六年级奥数第4-6讲(等差数列-等比数列-找规律填数)

按规律填数的几种方法1.等差数列填数法：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持一致的数列。

使用等差数列填数法时，首先需要确定首项和公差的值，即数列中的第一个数和相邻两项之间的差值。

然后可以使用公式 an = a1 + (n-1)d 来计算数列中的任意项。

例如，假设首项为3，公差为2，则数列中的前几项为3、5、7、9、11、..，可以通过计算得知数列中的第20项为3+(20-1)×2=412.等比数列填数法：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持一致的数列。

使用等比数列填数法时，首先需要确定首项和公比的值，即数列中的第一个数和相邻两项之间的比值。

然后可以使用公式an = a1 × r^(n-1) 来计算数列中的任意项。

3.斐波那契数列填数法：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。

使用斐波那契数列填数法时，首先确定数列中的前两项，然后可以通过递推公式 an= an-1 + an-2 来计算数列中的后续项。

例如，假设前两项为1和1，则数列中的前几项为1、1、2、3、5、8、13、..，可以通过递推公式得知数列中的第10项为554.平方数列填数法：平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方的数列。

使用平方数列填数法时，首先确定数列中的首项，然后可以通过递推公式 an = an-1^2 来计算数列中的后续项。

例如，假设首项为2，则数列中的前几项为2、4、16、256、..，可以通过递推公式得知数列中的第5项为2^4=16除了以上这些常见的方法，还有很多其他的规律填数方法，如等差递增数列、等差递减数列、阶乘数列等等，每种方法都有其特定的规则和计算方式。

在实际应用中，通过观察数列中的规律，并结合相应的公式计算，可以得到数列中任意一项的值。

六年级找规律的知识点在数学学习中，找规律是一个非常重要的能力，可以帮助我们理解数学中的模式和关系。

六年级学生正处于数学学习的关键阶段，因此，掌握找规律的知识点对他们的数学能力提升至关重要。

下面将介绍六年级找规律的几个知识点。

一、数列的规律数列是由一列数字按照一定规律排列而成的。

在六年级，学生需要掌握数列的常见规律，包括等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

例如，2、4、6、8、10就是一个等差数列，公差为2。

学生需要学会通过观察数列中的数字来确定公差，进而找到数列的下一项。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

例如，1、3、9、27、81就是一个等比数列，公比为3。

学生需要学会通过观察数列中的数字来确定公比，进而找到数列的下一项。

二、图形的规律除了数列，图形中也存在着各种规律。

在六年级，学生需要通过观察图形来找到其中的规律。

1. 图形的对称性对称是图形中最常见的规律之一。

学生需要学会判断图形是否对称，并能够在对称的基础上进行延伸。

例如，正方形具有对称性，如果你把正方形绕中心点旋转180度，图形仍然保持不变。

2. 图形的增量规律图形的增量规律指的是图形的某个特征在每一步中以相同的方式进行增减。

例如，一个图形由一行方块组成，每一步增加一行方块，并且每一行方块的个数都增加了一。

学生需要观察图形的特征，找到图形增量的规律，并应用到下一步中。

三、算术运算的规律六年级的学生在数学学习中会接触到各种算术运算，而这些运算中也存在着一些规律。

1. 加减法的规律加法和减法的规律是数学学习中最基础的规律之一。

学生需要掌握各种加减法运算的特点，并能够通过观察数字的排列来找规律。

例如，从0开始每次加1的数列，可以用n表示第n次操作的结果。

2. 乘除法的规律乘法和除法也具有各自的规律。

学生需要学会通过观察数字之间的关系来找到乘除法的规律，并能够应用到解题中。

例如，乘法中的倍数规律，两个偶数相乘得到偶数，一个奇数和一个偶数相乘得到偶数。

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第六讲：找规律填数（二）我们常将一个数列与一些规律简单的数列进行比较，例如，偶数数列2，4，6，8…的第100项显然是200，而1 990址第995项，将奇数数列1，3，5，7，…与偶数列比较，就知道第100个奇数是200 -1= 199．而1 989是第995个奇数下面的例1显示一个数列与它的“差数列”间的关系．．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：1，2，4，7，l1，16，( )，( ) ．从第2项起，每一项减去前一项得数列l，2，3，4，5，…，这个由差组成的“差数列”，第6、7项分别是6、7．所以原数列的第7、8项分别是16+6=22．22+7=29．即括号内应填入22，29．找规律，在括号内填入适当的数：2，6，12，20，30，42，( ) ．．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：25，3，22，3，l9，3，( )，( )由观察可以知道，所有偶数项数的项全由3组成．再来看一下奇数项数的项25，22，19，…．从22起，每一个都比前一个少3．所以括号内应该填入16，3．发现规律，并在括号内填入适当的数：15，6，3，7，11，8，( )，( ) ．例2表示，有些数列可以拆成两个数列（或者说，由两个数列组成），分别由奇数项数的项和偶数项数的项构成．而这两个数列的规律都不难发现．）已知算式：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…．问：第几个算式的得数是1 992？不难看出，各个算式中，被加数是l，2，3，4，每4个循环一次．加数是1，3，5，7，9，11，13，15，17，…，正好是奇数数列，如果和是1992，那么被加数是l或3（因为2或4加上奇数，不会等于偶数1 992），从而加数是1 991或1 989．因为(1 989 +1)÷2=995所以1989是上面奇数数列的第995项．1 991是第996项又因为995=4×248+3．所以，第995个算式是3+1 989第996个算式是4+1 991没有算式1+1 991．所以第995个算式的得数是1 992．发现规律，在括号内填入适当的数：2，5，8，11，10，13，16，19，18，( )，( )自然数按一定规律排成下表，问第200行的第5个数是多少？12 34 5 67 8 9 10……第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，第199行199个数，因此前199行共有1+2+3+…+199=(1+199)×199÷2=19 900个数，即前199行的最末一个数是19 900.第200行第5个数是19 900 +5=19 905上面的表中，100是第几行第几个数？．如右图，将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7，10，…的位置处拐弯，如果2算第1次拐弯，3算第2次拐弯，那么第13次拐弯处的数是什么？首先，注意到第1次拐弯在东北，笫2次拐弯在东南，第3次拐弯在西南，第4次拐弯扯西北，依此类推，每过4次拐弯就使方向循环出现．因为13=3×4+1所以第13次拐弯在东北其次，东北拐弯处的数组成数列2，10，26，…，它的每一项比数列1，9，25，…的相应项多1．数列1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，…也就是1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，6×6，…叫做平方数数列．数列1，9，25，40，…也就是1×1，3×3，5×5，7×7，…是由奇数平方组成的数列，因此，上述数列（即东北拐弯处的数列）中，26的后一项是7×7 +1=50．即第13个拐弯处的数是50．上图中第21个拐弯处的数是多少？。

等差数列与等比数列的性质在数学的世界里，数列就像是一串有序的数字精灵，按照一定的规律排列着。

其中，等差数列和等比数列是两个非常重要的家族。

它们各自有着独特的性质，就像是家族成员的独特特征一样，让我们能够更好地理解和把握这些数列的规律。

先来聊聊等差数列。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数被称为公差，通常用字母 d 表示。

比如说，数列2，5，8，11，14……就是一个公差为3 的等差数列。

在这个数列中，每一项都比前一项大 3。

等差数列有很多有趣的性质。

首先，它的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 是首项，n 是项数。

这个公式能让我们快速求出数列中任意一项的值。

假设首项 a1 ＝ 2 ，公差 d ＝ 3 ，要求第 10 项的值。

那么根据通项公式，a10 ＝ 2 ＋（10 1)×3 ＝ 2 ＋ 27 ＝ 29 。

其次，如果在等差数列中有 m 、n 、p 、q 这四项，且 m ＋ n ＝ p＋ q ，那么 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。

比如在等差数列 1，3，5，7，9 中，因为 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ，所以 a1 ＋ a5 ＝ a3 ＋ a3 ，即 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ＝ 6 。

另外，等差数列的前 n 项和公式也很重要。

Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 。

如果还是以上面的数列为例，要求前 5 项的和。

先求出 a5 ＝ 1 ＋（5 1)×2 ＝ 9 ，然后 S5 ＝ 5×（1 ＋ 9) ／ 2 ＝ 25 。

说完等差数列，再看看等比数列。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数被称为公比，通常用字母 q 表示。

例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个公比为 2 的等比数列。

等比数列的通项公式为 an ＝ a1 × q^（n 1) 。

等差数列知识点：等差数列的和= （首项＋末项）×项数÷2项数= （末项－首项）÷公差＋1公差= 第二项－首项等差数列的第n项= 首项＋（n－1）×公差首项= 末项－公差×（项数－1）例1、计算。

1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99=（1＋99）×50÷2=2500例2、（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）解：（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）=（1＋1999）×1000÷2－（2＋1998）×999÷2=－=1000例3、计算1÷1999＋2÷1999＋3÷1999＋……＋1998÷1999＋1999÷1999解：1÷1999＋2÷1999＋3÷1999＋……＋1998÷1999＋1999÷1999 ==例4、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。

解：（5＋155）×51÷2=160×51÷2=80×51=4080例5、有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数总比前一个数我4 。

求这60个数的和。

解：（1）末项为： 7＋4×（60－1）=7＋4×59=7＋236=243（2）60个数的和为：（7＋243）×60÷2=250×60÷2=7500例6、数列3、8、13、18、……的第80项是多少？例7、求3＋7＋11＋……＋99=？例8、一个15项的等差数列，末项为110，公差为7，这个等差数列的和是多少？例9、一个大礼堂，第一排有28个座位，以后每排比前排多一个座位，第35排是最后一排，这个大礼堂共有多少个座位？练一练一、计算1、2＋4＋6＋……＋96＋982、68＋65＋……＋11＋83、2＋3＋4＋……＋2000＋2001＋2002＋2003二、列式计算1、8、15、22……这列数的第100项是多少？2、一个有20项的等差数列，公差为5，末项是104，这个数列的首项是几？3、一个公差为4的等差数列，首项为7，末项为155.这个数列共有多少项？4、有一列数，已知第1个数为11，从第二个数起每个数都比前一个数多3，这列数的前100个数的和是多少？三、解答下列各题1、王师傅每天工作8小时，第1小时加工零件50个，从第二小时起每小时比前一小时多加工零件3个，求王师傅一天加工多少个零件？2、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下，时钟一昼夜敲打多少次？3、一个剧院设置了30排座位，第一排有38个座位，往后每排都比前一排多1个座位，这个剧院共有多少个座位？4、一个物体从空中自由落下，第一秒下落4.9米，以后每秒多下落9.8米，经过20秒落到地面，物体原来离地面多高？。

六年级备课教员：×××第4讲等差数列一、教学目标： 1. 理解分数等差数列的意义。

2. 在原有基础上加深对于等差数列的认知。

3. 能够熟练运用等差公式准确计算。

二、教学重点：明白分数等差数列的意义并能够熟练运算。

三、教学难点：对于等差数列各种变式求法及分数乘除法的熟练运算。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分钟)师：同学们，老师前两天看了一篇关于哈雷彗星的文章，你们猜猜这篇文章里讲了什么内容？(PPT出示）生：……师：好了，同学们就开始瞎猜了，老师给一个范围，与它每次出现的时间有关？生：……师：刚刚有一位同学说对了一半，这篇文章告诉了哈雷彗星下次出现的时间，但为什么老师讲只说对了一半呢？看了下面这组数据你们就会明白了。

1682年 1758年 1834年 1910年 1986年同学们，这是在过去三百多年里，人们看到哈雷彗星的时间；看了之后你能说出哈雷彗星下次出现的时间吗？生：……师：有同学知道吗？其实当你们用后面一个数减去前面一个数时就会发现：1758 －1682=76、1834－1758=76、1910－1834=76、1986－1910=76；哈雷彗星每 76年才出现一次，那么下一次出现的时间就应该是：1986＋76=2062年。

师：像刚刚这种情况的数列我们叫做等差数列，相信大家都已经知道了，今天我们就来学有关分数的等差数列。

板书：等差数列（PPT出示)二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（10分钟）已知一组等差数列的第1项是21，末项是412，公差是41。

这组等差数列有多少项？（PPT 出示)师：同学们，在题目中你得出了什么信息呢？生：……师：对的，题中首先告诉我们这是一组等差数列，而且还告诉了首项是21，公 差是41，最后一项是412；那告诉了这么多，要求的是什么呢？有哪位同 学可以告诉老师？生：要求的是这组等差数列一共有多少项。

等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。

一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。

这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。

1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。

（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。

（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。

3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。

（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。

（3）经济学中的利润、销售额等。

二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。

这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。

1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。

2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。

（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。

（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。

3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。

（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。

等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，是一个按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列又可以分为等差数列和等比数列两种类型。

在解题过程中，我们经常需要计算数列的总和、项数等各种问题。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中的每个数与它前面的一个数之差都相等。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。

2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示等差数列的项数，a₁表示等差数列的第一项，aₙ表示等差数列的第n项。

二、等比数列的计算等比数列是指数列中的每个数与它前面的一个数的比值都相等。

设等比数列的第一项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则有以下公式可供计算：1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式表示第n项的数与第一项之间的关系。

通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，a₁表示等比数列的第一项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的所有数的和。

前n项和可以表示为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的第一项，r 表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

总结：等差数列和等比数列的计算方法主要涵盖了通项公式和前n项和的计算。

通过这些公式，我们可以轻松地求解等差数列和等比数列中的各种问题。

等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。

本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。

一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。

假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。

1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。

1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。

二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。

设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。

假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。

2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。

设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。

2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。

三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。

本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。