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-()11323n =+++⋅⋅⋅+- ()()123112n n +--=+()221122n n n =-+=-+,又2111212b ==-⨯+,满足上式,因此222n b n n =-+．（2）设21222n n n n b n n c a --+==, 所以()()()()22112112122422222n n n n n n n n n n n c c -------+---+-=-=-, 所以123456c c c c c c =<=>>>⋅⋅⋅,故n c 的最大值为2343482524c c -+===．。