1.1.2余弦定理导学案讲解学习

1.1.2余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：余弦定理证明及应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.【解析】由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt △BDC 中，边a 可利用勾股定理用CD 、DB 表示，而CD 可在Rt △ADC 中利用边角关系表示，DB 可利用AB —AD 转化为AD ，进而在Rt △ADC 内求解.解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得：a 2＝CD 2＋BD 2∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2又∵BD 2＝(c －AD )2＝c 2－2c ·AD ＋AD 2∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ·AD又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ·cos A∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A类似地可以证明b 2＝a 2＋c 2－2ac cos Bc 2＝a 2＋b 2－2ab cos C另外，当A 为钝角时也可证得上述结论，当A 为直角时a 2＝b 2＋c 2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，Ⅱ.讲授新课1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为a 、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C ，则构造CB →·CA →这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：证明：如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法则可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法则可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2.即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.3.例题评析例1在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .(精确到1°)解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例2已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .解法一：由正弦定理得8sin A ＝7sin600∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°，由7sin600 ＝c sin C，得c 1＝3，c 2＝5 ∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3 解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B∴72＝c 2＋82－2×8×c cos60°整理得：c 2－8c ＋15＝0解之得：c 1＝3，c 2＝5，∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 ，或S △ABC ＝12 ac 2sin B ＝10 3 . 例3已知A 、B 为△ABC 的边,A 、B 分别是A 、B 的对角,且23sin sin =B A 求bb a +的值. 解：∵Bb A a sin sin =, ∴ba B A =sin sin . 又32sin sin =B A (这是角的关系)， ∴23=b a (这是边的关系).于是,由合比定理得 25223=+=+b b a . 例4已知△ABC 中,三边A 、B 、C 所对的角分别是A 、B 、C ,且a 、b 、c 成等差数列. 求证:sin A +sin C =2sin B .证明:∵a 、b 、c 成等差数列，∴a +c =2B (这是边的关系).①又Cc B b A a sin sin sin ==, ∴BC b a sin sin =,② BC b c sin sin =.③ 将②③代入①,得b B C b B A b 2sin sin sin sin =+=2B . 整理得sin A +sin C =2sin B (这是角的关系).Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中：(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ；(2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ；(3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ；(4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A .解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7.(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）＝ 2 2 ，∴A ＝45°. 2.在∆ABC 中，已知7,5,3a b c ===，判断∆ABC 的类型。

1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。

1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。

4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。

4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。

【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（ ），注意（ ）, （ ），（ ）等。

1．1．2 余弦定理三维目标1．知识与技能理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．2．过程与方法通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，开展用数学工具解答现实生活问题的能力．3．情感、态度与价值观探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合〞的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．重点难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用.教学工具多媒体教学教学方式互动式教学过程一、 知识回忆〔学生完成〕1：正弦定理2sin sin sin a b c R A B C=== 2：变形： 〔1〕2sin b 2sin ,2sin a R AR B c R C ===， 〔2〕b sin sin ,sin 222a c A B C R R R===， 〔3〕::sin :sin :sin a b c A B C =〔4〕sin sin sin sin a b c a A B C A++=++ 〔5〕1sin 2S ab C ∆=1sin 2bc A =1sin 2ac B = 二、新知互动探究：.b c A a (1)已知、、，求.a b c A (2)已知、、，求余弦定理讲解：++=0a b c =-(+)a b c ⇒22()a b c ⇒=+2222a b c b c ⇒=++⋅2222cos()a b c b c A π⇒=++⋅-2222cos a b c bc A ⇒=+-余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2b =222cos c a ca B +- 2c =222cos a b ab C +-余弦定理适用于：2SAS SSS S 、、 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2c a b B ca +-= 222cos 2a b c C ab+-= 三、 例题互动 知识点1：余弦定理应用例1：在三角形ABC 中，根据以下条件解三角形，(1)a ＝2，b ＝22，C ＝15°；(2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.【思路探究】 (1)中角C 是边a 、b 的夹角，可以直接用余弦定理求边c 吗？其他元素如何求？(2)中角B 是边b 的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？解： (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角．由正弦定理，得sin A ＝a c sin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°.法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°.法二 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时 c ＝a sin C sin A ＝3×6＋2432＝6＋22. 当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin C sin A ＝3×6－2432＝6－22. 规律方法1．此题的两小题均为两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为边的对角，故解法不同．对于(1)可以直接应用余弦定理，而对于(2)既可以直接应用余弦定理，也可以先使用正弦定理，要注意体会解法．2．两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．互动探究在三角形ABC 中，b ＝3，c ＝33，B ＝30°，试解此三角形．【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1. ∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知此题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6， 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3.故a ＝3或6.2知识点：余弦定理推论应用例2：在△ABC 中，a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .【思路探究】 (1)如何判断哪个角是最大角？(2)求sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 ∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得：sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314，∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.规律方法1．此题的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键．2．三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．互动探究在△ABC 中， a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角．【解】 由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°，即最大内角为120°.四、课堂小结1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)三边解三角形．(2)两边及一角解三角形．3．两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．五、当堂练习1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．42．在△ABC 中，假设a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513C．0 D.2 33．在△ABC中，假设a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.4．在△ABC中，b cos A＝a cos B，试判断△ABC的形状．答案：1.B 2.C 3.124.等腰三角形六、作业：点金练习册《1.1.2余弦定理》。

1.1.2.2 正、余弦定理—解三角形【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理及其推论；2.进一步了解正、余弦定理及其推论的适用范围；3. 能根据所给元素，正确选择定理或推论并解三角形和判断三角形的形状.【重、难点】重点：正、余弦定理或其推论的灵活应用.难点：解三角形时正确选择正、余弦定理或其推论【知识链接】利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？余弦定理呢？答：正弦定理求解“两角任一边”和“两边一对角”两种题型；余弦定理求解“三边都已知”和“两边一夹角”两种题型.【典例突破】典例突破（一）正、余弦定理解三角形例1. 已知△ABC中，a=√3，b=√2，B=45°，请分别用正弦定理和余弦定理解此三角形. 【解析】方法1）正弦定理求解由正弦定理得sinA=asinBb =√3sin45°√2=√32∵a=√3>√2=b∴A>B=45°∴A=60°或A=120°当A=60°时，C=75°，c=asinCsinA =√3×√6+√24√32=√6+√22；当A=120°时，C=15°，c=asinCsinA =√3×√6−√24√32=√6−√22.∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22方法2）余弦定理求解由余弦定理知 b2=a2+c2−2accosB，即√22=√32+c2−2√3×√22c，即c2−√6c+1=0，解得c=√6+√22或c=√6−√22.当c=√6+√22时，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=2+(√6+√22)2−32×√2×√6+√22=12∵0°<A<180°∴A=60°∴C=75°同理，当c=√6−√22时，得A=120°，C=15°∴该三角形的解为A=60°，C=75°，c=√6+√22或A=120°，C=15°，c=√6−√22变式1. 在△ABC中，已知c=√6+√2，b=2√3，C=75°，解此三角形.【解析】方法1）由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC得(√6+√2)2=a2+(2√3)2−2a×2√3×cos75°整理得a2−(3√2−√6)a+4−4√3=0，解得a=2√2或a=√2−√6（舍）∴由余弦定理的推论得cosB=a 2+c2−b22ac=√6+√2)22×2√2(√6+√2)=12又0°<B<180°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.方法2）由正弦定理得sinB=bsinCc =√3×sin75°√6 + √2=√32又0°<B<180°，且由b<c得B<C=75°∴B=60°∴A=180°−75°−60°=45°，a=bsinAsinB =2√3sin45°sin60°=2√2∴该三角形的解为a=2√2，A=45°，B=60°.【解题反思】“两边一对角”型的解三角形问题，即可以用正弦定理，也可以用余弦定理，两种方法各有什么利弊？答：用正弦定理解题，是先求两角，再求第三边，计算简单，但需验证解的合理性；用正弦定理解题，是先求第三边，再求两角，计算复杂，但无需验证.典例突破（二）判断三角形形状例2．在∆ABC中，已知(a+b+c)(b+c−a)=3bc，sinA=2sinBcosC，试判断∆ABC的形状．【解析】方法1）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b2+c2−a2=bc∴ cosA=b 2+c2−a22bc=12又0°<A<180°∴A=60°由sinA=2sinBcosC及A=π−(B+C)得sin(B+C)=2sinBcosC，即sin BcosC+ cosBsinC=2sinBcosC，即sin （B−C）=0.又−120°<B−C<120°∴B−C=0,即B=C∴∆ABC是等边三角形.方法2）由(a+b+c)(b+c−a)=3bc得(b+c)2−a2=bc，即b+c2−a2=bc∴ cosA=b2+c2−a22bc =12又0°<A<180°∴A=60°又由sinA=2sinBcosC及正弦定理得a=2b×a 2+b2−c22ab,即b2=c2，即b=c∴∆ABC是等边三角形【解题反思】解三角形问题中，常涉及边角混合式，请问解决这类为题的一般思路是什么？答：一般的解题思路是利用正余弦定理，进行边角互化，最终要么统一边，要么统一角. 一般来说，当等式是关于“边”或“角的正弦”的齐次式时，利用正弦定理；等式中含有“角的余弦”或“边的乘积”时，考虑用余弦定理.变式2.(1) 在∆ABC中，已知角A，B的对边分别为a,b，且满足条件acosB =bcosA，试判断∆ABC的形状.(2)在△ABC中，已知bcosB+ccosC=acosA，试判断∆ABC的形状．【解析】(1) 方法1）由acosB =bcosA及正弦定理，得sinAcosB=sin BcosA，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B又0<2A<2π，0<2B<2π∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形方法2）由acosB =bcosA及余弦定理的推论，得aa2+c2−b22ac=bb2+c2−a22bc，化简整理得a4−b4−a2c2+b2c2=0，即(a2−b2)(a2+b2−c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴∆ABC为等腰三角形或直角三角形(2) 由bcosB+ccosC=acosA及余弦定理得b∙a2+c2−b22ac +c∙a2+b2−c22ab=a∙b2+c2−a22bc，整理得b2(a2+c2−b2)+c2(a2+b2−c2)=a2(b2+c2−a2)，即(b2−c2)2=a4，解得b2−c2=a2或b2−c2=−a2，即b2=a2+c2或c2=a2+b2.∴∆ABC是直角三角形典例突破（三）三角形的边角比例3．设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acosA，则sinA:sinB:sinC为（）A．4:3:2B．5:6:7C．5:4:3D．6:5:4【解析】由题意可设a=b+1，c=b−1，则由3b=20acosA和余弦定理得3b= 20(b+1)∙b2+(b−1)2−(b+1)22b(b−1)，整理得7b2−27b−40=0，解得b=5，所以a=6，c=4，所以sinA:sinB:sinC=6：5：4，故选D.【解题反思】（1）要由边的比得到正弦值的比需用哪个定理？（2）要由边的比得到角的比需用哪个定理？答：（1）正弦定理；（2）余弦定理.变式3. 在∆ABC 中，a ︰b ︰c =1︰√3︰2，A ︰B ︰C 等于（ ） A ．1︰2︰3 B ．2︰3︰1 C ．1︰3︰2 D ．3︰1︰2【解析】由a ︰b ︰c =1︰√3︰2及正弦定理易得∆ABC 是直角三角形，再由勾股定理易得 A =30°，B =60°，C =90°，故选A ． 题型四. 正、余弦定理与三角公式的综合应用 例4. 在∆ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1) 求cos A 的值； (2) 求c 的值．【解析】(1) ∵ a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， ∴ 在△ABC 中，由正弦定理，得3sinA=2√6sin2A， ∴2sinAcosA sinA=2√63，即cosA =√63.(2) 方法1）由余弦定理 a 2=b 2+c 2−2bccosA 得 9=24+c 2−4√6c ×√63， 即 c 2−8c +15=0，解c =3 或 c =5若 c =3，则a =c ，得A =C ，又B ＝2A ，A +B +C = 180°解得A =C =45°，B =90°，则 b =√2a ，这与a ＝3，b ＝26矛盾 ∴ c =3 不符合，舍去 ∴ c =5 方法2） (1)知cosA =√63∴ sinA =√1−cos 2A =√33又 B ＝2A ∴ cos B ＝2cos 2A －1＝13∴sinB =√1−cos 2B =2√23∴ 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5√39. ∴ c =asinC sinA.变式4. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB =79. (1) 求a 、c 的值； (2) 求sin(A －B )的值．【解析】(1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) △ABC 中 ∵ cosB =79 ∴ sinB =√1−cos 2B =4√29由正弦定理，得sinA=asinBb =2√23∵a＝c∴A为锐角∴cosA=√1−sin2A=13∴sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝10√227.。

1.1.2 余弦定理教学目标：1．通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形．2．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握．重点难点掌握余弦定理；理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形．教学过程导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？推进新课新知探究提出问题1.通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？2.能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？3.余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？4.余弦定理的另一种表达形式是什么？5.余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？6.正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如下图，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b、c、∠A来表示a.教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得a2＝CD2＋BD2.∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2，∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD.又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.类似地可以证明b2＝c2＋a2－2ca cos B.c2＝a2＋b2－2ab cos C.另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论．这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如下图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么c ＝a －b ，|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C .所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如下图，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a ,0)，点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )，根据两点间距离公式AB ＝(b cos C －a )2＋(bsin C －0)2，∴c 2＝b 2cos 2C －2ab cos C ＋a 2＋b 2sin 2 C ，整理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos Ab 2＝c 2＋a 2－2ac cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC 中，C ＝90°，则cos C ＝0，这时余弦定理变为c 2＝a 2＋b 2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广；勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广． 应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧．讨论结果：(1)、(2)、(3)、(6)见活动．(4)余弦定理的另一种表达形式是： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角．应用示例例1：如图，在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°，求c .解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，因此c ＝52＋42－2×5×4×(－12)＝61. 例2：如图，在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，c ＝19，求此三角形各个角的大小及其面积．(精确到0.1)解：由余弦定理，得cos ∠BCA ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－(19)22×3×2＝9＋4－1912＝－12， 因此∠BCA ＝120°，再由正弦定理，得sin A ＝a sin ∠BCA c ＝3×3219＝33219≈0.596 0， 因此∠A ≈36.6°或∠A ≈143.4°(不合题意，舍去)．因此∠B ＝180°－∠A －∠BCA ≈23.4°.设BC 边上的高为AD ，则AD ＝c sin B ＝19sin23.4°≈1.73.所以△ABC 的面积≈12×3×1.73≈2.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．变式训练在△ABC 中，已知a ＝14，b ＝20，c ＝12，求A 、B 和C .(精确到1°)解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝202＋122－1422×20×12＝0.725 0， ∴A ≈44°.∵cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝142＋202－1222×14×20＝113140≈0.807 1， ∴C ≈36°.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例3：如图，△ABC 的顶点为A (6,5)，B (－2,8)和C (4,1)，求∠A .(精确到0.1°)解：根据两点间距离公式，得AB ＝[6－(－2)]2＋(5－8)2＝73，BC ＝(－2－4)2＋(8－1)2＝85，AC ＝(6－4)2＋(5－1)2＝2 5.在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2365≈0.104 7， 因此∠A ≈84.0°.点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值．变式训练用向量的数量积运算重做本例．解：如图，AB →＝(－8,3)，AC →＝(－2，－4)，∴|AB →|＝73，|AC →|＝20.∴cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－8×(－2)＋3×(－4)73×20＝2365≈0.104 7. 因此∠A ≈84.0°.例4：在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .解法一：由正弦定理，得8sin A ＝7sin60°， ∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°.∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°.由7sin60°＝c sin C ，得c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 解法二：由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，∴72＝c 2＋82－2×8×c cos 60°.整理，得c 2－8c ＋15＝0，解之，得c 1＝3，c 2＝5.∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝60°.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－2ab cos 60°＝c 2，即a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. 知能训练：1．在△ABC 中，已知C ＝120°，两边a 与b 是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则c 的值为( )A. 3 B ．7 C ．3 D. 7【答案】D【解析】由题意，知a ＋b ＝3，ab ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab＝(a ＋b )2－ab＝7，∴c ＝7.2．已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1,2x ＋1(x ＞1)，求三角形的最大角． 解：比较得知，x 2＋x ＋1为三角形的最大边，设其对角为A .由余弦定理，得cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12. ∵0＜A ＜180°，∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题．2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理．作业课本习题.。

§1.1.2 余弦定理 班级 姓名 学号 学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ，．[理解定理]c a b B C（1）若C=90︒，则cos C=，这时222c a b=+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B=，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c=，求A．※典型例题例1. 在△ABC中，已知a=b=，45B=，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

1.1.2 余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?第二张:余弦定理(记作1.1.2B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C,形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+.三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能利用计算器进行运算.二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2.∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A,∴a2=b2+c2-2ab c os A.类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s B.c2=a2+b2-2ab c os C.另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:a2=b2+c2-2bcco s A,b2=c+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C .形式二:bcacbA2cos222-+=,cabacB2cos222-+=,abcbaC2cos222-+=.师在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生向量数量积的定义式a·b=|a||b|co sθ,其中θ为A、B的夹角.师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CACB•这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则，可得BCABAC+=,∴,cos2)180cos(22)()(222222aBaccBCBBCABABBCBCABABBCABBCABACAC+-=+-︒+=+•+=+•+=•即B 2=C 2+A 2-2AC CO s B . 由向量减法的三角形法则，可得AB AC BC -=, ∴222222cos 2cos 22)()(c A bc b ABA AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+•-=+•-=-•-=•即a 2=b 2+c 2-2bcco s A .由向量加法的三角形法则,可得BC AC CB AC AB -=+=,∴,cos 2cos 22)()(222222a C ba b BCC BC AC AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+•-=+•-=-•-=•即c 2=a 2+b 2-2abco s C .[方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .[合作探究]师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）.解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°,B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°.【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形. 解：由余弦定理的推论,得 co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′; C =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展]补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1, ∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好. 解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7, ∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 1=81.8°,A 2=98.2°,∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Cc sin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5, ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B ,∴72=c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +15=0,解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A ;(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B ;(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B ;(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A .解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°. (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a =31,b =42,c =27;(2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°. 由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°. ∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3, ∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0, ∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.板书设计余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法;(1)已知三边求任意角;(2)向量法(2)已知两边、一角解三角形4.学生练习。

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

高中数学《1.1.2余弦定理》学案新人教A版必修1、1、2余弦定理编者：校审：组长：一、[学习关键词]1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理、2、能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题、二、[课前自主梳理]如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C()、利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解三、[课堂合作研习]例1 （1）中，已知，求边、（2）已知中，，求最大角和、例2 在中，,,分别是角的对边，已知，且，求的大小及的值。

例3 在中，若，试判断三角形的形状、[巩固练习]1、在中，，则角为（）A、60B、45或135C、120D、302、在中，的对边分别为a，b，c，若>0，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形3、在中，，则的最小角为（）A、B、C、D、4、在△ABC中，，则三角形的面积等于、5、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是、6、如图所示，在中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长、1、1、2余弦定理[强化训练]1、在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()A、1B、C、2D、42、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A、B、C、D、3、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)＝ac，则角B的值为( )A、B、C、或D、或4、在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形5、如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD、已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min、若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A、50 mB、45 mC、50mD、47 m6、三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________、7、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长、8、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1、(1)求角C的度数；(2)求AB的长；9、如图，已知圆内接四边形ABCD的各边长分别为AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积、1、1、2余弦定理[强化训练答案]1、答案C解析bcos C＋ccos B＝b＋c＝＝a＝2、2、答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝、3、答案 D 解析由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或、4、答案B解析∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形、5、答案C解析依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，因此由余弦定理有：OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2100150，解得OC＝50(m)、6、答案120解析易知：>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，又0<θ<180，∴θ＝120、7、解由得∴a>b>c，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，即(b ＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10，此时a＝14，c＝6、8、解(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝、(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB ＝、9、解连接AC、∵B＋D＝180，∴sin B＝sin D，cos D＝－cosB、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBCsin B＋ADDCsin D＝14sinB、由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝AD2＋DC2－2ADDCcos D，∴56cos B＝8，cos B＝、∵0<B<180，∴sin B＝＝、∴S四边形ABCD＝14sin B＝8、。