均值不等式求最值
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高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法
一、 教学目标
1、 知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些求函数最值问题。
2、 能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、 情感目标：通过问题情境的设置，使学生感受到数学的美妙，提高数学素养。
二、 教学重点、难点
重点是理解均值不等式，难点是均值不等式的应用。
三、 教学方法
本节课采用探究、归纳，启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。
四、 教学过程
（一）、情景设置：
已知c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，求证：
9111≥++c
b a 设计意图：通过例题引出课题
（二）、几个重要的均值不等式 ①，、)(222
222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222
+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(333
333
33+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333
3+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. （三）、用均值不等式求最值的常见类型
类型1：求几个正数和的最小值。
例1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝cosx ＋1cosx (0<x<π2
) C ．y ＝x 2＋3x 2＋2 D ．y ＝e x ＋4e
x －2 例2、 已知x<3，求f(x)＝4x －3
＋x 的最大值；
例3、 求函数)0(322>+=x x
x y 的最小值 例4、求函数21(1)2(1)y x x x =+
>-的最小值。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型2：求几个正数积的最大值。
例1、 求下列函数的最大值：
1、设0<x<2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值
2、若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
类型3：条件最值问题。
例1、已知正数x 、y 满足811x y
+=，求2x y +的最小值。
评析：此类问题是学生求解易错的一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方
法：
812()(2)8x y x y x y +=++≥=。
原因就是等号成立的条件不一致。
（四）、练习
1、已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y
的最小值 2、已知+∈R y x , ,且满足14
3=+y x ，则xy 的最大值为 3、求=y )1(1
1072-≠+++x x x x 的最值
（五）、课堂小结
学生总结应用均值不等式求最值要注意：
一正：各项或各因式必须为正数
二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错
三等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
