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3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数。
证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知当01x <≤时，0μ且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x'=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
均值不等式的正确使用及例题均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ?=，)lg (lg 21b a Q +?=，2lg b a R +=，则（） A ．P R <<="" p="">B. Q P <<="" p="">C. P Q <<="" p="">D. R P <="" 例2.若)0(21="">++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是。
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值不等式求最值的对策运用均值不等式求最值是一种常用方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何求最值问题试作分析一．注意均值定理应满足条件均值不等式具有将“和式〞转化为“积式〞与将“积式〞转化为“和式〞的功能，但一定注意应用的前提：“ 一正〞“二定〞“三相等〞。
所谓“一正〞是指“正数〞，“二定〞指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立.例1．10<<x ，求xy lg 4lg +=的最大值 分析：此题满足4lg 4lg =⋅xx 为定值，但因为0lg ,10<<<x x ，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式。
解：442)lg 4()lg (0lg ,0lg 10=≥-+-=-∴>-<∴<<xx y x x x 即4-≤y 。
当且仅当xx lg 4lg -=-即1001=x 时等号成立，故4max -=y二．连用均值定理要注意成立的条件一致有些题目要屡次用不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致。
例2．假设y x ,是正数，那么22)21()21(xy y x +++的最小值是〔 〕 A.3 B 27 C4 D 29 解析:由题意,4141(2)141()21)(21(2)21()21(22=+⋅≥++=++≥+++xyxy xy xy x y y x x y y x “＝〞成立的条件412121{=+=+xy xy y x 不矛盾，故“＝〞能成立，答案〔)c三．均值不等式“失效〞时的对策有些题目，直接用均值定理求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，别离常数，平方等手段使之能运用均值定理.例3．25≥x ，那么4254)(2-+-=x x x x f 有 〔 〕 A 最大值45 B 最小值45 C 最大值1 D 最小值1.分析：此题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行别离，便可创造出使用均值不等式的条件。
均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()()2222221;22;230;4252.a b ab a b b a ab a ba b a b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤+；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等”即： （1）各项或各因式非负； （2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接法例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x>0，y>0，所以234343x y x yxy+≥= (当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑法 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数【例1】当时，求的最大值。
【解析】由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x=2时取等号。
所以当x=2时，的最大值为8。
【评注】本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项【例2】已知，求函数的最大值。
【解析】由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
当且仅当，即时等号成立。
【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离【例3】求的值域。
【解析】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。
当，即时(当且仅当x=1时取“=”号)。
当，即时(当且仅当x=-3时取“=”号)。
∴的值域为。
【评注】分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换【例4】已知，求的最小值。
【解法1】不妨将乘以1，而1用a+2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
【解法2】将分子中的1用代换。
【评注】本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元【例5】求函数的最大值。
【解析】变量代换，令，则当t=0时，y=0当时，当且仅当，即时取等号。
故。
【评注】本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方【例6】求函数的最大值。
【解析】注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值不等式求最值的6种常用方法一、均值不等式常用的结论1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、2220,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+ 二、利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用均值不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在均值不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用均值不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数221632y x x =++的最小值.2、 配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.3、 裂项例3 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.6、 换元（整体思想）例6 求函数y =的最大值.7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .8、 巧组合例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值是.几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 2+2a b+≤≤≤222b a +。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
均值不等式八法第一篇：均值不等式八法运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。
解：y=-x2(x+1)+(x+1)=(x+1)(1-x2)=(x+1)(1-x)2⎛x+1x+1⎫++1-x()⎪32x+1x+1=4•••(1-x)≤4 。
⎪=22327 ⎪⎝⎭当且仅当3x+1132=1-x，即x=时，上式取“=”。
故ymax=。
2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数y=x0<x<1)的最大值。
解：y==⎛x2x22⎫++1-x()⎪1 x2x22••(1-x)≤因，⎪=22327 ⎪⎪⎝⎭x2=(1-x2)，即x=当且仅当时，上式取“=”。
故ymax=。
2933评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知0<x<2，求函数y=6x(4-x2)的最大值。
解：y=36x22(4-x)22=18⨯2x2(4-x2)(4-x2)3⎡2x2+(4-x2)+(4-x2)⎤18⨯83⎥=≤18⎢。
327⎢⎥⎣⎦当且仅当2x=4-x，即x=()=”。
故ymax18⨯83=，又y>0,ymax=。
二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设x>-1，求函数y=(x+5)(x+2)的最小值。
专题讲义用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式的运用是本章的一个重要内容，也是求函数最值的一个重要工具。
要求同学们能运用均值不等式解决一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时，“＝”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ，当且仅当a = b = c 时，“=”号成立.注：①运用均值不等式时，务必要注意：一“正”、二“定”、三“等”.②记住一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +. 二、函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b abax x f 、图象： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②增区间：⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ,，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b ； 减区间：⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b.类型◇1：求几个正数和的最小值。
例1.求下列函数的最小值：)1()1(212>-+=x x x y类型◇2：求几个正数积的最大值。
例2.求下列函数的最大值： ①⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=230)23(2x x x y ②⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20cos sin 2πx x x y类型◇3：条件最值问题。
例3.求下列函数的最小值：①已知正数x 、y 满足x + 2y = 1， ②已知正数x 、y 满足111=+yx 求的yx 11+最小值。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解：当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解：当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
练习：1、已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；2、203x <<，求函数(23)y x x =-技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x y xy+≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
(3) 设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为（ ）． A ．8 B ．4 C ． 1 D ．14解析：因为333=⋅ba，所以1=+b a 。
又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+ba ab b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即21==b a 时取“=”。
故选（Ｂ）．技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数2y =的值域。
(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈ 的最大值.技巧六、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22＝ 2x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22≤ 342 技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧八、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式:求函数15()22y x <<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
技巧9：消元例1.设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值是_________.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为 技巧10.换元例1.求函数25y x =+的最大值.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时练习题：1.若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m >0，n >0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．3. 已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．4. 设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？6. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．37.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为______.8. 已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 92 D ．59. 设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。
